Suites réelles. 1. Quelques rappels sur le corps des réels

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1 Agrégatio itere UFR MATHÉMATIQUES Suites réelles O ote N l esemble des etiers aturels et Z l esemble des etiers relatifs. Avat de parler de l esemble R des ombres réels, rappelos la défiitio de deux autres esembles de ombres. L esemble des ombres ratioels Q est défii par Q = {r R / Z et m Z, r = m }. Les élémets de Q sot appelés les ombres ratioels et ceux de R \ Q les ombres irratioels. Exemples : 1/3 est u ratioel. π est u irratioel. Les etiers relatifs sot des ratioels. L esemble des ombres décimaux est défii par D = {r Q / k N, 10 k r Z}. x = est u ombre décimal car 10 4 x est u etier. Les ombres décimaux sot des ratioels, mais tous les ratioels e sot pas des ombres décimaux. De plus, la somme et le produit de deux décimaux est u décimal, mais l iverse d u décimal o ul est pas toujours u décimal. O a les iclusios : N Z D Q R. 1. Quelques rappels sur le corps des réels 1.1. R est u corps commutatif totalemet ordoé O ote R l esemble des ombres réels. Il est mui de deux opératios (additio et multiplicatio) qui vérifiet les propriétés suivates. 1) L additio est associative : x R, y R, z R, (x + y) + z = x + (y + z). 2) L additio a u élémet eutre 0 : x R, x + 0 = 0 + x = x. 3) Tout ombre réel a u opposé pour l additio : x R, y R, x + y = y + x = 0. L opposé d u ombre réel x est uique : si y et z vérifiet tous les deux x+y = y+x = 0 et x + z = z + x = 0, alors y = y + 0 = y + (x + z) = (y + x) + z = 0 + z = z. O désige par x l opposé de x. 4) L additio est commutative : x R, y R, x + y = y + x. R est doc u groupe commutatif. 5) La multiplicatio est associative : x R, y R, z R, (x y) z = x (y z). 6) La multiplicatio a u élémet eutre 1 : x R, x 1 = 1 x = x.

2 Préparatio à l agrégatio itere UFR maths, Uiversité de Rees I 7) La multiplicatio est distributive par rapport à l additio : x R, y R, z R, x (y + z) = (x y) + (x z) (y + z) x = (y x) + (z x). 8) La multiplicatio est commutative : x R, y R, x y = y x. R est u aeau uitaire commutatif. 9) 0 est différet de 1 et tout ombre ( réel x différet de 0 a u iverse pour la ) multiplicatio : x R, x 0 = ( y R, x y = y x = 1). U tel iverse est uique (même démostratio que pour l opposé pour l additio) et o le ote x 1. R est u corps. Comme autre corps, o coait le corps Q des ratioels, le corps C des ombres complexes. O utilise les otatios habituelles pour la soustractio et la divisio : x y désige x + ( y) et x/y désige x y 1. O omet le plus souvet le symbole pour écrire les multiplicatios. 10) R est mui d ue relatio d ordre : x R, x x (réflexivité), x R, y R, z R, ( (x y et y z) = x z ) (trasitivité), x R, y R, ( (x y et y x) = x = y ) (atisymétrie). 11) L ordre est total : x R, y R, (x y ou y x). 12) L ordre est compatible avec l additio : x R, y R, z R, (x y = x + z y + z). 13) Le produit de deux réels positifs ou uls ( est positif ou ul : ) x R, y R, (0 x et 0 y) = 0 xy. U corps mui e plus d ue relatio d ordre vérifiat les propriétés est appelé u corps totalemet ordoé. Les corps Q et R sot des corps totalemet ordoés. Lemme 1 Pour tout x R et tout y R, o a x + y x + y et x y x y Démostratio : la première iégalité, appelée iégalité triagulaire, se prouve e reveat à la défiitio de la valeur absolue. La deuxième est ue coséquece de la première, e utilisat les égalités x = (x y) + y et y = (y x) + x. Ces deux iégalités sot fodametales e aalyse, où ue grade partie du travail cosiste à majorer et miorer des quatités. Iégalités vraies (coséqueces des items 12 et 13) Si a 0 et b c, alors ab ac. Si a 0 et b c, alors ab ac. Si a b et c d, alors a + c b + d. Si 0 a b et 0 c d, alors 0 ac bd. Défiitio 2 I est u itervalle de R si, et seulemet si, pour tout a et b das I tel que a < b, si a < x < b, alors x I. E d autres termes, les itervalles de R sot exactemet les parties covexes de R. 2

