Objectifs : revoir, sous un éclairage historique, le nombre π ainsi que les extensions successives des notions de nombre.

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1 Chapitre 9 LE NOMBRE Objectifs : revoir, sous un éclairage historique, le nombre ainsi que les extensions successives des notions de nombre. 9. Valeur approchée du nombre Définition 9. Le rapport de la longueur (L) d une circonférence à son diamètre (D ) est le même pour toutes les circonférences; cette constance est notée (première lettre du mot périmètre en grec): Approximation de L D = Archimède de Syracuse ( 87 A.C.) rechercha une approximation du nombre en partant d un hexagone régulier inscrit à un cercle et en doublant successivement le nombre de côtés jusqu à obtenir un polygone régulier à 9 côtés. Il fit de même avec des polygones réguliers circonscrits et conclut qu à chaque étape la longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres des polygones inscrit et circonscrit. Il en déduit l approximation suivante : Archimède a fait ses calculs à partir des formules suivantes : P n =, 08 < <, 8. p np n p n + P n et p n = p n P n 7

2 CHAPITRE 9. LE NOMBRE 7 où p n P n est le périmètre d un polygone régulier à n côtés inscrit circonscrit à un cercle. En appliquant ces formules dans une circonférence de diamètre égal à, et en partant d un carré (n =, p = et P = ), on obtient successivement: Nombre de côtés périmètre du polygone régulier périmètre du polygone régulier du polygone inscrit à un cercle de rayon circonscrit à un cercle de rayon n p n P n, 887, , 07, 70850, 55, , 589, 579, 0, 89 8, 775, 5, 580, , 579, 08 0, 5877, 05 08, 59, , 595, , 5958, 598 8, 59, Quelques décimales... Akira Haraguchi, un Japonais de 0 ans, a récité décimales de Pi en h0 le octobre 00, battant ainsi son propre record (non-officiel) de 8 décimales établi l année dernière! Premier commentaire de l intéressé: Je n ai rien ressenti de sensationnel, j ai juste vidé tout ce qu il y avait dans ma mémoire

3 CHAPITRE 9. LE NOMBRE 75 A quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de pi? Le calcul de décimales de pi est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs (deux erreurs graves furent ainsi détectées sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000) La recherche de motifs de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaître de plus en plus de décimales. Mais la motivation la plus importante n est pas de connaître de plus en plus de décimales de pi mais bel et bien de les calculer. En effet, le calcul d un si grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de très grand progrès dans ce domaine. =,

4 Chapitre 0 ANGLES ET ARCS 0. Mesure des angles - Unités d angles Introduction Exercice 0. Soit un cercle de centre O et de rayon r. Au lieu de mesurer l angle au centre en degrés, choisissons une nouvelle unité : l angle au centre qui intercepte l arc de longueur r est l angle de mesure. Compléter : Part de cercle Longueur de cette part Angle au centre AB B r cercle entier cercle o A cercle cercle r 7 cercle Que constate-t-on si le rayon du cercle est? Exercice 0. Dans le plan, on donne un cercle de centre O et de rayon ainsi que le sens du parcours positif sur ce cercle. Imaginons un point mobile M qui, au départ de l origine A, parcourt le cercle dans le sens positif ou dans le sens négatif. Il s arrête en B. Si M a parcouru, sur le cercle, une distance égale à d sans le sens positif, on dit que B est représenté par le réel d; sans le sens négatif, on dit que B est représenté par le réel d; 7

5 CHAPITRE 0. ANGLES ET ARCS 77. Déterminer le point du cercle représenté par : o r = d B + A. En tenant compte des points placés sur le cercle ci-contre, compléter : B -d C Points A B C D E D B + Réels E o A Définitions F G H Définition 0. Le DEGRE est l amplitude d un angle qui intercepte ( 0)ème d un cercle centré en son sommet. Ainsi 0 est l amplitude d un angle qui intercepte tout le cercle centré en son sommet. Les subdivisions du degré sont: = 0 = 0 Le système degré est utilisé en géométrie, géodésie, astronomie, navigation, mécanique,... La navigation reste attachée au système degré car en latitude correspond à mille marin. (le mille marin international : 85 m, le mille marin britannique : 85 m, le mille terrestre : 09 m ) Définition 0. Le RADIAN est l amplitude d un angle qui intercepte sur un cercle centré en son sommet un arc dont la longueur est le rayon du cercle. M Remarques 0.5 l En radians et dans un cercle de rayon, tout angle au centre et l arc intercepté ont même mesure. Mais attention : l unité n est pas la même! O A La longueur de l arc intercepté l et la mesure de l angle au centre qui intercepte α sont des valeurs proportionnelles. Longueur de l arc intercepté r Mesure de l angle au centre l α r α = l α = l r

