HLMA206 Chapitre 4 : Comparaison de fonctions Philippe Castillon 1

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1 Uiversité de Motpellier - Faculté des Scieces Aée Uiversitaire HLMA06 Chapitre : Comparaiso de foctios Philippe Castillo Eercice O cosidère les si foctios suivates défiies sur R + f () = e f () = e, f () = 5, f () =, f 5 () = (l ) 0, f 6 () = Comparer ces foctios e + et e 0 Pour chacue des foctios suivates, détermier quelle(s) foctio(s) f i lui est (sot) équivalete(s) : g () = + e e + 5, g () = l, g + () = e (l ) 0 + Eercice E utilisat (évetuellemet) des équivalets, calculer les limites suivates : ( cos )(+) lim 0 l(si lim ) π ( π ) e lim e 0 si lim + + l( + + ) l( 5 lim +) l( +) + l(+) l(+) l( ) 6 lim 7 lim (cos ) 0 8 lim l a 9 lim b 0 l(+), pour tout a, b > 0 cos 0 lim 0 ( e ) Eercice Soiet (u ) N et (v ) N deu suites réelles qui e s aulet pas à partir d u certai rag u A-t-o lim + v = si et seulemet si lim (u v ) = 0? + Motrer que e u + e v si et seulemet si u v = o() e + Trouver u eemple de suites (u ) N et (v ) N pour lesquelles u + v mais pour lesquelles il est fau que e u + e v Eercice Soiet (u ) N ue suite réelle Motrer que si u = o( ) e + alors + u + u Motrer que si u = o( ) e + alors ( + u ) + e u Pour tout p N, motrer que si u = o() e + alors ( + u ) p ( u ) p + p p u Pour toutes remarques ou commetaires : philippecastillo@umotpellierfr

2 Eercice 5 Calculer les développemets limités suivats : + si e 0, à l ordre cos +, e 0, à l ordre +cos, e 0, à l ordre e cos ( + ) e 0, à l ordre 5 l(a + ) e 0 à l ordre, pour tout N et tout a > 0 6 l e à l ordre 7 l(e + e ) e 0 à l ordre 8 cos(l ) e et e e π, à l ordre 9 si +, e 0, à l ordre 5 0, l et e e a à l ordre, pour tout a > 0 et tout N Eercice 6 Calculer les limites suivates : cos +cosh lim 0 lim l l(+) si lim 0 ta lim π l(si ) (π ) cos ta 5 lim 0 si 6 lim 0 ta cos (ta ) si Eercice 7 Calculer les ciq premières dérivées e 0 de la foctio Même questio pour la foctio e si l(cos ) + Eercice 8 E utilisat ue formule de Taylor, motrer que pour tout R o a cos cos, ( )! et cos ( +! ) 6 6! E déduire u ombre ratioel qui soit ue valeur approchée à 0 près de cos Eercice 9 E utilisat ue formule de Taylor, motrer que, pour tout N, il eiste u polyôme P tel que R e P ()! E déduire u ombre ratioel qui soit ue valeur approchée à 0 près de e Eercice 0 Motrer que chacue des foctios suivates se, doer la positio du graphe par rapport à sa tagete au voisiage de 0 l(cos ) si l(+) e Eercice (etrait d u CC, 06) Soit f :], + [ R défiie par { ( ) f() = (+) l + + si 0 si = 0 Motrer que f est cotiue sur ], + [ O s itéresse à la dérivabilité de f (a) Motrer que f est dérivable sur ], + [\{0} (b) Doer le DL à l ordre e 0 des foctios + (c) E utilisat ce qui précède, étudier la dérivabilité de f e et l( + )

3 Eercice O cosidère la foctio f : + l( + ) défiie sur ], + [ Motrer qu elle est bijective de so domaie de défiitio sur so image (que l o précisera) Motrer que f possède u DL à l ordre e 0 et le calculer Eercice Motrer que les foctios suivates possèdet ue asymptote e + et étudier la positio relative de leur graphe par rapport à cette asymptote : + +e Pour s etraier Eercice E utilisat (évetuellemet) des équivalets, calculer les limites suivates : lim ta( π ) ta(π) lim + (e + ) lim π l(si ) +cos lim + (() () ) Eercice 5 Calculer les développemets limités suivats : e cos e 0, à l ordre e e, à l ordre ( + ) + e 0, à l ordre l(si ) e π, à l ordre Eercice 6 Calculer les limites suivates : e lim cos 0 (+) si 0 cos lim l( ) si( ) lim lim 0 si sih Eercice 7 Calculer les ciq premières dérivées e 0 de la foctio (l( + )) Eercice 8 E utilisat ue formule de Taylor, trouver u polyôme P tels que R si P () 5 5! E déduire u ratioel qui soit ue valeur approchée à 0 près de si Eercice 9 E utilisat ue formule de Taylor, motrer que, pour tout N, il eiste u polyôme P tel que R + l( + ) P () E déduire u ombre ratioel qui soit ue valeur approchée à 0 près de l Eercice 0 Motrer que chacue des foctios suivates se, doer la positio du graphe par rapport à sa tagete au voisiage de 0 sih (cosh )

4 Eercice (etrait d u sujet d eame, 06 sessio ) Soit f : R R défiie par f() = Motrer que f est cotiue sur R O s itéresse à la dérivabilité de f e 0 { cos() (e ) si 0 si = 0 (a) Doer les développemets limités e 0 à l ordre de cos() et (e ) (b) E déduire le développemet limité de f e 0 à l ordre (c) Motrer que f est dérivable e 0, doer l équatio de sa tagete et la positio de so graphe par rapport à la tagete au voisiage de 0 Eercice (etrait d u sujet d eame, 06 sessio ) f() = { + e si 0 si = 0 Soit f : [, + ) R défiie par Motrer que f est cotiue sur so domaie de défiitio et calculer sa limite e + O s itéresse à la dérivabilité de f e 0 (a) Doer les développemets limités e 0 à l ordre de + et (b) E déduire le développemet limité de f e 0 à l ordre e (c) Motrer que f est dérivable e 0, doer l équatio de sa tagete et la positio de so graphe par rapport à la tagete au voisiage de 0 Eercice O cosidère la foctio f : e défiie sur ], + [ Motrer qu elle est bijective de so domaie de défiitio sur so image (que l o précisera) Motrer que f possède u DL à l ordre e 0 et le calculer Eercice Motrer que les foctios suivates possèdet ue asymptote e + et étudier la positio relative de leur graphe par rapport à cette asymptote : ( + )e l(e e + )

5 Développemets limités à coaître e = l( + ) = ( + ) α = si = cos = sih = cosh = k k! + o( ) = ! + o( ) ( ) k= ( k k+ k k + o( ) = + (α j) ) k k! + o( ) = + α + α(α ) j=0 + ( )+ + o( ) + + α(α ) (α + )! + o( ) ( ) k k+ (k + )! + o(+ ) = ( ) 0 ( + )! + o(+ ) ( ) k k (k)! + o( ) = ( ) ()! + o( ) k+ (k + )! + o(+ ) = ( + )! + o(+ ) k (k)! + o( ) = ()! + o( ) E particulier, le troisième DL de cette liste doe, pour α =, + = ( ) k k + o( ) = ( ) + o( ) = k + o( ) = o( ) 5