Les ensembles de nombres

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Les ensembles de nombres"

Transcription

1 Les ensembles de nombres - Thème TM er septembre 2010 Ce résumé présente les différents ensembles de nombres qu il est indispensable de connaître et dont il faut comprendre la construction. Table des matières 1 Opérations 1 2 Les nombres naturels 2 3 Les entiers relatifs 2 4 Les nombres rationnels 2 5 Les nombres réels 3 6 Exercices 4 7 Solutions 5 1 Opérations Définition 1.1 (Opération). Une opération est composée d un ou plusieurs opérandes, d un opérateur et d un résultat. Il n est pas nécessaire que les opérandes et le résultat appartiennent au même ensemble de nombres. De manière générale on a : a b = c où a,b sont les opérandes, l opérateur et c le résultat. 3+( 6) = 3 (3 et 6 sont les opérandes, + est l opérateur et 3 est le résultat) 45 2 = 90 (45 et 2 sont les opérandes, * est l opérateur et 90 est le résultat) 90 4 = 22.5 (90 et 4 sont les opérandes, l opérateur est la division et 22.5 est le résultat) Définition 1.2 (Opération stable). On appelle opération stable, une opération pour laquelle les opérandes et le résultat appartiennent au même ensemble de nombres. 1

2 2 Les nombres naturels L ensemble des nombres naturels est noté N. L ensemble N est l ensemble des nombres de un jusqu à l infini non compris. On le note ainsi : N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} Personnellement je préfère éliminer le zéro de l ensemble des nombres naturels. Le zéro est l élément neutre pour l addition et qui dit addition dit opération, qui dit opération dit structure, l ensemble N n en possède pas. N n est qu une énumération des nombres à partir de 1. Pour cette raison, l ensemble des nombres naturels ne devrait être utilisé que pour la numérotation des éléments d un ensemble, les termes d une suite, les sommes partielles d une série ou pour l indexation des éléments d une matrice etc. Indexation des éléments d une matrice : ( a11 a A = 12 a 21 a 22 Définition d une suite : ) a 0 = 1 et a n+1 = (1+ 1 a n ) pour n N ce qui donne l ensemble (a n ) = {1,2, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8,...} C est un ensemble qui se prête mal aux opérations. Par exemple (3 5) n a pas de résultat dans N, l opération ainsi définie n est pas stable. 3 Les entiers relatifs L ensemble des entiers relatifs est noté Z. Il est construit à partir des nombres naturels. On ajoute à ces derniers zéro et les opposés des nombres déjà existants, ce qui nous donne l ensemble Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...} En introduisant les nombres négatifs, la soustration devient une opération stable dans Z. 4 Les nombres rationnels L ensemble des nombres rationnels est noté Q. L ensemble Q se définit de manière suivante : Q = { a a Z,b N et a,b sont premiers entres eux} b Ce qui se lit : L ensemble Q est l ensemble de toutes les fractions a, telles que a est un entier relatif et b b un nombre naturel (non nul si l on considère zéro comme étant nombre naturel). Il faut insister sur le fait que a et b doivent être premiers entres eux (fraction irréductible). 2

3 6 est le nombre rationnel 3, il faut toujours rendre une fraction irréductible est l entier relatif n appartient à aucun ensemble. La division par zéro n a aucun sens 1. 0 Dans Q la division devient une opération stable. Il reste cependant encore des opérations qui ne sont pas stables dans Q. Prenons par exemple l opérateur et l opérande 2, le résultat de cette opération qui est 2 fait partie des nombres dits irrationnels. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être mis sous forme d une fraction. Les nombres 3,π,e, 12 en sont des exemples. Mais comment être sûr, par exemple, que 2 n est pas rationnel? Rappels : 1. Dans un nombre rationnel (autrement dit une fraction irréductible), le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. C est à dire que leur plus grand dénominateur commun (pgdc) est La racine carrée d un nombre pair est un nombre pair. Démonstration: Nous allons utiliser une méthode qui s avère utile lorsqu une démonstration directe n est pas possible, la démonstration par l absurde. 2 Supposons que 2 soit un nombre rationnel. C est à dire que 2 = m. En mettant n le tout au carré nous obtenons que 2 = ( m n )2 = m2 ou encore que m 2 = 2n 2. m 2 est donc n 2 un nombre pair puisque c est un multiple de 2. Si m 2 est pair alors m également (rappel 2). Donc on peut remplacer m par un multiple de 2, disons m = 2r. En remplaçant m = 2r dans 2 = m2 on obtient 2 = ( 2r n 2 n )2 = 4r2. En isolant n 2, on a n 2 = 4r2 = 2r 2. Si n 2 = 2r 2 n 2 2 alors n 2 est pair donc n également. Finalement nous avons que m et n sont pairs. Mais si m et n sont pairs alors 1 n est pas le pgdc de m et n par conséquent m n est pas un nombre rationnel (rappel 1). n Notre supposition est donc fausse. Si notre supposition est fausse alors sa négation est vraie, donc nous avons bien démontré que 2 est un nombre irrationnel. 5 Les nombres réels L ensemble des nombres réels R est l ensemble formé par les nombres irrationnels et rationnels, c est un ensemble qui a une importance fondamentale en mathématiques par le fait qu il est complet. Je ne rentrerai pas dans le détail de la complétude d un ensemble, il faut se souvenir simplement qu un ensemble complet est un ensemble dans lequel il n y a pas de "trou". Cependant malgré la complétude de R, il existe des équations n y ayant pas de solution. Par exemple x 2 +4 = 0 n a pas de solution dans R. 1. Diviser 5 par 0, revient à se demander combien de fois on peut mettre zéro dans 5! 2. Voir résumé "Logique, ensembles et éléments" 3