6 CHAPITRE 0. ANGLES ET ARCS 78 Conversion Degré Radian 80 Exercices 0.. Convertir 90 = rad 5 = rad 0 = rad 0 = rad 50 = rad = rad 0 = rad 0 = rad 70 = rad Compléter = rad = rad 0 = rad 5 5 = rad 7 7 = rad 0, 5,, 0, 0

7 Chapitre ANGLES ORIENTES. Définitions, vocabulaire.. Cercle trigonométrique + Définition. Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou positif et le sens indirect ou négatif. Définition. Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon orienté de telle sorte que le sens direct est celui du sens inverse des aiguilles d une montre. O -.. Le plan orienté Définition. Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés comme un cercle trigonométrique. Dans la suite le plan est orienté.. Angle orienté d un couple de vecteurs non nuls Mesures positives C est un cercle trigonométrique de centre O ; A et B sont deux points de C. Lorsqu on fait fait tourner OA dans le sens direct pour l amener sur OB, le point A parcourt un arc de cercle de longueur l (Comme le rayon du cercle est, l est aussi, la mesure en radians de l angle géométrique ÂOB ). On convient de dire que l est une mesure de l angle orienté ( OA, OB) ( OA est écrit en premier pour indiquer que l on part de A). O α B A l

8 CHAPITRE. ANGLES ORIENTES 80 Exercice. Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que :. est une mesure de ( OK, OL) ; est une mesure de ( OK, OM) ; est une mesure de ( OM, ON). est une mesure de ( OK, OL) ; est une mesure de ( OK, 5 OM) ; est une mesure de ( OM, ON).. 7 Après avoir fait tourner OA dans le sens direct pour l amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur l +. On convient de dire que l + est une mesure de l angle orienté ( OA, OB) Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur l + k, ce nombre est aussi une mesure de ( OA, OB). Exercice.5 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : + est une mesure de ( OK, 5 OL) ; + est une mesure de ( OK, 7 OM) ; est une mesure de ( OM, ON). Mesures négatives Mais pour amener OA sur OB on peut aussi parcourir le cercle dans le sens indirect. Alors lorsque OA arrive sur OB pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur l. Pour indiquer que l on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l écrire, on convient de compter ce trajet négativement et de dire que ( l) est une mesure de l angle orienté ( OA, OB). -l O α B A l + - Exercice. Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que :. est une mesure de ( OK, OL) ; est une mesure de ( OK, OM) ; de ( OM, ON).. 7 est une mesure de ( OK, OL) ; est une mesure de ( OK, OM) ; 5 mesure de ( OM, ON). est une mesure est une

9 CHAPITRE. ANGLES ORIENTES 8 Après avoir fait fait tourner OA dans le sens indirect pour l amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l on compte négativement. On convient de dire que ( l) est une mesure de l angle orienté ( OA, OB). Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens indirect direct, que l on compte négativement, on obtient pour mesure de ( OA, OB) le nombre réel ( l) k ce qui s écrit encore l + ( k ). Exercice.7 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : 5 est une mesure de ( OK, OL) ; 7 est une mesure de ( OK, OM) ; est une mesure de ( OM, ON). Ensemble des mesures Pour amener OA sur OB on peut aussi faire une partie du parcours dans le sens direct et une autre dans le sens indirect. On démontre que tous les parcours permettant d amener OA sur OB sont associés, par les procédés décrits ci-dessus, aux nombres de la forme l + k, où k Z. Ces nombres sont appelés les mesures de l angle orienté ( OA, OB). Exercice.8 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : 5 est une mesure de ( OK, OL) ; 7 est une mesure de ( OK, OM) ; 7 + est une mesure de ( OM, ON). Cas général N l u = OM et v = ON sont deux vecteurs non nuls représentés à partir d un point O. Notons C le cercle trigonométrique de centre O. Les demi-droites [OM et [ON coupent C en A et B. Notons l la longueur de l arc de cercle AB, parcouru de A vers B dans le sens trigonométrique. B v O u A M Définition.9 Les nombres de la forme l + k, k Z, sont les mesures en radians de l angle orienté de vecteurs ( u, v ). Remarque : si x est une mesure, toute autre mesure y s écrit y = x + k, k Z.. Mesure principale Parmi toutes les mesures l + k, il en existe une et une seule dans l intervalle ] ; +] (] 80 ; 80 ]). Cette mesure est appelée la mesure principale de ( u, v ). La valeur absolue de la mesure principale de ( u, v ) est égale à la mesure en radians de l angle géométrique formé par u et v.