3 Les ombres réels ou complexes 1.2. Propriété de la bore supérieure Défiitio 3 Soiet A ue partie de R et a u élémet de R. 1 O dit que a est u majorat (respectivemet u miorat) de A si, pour tout x A, x a (respectivemet x a). 2 O dit que A est majorée (respectivemet miorée) si elle possède u majorat (respectivemet u miorat). 3 O dit que A est borée si elle est à la fois majorée et miorée. Défiitio 4 Soit A ue partie de R, o dit que A possède u plus grad (respectivemet plus petit) élémet s il existe u élémet apparteat à A qui majore (respectivemet miore) A. O le ote maxa (respectivemet mi A). Propositio 5 Si A possède u plus grad (respectivemet plus petit) élémet, celui-ci est uique. Démostratio : supposos que A ait deux plus grads élémets disticts a et a, alors a est u majorat de A doc, pour tout x A, x a, or a A doc a a. De même, a est u majorat de A et a A doc a a. O e déduit que a = a. Défiitio 6 Soit A ue partie majorée de R. Si l esemble des majorats de A admet u plus petit élémet, celui-ci est appelé bore supérieure de A et est oté supa. Défiitio 7 Soit A ue partie miorée de R. Si l esemble des miorats de A admet u plus grad élémet, celui-ci est appelé bore iférieure de A et est oté if A. Exemple - 1 est la bore supérieure de [0, 1[, 0 sa bore iférieure. Lemme 8 Si elle existe, la bore supérieure (resp. iférieure) est uique. Propriété de la bore supérieure Toute partie o vide et majorée de R admet ue bore supérieure. Toute partie o vide et miorée de R admet ue bore iférieure. Caractérisatio de la bore supérieure d ue partie E de R o vide et majorée La bore supérieure de E, supe, vérifie les deux propriétés suivates x E, x sup E ε > 0, x E, supe ε x( supe). Remarque - Q e vérifie pas la propriété de la bore supérieure R est archimédie De maière plus cocrète, o a la propriété suivate : x > 0, y > 0, N, y > x. Cette propriété de R permet de défiir la partie etière d u réel x, otée E(x), comme état le plus grad etier iférieur ou égal à x. O a doc les iégalités E(x) x < E(x) + 1. Remarque - Q est égalemet archimédie Q est dese das R O peut idetifier u sous-corps de R à Q, et o a Propositio 9 Soit a et a deux ombres réels tels que a < b, alors il existe u ombre ratioel r tel que a < r < b. Ce résultat est ue coséquece du caractère archimédie de R. Démostratio : si a < 0 < b, o fait r = 0. Si a < b 0, o travaille avec les opposés : 0 b < a. O peut doc supposer 0 a < b. O choisit u etier h > 0 tel que 3

4 Préparatio à l agrégatio itere UFR maths, Uiversité de Rees I 1/h < b a (c est possible car R est archimédie). Soit d le plus petit etier aturel d tel que d/h > a (il y e a bie u, toujours grâce à l archimédiaité). Alors (d 1)/h a et doc d h = d h h a + 1 h < b. Doc le ombre ratioel d/h vérifie bie a < d/h < b. Propositio 10 Q est dese das R. Démostratio : il suffit d appliquer la propositio précédete aux réels disticts x ε et x + ε. O a égalemet les propriétés suivates : Tout itervalle o vide de R cotiet ue ifiité de ombres ratioels. Tout réel est limite d ue suite de ratioels. Cette derière propriété est fodametale e aalyse ; elle permet de prologer à R des résultats obteus sur Q e utilisat par exemple la cotiuité d ue foctio. 2. Suites réelles 2.1. Quelques rappels Défiitios Défiitio 11 Dire que la suite (a ) N a ue limite l R sigifie que ε > 0, N N, N, ( N = a l < ε.) Défiitio 12 O dit qu ue suite de ombres réels est covergete quad elle a ue limite l das R. Défiitio 13 Si la suite (b ) est pas covergete, o dit qu elle est divergete. Lemme 14 Si la limite existe, elle est uique. Démostratio : supposos que la suite (u ) coverge vers deux limites l et l. Supposos que l l. Soit ε = l l /2. O devrait avoir d ue part u etier aturel N 1 tel que pour tout etier aturel N 1, a l < ε, et d autre part u etier aturel N 2 tel que pour tout etier N 2, a l < ε. Si l o pred supérieur à la fois à N 1 et à N 2, o devrait avoir l l l a + a l < 2ε = l l. O aboutit à ue cotradictio, doc ue suite de ombres réels e peut pas avoir plus d ue limite. Défiitio 15 Dire que lim a = + sigifie que A R, N N, N, A < a. Défiitio 16 Dire que lim a = sigifie que A R, N N, N, A > a. Propositio 17 Propriété des gedarmes Soit (u ), (a ) et (b ) trois suites de ombres réels. Si lim a = limb = l et si o a a u b à partir d u certai rag, alors limu = l. 4