4 Pour remédier à cet état de fait nous allons devoir définir encore un autre ensemble de nombres qui est l ensemble des nombres complexes noté C. L étude de cet ensemble sera omis dans ce résumé, retenez simplement qu à l instar du radical ( 2) pour désigner la racine carrée de 2 dans R, on défini dans C le symbole i = 1. (voir résumé sur les nombres complexes). La figure 1 donne un diagramme des différents ensembles de nombres. On notera que chaque ensemble nouvellement défini contient les ensembles qui ont déjà étés définis. Figure 1: N Z Q R C 6 Exercices Exercice 6.1. La soustraction est-elle stable dans N? Exercice 6.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z? Exercice 6.3. *Montrer à l aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans l expression m 2 = 2p 2, m 2 est pair, alors m également. Exercice 6.4. **Démontrer que 12 est un nombre irrationnel, c est à dire qu il ne peut pas être mis sous une forme la forme d une fraction p q. Exercice 6.5. *Comment est défini l ensemble des nombres décimaux? Redessiner la figure 1 en y incorporant cet ensemble que l on notera D. Difficulté : * assez difficile ** difficile *** très difficile 4

5 7 Solutions Exercice 7.1. La soustraction est-elle stable dans N? Solution: La soustraction n est pas une opération stable dans N. Il suffit de considérer l opération 4 6 = 2. 2 n appartient pas à N. Exercice 7.2. Quels opérations ne sont pas stables dans Z? Solution: Si nous reprenons l exercice 1.1, il nous est à présent clair que la soustraction est une opération stable dans Z car dans 4 6 = 2, 2 appartient à Z. Il existe cependant une opération non stable dans Z, c est la division. En effet le résultat de l opération 5 ne fait pas partie de Z, vu que 2.5 n est pas un entier relatif. 2 Exercice 7.3. *Montrer à l aide de la décomposition en facteurs premiers que si, dans l expression m 2 = 2p 2, m 2 est pair, alors m également. Solution: m 2 est pair évidemment puisque il est égale à un multiple de2en l occurence 2p 2. Pour affirmer que m est pair également on remarquera que le 2 dans l expression 2p 2 est forcément "accompagné" par un autre 2 dans la décomposition en nombres premiers de m 2. 2 étant est un nombre premier, il apparait deux fois dans la décomposition du carré d un nombre pair. Exercice 7.4. **Démontrer que 12 est un nombre irrationnel, c est à dire qu il ne peut pas être mis sous une forme la forme d une fraction p q. Solution: On remarque que 12 = 4 3 = 2 3, il suffit donc de prouver que 3 est un nombre irrationnel. Il faut avant tout prouver que si un nombre m 2 est un multiple de 3 alors m est également un multiple de 3. Ceci peut être fait en raisonnant identiquement que dans l exercice précédent. Essayons de prouver que p q = 3. (Démonstration par l absurde) p q = 3 p 2 q 2 = 3 p2 = 3q 2 ; p 2 est un multiple de trois donc p aussi. Remplaçons p par p = 3r et substituons dans p 2 q 2 = 3, nous avons alors p 2 q 2 = 3 (3r) 2 q 2 = 3 9r 2 q 2 = 3 q2 = 3r 2 à nouveau on a q 2 qui est un multiple de 3, donc q également. Si p et q sont des multiples de 3, alors p ne peut pas être un nombre rationnel puisque le pgcd de p et q est 3 et non q 5

6 pas 1 comme exigé par la définition des nombres rationnels. Finalement si p q = 3 est faux, nous en déduisons que p q 3 est vrai, autrement dit que 3 n est pas un nombre rationnel. Remarque: Cette démonstration peut paraître à première vue un peu étrange, cependant en la refaisant encore et encore on arrive à découvrir toute l élégance qu elle cache. On suppose que cette démonstration est due à Pythagore ou à l un de ses élèves il y a quelques deux milles ans. Exercice 7.5. *Comment est défini l ensemble des nombres décimaux? Redessiner la figure 1 en y incorporant cet ensemble que l on notera D. Solution: Soient les fractions 2 3 et 4. La première nous donne = (6 périodique) et la seconde = 0.8. Les deux appartiennent aux nombres rationnels, mais on désignera la deuxième comme faisant partie d un sous-ensemble des nombres rationnels, à savoir les nombres décimaux D. Les nombres décimaux sont les nombres rationnels dont la partie décimale se termine par une infinité de zéro à partir d un certain point. 6 = = appartient à Q mais pas à D. 7 1 = = appartient à Q et à D. 8 Le graphique sera alors : Figure 2: N Z D Q R 6

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES NUMERIQUES.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES NUMERIQUES. LES NOMBRES 1. Les entiers naturels. 1.1 Nature. Un entier naturel dénombre une collection d objets. Ainsi : 0 signifie aucun objet ; signifie objets 0 ; 1 ; ; constituent l ensemble des entiers naturels.

