CHAPITRE N.. ANGLES ORIENTES.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE N.. ANGLES ORIENTES."

Transcription

1 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Les angles géométriques étudiés au collège ne suffisent pas pour tous les besoins des géomètres : la notion d'orientation pour les angles est souvent nécessaire. I) Repérage sur le cercle 1 ) Cercles orientés. Le plan est muni d'une unité de longueur. Définition 1 : orienter les cercles du plan, c'est choisir sur tous les cercles du plan un même sens de parcours appelé sens direct ou sens positif. L'autre sens de parcours est appelé sens indirect ou sens négatif. Lorsqu'on a orienté les cercles du plan, on dit que le plan est orienté. ) Cercle trigonométrique. Définition : on appelle cercle trigonométrique du plan orienté tout cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct. Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre ; il est aussi appelé sens trigonométrique (sur la figure ci contre, c'est le plus court chemin pour aller de à B). 3 ) ssocier à un réel x, un point M du cercle trigonométrique : a) ctivité d'approche : faite en classe avec vidéo projecteur. B O - - b) Définition 3 : (O ;, B ) est un repère orthonormé du plan orienté (B est l'image de par la rotation de centre O et d'angle π dans le sens direct ), C est un cercle trigonométrique de centre O. Á tout nombre réel positif t, on associe le point M de C obtenu en se déplaçant d'une longueur t sur C à partir de dans le sens direct. Á tout nombre réel négatif t, on associe le point M de C obtenu en se déplaçant sur C d'une longueur - t à partir de dans le sens indirect. On dit que t est une mesure de l'angle orienté O,OM. π 3π c) Exemple : au réel, on associe le point B ainsi que. 4 ) Conversion radians/ degré : B M Un angle peut être mesuré dans diverses unités. Parmi elles, le degré, le grade et une nouvelle unité : le radian. a) Propriété L'angle de 180 mesure π radians (notation : rad) La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degré 5π b) Conversions : exercice n 1: convertir en radian 33, convertir en degré rad. 6 c) Tableau de conversion : se familiariser avec les mesures en radians des angles remarquables est indispensable : o angle plat plein droit mesure en degrés mesure en radians π π π π π π Page 1 sur 8

2 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. 5 ) Connaître le cercle trigonométriques et ses valeurs remarquables : voir TD n. 6 ) ssocier à un réel x, un point M du cercle trigonométrique : 5π 98π 9π Exercice n : Placer les images des nombres suivants sur le cercle trigonométrique : rad, rad, rad π π Exercice n 3 : Représenter l'ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l'intervalle,. 4 3 quel intervalle est associé le complémentaire de L? π kπ Exercice n 4 : Soit E = { - +, k 9 } un ensemble de nombres 3 a) Placer les images de ces nombres sur le cercle trigonométrique b) Donner les nombres de cet ensemble appartenant à ] -π, π ] puis à [ 0, π [ puis à [ -π, 0 [ 7 ) ssocier à un point M du cercle trigonométrique une famille de réels : a) Théorème 1 : Á tout point M du cercle trigonométrique C, on associe une infinité de réels ; Si on note x un de ces réels, les autres réels sont x+ π, x+ 4π, x+ 6π. et x π, On les notera : x + kπ avec k 9. x 4π, x 6π Exemple : au point (-1, 0) sont associés les réels π ; 3π ; 5π ; -π., etc b) Exercice n 5 : sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel puis indiquer tous les réels de l'intervalle ]-3π ; 3π] repérant M. 5π, 4 8 ) Mesures d'un angle orienté OM;ON où M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. a) Définition 4 : Soit M et N deux points du cercle trigonométrique de centre O, repérés respectivement par deux réels x et y. Les mesures en radians de l'angle orienté OM,ON sont les réels y x + kπ avec k 9. On note OM,ON = y x + kπ ou,on b) pplications : OM = y x [ π] Exercice n 6 : sur le cercle trigonométrique, les points M et N sont repérés respectivement par les réels : m = Donner une mesure de l'angle orienté OM ;ON, puis de ON ;OM. L'un de ces angles a une mesure de 3π π et n = π. Lequel? 30 Il faut bien comprendre la différence entre angle géométrique et angle orienté un angle géométrique MON Æ correspond deux angles orientés distincts ON,OM et OM,ON Exercice n 7: le cercle ci contre est le cercle trigonométrique de centre 0, OC Æ = 45, OD Æ =10 donner une mesure en radian des angles orientés O ;OC O ;OD et OD ;OC O C D Page sur 8

