CHAPITRE N.. ANGLES ORIENTES.
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- Marin Desjardins
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1 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Les angles géométriques étudiés au collège ne suffisent pas pour tous les besoins des géomètres : la notion d'orientation pour les angles est souvent nécessaire. I) Repérage sur le cercle 1 ) Cercles orientés. Le plan est muni d'une unité de longueur. Définition 1 : orienter les cercles du plan, c'est choisir sur tous les cercles du plan un même sens de parcours appelé sens direct ou sens positif. L'autre sens de parcours est appelé sens indirect ou sens négatif. Lorsqu'on a orienté les cercles du plan, on dit que le plan est orienté. ) Cercle trigonométrique. Définition : on appelle cercle trigonométrique du plan orienté tout cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct. Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre ; il est aussi appelé sens trigonométrique (sur la figure ci contre, c'est le plus court chemin pour aller de à B). 3 ) ssocier à un réel x, un point M du cercle trigonométrique : a) ctivité d'approche : faite en classe avec vidéo projecteur. B O - - b) Définition 3 : (O ;, B ) est un repère orthonormé du plan orienté (B est l'image de par la rotation de centre O et d'angle π dans le sens direct ), C est un cercle trigonométrique de centre O. Á tout nombre réel positif t, on associe le point M de C obtenu en se déplaçant d'une longueur t sur C à partir de dans le sens direct. Á tout nombre réel négatif t, on associe le point M de C obtenu en se déplaçant sur C d'une longueur - t à partir de dans le sens indirect. On dit que t est une mesure de l'angle orienté O,OM. π 3π c) Exemple : au réel, on associe le point B ainsi que. 4 ) Conversion radians/ degré : B M Un angle peut être mesuré dans diverses unités. Parmi elles, le degré, le grade et une nouvelle unité : le radian. a) Propriété L'angle de 180 mesure π radians (notation : rad) La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degré 5π b) Conversions : exercice n 1: convertir en radian 33, convertir en degré rad. 6 c) Tableau de conversion : se familiariser avec les mesures en radians des angles remarquables est indispensable : o angle plat plein droit mesure en degrés mesure en radians π π π π π π Page 1 sur 8
2 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. 5 ) Connaître le cercle trigonométriques et ses valeurs remarquables : voir TD n. 6 ) ssocier à un réel x, un point M du cercle trigonométrique : 5π 98π 9π Exercice n : Placer les images des nombres suivants sur le cercle trigonométrique : rad, rad, rad π π Exercice n 3 : Représenter l'ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l'intervalle,. 4 3 quel intervalle est associé le complémentaire de L? π kπ Exercice n 4 : Soit E = { - +, k 9 } un ensemble de nombres 3 a) Placer les images de ces nombres sur le cercle trigonométrique b) Donner les nombres de cet ensemble appartenant à ] -π, π ] puis à [ 0, π [ puis à [ -π, 0 [ 7 ) ssocier à un point M du cercle trigonométrique une famille de réels : a) Théorème 1 : Á tout point M du cercle trigonométrique C, on associe une infinité de réels ; Si on note x un de ces réels, les autres réels sont x+ π, x+ 4π, x+ 6π. et x π, On les notera : x + kπ avec k 9. x 4π, x 6π Exemple : au point (-1, 0) sont associés les réels π ; 3π ; 5π ; -π., etc b) Exercice n 5 : sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel puis indiquer tous les réels de l'intervalle ]-3π ; 3π] repérant M. 5π, 4 8 ) Mesures d'un angle orienté OM;ON où M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. a) Définition 4 : Soit M et N deux points du cercle trigonométrique de centre O, repérés respectivement par deux réels x et y. Les mesures en radians de l'angle orienté OM,ON sont les réels y x + kπ avec k 9. On note OM,ON = y x + kπ ou,on b) pplications : OM = y x [ π] Exercice n 6 : sur le cercle trigonométrique, les points M et N sont repérés respectivement par les réels : m = Donner une mesure de l'angle orienté OM ;ON, puis de ON ;OM. L'un de ces angles a une mesure de 3π π et n = π. Lequel? 30 Il faut bien comprendre la différence entre angle géométrique et angle orienté un angle géométrique MON Æ correspond deux angles orientés distincts ON,OM et OM,ON Exercice n 7: le cercle ci contre est le cercle trigonométrique de centre 0, OC Æ = 45, OD Æ =10 donner une mesure en radian des angles orientés O ;OC O ;OD et OD ;OC O C D Page sur 8