Plus en détail

RATIONNELS ET IRRATIONNELS IRRATIONALITE DE 2. Ensemble des nombres décimaux $ 12,57

RATIONNELS ET IRRATIONNELS IRRATIONALITE DE 2. Ensemble des nombres décimaux $ 12,57 THEME : RATIONNELS ET IRRATIONNELS IRRATIONALITE DE Rationnels - Irrationnels Ensemble des nombres réels π Ensemble des nombres rationnels Ensemble des nombres décimaux $ 5 π + 5,57-0,58 4 0 8 457 5 Ensemble

Plus en détail

les racines carrées :

les racines carrées : les racines carrées : 1) Introduction : il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c est 2. il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 9, c est 3. Existe il un nombre positif

Plus en détail

Chapitre I : Nombres - Ensembles et opérations

Chapitre I : Nombres - Ensembles et opérations Algèbre Chapitre I : Nombres - Ensembles et opérations I. Rappels du collège - règles de calcul 1. Notions d'opposé et d'inverse Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est égale à 0. Exercice : Donner

Plus en détail

Nombres-calcul algébrique

Nombres-calcul algébrique Les ensembles de nombres Notions de troisième et exemples. notations-symboles d appartenance et d inclusion L ensemble N = {0; ; ;...} est appelé ensemble des entiers naturels et se note N. L ensemble

Plus en détail

I. Nature des nombres

I. Nature des nombres Seconde Lycée Desfontaines Melle Cours 01 - Les nombres I. Nature des nombres Définitions : L ensemble des entiers naturels est l ensemble des entiers positifs. Il se note IN. On écrit alors IN={0;1;2;

Plus en détail

Les ensembles D. Daigle

Les ensembles D. Daigle Les ensembles D. Daigle 1. Notions de base La notation x A signifie que x est un élément de l ensemble A (elle se lit x est élément de A ou encore x appartient à A ). Remarquez que le symbole d appartenance

Plus en détail

Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres

Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d un nombre positif a est un nombre positif La racine carrée de a notée a est le nombre positif tel que a a = ( a )

Plus en détail

Mathématiques. Un ensemble est une collection d objets nommés éléments ou membres de l ensemble.

Mathématiques. Un ensemble est une collection d objets nommés éléments ou membres de l ensemble. ENSEMBLE DE NOMBRES I. Rappels sur les ensembles 1. Définitions Un ensemble est une collection d objets nommés éléments ou membres de l ensemble. Il est décrit : - par la liste de ces éléments (il est

Plus en détail

VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS. Deux méthodes de recherche sont proposées :

VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS. Deux méthodes de recherche sont proposées : VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS Construction d une table de multiplication : Deux méthodes de recherche sont proposées : Complète la table de multiplication ci-dessous en commençant par les

Plus en détail

CHAPITRE 1 : NOMBRES RÉELS. 2. NOMBRES RÉELS R ensemble de nombres réels, c est-à-dire des nombres qui sont soit rationnels, soit irrationnels

CHAPITRE 1 : NOMBRES RÉELS. 2. NOMBRES RÉELS R ensemble de nombres réels, c est-à-dire des nombres qui sont soit rationnels, soit irrationnels 1. NOMBRES IRRATIONNELS Nombres décimaux dont le nombre de chiffres après la virgule est infini et non périodique : Ils n ont pas une écriture rationnelle 2. NOMBRES RÉELS R ensemble de nombres réels,

Plus en détail

( En seconde ) Dernière mise à jour : Samedi 16 Août Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année )

( En seconde ) Dernière mise à jour : Samedi 16 Août Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année ) Généralités sur les nombres ( En seconde ) Dernière mise à jour : Samedi 16 Août 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2008-2009) -1- J aimais et j aime encore les mathématiques

Plus en détail

Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 juin 2016 à 11:51 Les ensembles de nombres Table des matières 1 Les nombres entiers 2 1.1 Les entiers naturels : N.......................... 2 1.2 Les entiers relatifs : Z...........................

Plus en détail

ENSEMBLES DE NOMBRES. I - Les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté N *

ENSEMBLES DE NOMBRES. I - Les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté N * ENSEMBLES DE NOMBRES Ne pas confondre «nombre» et «chiffre» Les nombres servent à dénombrer, calculer.les chiffres servent à écrire les nombres. Numération de position : Principe selon lequel la signification

Plus en détail

Racines carrées. Si a 0 alors ( a ) 2 =

Racines carrées. Si a 0 alors ( a ) 2 = Collège Elie COUTAREL Année 009-010. G.MANDALLAZ. Ecrit avec L A TEX Racines carrées 1 Définition Définition 1 On appelle racine carrée du nombre a supérieur ou égal à 0, noté a, le nombre positif dont

Plus en détail

1 R et la droite graduée

1 R et la droite graduée π 31415965358979338466433837950884197169399375105809749445930781640686089986803485341170679 1 R et la droite graduée R - Intervalles L ensemble qui contient tous les nombres est appelé l ensemble des Réels

Plus en détail

Chapitre 1 : CALCUL NUMERIQUE

Chapitre 1 : CALCUL NUMERIQUE Introduction. Ce chapitre a pour but de faire une révision complète et rapide sur l ensemble des connaissances calculatoire de l élève, supposées déjà acquises. Il est fondamental de maîtriser chaque règle

