LEÇON N 15 : Construction du corps Q des rationnels. Nombres décimaux, développement décimal d un nombre rationnel.

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1 LEÇON N 15 : Construction du corps Q des rationnels. Nombres décimaux, développement décimal d un nombre rationnel. Pré-requis : Relations d équivalence, ensembles quotient, PGCD, théorème de Gauss ; Un produit fini d ensembles dénombrables est dénombrable ; Ensemble N et anneau Z (en particulier que Z est bien ordonné) ; Système de numération en base 10 (existence et unicité de l écriture d un entier en base 10 connue comme conséquence fondamentale de l existence d une division euclidienne dans N). Si a,b Z, on sait que l équation ax = b n admet dans Z qu une solution lorsque a b. On souhaiterait donc étendre cet ensemble de solutions aux cas où a ne diviserait pas b. Le but de cette leçon va donc être la construction d un corps commutatif contenant Z et dans lequel l équation ax = b admette une solution Construction de Q Définition 1 : Soient (a,b), (c,d) Z Z. On définit la relation R par (a,b) R (c,d) ad = bc. Proposition 1 : R est une relation d équivalence. Réfléxivité : ab = ba, donc (a, b) R (a, b). Symétrie : (a, b) R (c, d) ad = bc bc = ad cb = da (c, d) R (a, b). Transitivité : On suppose (a, b) R (c, d) et (c, d) R (e, f), c est-à-dire ad = bc ( ) et cf = de ( ). Si c = 0, alors a = e = 0 (car Z est intègre, et b, d 0), donc af = 0 = be (a, b) R (e, f). Supposons alors c 0. Le produit de ( ) et ( ) donne af cd = bc ed af = be car Z intègre et c, d 0 cd 0. D où (a, b) R (e, f). R vérifie les trois points de la définition d une relation d équivalence. Définition 2 : Soit (a,b) Z Z. La classe d équivalence de (a,b) est appelée nombre rationnel. On la note a ou a/b, et a (resp. b) est appelé numérateur (resp. dénominateur). Enfin, l ensemble des classes b d équivalence pour la relation R est appelé ensemble des nombres rationnel, et sera noté Q.

2 2 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux Remarque 1 : Pour tout c Z, (a, b) R (ca, cb), c est-à-dire a b = ca cb. Proposition 2 : Pour tout r Q, il existe un unique couple (a, b) Z N tel que r = a b et a b = 1. Dans ce cas, r = a/b est appelée fraction irréductible. Existence : Soit r Q. Il existe (a, b) Z Z tel que r = a/b. On peut se ramener à b N en posant a = a et b = b puisque (a, b) R ( a, b) d après la remarque. Soit alors d = a b. Alors il existe a, b tels que a = da et b = db avec a b = 1, d où avec (a, b ) Z N. r = a b = da db rq 1 = a b, Unicité : Soit r = a/b = c/d, avec a b = c d = 1. Or a/b = c/d ad = bc, et d après le théorème de Gauss, on a d une part que d bc et c d = 1 d b, et d autre part b ad et a wedgeb = 1 b d. Au final, b = d car ils sont tous les deux éléments de N, et il en découle que a = c. Les deux fractions sont les mêmes. L unicité justifie alors la définition de fraction irréductible Structure de corps de Q On munit Z Z de deux lois de composition internes définies pour tous éléments (a,b) et (c,d) de Z Z par (a,b) + (c,d) = (ad + bc,bd), (a,b) (c,d) = (ac,bd). Remarque 2 : b, d 0 par hypothèse, et Z intègre impliquent que bd 0. Proposition 3 : Ces deux lois sont compatibles avec R. Soient (a, b) R (c, d) ad = bc et (a, b ) R (c, d ) a d = b c (notons ces deux égalités ( )). Alors on a que (ab + a b)dd = adb d + bda d ( ) = bcb d + bdb c = bb (cd + c d) (ab + a b, bb ) R (cd + c d, dd ) ( (a, b) + (a, b ) ) R ( (c, d) + (c, d ) )