3 9 ) Mesure principale. CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. a) Propriété et définition : M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. L'angle orienté,on lors MON Æ = a. b) Remarque : OM possède une mesure et une seule a dans l'intervalle ] π ; π] appelée mesure principale. Si M et N sont deux points du cercle trigonométrique, alors la mesure principale α de l'angle orienté ( OM, ON ) est égale à la mesure de l'arc permettant d'aller du point M au point N, par le "plus court chemin" sur le cercle. Si le chemin est décrit dans le sens direct, α est positif. Si le chemin est décrit dans le sens indirect, α est négatif. Lorsque N et M sont diamétralement opposés, par convention, la mesure principale est π. c) Savoir déterminer la mesure principale d'un angle orienté Exercice n 8 : on a tracé un octogone régulier de centre O, inscrit dans le cercle trigonométrique. Les axes sont les médiatrices de certains côtés. a) Donner la mesure principale et deux autres mesures de chacun des angles orientés O;OM O ;OR. b) Quel est le sommet X de l'octogone tel que 37π O;OX = 8 Exercice n 9 : a) sans calculatrice, donner parmi les réels suivants ceux qui appartiennent à π 3π 3π 7π π ] π ; π] : ; ; ; ; O, r i, r j orthonormé direct. Dans chacun des cas suivants, déterminer la mesure principale de l'angle b) le plan est muni d'un repère ( ) dont x est une mesure : 7π x = ; 4 49π x = x = 8 3π ; x = Méthode : x étant une mesure d'un angle, tous les nombres de la forme x+kπ où k est un entier relatif quelconque, sont des mesures de cet angle. Parmi ces mesures, il en existe une, la mesure principale, qui appartient à l'intervalle ]-π ; π]. Déterminer la mesure principale de cet angle revient donc à déterminer l'entier relatif k tel que -π < x+ kπ π.. II) ngles orientés : 1 ) Définition 5 : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r ;v r est appelé angle orienté de vecteurs. Le couple ( ) Remarque : un angle orienté de deux vecteurs non nuls est un "objet géométrique", comme l'est aussi, par exemple, un segment. Une unité de mesure étant choisie, on associe à cet objet géométrique une mesure, c'est-à-dire un réel, comme on associe à un segment la mesure de sa longueur. ) Mesures d'un angle orienté de deux vecteurs non nuls. a) Définition 6 : Soit C un cercle trigonométrique de centre O. Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan. La demi droite [Om), de même direction et de même sens que le vecteur u r, coupe le cercle C en M. La demi droite [On), de même direction et de même sens que le vecteur v r, coupe le cercle C en N. u r,v r toute mesure de l'angle On appelle mesure en radians de l angle orienté des vecteurs u r et v r, noté ( ) orienté OM,ON 1 1 b) Remarques : M et N sont les points de C tels que : OM = r u et ON = r v r. u v Pour faciliter les écritures, on convient que ( ;v) u r r désigne aussi bien l'angle orienté que l'une de ses mesures. Page 3 sur 8