Plus en détail

LES FONDEMENTS : LA LOGIQUE ET LES ENSEMBLES

LES FONDEMENTS : LA LOGIQUE ET LES ENSEMBLES LES FONDEMENTS : LA LOGIQUE ET LES ENSEMBLES 1. LES PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES Faire des mathématiques, c est faire avant tout des raisonnements, c est à dire partir d une ou plusieurs hypothèses et par

Plus en détail

À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d autres grâce aux connecteurs

À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d autres grâce aux connecteurs Assertion Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui peut être «vraie» ou «fausse», mais jamais les deux à la fois. Exemples: (3 > 0), (3 = 0) sont des assertions. L énoncé «L avenue des Champs

Plus en détail

CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET PROBLÈMES

CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET PROBLÈMES CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET PROBLÈMES R et ses sous-ensembles, intervalles sur R «Le nombre entier vient de Dieu Tout le reste est l œuvre de l Homme» Kronecker (1823-1891) Les entiers naturels

Plus en détail

Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires

Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires I- Les entiers et l addition des relatifs : La première famille de nombres que vous avez rencontrée dans votre vie est celle des entiers naturels : 0

Plus en détail

1 ère S. ch1. Introduction à la logique. J. TAUZIEDE. INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE.

1 ère S. ch1. Introduction à la logique. J. TAUZIEDE. INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE. 1 ère S. ch1. Introduction à la logique. J. TAUZIEDE. INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE. I- IMPLICATION- EQUIVALENCE. 1 ) Proposition. Définition 1. On appelle proposition mathématique, une phrase

Plus en détail

Racines carrées Nombres réels

Racines carrées Nombres réels I. Quelques rappels : 1. Ensemble des entiers naturels : Racines carrées Nombres réels Les nombres naturels ou entiers naturels servent à dénombrer les objets. L ensemble des entiers naturels est noté

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels 5. Ordre des opérations 6. Nombres premiers.5 Opérations sur les fractions 8.6 Puissances entières. Notation scientifique.8

Plus en détail

Algèbre. Equations du premier degré à une inconnue

Algèbre. Equations du premier degré à une inconnue Equations du premier degré à une inconnue 1. Résolution graphique d équations Une méthode (pas toujours précise) pour résoudre une équation est de dessiner les graphes des fonctions représentées par le

Plus en détail

Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs)

Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs) Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs) Plan de la séquence : I- Rappels de 4ème: 1) Calculs 2) Fractions 3) Nombres relatifs 4) Puissances a) Définition b) Propriétés c) Calculs d expressions d)

Plus en détail

CALCUL NUMERIQUE I. ENSEMBLES DE NOMBRES. a.) Entiers naturels

CALCUL NUMERIQUE I. ENSEMBLES DE NOMBRES. a.) Entiers naturels CALCUL NUMERIQUE I. ENSEMBLES DE NOMBRES a.) Entiers naturels Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels. Par contre 45 n'en est pas un.

Plus en détail

DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 septembre 2014 à 23:33. Les nombres. 1 Introduction 2

DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 septembre 2014 à 23:33. Les nombres. 1 Introduction 2 DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 septembre 014 à 3:33 Les nombres Table des matières 1 Introduction Les entiers naturels : N.1 Règles de divisibilité............................ Décomposition en nombres premiers..................

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1. Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynôme Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ] Allez à

Plus en détail

Un exemple de cours : Racine carrée et Compléments.

Un exemple de cours : Racine carrée et Compléments. Un exemple de cours : Racine carrée et Compléments. C est un des premiers symboles «bizarres» que l on rencontre au collège que le symbole " ". Que signifie t il? A quoi peut il servir? Comment s en sert

Plus en détail

Les racines carrées. Pour cela, il doit connaitre les longueurs de côté de chacun des carrés ; aide-le à les trouver.

Les racines carrées. Pour cela, il doit connaitre les longueurs de côté de chacun des carrés ; aide-le à les trouver. 1 Les racines carrées A. Activité de découverte Henry veut construire différents enclos carrés pour ses animaux. Il possède des lapins, des chèvres et des poules. Pour les lapins, il veut construire un

Plus en détail

1. Les Nombres. a b. Exercice 1 : Comment faut-il compléter ces égalités pour obtenir des fractions équivalentes?

1. Les Nombres. a b. Exercice 1 : Comment faut-il compléter ces égalités pour obtenir des fractions équivalentes? . Les nombres rationnels (les fractions) - - Les nombres. Les Nombres Définition : Une fraction est une expression de la forme avec a et b des nombres entiers. a b Une fraction est aussi appelée nombre

Plus en détail

Cours de Troisième / Arithmétique. E. Dostal

Cours de Troisième / Arithmétique. E. Dostal Cours de Troisième / Arithmétique E. Dostal juillet 2014 Table des matières 1 Arithmétique 2 1.1 Ensembles de Nombres...................................... 2 1.2 Nombres Entiers Naturels....................................

Plus en détail

A. Le Tage 2. Compte tenu de la durée des QCM et du temps nécessaire au passage d une série de questions à une autre, l épreuve dure au total 1 h 55.