5 Les ombres réels ou complexes Résultats à coaitre Propositio 18 (l R ou l = + ou l = ). Soit f ue foctio défiie au voisiage de a R et ayat ue limite l lorsque x ted vers a. Alors, pour toute suite (u ) qui coverge vers a, la suite ( f(u ) ) coverge vers l. Propositio 19 ( ) α Pour tout α R, les suites! ( ) α et! coverget vers 0. Propositio 20 La suite ( )! coverge vers Quelques méthodes pour lever ue idétermiatio! Les cas idétermiés das la recherche des limites sot (+ ) + ( ), 0 (+ ), 0 ( ), 0 0 et 1. Il y a pas de méthodes géérales qui permettet de lever toutes les idétermiatios, mais il existe éamois u certai ombre de techiques utiles à coaitre. Pour ue limite e + (ce qui est toujours le cas pour l étude de la covergece d ue suite), il est souvet utile de mettre e facteur le terme prépodérat ; pour cela, il faut coaitre l ordre de prépodérace suivat E +, l expoetielle l emporte sur la puissace qui l emporte sur le logarithme. Ne pas oublier que, si a > 0, a = e l a est ue expoetielle e + l = 2 e /2 1 + l/ + 0 Pour ue idétermiatio du type das u terme comportat des racies carrées, il faut peser à utiliser la forme cojuguée = Peser à utiliser le théorème des gedarmes e présece d ue foctio borée. 1 si 1 doc si 0. + Lors de l étude de suite de la forme u v, passer e expoetielle (après avoir vérifié que u est positif à partir d u certai rag) : u v = e v l(u) et étudier la limite de v l(u ). ( ) = e l(1+ 1 ), or l(1 + 1 ) = l(1 + 1 ) 1 l(1 + x) ( car lim = 1, d où lim = e. x 0 x + ) 1 + 5

6 Préparatio à l agrégatio itere UFR maths, Uiversité de Rees I U peu de vocabulaire Défiitio 21 1 Dire que la suite (u ) est croissate sigifie que N, u u +1 2 Dire que la suite (u ) est strictemet croissate sigifie que N, u < u +1 3 Dire que la suite (u ) est décroissate sigifie que N, u u +1 4 Dire que la suite (u ) est strictemet décroissate sigifie que N, u > u +1 Défiitio 22 1 Dire que la suite (u ) est majorée sigifie que M R, N, u M 2 Dire que la suite (u ) est miorée sigifie que M R, N, u M 3 Dire que la suite (u ) est borée sigifie qu elle est majorée et miorée 2.2. Covergece de suites Suites mootoes Propositio 23 Toute suite de réels croissate et majorée est covergete. Toute suite de réels décroissate et miorée est covergete. Démostratio : motros la première partie de la propositio. Soit (u ) ue suite de réels croissate et majorée. Il existe alors u réel M tel que, pour tout etier aturel, u M. Soit E = {u N}. E est u esemble de réels majoré par M et o vide, il admet doc ue bore supérieure l. Motros que l est la limite de (u ). Soit ε > 0, par défiitio de la bore supérieure, il existe u etier aturel N tel que l ε < u N, or la suite (u ) est croissate, doc, pour tout etier aturel N, l ε < u l. D où le résultat.! Si ue suite est croissate et majorée par M, elle est covergete, mais rie e prouve que sa limite soit M Suites adjacetes Défiitio 24 Soit (a ) et (b ) deux suites réelles telles que (a ) est croissate à partir d u certai rag et (b ) est décroissate à partir d u certai rag, lim (a b ) = 0, + Les suites (a ) et (b ) sot dites adjacetes. Propositio 25 Deux suites adjacetes sot covergetes et elles ot la même limite. Démostratio : motros que a b pour tout etier. Posos c = a b. La suite (c ) coverge vers 0 d après l item 3 ; elle est croissate, e effet a +1 b +1 a b car (a ) croit et (b ) décroit. O e déduit qu elle est égative ; doc, pour tout etier, a b. Comme (b ) est décroissate et (a ) b, o a pour tout, a b 0. La suite (a ) est croissate et majorée et doc covergete. Puisque lim(b a ) = 0, o a lim b = lim(b a ) + lim a = lima. Remarque - Cette propositio e doe pas la valeur de la limite, seulemet so existece. Doos u exemple de ombre réel défii par deux suites adjacetes. Nous allos démotrer le résultat suivat. Propositio 26 Tout ombre réel positif ou ul a ue racie carrée das R. 6