4 c) Théorème : CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. si x est une mesure de l'angle orienté ( ;v) x + kπ, avec k entier relatif. notation : ( u r ;v = x + kπ, k 9 ou ( u r ;v = x [ π ] u r r alors les mesures, en radian, de cet angle orienté sont les réels de la forme : Remarque : la difficulté pour les mesures d'un angle orienté de vecteurs, contrairement à la mesure de la longueur d'un segment, est qu'il n'y a pas unicité de la mesure une fois l'unité choisie ; il y a même une infinité de mesures. d) Exercice n 10 : BC est équilatéral avec π B, C =. Les points I, J et K sont les milieux des côtés. Déterminer 3 la mesure principale des angles orientés ; BC,C BC,JK I,C. Méthode : pour trouver la mesure principale d'un angle orienté de vecteurs : 1) on représente les deux vecteurs (ou d'autres de même sens) à partir d'un même point. ) on détermine la mesure en radian de l'angle géométrique ainsi formé. 3) suivant le sens de l'angle orienté, direct ou indirect, la mesure est positive ou négative. 3 ) Lien entre les angles orientés et les angles géométriques : partir d'un angle géométrique on obtient deux angles orientés. Soit, B et C trois points distincts du plan distincts deux à deux : Si θ est la mesure principale de l'angle orienté B,C alors la mesure en radians de l'angle géométrique BC Æ est θ. Définition : on dit qu'un triangle BC est direct lorsque le parcours B C s'effectue dans le sens direct. Exercice n 11 : a) soit un triangle direct BC tel que BC= Æ 105. Donner une mesure en radians des angles BC;B et B ;BC. b) BC est un triangle équilatéral tel que π B;C =. 3 Calculez la mesure principale de chacun des angles orientés : B ;BC, C ;CB, BC ; B, B ;CB. III) Propriétés des angles orientés de vecteurs : 1 ) ngles de vecteurs et propriétés géométriques : a) vecteurs colinéaires : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r et v r sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( u r ;v = 0[ π ] u r et v r sont colinéaires et de sens contraires si et seulement si ( u r ;v = π[ π ] u r et v r sont colinéaires si et seulement si ( u r ;v = 0[ π ]. Exercice n 1 : On considère deux points et B distincts. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que B,M = 0[ π] M,MB = π[ π] b) vecteurs orthogonaux : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r et v r sont orthogonaux si et seulement si ( u;v r π ) π Ce que l'on résume par la relation ( u r ;v = π [ π ].. r = [ ] ou ( u r ;v = π [ π ]. Page 4 sur 8

5 ) Relation de Chasles : CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Pour tous vecteurs non nuls u, v et w : ( u r ; v + ( r r v ; w ) = ( u r ; w Exercice n 13 : La ligne brisée BCD est construite suivant le dessin ci contre. 3π ÆBC = et Æ π DCE = 4 3 [π]. D E Déterminez une mesure de B ; CD : u r r : 3 ) ngles associés à l'angle orienté ( ;v) a) ngles opposés : ( u r ; v = - ( v; u Preuve : ( u r ; v + ( v r ; u = ( u r ; u r. = 0 [π]. B C r r u r r. b) ngles égaux : ( u; v) = ( ; v) r r Preuve : ( u; v) = ( u r ; u + ( u r ; v +( r v ; v ) c) ngles supplémentaires : ( u; r r v) = ( u; v r = π+ u r r r + π. Preuve : ( u; r r v) = ( u r ; v +( v r r ; v ) = ( u r,v + π [π]. (, v) + π u r r = (,v) + π [π]. Exercice n 14 : BC est un triangle équilatéral direct. Donner les mesures de l'angle B,C Exercice n 15 : Le carré BCD de sens direct a pour centre I. Donner les mesures des angles orienté suivants : B ; C C ; D et DI ; I d) Remarque : attention à ne pas confondre ( u r ; v et ( u r ; v u r ; v r v; u r u r ; v r u r ; v r ( ) =( alors que ( ) = π +( ) 4 ) Utiliser les propriétés sur les angles : Exercice n 16 : Soit ( ;v) u r r = π 9 et ( u r ; w = π. Déterminer une mesure principale de ( v r ;w ( u r ;v 4 Exercice n 17 : dans la figure ci contre BC est un triangle équilatéral direct, CBD ; CE et FB sont des triangles rectangles et isocèles respectivement en D, E et F. Déterminer la mesure principale des angles suivants : C ; E BD ; BF B ; C DC ; C et E ; CB π C. 6 Exercice n 18 : soit BC un triangle isocèle en C. On donne,cb = [ π] π BJ. 4 Soit J le point du segment [C] tel que,b = [ π] Déterminer la mesure principale des angles orientés BJ,C et JB,BC 5 ) Propriété : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté et soit α et β deux réels non nuls. - si α et β sont de même signe, alors ( α u r ; β v = ( u r ;v [ π ] u r ; β v r u;v r π - si α et β sont de signes contraires, alors ( α ) = ( + π [ ] Exercice n 19 : soit ( ;v) u r r = π 9 et ( u r ; w = π. Déterminer une mesure principale de ( r r v ; w ) r r ( u; w) 4. Page 5 sur 8