3 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux 3 pour ce qui concerne l addition. Pour la multiplication, on a aa dd = ada d ( ) = bcb c = bb cc (aa, bb ) R (cc, dd ) ( (a, b) (a, b ) ) R ( (c, d) (c, d ) ), d où le résultat. Définition 3 : Ces deux lois, notés + Q et Q sont appelées addition et multiplication sur Q. On les notera plus simplement + et lorsqu il n y a pas confusion. Théorème 1 : (Q, + Q, Q) est un corps commutatif. a) Ces deux lois sont associatives et commutatives. b) est distributive par rapport à +. En effet, (a, b) ((c, d) + (c, d ) ) = (a, b) (cd + c d, dd ) = (acd + ac d, bdd ) (a, b) (c, d) + (a, b) (c, d ) = (ac, bd) + (ac, dd ) et ces deux quantités sont bien égales. = (abcd + abdc, bbdd ) b 0 = (acd + adc, bdd ), c) + admet 0 1 comme élément neutre, et admet 1 1 comme élément neutre. Ils sont uniques en vertu de la proposition 3. d) a b est l inverse de a b pour l addition (en effet, (a, b) + ( a, b) = (ab ab, b2 ) = (0, 1)) et b a en est l inverse pour la multiplication (en effet, (a, b) (b, a) = (ab, ab) = (1, 1)). Q est donc bien un corps, commutatif puisque ses lois le sont. Plongement de Z dans Q Proposition 4 : L application définie par ϕ : (Z, +, ) (Q, + Q, Q) a a 1 est un morphisme d anneaux injectif. a) ϕ(élément neutre de + Z ) = ϕ(0) = 0 1 =élément neutre de + Q. De même, ϕ(élément neutre de Z) = ϕ(1) = 1 1 =élément neutre de Q b) ϕ(a + b) = a+b 1 = a 1 + b 11 1 = a 1 + Q b 1 = ϕ(a) + Q ϕ(b)

4 4 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux c) ϕ(a b) = a b 1 = a b 1 1 = a 1 b 1 = ϕ(a) ϕ(b). d) ϕ(a) = ϕ(b) a 1 = b 1 a = b. On en déduit que ϕ est bien un morphisme d anneaux injectif. Conséquence : On identifie Z à ϕ(z) dans Q, c est-à-dire qu on notera simplement l élément a/1 de Q sous la forme a. Revenons alors au problème en introduction : ax = b a 1 x = b ( a ) 1 1 x = b 1 1 = 1 a b 1 = b a Q, et le corps ainsi créé correspond bien à ce qu on attendait de lui Q bien ordonné Définition 4 : On définit Q + = {a/b,ab 0} et Q = {a/b,ab 0}. Si r Q + (resp. Q ), on dit que r est positif (resp. négatif). Proposition 5 : (i) Q + et Q sont stables par addition ; (ii) Si r 1, r 2 Q + (ou Q ), alors r 1 r 2 Q +, et si r 1 Q +, r 2 Q, alors r 1 r 2 Q ; (iii) Q = Q + Q et Q + Q = {0}. (i) r 1 + r 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 = a 1b 2 +a 2 b 1 b 1 b 2, qui est du signe de a 1 b 1 b a 2b 2 1 b 2, positif par hypothèse si r 1, r 2 Q + et négatif si r 1, r 2 Q. (ii) On montre juste le premier cas. r 1 r 2 = a 1 positif, par hypothèse. b 1 a2 b 2 = a 1a 2 b 1 b 2, qui est du signe de a 1 a 2 b 1 b 2, c est-à-dire (iii) Q + Q et Q Q, donc Q + Q Q. Réciproquement, soit r = a/b est un élément de Q. Si a b, alors r Q + et sinon, r Q. D où Q Q + Q. Enfin, r Q + Q ab 0 et ab 0 ab = 0 a = 0. La dernière implication est justifiée par le fait que b 0 (d après la définition d un nombre rationnel) et que Z est intègre. Proposition 6 : La relation définie pour tout (x, y) Q 2 par x y x y Q + est une relation d ordre totale sur Q. Elle est compatible avec + et pour r Q +. Cette relation est clairement réflexive et transitive. Elle est totale car Q + Q = Q. En effet, si r 2 r 1 Q +, alors r 2 r 1, sinon on a r 1 r 2 Q +, donc r 1 r 2. Proposition 7 : Q est dénombrable.

5 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux 5 Soit r Q, r = a/b avec (a, b) Z N et a b = 1. L application ϕ : Q Z N r (a, b) est injective. N et Z sont dénombrables, donc Z N aussi, et donc Q aussi Définition 5 : Soit r Q. On définit la valeur absolue de r, notée r, par r = { r si r Q +, r si r Q. Proposition 8 : La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes (r, p Q) : (i) r = 0 r = 0 et r 0 ; (ii) p + r p + r ; (iii) pr = p r. Séparer les cas : distinguer r positif ou négatif pour (i) ; p, r Q +, p, r Q et p Q +, r Q pour (ii) et (iii). Prolongement Nous savons désormais résoudre les équations du type ax = b, avec (a,b) Z 2. Mais qu en est-il des équations du type x 2 = a, a Z? Les solutions sont-elles toutes contenues dans le corps que nous venons de construire? Etudions par exemple de plus près l équation x 2 = 2, et montrons que sa solution n est pas un nombre rationnel. Supposons le contraire, de sorte qu elle s écrive sous la forme x = a/b, avec (a,b) Z N et a b = 1, et où x est tel que x 2 = 2. Alors a 2 b 2 = 2 a2 = 2b 2 2 a 2 2 a. a s écrit donc sous la forme a = 2a. Mais alors on a aussi 4a 2 = 2b 2 2a 2 = b 2 2 b 2 2 b,