7 Les ombres réels ou complexes Démostratio : soit r u ombre réel, 0 r. O va défiir par récurrece ue suite de segmets emboîtés [a, b ], par le procédé de dichotomie ( actio de couper e deux ). O veut que pour tout etier, l iégalité suivate soit vérifiée : (a ) 2 r < (b ) 2. Pour le choix du premier segmet, o procède de la maière suivate : o défiit b 0 comme état le plus petit etier aturel qui vérifie r < (b 0 ) 2. D après l axiome d archimédiaité, il y a des etiers aturels p plus grads que r, et u tel p vérifie p 2 p > r. Puisqu il y a des etiers dot le carré est strictemet plus grad que r, o peut bie predre le plus petit de ces etiers. O pose a 0 = b 0 1. Comme b 0 1, o a a 0 0. Par défiitio de b 0, o a (a 0 ) 2 r < (b 0 ) 2. Supposos maiteat que l o a déjà costruit le segmet [a, b ] vérifiat l iégalité (a ) 2 r < (b ) 2. Alors ( ) 2 a + b a) Si r, o pose a +1 = a + b et b +1 = b (o garde la moitié droite 2 2 du segmet). b) Sio, o pose a +1 = a et b +1 = a + b 2 (o garde la moitié gauche). Le choix de la moitié du segmet que l o garde s est fait de telle maière que l o ait bie (a +1 ) 2 r < (b +1 ) 2. La dichotomie cosiste à couper le segmet e deux à chaque étape. Comme la logueur du segmet [a 0, b 0 ] est 1, celle du segmet [a, b ] vaut 1/2. Cette logueur ted vers 0 quad ted vers l ifii. Doc, d après la propositio 25, il existe u et u seul réel l qui vérifie a l b pour tout N. O a 0 a 0 l. Pour voir que l est la racie carrée de r, il reste à vérifier que l 2 = r. Comme lima = lim b = l, o a lim(a ) 2 = lim(b ) 2 = l 2. Des iégalités (a ) 2 r < (b ) 2 o déduit par passage à la limite que et doc l 2 = r Développemet décimal l 2 = lim(a ) 2 r lim(b ) 2 = l 2, Nous allos voir maiteat u exemple importat, d ecadremet d u ombre réel par des suites adjacetes de ombres ratioels : le développemet décimal. Soit l u réel positif ou ul. O ote E(l) sa partie etière, c est-à-dire l etier aturel tel que E(l) l < E(l) + 1. L existece de cette partie etière est assurée par le fait que R est archimédie : cet axiome etraîe qu il y a des etiers aturels strictemet plus grads que l, doc o peut predre le plus petit etier p tel que p > l et o pose E(l) = p 1. Soit x R + ; o pose, pour tout N, x = 10 E(10 x). O a alors 0 x x < 10 car 10 x = E(10 x) 10 x < E(10 x) + 1 par défiitio de la partie etière. Défiitio 27 O dit que x est l approximatio décimale par défaut de x à 10 près. Propositio 28 x = lim x Posos a = E(10 x) 10 E(10 1 x) = 10 (x x 1 ). Lemme 29 a est u etier compris etre 0 et 9. Démostratio : a est, par défiitio de la partie etière, u etier. O a E(10 1 x) 10 1 x < E(10 1 x)+1, d o 10E(10 1 x) 10 x < 10E(10 1 x)+ 10 et, par défiitio de E(10 x), o obtiet 10E(10 1 x) E(10 x) < E(10 x) E(10 1 x) O e déduit que 7