10 CHAPITRE. ANGLES ORIENTES 8. Rotation du plan orienté Définition.0 I est un point fixé du plan et α un réel. La rotation de centre I et d angle α, mesuré en radians, est la transformation du plan orienté telle que I est invariant et pour tout point M I, son image M est le point tel que IM = IM et ( IM, IM ) = α (+k. avec k ZZ). M α I M.5 Propriétés des angles orientés Ne pas oublier que tout angle orienté possède une infinité de mesures Angles et colinéarité u et v sont deux vecteurs non nuls, l angle ( u, v ) permet de traduire leur colinéarité car, d après la définition des mesures d un angle orienté : On en tire le théorème suivant : ( u, u ) = 0 et ( u, u ) = ( u, u ) =. Théorème. Dire que u et v sont colinéaires et de même sens équivaut à dire que ( u, v ) = 0. Dire que u et v sont colinéaires et de sens contraires équivaut à dire que ( u, v ) =. v u u v.5. Relation de Chasles Théorème. (admis) Pour tous vecteurs non nuls u, v, w : ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ). Selon cette relation de Chasles, en additionnant n importe quelles mesures de ( u, v ) et de ( v, w ), on obtient une mesure de ( u, w ). Réciproquement, toute mesure de ( u, w ) peut s écrire comme la somme d une mesure de ( u, v ) et d une mesure de ( v, w ). Exemple: ( BA, CD) = ( BA, BC) + ( BC, CD), donc ( BA, CD) = + = 5.

11 CHAPITRE. ANGLES ORIENTES 8 Propriété. Pour tous vecteurs non nuls u et v :. ( u, v ) = ( v, u ). ( u, v ) = ( u, v ) +. ( u, v ) = ( u, v ) +. ( u, v ) = ( u, v ) Démonstration.. ( u, u ) = 0 et selon la relation de Chasles, ( u, u ) = ( u, v )+( v, u ) donc ( u, v )+( v, u ) = 0 d où le résultat.. ( v, v ) = et selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, v ) + ( v, v ) d où le résultat.. ( u, u ) = et selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, u ) + ( u, v ) d où le résultat.. Selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, u ) + ( u, v ) = ( v, v ), donc ( u, v ) = ( u, v ) + d où le résultat..5. Transformations usuelles et angles orientés Définition. Dire qu une transformation du plan conserve les angles orientés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d images respectives M, N, P alors ( M N, M P ) = ( MN, MP ). Dire qu une transformation du plan change les angles orientés en leurs opposés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d images respectives M, N, P alors ( M N, M P ) = ( MN, MP ). Propriété.5 Les translations, les homothéties et les rotations conservent les angles orientés. Une réflexion change un angle orienté en son opposé.

12 Chapitre NOMBRES TRIGONOMETRIQUES A partir de maintenant, tout angle orienté représenté dans un cercle trigonométrique aura comme vecteur de départ i. j + O i Définition. Un repère orthonormé (O; ı, ȷ )du plan est dit direct lorsque ( ı, ȷ ) = ( ı, ȷ ) =., indirect lorsque. Quadrants Dans la figure suivante, les axes représentés en pointillés bordent régions du plan. Chacune de ces régions porte le nom de QUADRANT. II I III IV Exercice. 8

13 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 85 Entoure le numéro du quadrant correspondant. 0 est un angle du quadrant I II III IV 05 est un angle du quadrant I II III IV est un angle du quadrant I II III IV 8 est un angle du quadrant I II III IV 00 est un angle du quadrant I II III IV 5 est un angle du quadrant I II III IV 8O 9O II I o III IV O + 7O Exercice. Entoure le numéro du quadrant correspondant. 5 est un angle du quadrant I II III IV est un angle du quadrant I II III IV 7 est un angle du quadrant I II III IV est un angle du quadrant I II III IV 7 est un angle du quadrant I II III IV est un angle du quadrant I II III IV / II I o III IV + 0 / Exercice. Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure A: 0 B: 0 F: 5 G: 05 II 9O I + C: 00 D: 0 H: 5 I: 0 8O o III IV O E: 0 J: 00 7O Exercice.5 Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure A: B: C: 7 D: 5 F: 5 G: 5 H: 9 I: 5 / II I o III IV + 0 E: J: 7 / Exercice. Donner, en degrés, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en degrés.