A. Le Tage 2. Compte tenu de la durée des QCM et du temps nécessaire au passage d une série de questions à une autre, l épreuve dure au total 1 h 55. A. Le Tage 2 Le TAGE 2 (TEST D APTITUDE A LA GESTION DES ENTREPRISES 2) n ouvre par lui-même l accès à aucune école mais est l une des épreuves obligatoires pour nombre d entre elles. Il constitue notamment

Plus en détail

CH I) Les nombres. 3 ; 5 ; 9 ; 217 sont des entiers naturels, ils sont écrits à partir des 10 chiffres {0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }.

CH I) Les nombres. 3 ; 5 ; 9 ; 217 sont des entiers naturels, ils sont écrits à partir des 10 chiffres {0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }. CH I) Les nombres I) Les ensembles de nombres 1) Les entiers naturels N : ; 5 ; 9 ; 17 sont des entiers naturels, ils sont écrits à partir des 10 chiffres {0 ;1 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }. ) Les entiers

Plus en détail

Arithmétique. Ensembles de nombres, opérations sur les nombres et priorités des opérations

Arithmétique. Ensembles de nombres, opérations sur les nombres et priorités des opérations Ensembles de nombres, opérations sur les nombres et priorités des opérations 1. Ensembles de nombres Nombres entiers naturels 1; 2; 3; 4; 5;... sont les premiers nombres que l on apprend déjà avant d entrer

Plus en détail

Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours

Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours Préparation accélérée CRPE Mathématiques Exercice 1 1. Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours 1 1 9 ; ;,14 ; 5 5 15 ; 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un

Plus en détail

CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations

CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations A) Les nombres 1) Historique Au départ, les nombres ont été inventés pour compter les objets : 1, 2, 3, 4 etc... On les appelle maintenant les entiers

Plus en détail

ARITHMETIQUE P.G.C.D. Dans ce chapitre, les nombres considérés seront des entiers naturels ( donc positifs )

ARITHMETIQUE P.G.C.D. Dans ce chapitre, les nombres considérés seront des entiers naturels ( donc positifs ) THEME : ARITHMETIQUE P.G.C.D. EUCLIDE Dans ce chapitre, les nombres considérés seront des entiers naturels ( donc positifs ) DIVISION EUCLIDIENNE Faire une division, c est calculer un quotient. Par exemple,

Plus en détail

Le cube et la racine cubique

Le cube et la racine cubique Mathématiques e sec : Chapitre Les nombres réels et leurs propriétés Nom : Groupe : Le cube et la racine cubique Le symbole signifie «racine cubique». Extraire la racine cubique consiste à chercher le

Plus en détail

Chapitre 1 : Plus Grand Commun Diviseur ou P G C D

Chapitre 1 : Plus Grand Commun Diviseur ou P G C D Chapitre 1 : Plus Grand Commun Diviseur ou P G C D Le PGCD est utilisé pour simplifier des fractions et pour résoudre des problèmes de partage de deux quantités à la fois. Exemple : Pour partager bonbons

Plus en détail

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b.

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b. PGCD de deux entiers naturels Diviseurs communs à deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls. L ensemble des diviseurs communs à a et b est une partie de Z non vide

Plus en détail

mai triser les opérations sur les fractions ; nombre décimal, période, nombre rationnel ;

mai triser les opérations sur les fractions ; nombre décimal, période, nombre rationnel ; En normal, ce qui doit être connu comme «couche de fond» En gras le champ spécifique de la semestrielle de décembre En italique ce qui est explicitement exclu du champ de la semestrielle de décembre Chapitre

Plus en détail

Exo7. Arithmétique dans Z. 1 Divisibilité, division euclidienne

Exo7. Arithmétique dans Z. 1 Divisibilité, division euclidienne Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l on a 96842 = 256 375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des

Plus en détail

N27 Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple 4 ème 3 ème 34 Développer une expression en utilisant la double.

N27 Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple 4 ème 3 ème 34 Développer une expression en utilisant la double. N Thème Numéro Titre de la leçon Niveau Page Enchainement d'opérations Nombres relatifs Fractions Divisibilité Racines carrées Puissances Calcul littéral N1 Calculer une expression SANS parenthèses 5 ème

Plus en détail

Chapitre 12 : Opérations sur les fractions

Chapitre 12 : Opérations sur les fractions Chapitre : Opérations sur les fractions ) Egalité de deux fractions (rappel) : Exemple : Exemple : 4 = 8 Le numérateur et le dénominateur de la fraction 4 ont été multipliés par. 4 = x 4 x = 8 C est vrai

Plus en détail

Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD

Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD I. Ensembles de nombres 1/ Les nombres entiers Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule. 12 4 ; 3,1 102

Plus en détail

Puissances de 10. Exercices : Quelle est l aire d un carré de 10 cm de côté? Notation : Lecture : Quel est le volume d un cube de 10 cm d arête?