8 Préparatio à l agrégatio itere UFR maths, Uiversité de Rees I 0 E(10 x) 10 E(10 1 x) < 10. O a de plus a = 10 (x x 1 ) 10 a = x x 1 a 1 = 10 1 (x 1 x 2 ) 10 ( 1) a 1 = x 1 x 2 a 1 = 10(x 1 x 0 ) 10 1 a 1 = x 1 x 0 E additioat, o obtiet x = x 0 + O ote x = x 0 + a i 10 i i=1 i=1 a i 10 i où x 0 = E(x). = x 0, a 1 a 2... a... et o appelle cette écriture le développemet décimal propre illimité de x. O admet la réciproque, c est-à-dire qu u développemet décimal illimité représete u réel et que deux développemets décimaux illimités peuvet représeter le même réel. Ce résultat est démotré au momet de l étude des séries. Exemple - 1 = 0, et 0, 356 = 0, Pour x < 0, o utilise le développemet décimal propre illimité de x = x 0, a 1 a 2 puis x = x 0, a 1 a 2. Das ce cas, E(x) = x 0 1. Théorème 30 U ratioel admet u développemet décimal illimité qui est périodique à partir d u certai rag. La preuve se fait au moye de la divisio euclidiee. O admet la réciproque, c est-à-dire que Tout réel admettat u développemet décimal illimité périodique à partir d u certai rag est u ratioel. Exemple - x = 3, 46 }{{} 53 }{{} 53 = = x = 1, }{{} }{{} = 12 7 Remarque - Le développemet décimal d u réel est uique si l o suppose de plus que {a ; a < 9} est ifii (ce qui reviet à écarter le cas d ue suite qui deviet costate égale à 9) Théorème de Bolzao-Weierstrass Défiitio 31 Soit (u ) ue suite de réels. O dit que la suite (v ) est extraite de la suite (u ) s il existe ue applicatio strictemet croissate ϕ de N das N telle que v = u ϕ() pour tout N. Lemme 32 Soit ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N. Alors, pour tout etier aturel, o a ϕ(). Démostratio : soit H l iégalité ϕ(). Comme ϕ est à valeurs das N, o a ϕ(0) 0 et H 0 est vérifiée. Supposos que H est vraie et motros que H +1 est vraie. L applicatio ϕ état strictemet croissate, o a ϕ( + 1) > ϕ() ; comme elle est à valeurs etières, o a ϕ( + 1) ϕ() + 1. O a alors ϕ( + 1) ϕ() d après H et o a motré que H +1 est vraie. O a prouvé le lemme par récurrece. Propositio 33 Soit l R ou l = + ou l =. Si (u ) est ue suite réelle telle que limu = l, et si (v ) est ue suite extraite de (u ), alors lim v = limu. 8

9 Les ombres réels ou complexes Toute suite extraite d ue suite tedat vers l ted vers l. Démostratio : das le cas où l R. Doos ous ε > 0. O a u etier N tel que pour tout N, u l < ε. O suppose que v = u ϕ() où ϕ est strictemet croissate. O a toujours ϕ() d après le lemme 32. Doc, si N, alors ϕ() N, d où v l = u ϕ() l < ε. Ceci motre que limv = l. Si l = +, doos A R, alors il existe u etier aturel N tel que, pour tout N, u A. Si N, alors ϕ() N, d où v = u ϕ() A et limv = +. Le cas l = se traite de même. Remarques - La cotraposée de la propositio 33 permet de prouver que, si o trouve ue suite extraite de la suite (u ) qui diverge, alors la suite (u ) diverge. Ex : u = ( 1). Pour prouver qu ue suite diverge, o peut égalemet essayer de costruire deux suites extraites covergetes et ayat pas la même limite. Ex : u = ( 1). Propositio 34 Soit l R ou l = + ou l =. Soit (u ) ue suite réelle. Si les suites extraites (u 2 ) et (u 2+1 ) tedet vers l, alors la suite (u ) ted vers l. Démostratio : das le cas l R, les deux autres cas sot laissés au lecteur. Posos v = u 2 et w = u 2+1. Soit ε > 0, comme ces deux suites coverget vers l, il existe u etier 0 tel que, pour tout 0, v l < ε et w l < ε, i.e. u 2 l < ε et u 2+1 l < ε. Si l o pose 1 = , alors, pour tout etier 1, o a, soit pair et il existe u etier p tel que = 2p, avec p 0, soit impair et il existe u etier p tel que = 2p + 1, avec p 0, das les deux cas, o obtiet que u l < ε. Défiitio 35 O dit que la suite réelle (u ) a ue valeur d adhérece l s il existe ue suite extraite de (u ) qui coverge vers l. Propositio 36 Ue suite qui a deux valeurs d adhérece distictes est divergete. O a le théorème de Bolzao-Weierstrass (1) Théorème 37 Toute suite borée de réels admet ue valeur d adhérece. Démostratio : ce théorème se démotre par u procédé de dichotomie. Par hypothèse, il existe M > 0 tel que, pour tout etier aturel, u < M. Posos a 0 = M et b 0 = M. Tous les termes de la suite sot das [a 0, b 0 ]. Posos ϕ(0) = 0, alors u ϕ(0) [a 0, b 0 ]. Supposos costruit [a p, b p ], qu il y ait ue ifiité d élémets de la suite (u ) das [a p, b p ] et que l o ait défii ϕ(p) tel que v p = u ϕ(p) [a p, b p ]. O coupe le segmet e deux parties égales ; écessairemet, il y a ue ifiité d élémets de la suite das au mois l ue des deux moitiés du segmet ; o défiit alors [a p+1, b p+1 ] comme état ce demi segmet. Comme il y a ue ifiité de termes de la suite das ce ouveau segmet, il y e a au mois u dot l idice est plus grad que ϕ(p) et doc o peut choisir ϕ(p + 1) > ϕ(p) tel que v p+1 = u ϕ(p+1) [a p+1, b p+1 ]. La logueur du segmet [a p, b p ] ted vers 0 ; les suites (a p ) p et (b p ) p sot adjacetes ; elles coverget doc vers la même limite l. O pose alors v p = u ϕ(p) et o a motré que (v p ) p coverge vers l R est complet Défiitio 38 Ue suite (u ) de réels est dite suite de Cauchy (2) si elle vérifie ε > 0, N, N, p N, u u p < ε. (1) Berhard Bolzao ( ), Karl Weierstrass ( ) (2) Augusti-Louis Cauchy ( ) 9