14 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Exercice.7 Donner, en radians, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en radians Exercice.8 On donne des nombres. Quels sont ceux qui sont la mesure principale, en radians, d un angle?, 9 5, 5 Exercice.9 Un angle  a une infinité de mesures : + k. (k ZZ) Parmi les nombres suivantes, quels sont ceux qui sont une mesure en radians de  Cosinus et sinus d un angle orienté de vecteurs.. Cosinus et Sinus d un réel C est un cercle trigonométrique, A et B sont deux points de ce cercle tels que, si on pose ı = OA et ȷ = OB alors le repère (O; ı, ȷ )est orthonormé direct. B Définition.0 α est un réel quelconque. Il lui correspond un unique point M de C (on associe donc un point du cercle à α) tel que α soit une mesure en radians de ( ı, OM). Le cosinus de α, noté cos α, est l abscisse de M dans le repère (O; ı, ȷ ). sin x x 0 cos x A Le sinus de α, noté sin α, est l ordonnée de M dans le repère (O; ı, ȷ ). Remarques :. On dit certaines fois, pour associer un point du cercle trigonométrique à un réel, que l on enroule l ensemble des réels autour du cercle trigonométrique.

15 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 87. Il est essentiel de retenir quelques valeurs de cosinus et sinus pour des réels paticuliers. La figure suivante donne les valeurs à connaître (Le calcul de chacune de ces valeurs repose sur la géométrie élémentaire... et quelques symétries...).

16 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 88 sin / / / / / 5/ / 0 cos 5/ / / / / / / Proposition. Pour tout réel x :. cos x + sin x =. cos( x) = cos x et sin( x) = sin x. cos(x + ) = cos x et sin(x + ) = sin x. cos(x + ) = cos x et sin(x + ) = sin x 5. cos( x) = cos x et sin( x) = sin x. cos( x) = sin x et sin( x) = cos x 7. cos( + x) = sin x et sin( + x) = cos x Démonstration. Les figures suivantes illustrent cette proposition.

17 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 89.. Fonctions cosinus et sinus Définition. (Fonction cosinus) La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe son cosinus. cos : IR IR x cos x Sa courbe représentative est la suivante : y + y = cos x O + x Exercice. Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation. Définition. (Fonction sinus) La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe son sinus. sin : IR IR x sin x

18 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 90 Sa courbe représentative est la suivante : y + y = sin x O + x Exercice.5 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation... Cosinus et sinus d un angle orienté Si x désigne une mesure en radians d un angle orienté ( u, v ), alors toute autre mesure est du type x + k, avec k entier relatif. Comme la fonction cosinus est périodique, alors cos(x + k) = cos x et sin(x + k) = sin x. Il en résulte la définition suivante : Définition. Le cosinus (respectivement le sinus) d un angle orienté ( u, v ) est le cosinus (respectivement le sinus) de l une quelconque de ses mesures en radians. Notation.7 Le cosinus de l angle ( u, v ) se note cos( u, v ) et le sinus, sin( u, v ).. Lien entre cosinus d un angle orienté et l angle géométrique associé Notons α la mesure principale de l angle orienté ( u, v ) et θ la mesure en radians de l angle géométrique ÂOB. Nous savons que α = θ et que la fonction cosinus est paire donc cos θ = cos( α ) = cos α. Propriété.8 L angle orienté de vecteurs ( u, v ) et l angle géométrique formé par ces deux vecteurs ont le même cosinus. Remarque : ( u, v ) et ÂOB n ont pas toujours le même sinus. En effet la fonction sinus est impaire donc sin α = sin α si α est positif et sin α = sin α si α est négatif. Ainsi les sinus de ( u, v ) et ÂOB sont égaux ou opposés.

19 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 9. Tangente et Cotangente d un angle orienté de vecteurs.. Tangente et Cotangente d un réel Définition.9 Si x IR \ { + k. : k ZZ}, alors Définition.0 Si x IR \ { k. : k ZZ }, alors tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x.. Interprétation graphique de la Tangente et de la Cotangente Pour obtenir une représentation graphique de la tangente de x, on trace la droite tangente au cercle trigonométrique au point A de coordonnées (, 0). La tangente de x est l ordonnée du point M, intersection de avec OB. j O B αx i B' M A En effet, les triangles OAM et OB B étant semblables (A - A), on a OA OB = AM B B = cos x = AM sin x = AM = sin x cos x = tg x Pour obtenir une représentation graphique de la cotangente de x, on trace la droite tangente au cercle trigonométrique au point C de coordonnées (0, ). La cotangente de x est l abscisse du point M, intersection de avec OB. C M B j O x i B A En effet, les triangles OCM et OB B étant semblables (A - A), on a OC OB = CM B B = sin x = CM cos x = CM = cos x sin x = cotg x

20 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 9.. Fonctions tangente et cotangente Définition. (Fonction tangente) La fonction tangente, notée tg, est la fonction qui à tout réel x + k. (k ZZ) associe sa tangente Sa courbe représentative est la suivante : tg : IR IR x tg x y = tan x O Exercice. Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation. Définition. (Fonction Cotangente) La fonction cotangente, notée cotg, est la fonction qui à tout réel x k. (k ZZ) associe sa cotangente. Sa courbe représentative est la suivante : cotg : IR IR x cotg x y = cotan x O Exercice. Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation.