6 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Exercice n 0 : BC est un triangle équilatéral direct de centre O. Donner les mesures de l'angle Pour s'entraîner : Exercices n 18, 19 et 0 page 371. B,OC IV) ngles orientés et configurations du plan : 1 ) Somme des angles d'un triangle : Dans tout triangle BC : B,C + BC,B + C,CB = π[ π] Remarque : Le résultat était déjà connu pour les angles géométriques. ) lignement : a) Propriété : Trois poins M, et B, deux à deux distincts, sont alignés si et seulement si : M,MB= kπ avec k 9.. b) pplication : Exercice n 1 :, B, C et D sont quatre points tels que B, C = [ π] et C,D = [ π] c) lieux de points : π 5 7π 5. Montrer que ]BD[. Exercice n : On considère deux points et B distincts. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que : a) B,M = 0[ π] b) M,MB = 0[ π] c) B,BM = 0[ π] ; d) B,MB = π[ π] ; e) M,MB = 0[ π] 3 ) Bissectrice : Soit O,, B, C quatre points du plan distincts deux à deux. Pour tout point C du plan : La droite (OC) est la bissectrice de l'angle Æ 4 ) ngle inscrit : OB si et seulement si O,OC = OC,OB [ π] Soit et B deux points distincts du plan. Pour tout point M, distinct de et de B, d'un cercle de centre O, passant par et B : [ π] = M,MB O,OB Exercice n 3 : BC est un triangle équilatéral direct de centre O. Donner les mesures de l'angle: OB,OC V) Rotations 1 ) Définition : Soit Ω un point du plan et α un réel. Une rotation de centre Ω et d'angle α est la transformation du plan qui à tout point M associe l unique point M' tel que : Ω M = Ω M et Ω Ω = α [ π] On note : ( Ω α ) ( ) = ou simplement r lorsqu il n y a pas de confusion possible. Remarque : M = Ω, ( Ω) = Ω ; on dit que le point Ω est invariant. Si α, Ω est le seul point invariant ) Cas particuliers : a) α = 0 [ π] : la rotation de centre Ω est l'identité (c'est-à-dire l application qui à tout point M associe le point M lui-même). Page 6 sur 8

7 b) α = π [ ] π CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. : la rotation de centre Ω est la symétrie centrale de centre Ω. c) α = π [ π] : la rotation est appelée quart de tour direct. d) α = - π [ π] : la rotation est appelée quart de tour indirect. 3 ) Savoir reconnaître des images de points par une rotation : Exercice n 4 : BCD est un carré de sens direct de centre O. Soit r la rotation de centre d angle π et ro une rotation de centre O et d angle α a) Déterminer r () ; r (B) ; r (D) b) Comment choisir α pour avoir r O() = B? Comment choisir α pour avoir r O() = C? 4 ) Rotation réciproque : Si la rotation de centre Ω et d'angle α associe à un point M le point M, alors l application qui à M associe M est la rotation de centre Ω et d'angle -α. On dit que la rotation de centre Ω et d'angle α a pour réciproque la rotation de centre Ω et d'angle -α 5 ) Reconnaître les configurations liées aux rotations : Exercice n 5 : indiquer la configuration obtenue pour chacun des énoncés suivants a) Le point M a pour image N par la rotation de centre et d angle π b) Par la rotation de centre et d angle π, le point B a pour image C et C a pour image D. retenir : à " BC est un triangle équilatéral direct " on associe : " C est l'image de B par la rotation de centre, d'angle π. 6 ) Propriétés de conservations : a) Propriété : les rotations conservent Les distances. Le milieu d un segment. Les angles orientés. L alignement. Cela signifie que si, B et C sont trois points alignés, alors leurs images ', B' et C' le sont aussi. Le parallélisme. L orthogonalité. b) conséquence : les longueurs étant conservées, les aires le sont également. 7 ) pplications : a) Pour démontrer que deux segments ont même longueur, on peut démontrer que l'un est l'image de l'autre par une rotation usuelle : Exercice n 6 : BCD et EFG sont deux carrés indirects. Montrer que BE = DG b) Pour démontrer que trois points sont alignés, on peut trouver que ce sont les images par une rotation de trois points alignés : Exercice n 7 : les trois carrés de la figure ci contre ont un sommet commun. Et les sommets B, E et M sont alignés. Montrer que les points D, G et P sont alignés. 8 ) Images des figures usuelles : a) Propriété : L'image d'une figure F par une rotation est une figure F' superposable à F b) Conséquences : L'image d'un segment [B] est un segment ['B' ] L'image d'une droite (B) est une droite ('B' ). Figure Droite Segment Cercle de centre O Parallélogramme ngle Triangle Image droite Segment de même longueur Cercle de même rayon et dont le centre O' est l'image de O 10 ) Image d'un point d'intersection de deux droites : Parallélogramme ngle de même mesure Triangle de même aire. Page 7 sur 8