10 Préparatio à l agrégatio itere UFR maths, Uiversité de Rees I Théorème 39 Ue suite de réels est covergete si et seulemet si c est ue suite de Cauchy. Remarque - Toute suite covergete d u espace métrique est ue suite de Cauchy. Les espaces pour lesquels la réciproque est vraie sot dits complets. La complétude de R permet de motrer la covergece d ue suite sas e détermier la limite. Démostratio : soit (u ) ue suite réelle de Cauchy. Motros d abord qu elle est borée. Soit ε = 1, alors il existe N 1 tel que, pour tout N 1, u u N1 < 1. O e déduit que la suite (u ) est borée. D après le théorème de Bolzao-Weierstrass, o peut extraire ue suite (v ) de (u ) qui coverge vers l. Motros que la suite (u ) coverge vers l. Soit ε > 0, o a u l u v + v l = u u ϕ() + v l. Il existe N 2 tel que, pour tout N 2, v l < ε/2 car la suite (v ) coverge vers l et il existe N 3 tel que, pour tout N 3, u u ϕ() < ε/2 car la suite (u ) est de Cauchy et ϕ() >. E posat N = sup(n 2, N 3 ), o prouve le résultat Théorème de Heie Théorème 40 Toute foctio cotiue sur u segmet I de R est uiformémet cotiue sur ce segmet I. Démostratio : soit f ue foctio cotiue sur u segmet I, c est-à-dire u itervalle fermé boré. Raisoos par l absurde et supposos que f est pas uiformémet cotiue sur I. Alors ε > 0, η > 0, (x, y) I 2, ( x y η et f(x) f(y) > ε ). E particulier, e preat η = 1/, o obtiet (1) N, (x, y ) I 2, ( x y 1 et f(x ) f(y ) > ε ). Les suites (x ) et (y ) sot borées car I est boré. D après le théorème de Bolzao-Weierstrass, o peut e extraire des suites covergetes. Soit (x ϕ() ) ue telle sous-suite. Notos l sa limite, l appartiet à I car I est fermé. Comme x ϕ() y ϕ() 1/ϕ() et que lim ϕ() = + d après le lemme 32, o e déduit que la suite (y ϕ() ) coverge égalemet vers l. L applicatio f état cotiue, les suites ( f(x ϕ() ) ) et ( f(y ϕ() ) ) coverget vers f(l), ce qui cotredit (1). 10

11 SUITES RÉELLES 1. Quelques rappels sur le corps des réels R est u corps commutatif totalemet ordoé Propriété de la bore supérieure R est archimédie Q est dese das R Suites réelles Quelques rappels Défiitios Résultats à coaitre Quelques méthodes pour lever ue idétermiatio U peu de vocabulaire Covergece de suites Suites mootoes Suites adjacetes Développemet décimal Théorème de Bolzao-Weierstrass R est complet Théorème de Heie i