6 6 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux donc b peut aussi s écrire sous la forme b = 2b, ce qui contredit l hypothèse que a/b soit une fraction irréductible. L «agrandissement» de ce corps, dans lequel ce type d équation trouvera des solutions, sera l objet d une autre leçon. Il s agit du corps des réels Définition de D et premières propriétés Définition 6 : Un nombre rationnel d est dit décimal s il existe deux entiers m Z et n N tels que On note D l ensemble de ces nombres décimaux. Conséquence immédiate : Z D Q. d = m 10 n. Proposition 9 : Soit x = a/b un élément de Q, avec a et b premiers entre eux. Alors x est décimal si et seulement s il existe deux entiers naturels α et β tels que b = 2 α 5 β. " " Supposons que l élément x Q soit décimal. Par définition, il existe deux entiers m Z et n N tels que x = a b = m 10. D où a10 n = mb. Puisque a et b sont premiers entre eux, il vient n par le théorème de Gauss que b divise 10 n = 2 n 5 n, donc b est de la forme 2 α 5 β, avec α, β n. " " Supposons maintenant qu il existe α, β N tels que b = 2 α 5 β. Distinguons alors trois cas : Si α = β, alors a b = a 10 α, a Si α > β, alors 2 α 5 β = a5α β 10α, a Si α < β, alors 2 α 5 β = a2β α 10β. Dans les trois cas, on se ramène à la définition pour conclure que x D. Théorème 2 : (D, +, ) est un sous-anneau de Q. La conséquence ci-dessus nous assure déjà que D n est pas vide. Soient alors d = m/10 n et d = m /10 n deux éléments de D. On a alors D où le résultat. d + d = m 10 n + m = m10n + m 10 n D, 10 n 10 n+n d d = m 10 n m 10 n = mm 10 nn D.

7 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux 7 Remarques 3 : L élément 3 D n admet pas d inverse pour la loi. En effet, 1/3 D, et on en déduit que (D, +, ) n a pas de structure de corps ; Un nombre décimal d est inversible si et seulement s il est de la forme d = ±2 α 5 β, avec α, β Z (conséquence de la proposition 1) Approximation d un rationnel Théorème 3 : Soient x Q et n N. Il existe un unique entier relatif p n = [10 n x] tel que p n 10 x < p n + 1 n 10. (15.1) n En effet, p n 10 n x < p n n p n 10 n x < p n + 1 p n = [10 n x]. Remarquons que le rationnel 10 n x est encadré par deux entiers consécutifs, et l inégalité telle quelle suggère que l unique entier (membre de gauche) en question est la partie entière du rationnel. Définition 7 : Le nombre p n /10 n est appelée valeur décimale approchée par défaut de x à 10 n près, et (p n + 1)/10 n sera appelé valeur décimale approchée par excès de x à 10 n près. Corollaire 1 : D est dense dans Q. La double inégalité p n 10 n a b < p n n bp n a10 n < b(p n + 1) exprime que bp n est le quotient de la division euclidienne de a par b, d où l existence et l unicité. La suite est une copie de la démonstration du théorème précédent. Théorème 4 : Soit x Q +. Il existe une unique suite (a n ) n N d entiers naturels telle que : (i) n 1, a n {0,..., 9} et a 0 Z, (ii) Il n existe pas d entier naturel N tel que pour tout n > N, a n = 9, (iii) n N, a 0 + a a n 10 n x < a 0 + a a n 10 n n. Soit u n la valeur décimale approchée par défaut de x à 10 n près. La double inégalité en (iii) se réduit alors à l égalité u n = a 0 + a a n 10 n.