Puissances de 10. Exercices : Quelle est l aire d un carré de 10 cm de côté? Notation : Lecture : Quel est le volume d un cube de 10 cm d arête? Puissances de 0. I- Activité préliminaire : Exercices : Quelle est l aire d un carré de 0 cm de côté? Notation : Lecture : Quel est le volume d un cube de 0 cm d arête? Notation : Lecture : Vocabulaire

Plus en détail

1 Priorités sur les opérations

1 Priorités sur les opérations OBJECTIFS du chapitre Numéro Arithmétique Pour toi N1 Mener des calculs avec des expressions numériques N2 Mener des calculs avec des fractions N3 Utiliser les puissances de 10 et déterminer l écriture

Plus en détail

FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 3 ET CORRIGÉ

FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 3 ET CORRIGÉ FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 ET CORRIGÉ TABLE DES MATIÈRES I 1.0 NOMBRES RATIONNELS... 1 1.1 Reconnaître les nombres rationnels... 1 1.2 Comparer des nombres rationnels... 5 1. Représenter les nombres

Plus en détail

Logique - Calcul propositionnel

Logique - Calcul propositionnel Logique 1/ 6 Logique - Calcul propositionnel En mathématiques, les théorèmes sont des propriétés très importantes. Ils s écrivent le plus souvent à l aide de liens logiques liant entre elles des propositions.

Plus en détail

Révisions mathématique- 1 ère année

Révisions mathématique- 1 ère année Révisions mathématique- 1 ère année Chapitre 4 : Solides et objets dans l espace 1. Voici une série de solides. Objet 1 Objet 2 Objet 3 Objet 4 Nom des solides Est-ce un polyèdre? Est-ce un prisme droit?

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 6. Arithmétique dans Z

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 6. Arithmétique dans Z Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 6 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Combien 15! admet-il de diviseurs? Exercice 2 Trouver le reste de la division par 13

Plus en détail

Chapitre 1 : Diviseurs et multiples.

Chapitre 1 : Diviseurs et multiples. Chapitre 1 : Diviseurs et multiples. 1. Chiffre et nombre : a. Chiffre : Ce sont les symboles utilisés pour écrire les nombres. Dans notre système (système décimal), il y a 10 chiffres distincts qui permettent

Plus en détail

CHAPITRE 1 INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

CHAPITRE 1 INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE CHAPITRE 1 INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE Les mathématiques demandent une grande rigueur dans l exposition des résultats et des démonstrations. Si l intuition et la persuasion sont des outils indispensables

Plus en détail

Les nombres. Paul Milan. LMA seconde le 17 septembre Introduction 2

Les nombres. Paul Milan. LMA seconde le 17 septembre Introduction 2 TABLE DES MATIÈRES Les nombres Paul Milan LMA seconde le 7 septembre 0 Table des matières Introduction Les entiers naturels :N. Règles de divisibilité............................. Décomposition en nombres

Plus en détail

Notes Chapitre 2 Les Nombres Rationnels. 2.1 Les Nombres Rationnels p. 46

Notes Chapitre 2 Les Nombres Rationnels. 2.1 Les Nombres Rationnels p. 46 Notes Chapitre 2 Les Nombres Rationnels 2.1 Les Nombres Rationnels p. 46 Un nombre rationnel peut s écrire sous la forme a b nombres entiers, b 0. (C est possible de s exprimer en forme fractionnaire..

Plus en détail

AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO

AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO Soit a un entier strictement plus grand que 1. Notons N a = {0,1,...,a 1}. Définition On dira qu un nombre réel positif x est de classe a,

Plus en détail

Chapitre 5 Puissances - Cours -

Chapitre 5 Puissances - Cours - - Cours - I. Puissance entière d'un nombre. Puissances positives Définition : Pour tout nombre relatif a et pour tout nombre entier naturel n non nul, on a : a n = a a a a a a apparait n fois a n est une

Plus en détail

Les Romains utilisaient le code suivant: I V X L C D M. pour désigner "chez nous" :

Les Romains utilisaient le code suivant: I V X L C D M. pour désigner chez nous : LES CHIFFRES ROMAINS chiffre(s), romain(s), compter, grec 1 Les Romains utilisaient le code suivant: I V X L C D M pour désigner "chez nous" : 1 5 10 50 100 500 1000 Nous les utilisons encore parfois (histoire,

Plus en détail

Cours de Mathématiques 3è. Harold Erbin

Cours de Mathématiques 3è. Harold Erbin Cours de Mathématiques 3è Harold Erbin Ce texte est publié sous la licence libre Licence Art Libre : http://artlibre.org/licence/lal/ Contact : harold.erbin@gmail.com Version : 29 novembre 2009 Sommaire

Plus en détail

Arithmétique. Nombres rationnels et opérations

Arithmétique. Nombres rationnels et opérations Nombres rationnels et opérations Nombres rationnels ou fractions Un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers (le diviseur est différent de zéro) Exemple: : = 0,7 Au lieu d'écrire le résultat

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 : Principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence 1 I Exemple introductif On considère les suites de terme général : n (n + 1) u n = 0 + 1 + + (n

Plus en détail

Ensembles de nombres Ordre dans R

Ensembles de nombres Ordre dans R Chapitre 1 Ensembles de nombres Ordre dans R 1. Différents ensembles de nombres 1.1) Des nombres de différentes natures Exemple : Les différentes écritures suivantes désignent un même nombre 2,8 : 7 10

Plus en détail

( Spécialité Maths) Terminale S

( Spécialité Maths) Terminale S 007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Généralités et raisonnement ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Vendredi 13 Septembre 007 Vincent OBATON, Enseignant

Plus en détail

LES PUISSANCES. Qu'est-ce qu'une puissance?