3 9 ) Mesure principale. CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. a) Propriété et définition : M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. L'angle orienté,on lors MON Æ = a. b) Remarque : OM possède une mesure et une seule a dans l'intervalle ] π ; π] appelée mesure principale. Si M et N sont deux points du cercle trigonométrique, alors la mesure principale α de l'angle orienté ( OM, ON ) est égale à la mesure de l'arc permettant d'aller du point M au point N, par le "plus court chemin" sur le cercle. Si le chemin est décrit dans le sens direct, α est positif. Si le chemin est décrit dans le sens indirect, α est négatif. Lorsque N et M sont diamétralement opposés, par convention, la mesure principale est π. c) Savoir déterminer la mesure principale d'un angle orienté Exercice n 8 : on a tracé un octogone régulier de centre O, inscrit dans le cercle trigonométrique. Les axes sont les médiatrices de certains côtés. a) Donner la mesure principale et deux autres mesures de chacun des angles orientés O;OM O ;OR. b) Quel est le sommet X de l'octogone tel que 37π O;OX = 8 Exercice n 9 : a) sans calculatrice, donner parmi les réels suivants ceux qui appartiennent à π 3π 3π 7π π ] π ; π] : ; ; ; ; O, r i, r j orthonormé direct. Dans chacun des cas suivants, déterminer la mesure principale de l'angle b) le plan est muni d'un repère ( ) dont x est une mesure : 7π x = ; 4 49π x = x = 8 3π ; x = Méthode : x étant une mesure d'un angle, tous les nombres de la forme x+kπ où k est un entier relatif quelconque, sont des mesures de cet angle. Parmi ces mesures, il en existe une, la mesure principale, qui appartient à l'intervalle ]-π ; π]. Déterminer la mesure principale de cet angle revient donc à déterminer l'entier relatif k tel que -π < x+ kπ π.. II) ngles orientés : 1 ) Définition 5 : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r ;v r est appelé angle orienté de vecteurs. Le couple ( ) Remarque : un angle orienté de deux vecteurs non nuls est un "objet géométrique", comme l'est aussi, par exemple, un segment. Une unité de mesure étant choisie, on associe à cet objet géométrique une mesure, c'est-à-dire un réel, comme on associe à un segment la mesure de sa longueur. ) Mesures d'un angle orienté de deux vecteurs non nuls. a) Définition 6 : Soit C un cercle trigonométrique de centre O. Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan. La demi droite [Om), de même direction et de même sens que le vecteur u r, coupe le cercle C en M. La demi droite [On), de même direction et de même sens que le vecteur v r, coupe le cercle C en N. u r,v r toute mesure de l'angle On appelle mesure en radians de l angle orienté des vecteurs u r et v r, noté ( ) orienté OM,ON 1 1 b) Remarques : M et N sont les points de C tels que : OM = r u et ON = r v r. u v Pour faciliter les écritures, on convient que ( ;v) u r r désigne aussi bien l'angle orienté que l'une de ses mesures. Page 3 sur 8
4 c) Théorème : CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. si x est une mesure de l'angle orienté ( ;v) x + kπ, avec k entier relatif. notation : ( u r ;v = x + kπ, k 9 ou ( u r ;v = x [ π ] u r r alors les mesures, en radian, de cet angle orienté sont les réels de la forme : Remarque : la difficulté pour les mesures d'un angle orienté de vecteurs, contrairement à la mesure de la longueur d'un segment, est qu'il n'y a pas unicité de la mesure une fois l'unité choisie ; il y a même une infinité de mesures. d) Exercice n 10 : BC est équilatéral avec π B, C =. Les points I, J et K sont les milieux des côtés. Déterminer 3 la mesure principale des angles orientés ; BC,C BC,JK I,C. Méthode : pour trouver la mesure principale d'un angle orienté de vecteurs : 1) on représente les deux vecteurs (ou d'autres de même sens) à partir d'un même point. ) on détermine la mesure en radian de l'angle géométrique ainsi formé. 3) suivant le sens de l'angle orienté, direct ou indirect, la mesure est positive ou négative. 3 ) Lien entre les angles orientés et les angles géométriques : partir d'un angle géométrique on obtient deux angles orientés. Soit, B et C trois points distincts du plan distincts deux à deux : Si θ est la mesure principale de l'angle orienté B,C alors la mesure en radians de l'angle géométrique BC Æ est θ. Définition : on dit qu'un triangle BC est direct lorsque le parcours B C s'effectue dans le sens direct. Exercice n 11 : a) soit un triangle direct BC tel que BC= Æ 105. Donner une mesure en radians des angles BC;B et B ;BC. b) BC est un triangle équilatéral tel que π B;C =. 3 Calculez la mesure principale de chacun des angles orientés : B ;BC, C ;CB, BC ; B, B ;CB. III) Propriétés des angles orientés de vecteurs : 1 ) ngles de vecteurs et propriétés géométriques : a) vecteurs colinéaires : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r et v r sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( u r ;v = 0[ π ] u r et v r sont colinéaires et de sens contraires si et seulement si ( u r ;v = π[ π ] u r et v r sont colinéaires si et seulement si ( u r ;v = 0[ π ]. Exercice n 1 : On considère deux points et B distincts. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que B,M = 0[ π] M,MB = π[ π] b) vecteurs orthogonaux : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté. u r et v r sont orthogonaux si et seulement si ( u;v r π ) π Ce que l'on résume par la relation ( u r ;v = π [ π ].. r = [ ] ou ( u r ;v = π [ π ]. Page 4 sur 8
5 ) Relation de Chasles : CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Pour tous vecteurs non nuls u, v et w : ( u r ; v + ( r r v ; w ) = ( u r ; w Exercice n 13 : La ligne brisée BCD est construite suivant le dessin ci contre. 3π ÆBC = et Æ π DCE = 4 3 [π]. D E Déterminez une mesure de B ; CD : u r r : 3 ) ngles associés à l'angle orienté ( ;v) a) ngles opposés : ( u r ; v = - ( v; u Preuve : ( u r ; v + ( v r ; u = ( u r ; u r. = 0 [π]. B C r r u r r. b) ngles égaux : ( u; v) = ( ; v) r r Preuve : ( u; v) = ( u r ; u + ( u r ; v +( r v ; v ) c) ngles supplémentaires : ( u; r r v) = ( u; v r = π+ u r r r + π. Preuve : ( u; r r v) = ( u r ; v +( v r r ; v ) = ( u r,v + π [π]. (, v) + π u r r = (,v) + π [π]. Exercice n 14 : BC est un triangle équilatéral direct. Donner les mesures de l'angle B,C Exercice n 15 : Le carré BCD de sens direct a pour centre I. Donner les mesures des angles orienté suivants : B ; C C ; D et DI ; I d) Remarque : attention à ne pas confondre ( u r ; v et ( u r ; v u r ; v r v; u r u r ; v r u r ; v r ( ) =( alors que ( ) = π +( ) 4 ) Utiliser les propriétés sur les angles : Exercice n 16 : Soit ( ;v) u r r = π 9 et ( u r ; w = π. Déterminer une mesure principale de ( v r ;w ( u r ;v 4 Exercice n 17 : dans la figure ci contre BC est un triangle équilatéral direct, CBD ; CE et FB sont des triangles rectangles et isocèles respectivement en D, E et F. Déterminer la mesure principale des angles suivants : C ; E BD ; BF B ; C DC ; C et E ; CB π C. 6 Exercice n 18 : soit BC un triangle isocèle en C. On donne,cb = [ π] π BJ. 4 Soit J le point du segment [C] tel que,b = [ π] Déterminer la mesure principale des angles orientés BJ,C et JB,BC 5 ) Propriété : Soit u r et v r deux vecteurs non nuls du plan orienté et soit α et β deux réels non nuls. - si α et β sont de même signe, alors ( α u r ; β v = ( u r ;v [ π ] u r ; β v r u;v r π - si α et β sont de signes contraires, alors ( α ) = ( + π [ ] Exercice n 19 : soit ( ;v) u r r = π 9 et ( u r ; w = π. Déterminer une mesure principale de ( r r v ; w ) r r ( u; w) 4. Page 5 sur 8
6 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. Exercice n 0 : BC est un triangle équilatéral direct de centre O. Donner les mesures de l'angle Pour s'entraîner : Exercices n 18, 19 et 0 page 371. B,OC IV) ngles orientés et configurations du plan : 1 ) Somme des angles d'un triangle : Dans tout triangle BC : B,C + BC,B + C,CB = π[ π] Remarque : Le résultat était déjà connu pour les angles géométriques. ) lignement : a) Propriété : Trois poins M, et B, deux à deux distincts, sont alignés si et seulement si : M,MB= kπ avec k 9.. b) pplication : Exercice n 1 :, B, C et D sont quatre points tels que B, C = [ π] et C,D = [ π] c) lieux de points : π 5 7π 5. Montrer que ]BD[. Exercice n : On considère deux points et B distincts. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que : a) B,M = 0[ π] b) M,MB = 0[ π] c) B,BM = 0[ π] ; d) B,MB = π[ π] ; e) M,MB = 0[ π] 3 ) Bissectrice : Soit O,, B, C quatre points du plan distincts deux à deux. Pour tout point C du plan : La droite (OC) est la bissectrice de l'angle Æ 4 ) ngle inscrit : OB si et seulement si O,OC = OC,OB [ π] Soit et B deux points distincts du plan. Pour tout point M, distinct de et de B, d'un cercle de centre O, passant par et B : [ π] = M,MB O,OB Exercice n 3 : BC est un triangle équilatéral direct de centre O. Donner les mesures de l'angle: OB,OC V) Rotations 1 ) Définition : Soit Ω un point du plan et α un réel. Une rotation de centre Ω et d'angle α est la transformation du plan qui à tout point M associe l unique point M' tel que : Ω M = Ω M et Ω Ω = α [ π] On note : ( Ω α ) ( ) = ou simplement r lorsqu il n y a pas de confusion possible. Remarque : M = Ω, ( Ω) = Ω ; on dit que le point Ω est invariant. Si α, Ω est le seul point invariant ) Cas particuliers : a) α = 0 [ π] : la rotation de centre Ω est l'identité (c'est-à-dire l application qui à tout point M associe le point M lui-même). Page 6 sur 8
7 b) α = π [ ] π CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. : la rotation de centre Ω est la symétrie centrale de centre Ω. c) α = π [ π] : la rotation est appelée quart de tour direct. d) α = - π [ π] : la rotation est appelée quart de tour indirect. 3 ) Savoir reconnaître des images de points par une rotation : Exercice n 4 : BCD est un carré de sens direct de centre O. Soit r la rotation de centre d angle π et ro une rotation de centre O et d angle α a) Déterminer r () ; r (B) ; r (D) b) Comment choisir α pour avoir r O() = B? Comment choisir α pour avoir r O() = C? 4 ) Rotation réciproque : Si la rotation de centre Ω et d'angle α associe à un point M le point M, alors l application qui à M associe M est la rotation de centre Ω et d'angle -α. On dit que la rotation de centre Ω et d'angle α a pour réciproque la rotation de centre Ω et d'angle -α 5 ) Reconnaître les configurations liées aux rotations : Exercice n 5 : indiquer la configuration obtenue pour chacun des énoncés suivants a) Le point M a pour image N par la rotation de centre et d angle π b) Par la rotation de centre et d angle π, le point B a pour image C et C a pour image D. retenir : à " BC est un triangle équilatéral direct " on associe : " C est l'image de B par la rotation de centre, d'angle π. 6 ) Propriétés de conservations : a) Propriété : les rotations conservent Les distances. Le milieu d un segment. Les angles orientés. L alignement. Cela signifie que si, B et C sont trois points alignés, alors leurs images ', B' et C' le sont aussi. Le parallélisme. L orthogonalité. b) conséquence : les longueurs étant conservées, les aires le sont également. 7 ) pplications : a) Pour démontrer que deux segments ont même longueur, on peut démontrer que l'un est l'image de l'autre par une rotation usuelle : Exercice n 6 : BCD et EFG sont deux carrés indirects. Montrer que BE = DG b) Pour démontrer que trois points sont alignés, on peut trouver que ce sont les images par une rotation de trois points alignés : Exercice n 7 : les trois carrés de la figure ci contre ont un sommet commun. Et les sommets B, E et M sont alignés. Montrer que les points D, G et P sont alignés. 8 ) Images des figures usuelles : a) Propriété : L'image d'une figure F par une rotation est une figure F' superposable à F b) Conséquences : L'image d'un segment [B] est un segment ['B' ] L'image d'une droite (B) est une droite ('B' ). Figure Droite Segment Cercle de centre O Parallélogramme ngle Triangle Image droite Segment de même longueur Cercle de même rayon et dont le centre O' est l'image de O 10 ) Image d'un point d'intersection de deux droites : Parallélogramme ngle de même mesure Triangle de même aire. Page 7 sur 8
8 CHPITRE N.. NGLES ORIENTES. a) Théorème : d et sont deux droites, d' et ' leurs images une rotation. Si M est à l'intersection de d et, alors son image M' est à l'intersection de d' et '. b) pplication : trouver l'image d'un point d'intersection. Page 8 sur 8
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