8 8 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux Soit m = u n 10 n N. Alors on a l équivalence suivante : u n = m 10 n = a 0 + a a n 10 n m = a 0 10 n + a 1 10 n a n a n. Cette dernière équation n admet qu une unique solution dans N [0...9] n, par unicité de l écriture en base 10. Montrons encore que les coefficients a i sont indépendants du rang choisi. Autrement dit, montrons que (a i ) 0in sont les mêmes au rang n et n + 1. Supposons qu on ait au rang n + 1 la double-inégalité b b n 10 n + b n+1 10 n+1 x < b b n 10 n + b n+1 10 n n+1. Or, puisque b n+1 9, on aura nécessairement b n+1 10 n n n, et notre double-inégalité devient b b n 10 n + b n 10 n x < b b n 10 n n. L unicité de la solution (a 0,...,a n ) de la relation du (iii) au rang n nous permet d affirmer que pour tout i [0...n], a i = b i. Supposons enfin qu il existe un entier naturel N tel que tout n N vérifie a n = 9. Quitte à effectuer une multiplication par une combinaison linéaire de puissances de 10, on est ramené à étudier le cas particulier 0, Or 0, 999 = n n = 9 10 n0 ( ) 1 n = = 1, et l inégalité (iii) n est plus vraie pour tout n alors, car les membres de gauche et de droite sont égaux, ce qui est contradictoire. Définition 8 : Dans ce cas, par passage à la limite, x = + n=0 a n 10 n, et l on dit que c est le développement décimal illimité (noté par la suite DDI) propre de x, et on note de manière plus commode x = a 0,a 1 a 2 a 3... Remarques 4 : Un développement décimal illimité est dit impropre s il ne vérifie pas le théorème 4. Par exemple, 1 = 1, 000 = 0, 999. Le premier est propre, le second est impropre ; Si x Q, on détermine alors le DDI propre de x Q +, par exemple x = x 0, x 1 x L on pose alors x = x 0, x 1 x Compléments et prolongements possibles Non dénombrabilité de R Proposition 10 : R est non dénombrable.

9 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux 9 Supposons que R soit dénombrable. On aurait alors l égalité [0, 1] = {x i, i N} où x i = 0, a i,1 a i,2.... Soit alors x = 0, b 1 b 2... un réel tel que b i a i,i pour tout entier naturel i 1 (facile à construire!). Alors l égalité x = x i entraîne nécessairement b n = a i,n pour tout n 1. En particulier, lorsque n = i, on aura b i = a i,i, ce qui est contradictoire. Ainsi [0, 1], et R par extension, n est pas dénombrable Théorème de la borne supérieure Le DDI propre d un réel peut être utilisé pour introduire axiomatiquement le corps des réels. Encore faut-il montrer la célèbre théorème de la borne supérieure!!! Lemme : On a l équivalence suivante a 0,a 1 a 2... < b 0,b 1 b 2... k N { ai = b i, i [0,k 1], a k < b k. " " Soient x = a 0 + a a k + et y = a 10 k a k 1 + b 10 k 1 k +. Alors x < ξ, où 10 k ξ = a 0 + a a ( k 9 10 k + 10 k ) 10 k+2 + (car a i < b i 9 pour i N) = a 0 + a 1 10 k 1 + a k 10 k k a 0 + a 1 10 k 1 + b k y. 10k " " Posons k = min{i N a i b i }. Alors a k > b k ou a k < b k. Supposons que ce soit le premier cas, alors a 0 + a 1 10 k 1 + b k 10 k + a 0 + a 1 10 k 1 + b ( ) k 9 10 k + 10 k+1 + = a 0 + a 1 10 k 1 + b k 10 k k a 0 + a 1 10 k 1 + a k 10 k a 0 + a 1 10 k 1 + a k 10 k + En reprenant les notations précédentes, on aurait y x, ce qui est absurde. Au final, on a bien a k < b k. Théorème 5 : Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure.

10 10 Construction du corps Q des rationnels et nombres décimaux Soit A une partie de R + non vide et majorée, de majorant M. Considérons l ensemble E 0 = {[x], x A}. A étant non vide, il contient au moins un élément x dont on peut extraire la partie entière, et il vient que E 0 n est pas vide. C est une partie incluse dans N et majorée par M (en effet, si x = M, alors [x] = M), dnoc possède un plus grand élément que l on note s 0. Considérons maintenant l ensemble E 1 = {a 1 [0...9] x = s 0, a 1 a 2 a 3...} (non vide car A n est pas vide implique que tout x de A possède un DDI), qui est une partie de N majorée par 9, et possède donc un plus grand élément note s 1. On montre ainsi que pour tout n 1, l ensemble E n construit par récurrence par E n = {a n [0...9] x = s 0, s 1...s n 1 a n a n+1...} possède un plus grand élément noté s n, et l on aboutit ainsi à x = s 0, s 1...s n.... C est le lemme précédent qui nous assure que ce nombre s 0, s 1...s n... est la borné supérieure recherchée.