LES PUISSANCES. Qu'est-ce qu'une puissance? LES PUISSANCES Qu'est-ce qu'une puissance? Un nombre soumis à une puissance (ou exposant) revient simplement à dire qu'il se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique la puissance (ou exposant)

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013 Envoi Numéro 3 Corrigé 1 Exercices Juniors Exercice 1. On appelle diviseur propre d un entier n un diviseur positif de n qui est différent de 1 et de n.

Plus en détail

Révision d algèbre. Table des matières. 1 Équation du premier degré 2

Révision d algèbre. Table des matières. 1 Équation du premier degré 2 Révision d algèbre Table des matières 1 Équation du premier degré 2 2 Équation se ramenant au premier degré 2 2.1 Équation rationnelle............................. 2 2.2 Par une factorisation............................

Plus en détail

Nombres premiers. Résolution de problèmes

Nombres premiers. Résolution de problèmes Nombres premiers Résolution de problèmes 1 Le nombre de diviseurs positifs d un entier 1. Non : 4 a 3 diviseurs et 5 n en a que. 1 a un seul diviseur. 60, 7, 84, 90 et 96 ont 1 diviseurs.. a. Ils sont

Plus en détail

Divers raisonnements en mathématiques ( Spécialité Maths) Terminale S

Divers raisonnements en mathématiques ( Spécialité Maths) Terminale S 008 009 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Divers raisonnements en mathématiques ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Jeudi 4 Septembre 008 Vincent OBATON,

Plus en détail

logique I démonstration et théorie axiomatique 2 1 généralités 2 2 proposition, prédicat simple 2

logique I démonstration et théorie axiomatique 2 1 généralités 2 2 proposition, prédicat simple 2 logique Table des matières I démonstration et théorie axiomatique 1 généralités proposition, prédicat simple 3 prédicats composés 3 3.1 prédicat de négation....................................... 3 3.

Plus en détail

3.1 Représentons les nombres décimaux

3.1 Représentons les nombres décimaux 3.1 Représentons les nombres décimaux Résultats d apprentissage : Représenter les nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre qui possède un nombre fini de chiffre après la virgule. Le nombre 7 601,345

Plus en détail

Nombres premiers. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2012 CONTENU : Cours et exercices. - Nombres premiers -

Nombres premiers. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2012 CONTENU : Cours et exercices. - Nombres premiers - DOMAINE : Arithmétique AUTEUR : Irène MARCOVICI NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 0 CONTENU : Cours et exercices Nombres premiers - Nombres premiers - Définition (Nombres premiers). Un entier naturel

Plus en détail

4.1 L ensemble des réels est un corps ordonné

4.1 L ensemble des réels est un corps ordonné Table des matières 4 Propriétés de R 4. L ensemble des réels est un corps ordonné....................... 4.. Propriétés d ordre de R............................. 4..2 Valeur absolue..................................

Plus en détail

La division euclidienne

La division euclidienne DOCUMENT 2 La division euclidienne La division euclidienne joue un role central en arithmétique. Comme c est l un des tous premiers résultats que l on démontre, il est important de savoir exactement ce

Plus en détail

Mathématique 306. Section 1.1 La racine cubique, la notation exponentielle et les lois des exposants. Section 1.2 La notation scientifique

Mathématique 306. Section 1.1 La racine cubique, la notation exponentielle et les lois des exposants. Section 1.2 La notation scientifique Mathématique 06 Chapitre 1 LES NOMBRES Section 1.1 La racine cubique, la notation exponentielle et les lois des exposants Section 1.2 La notation scientifique Section 1. Les ensembles de nombres Cahier

Plus en détail

3 ème Chapitre A 2 NOMBRES RATIONNELS, IRRATIONNELS PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS. 1) Schéma représentant les différents ensembles de nombres.

3 ème Chapitre A 2 NOMBRES RATIONNELS, IRRATIONNELS PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS. 1) Schéma représentant les différents ensembles de nombres. 1 I) Le point sur les nombres. 1) Schéma représentant les différents ensembles de nombres. entiers naturels IN entiers relatifs Z décimaux D rationnels IQ réels IR irrationnels 2 2) Définitions des différents

Plus en détail

C3T3 PGCD - Puissances

C3T3 PGCD - Puissances Objectif 3-1 Division euclidienne C3T3 PGCD - Puissances Définition a r b q La division euclidienne de l'entier a par l'entier b est l'opération qui permet de trouver deux entiers naturels q et r tels

Plus en détail

2 Maximum, minimum, borne supérieure...

2 Maximum, minimum, borne supérieure... Bibliothèue d exercices Énoncés L Feuille n 9 Propriétés de R Les rationnels Q Exercice. Démontrer ue si r Q et x Q alors r + x Q et si r 0 r.x Q.. Montrer ue Q, 3. En déduire : entre nombres rationnels

Plus en détail

Chapitre 1. Arithmétique

Chapitre 1. Arithmétique Chapitre 1. Arithmétique 1. Raisonnement par récurrence 1.1 Principe Il s agit d un raisonnement inductif, c est-à-dire un raisonnement visant à produire des connaissances par des conclusions plus générales

Plus en détail

Outils algébriques et numériques 2 nde

Outils algébriques et numériques 2 nde Outils algébriques et numériques 1 Distributivité de la multiplication par rapport à l addition Propriété 1. En cinquième, vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l addition