8 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. a) Théorème : d et sont deux droites, d' et ' leurs images une rotation. Si M est à l'intersection de d et, alors son image M' est à l'intersection de d' et '. b) pplication : trouver l'image d'un point d'intersection. Page 8 sur 8

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Exercice numéro 1 - L'escalier

Exercice numéro 1 - L'escalier Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?

Plus en détail

Ch.G3 : Distances et tangentes

Ch.G3 : Distances et tangentes 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales

Plus en détail

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement. «Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE

VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE Vos premiers pas avec TracenPoche page 1/16 VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE Un coup d'oeil sur l'interface de TracenPoche : La zone de travail comporte un script, une figure, un énoncé, une zone d analyse,

Plus en détail

Exercices de géométrie

Exercices de géométrie Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente

Plus en détail

REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation

REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation REPRESENTER LA TERRE Seconde Page 1 TRAVAUX DIRIGES REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation Casterman TINTIN "Le trésor de Rackham Le Rouge" 1 TRIGONOMETRIE : Calcul du chemin le plus court. 1)

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré?

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE (18 points)

PARTIE NUMERIQUE (18 points) 4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les

Plus en détail

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur 29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879- Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une

Plus en détail

Cercle trigonométrique et mesures d angles

Cercle trigonométrique et mesures d angles Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs

Plus en détail

Triangles isométriques Triangles semblables

Triangles isométriques Triangles semblables Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Sommaire de la séquence 10

Sommaire de la séquence 10 Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................

Plus en détail

La médiatrice d un segment

La médiatrice d un segment EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que

Plus en détail

Logiciel SCRATCH FICHE 02

Logiciel SCRATCH FICHE 02 1. Reprise de la fiche 1: 1.1. Programme Figure : Logiciel SCRATCH FICHE 02 SANS ORDINATEUR : Dessiner à droite le dessin que donnera l'exécution de ce programme : Unité : 50 pas : Remarque : vous devez

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés : LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés

Plus en détail

S'orienter et se repérer sur le terrain avec une carte

S'orienter et se repérer sur le terrain avec une carte www.ign.fr > Espace éducatif > Les fiches thématiques > Lecture de la carte S'orienter et se repérer sur le terrain avec une carte Il s'agit d'effectuer une correspondance entre le lieu où l'on se trouve

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

L ALGORITHMIQUE. Algorithme

L ALGORITHMIQUE. Algorithme L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro. Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

Tâche complexe produite par l académie de Clermont-Ferrand. Mai 2012 LE TIR A L ARC. (d après une idée du collège des Portes du Midi de Maurs)

Tâche complexe produite par l académie de Clermont-Ferrand. Mai 2012 LE TIR A L ARC. (d après une idée du collège des Portes du Midi de Maurs) (d après une idée du collège des Portes du Midi de Maurs) Table des matières Fiche professeur... 2 Fiche élève... 5 1 Fiche professeur Niveaux et objectifs pédagogiques 5 e : introduction ou utilisation

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

ÉVALUATION EN FIN DE CM1. Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES

ÉVALUATION EN FIN DE CM1. Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES ÉVALUATION EN FIN DE CM1 Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES NOM :....... Prénom :....... Né le :./../ École :............ Classe : Domaine Score de réussite NOMBRES ET CALCUL GÉOMÉTRIE

Plus en détail

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2006 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Ce sujet s adresse à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comporte cinq

Plus en détail

MAT2027 Activités sur Geogebra

MAT2027 Activités sur Geogebra MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Cabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec

Cabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec Cabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec Benoît Côté Département de mathématiques, UQAM, Québec cote.benoit@uqam.ca 1. Introduction - Exercice de didactique fiction Que signifie intégrer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail