( ). On considère le cercle de ( ). ( ) l'angle de rotation de centre O qui à I donne l'image M'.

Transcription

1 ANGLES ORIENTÉS TRIGONOMÉTRIE 1 ÈRE PARTIE 1 ÈRE S 1. Cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormal O;i ; j ( ). On considère le cercle de ctre O et de rayon 1 ainsi que la droite déquation x = 1 que lon gradue avec la même unité et la même oritation que laxe O, j ( ). On roule suite cette droite autour du cercle, la partie positive dans le ss direct (inverse des aiguilles dune montre) et la partie négative dans le ss indirect (ss des aiguilles dune montre). Voir Figure 1. Ainsi, chaque réel sur la droite se place sur le cercle : Sur le point I vint se placés les nombres :... Sur le point J vint se placés les nombres :... Sur le point K vint se placés les nombres :... Sur le point L vint se placés les nombres :... Lorsque lon parcourt ainsi la droite roulée autour du cercle, on passe au même point du cercle tous les... On dit que le mouvemt est de 2. Angles orités et mesures radians Définition : Dans le même plan, on considère deux vecteurs non nuls u et v et deux points M et M du plan tels que u est colinéaire et de même ss que OI, OM = v et M est lintersection du cercle avec [ OM ). Voir Figure 2. On appelle angle orité u, v ( ) langle de rotation de ctre O qui à I donne limage M. Une mesure radians de cet angle est donnée par un des nombres de la droite réelle roulée correspondant au point M sur le cercle. Ainsi, langle orité u, v ( ) possède une infinité de mesures radians : Si lon parcourt le cercle dans le ss direct alors u, v ( ) > 0 ; Si lon parcourt le cercle dans le ss indirect alors ( u, v ) < 0. Premières propriétés : Pour tous vecteurs u et v du plan : Schéma a Schéma b Schéma c a. u ; v... b. Si k > 0, ku, v ( ) = c. Si k < 0, ( ku, v ) =

2 Premières mesures : On considère le cercle trigonométrique de la Figure 3 : Angle orité degrés radians Angle orité degrés radians OI,OI,OA,OB,OC,OJ,OD,OE,OF,OK,OG,OH,OM ( ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) OI,OL,ON,OP,OQ,OD,OD,OA,OB,ON,OA,OJ ( ) ( OI ) ( OI ) ( OI ) ( OA ) ( OB ) ( OK ) ( OF ) ( OB ) ( OL ) ( OK ) 3. Sinus et cosinus dun angle orité Soit une mesure dangle radians et soit le point M du cercle tel que ( OI,OM ) =. Voir Figure 5. On définit le cosinus et le sinus de respectivemt par labscisse et lordonnée de M dans le repère O;i ; j Ici, M ( cos; sin ). ( ).

3 Exercice : Sur la Figure 4, placer les différtes mesures dangles du tableau ci-dessous sur le cercle et compléter le cercle et le tableau avec leurs cosinus et leurs sinus. Mesure radian cosinus sinus

4 1. Mesure dun angle orité ANGLES ORIENTÉS TRIGONOMÉTRIE 2 NDE PARTIE 1 ÈRE S On rappelle quun angle orité est un angle formé par deux vecteurs non nuls. Sa mesure sur le cercle trigonométrique peut être positive (dans le ss inverse des aiguilles dune montre ou ss ) ou négative (dans le ss des aiguilles dune montre ou ss ). Soit deux vecteurs non nuls u et v. Si est une mesure de u, v ( ). Définition : On note ( u, v ) = + k2,k ou core ( u, v ) = 2 Propriété : il existe une unique mesure de ( u, v ) appartant à lintervalle ; De langle ( u, v ). autre mesure possible de u, v Exercice : Donner la mesure principale de chaque mesure dangle suivante : 9 2 ; 5 4 ; 26 ; ; Angles orités et opérations Propriétés : Soit u, v et w trois vecteurs non nuls, k, k. On a alors : v,u... ( u, v ) + ( v, w ) =... (Relation de Chasles) ( ) radians, alors pour tout k, + k2 est une ( ) qui se lit à 2π près. ] ]. On lappelle la.. (u, v ) =... (u, v ) =... ( ku, v ) =... si si... Si u et v sont colinéaires de même ss alors ( u, v ) =... Si u et v sont colinéaires de ss opposés alors ( u, v ) =... Conséquces : u, v... ku, k v ( ) = Si A, B, C sont trois points non aliognés, alors : AB, AC... si si...,cb, BA ( ) + ( CA ) + ( BC ) =... Théorème de langle inscrit Si A, B et M sont trois points distincts dun cercle de ctre O, alors : OA,OB ( ) = 2 MA (, MB ) 2 ( )

5 3. Sinus et cosinus dun angle orité Définition : Soit une mesure dangle. On définit le cosinus et le sinus de comme labscisse et lordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à la mesure (voir sinus et cosinus : angles orités, trigonométrie : 1 ère partie). Le dessin ci-contre résume les valeurs de sinus et cosinus des mesures des angles particuliers : Premières propriétés : Par définition : pour tout x et k,cos( x + 2k ) = cos x et sin ( x + 2k ) = sin x Par Pythagore, on a : pour tout x,cos 2 x + sin 2 x = 1 Par symétrie, on obtit les résultats suivants : Pour tout x : cos x sin x cos x + sin x + cos x sin x cos 2 x & ( =... sin 2 x & ( =... cos x + 2 & =... sin x + 2 & = Représtation graphiques des fonctions sinus et cosinus Les fonctions x cos x et x sin x sont définies sur. Elles sont périodiques de période 2π. Leurs représtations graphiques sont données dans le graphique suivant : 5. Formules daddition et de duplication Théorème : Soit a,b. Alors : ( ) = cos a cosb sin a sin b ( ) = cos a cosb + sin a sin b ( ) = sin a cosb + cos a sin b ( ) = sin a cosb cos a sin b cos a + b cos a b sin a + b sin a b cos 2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a sin 2a = 2 sin a cos a cos 2 a = 1 ( 1 + cos 2a ) 2 sin2 a = 1 1 cos 2a 2 ( )

6 Démonstration : Soit a,b. Dans un repère orthonormal, on construit deux vecteurs u et v de norme 1 tels que : ( i,u ) = b( 2 ) et ( i, v ) = a 2 ( ). Ainsi u & et v... &. u v =... Dautre part, cos a + b ( ) = cos( a (b)) =... De plus, sin a + b ( ) = cos 2 ( a + b) & ( = cos 2 a b & ( =... Enfin, sin a b ( ) = sin ( a + (b)) = Coordonnées polaires Définition : La plan est rapporté à un repère ( O;i ; j ) orthonormal. [ ] tels Tout point M du plan est défini de manière unique par un couple de réels r, que : r = OM et i,om On dit que laxe pôlaire O;i ( ) = 2 ( ) radians. [ r, ] sont des coordonnées pola ires de M relativemt au pôle O et à ( ). Le rayon polaire r est toujours positif et langle polaire est défini à 2π près. Remarques : - Pour tout point M du plan distinct de O, il existe un unique couple de coordonnées polaires [ r, ] avec ]; ] (mesure principale). - Pour le point O, on considère que r = 0 et que est quelconque. Propriétés : Soit un point M du plan de coordonnées polaires r; [ ]. Alors les coordonnées cartésines de M sont : Soit un point M de coordonnées ( x; y) dans ( O;i ; j ), alors le rayon polaire de M est r =... x =... y =... Exercice : Déterminer les coordonnées polaires de M 4; 4 ( ) et les coordonnées cartésines de N 2 3; 2 3 &.