Plus en détail

a, c'est aussi un nombre rationnel. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions, c'est le cas de 2 ; 15 ; π ;...

a, c'est aussi un nombre rationnel. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions, c'est le cas de 2 ; 15 ; π ;... CALCUL NUMÉRIQUE 1) Ensembles de nombres Les nombres naturels sont: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;... L'ensemble des nombres naturels est noté N. Les nombres entiers relatifs (ou simplement : nombres entiers) sont

Plus en détail

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations 1. Lois de composition internes 1.1. Définition et exemples Définition 5.1 Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application

Plus en détail

Principe des tiroirs

Principe des tiroirs DOMAINE : Combinatoire AUTEUR : François LO JACOMO NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2012 CONTENU : Cours et exercices Principe des tiroirs - Principe des tiroirs - Le principe des tiroirs semble

Plus en détail

Polycopié de Logique Mathématique

Polycopié de Logique Mathématique 1. Propositions. Université de la Nouvelle Calédonie. Licences Math, PC, SPI. Semestre 2. Polycopié de Logique Mathématique Une proposition est un enoncé mathématique qui peut être soit vrai (V) soit faux

Plus en détail

S15C. Autour des NOMBRES REELS Corrigé. 1 est fausse car. 0,50 est fausse car 0,

S15C. Autour des NOMBRES REELS Corrigé. 1 est fausse car. 0,50 est fausse car 0, CRPE S5C. Autour des NOMBRES REELS Corrigé Mise en route Seule l égalité L égalité 0, est vraie. 5 om A. 7 7 est fausse car et 0,50 est fausse car 0,05. 5 6 0 0 Les autres résultats sont toutes des valeurs

Plus en détail

Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement

Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement Chapitre 2 Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement Sommaire 2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique.............. 34 2.1.1 Quantificateurs................................ 34 2.1.2 Différents

Plus en détail

CHAPITRE 1. Quelques rappels

CHAPITRE 1. Quelques rappels 2 CHAPITRE 1 Quelques rappels 1. Théorie des ensembles 1.1. Introduction. La théorie des ensembles joue un rôle important en calcul différentiel. On a qu à penser au domaine d une fonction qui est en réalité

Plus en détail

Chapitre 1 : Opération sur les nombres relatifs

Chapitre 1 : Opération sur les nombres relatifs Chapitre 1 : Opération sur les nombres relatifs I- Rappels Activité 1 : Activité 2 Activité 3 2 RETENONS : Comparaison de deux nombres relatifs Propriété : - Tout nombre positif est plus grand que tout

Plus en détail

DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER

DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible : Exemple : 2= 2 2 8 =... 0 =... 90 =... 20 =... - Les diviseurs de 2 et de 8 : Avec 2 personnes,

Plus en détail

Inégalités Valeur absolue

Inégalités Valeur absolue Inégalités Valeur absolue Année scolaire 2006/2007 Table des matières 1 Intervalles de R 2 2 Comparaison de deux réels. 3 2.1 Différentes méthodes de comparaison.................................. 3 2.2

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Espaces vectoriels de dimension finie 1.1) Famille génératrice (rappel) Exemple 1 On considère par exemple l'espace vectoriel R² et les vecteurs 1,1, 1, et,3. Soit un élément quelconque de R²,,. Peut-on

Plus en détail

L essentiel des notions

L essentiel des notions L essentiel des notions Sésamath Troisième L essentiel des notions http://www.sesamath.net/ Association Sésamath http://manuel.sesamath.net/ Adaptation réalisée par Marie-Laure Besson Table des matières

Plus en détail

Chapitre 6 Comportement asymptotique et limites de fonctions Limites de suites

Chapitre 6 Comportement asymptotique et limites de fonctions Limites de suites Chapitre 6 Comportement asymptotique et ites de fonctions Limites de suites 1. Limite d une fonction en ou en. 1.1 Limite infinie d une fonction en ou en Cadre : Soit I=]a ; [, où a est un réel fixé (NB

Plus en détail

Révisions sur les fractions : Propriété fondamentale.

Révisions sur les fractions : Propriété fondamentale. Révisions sur les fractions : Propriété fondamentale. Propriété 1 : Soit une fraction. On a le droit de multiplier ou de diviser son numérateur son dénominateur par un même nombre non nul : cela ne change

Plus en détail

Chapitre n 1 : «Opérations sur les nombres relatifs»

Chapitre n 1 : «Opérations sur les nombres relatifs» Chapitre n 1 : «Opérations sur les nombres relatifs» I. Rappels 1/ Addition avec ou sans parenthèses 3 7= 4 57=2=2 118= 3 28=6 61= 5 618=12=12 21 24= 21 24= 45 7 25= 32 5 8= 3 45 8= 53 Règles de simplifications

Plus en détail

CHAPITRE 1 Nombres Entiers

CHAPITRE 1 Nombres Entiers CHAPITRE 1 Nombres Entiers Relations et opérations Sous-ensembles remarquables Sommaire A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels" 1) Propriétés de l addition 2) Propriétés de la multiplication 3)

Plus en détail

Diviseurs PGCD. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

Diviseurs PGCD. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires Diviseurs PGCD EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires 2. s et calculs 2.1 s entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles.

Plus en détail