21 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 9.. Tangente et Cotangente d un angle orienté Si x désigne une mesure en radians d un angle orienté ( u, v ), alors toute autre mesure est du type x + k, avec k entier relatif. Comme la fonction tangente est périodique, alors tg (x + k) = tg x et cotg (x + k) = cotg x. Il en résulte la définition suivante : Définition.5 La tangente (respectivement la cotangente) d un angle orienté est la tangente (respectivement la cotangente) de l une quelconque de ses mesures en radians.. Signe des nombres trigonométriques Cos a Sin a Tg a Cotg a Nombres trigonométriques d angles remarquables DEG sin 0 cos tg 0 cotg RAD Exercices Exercice. Calculer sans machine.. sin( 90 ) =. cos( 90 ) =. sin( 70 ) =. cos( 0 ) = 5. tg ( 80 ) =. cotg ( 80 ) = 7. tg (70 ) = Exercice.7 8. cotg (90 ) = 9. cotg (0 ) = 0. tg (90 ) =. cos( ) =. sin( ) =. cos() =. tg ( ) = 5. sin( 5 ) =. cotg ( ) = 7. cos( ) = 8. cos( ) = 9. cos( ) = 0. cos( ) =. cos( ) =. Sachant qu α est un angle du deuxième quadrant et que sin α = 5, calculer cos α, tg α et cotg α puis donner, pour chacun de ces nombres trigonométriques, une interprétation graphique sur un cercle dont le rayon mesure cm.. Idem si α [ 80, 70 ] et tg α =, 5 (rayon du cercle =, 5 cm).

22 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 9. Idem si α [, ] et cos α =. Idem si α au quadrant I et sin α =. 5. Idem si α [, ] et cos α = 5. Exercice.8 (rayon du cercle =, 5 cm). Un élève a résolu des exercices analogues à ceux de l exercice précédent. Chercher les éventuelles erreurs.. α [ 80, 70 ] cos α = sin α = 5. α [ 0, 90 ] cos α = 5 sin α = 5. α [, ] sin α = cotg α = 5 Exercice.9 Démontrer les formules suivantes : Exercice.0 + tg x = cos x et + cotg x = sin x Vérifier les identités suivantes, après avoir précisé les conditions d existence.. cos α sin α = cos α sin α. sin α( cotg α) = cos α(tg α ). cos α cos α = cos α sin α. sin α cos α = sin α 5. cotg α sin α =. (tg α + cos α ) = +sin α sin α 7. sin α + sin αtg α = tg α 8. ( cos α + sin α)( + cos α sin α) = sin α cos α 9. cos α cotg α = cotg α cos α 0. sin α( sin α) + cos α( cos α) =. sin α + cos α sin α cos α + sin α = 0 (suggestion : grouper les termes en sin α). sin α + cos α + sin α cos α =. (sin α + cos α) (sin α + cos α) =. 5. tg α +tg α = sin α tg α +tg = sin α cos α α. sin α sin β = cos β cos α Exercice. Montrer que +sin α et sin α sont solutions de l équation: x cos α + x sin α = 0.

23 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 95 Vocabulaire. Deux angles sont opposés si leur somme vaut une mesure de l angle nul Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut une mesure de l angle plat Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut une mesure de l angle droit Deux angles sont anti-supplémentaires si leur différence vaut une mesure de l angle plat. Ainsi, si α est un angle orienté quelconque, alors Les angles α et α sont appelés angles supplémentaires. Les angles α et α sont appelés angles opposés. Les angles α et α sont appelés angles complémentaires. Les angles α et + α sont appelés angles antisupplémentaires. Exercice. Compléter Exercice. Angle α Opposé Supplémentaire Complémentaire Antisupplémentaire Parmi les propositions suivantes, repérer les égalités et corriger les signes dans les égalités fausses afin d obtenir des égalités.. sin 0 = sin 0. sin 0 = sin( 0 ). cos 0 = cos 0. cos 5 = sin 5 5. cos 0 = sin 90. tg 5 = tg ( 5 ) 7. sin 00 = sin 0 8. sin 5 = cos 5 9. sin 0 = sin( 0 ) 0. cos = cos 77. cos 5 = sin 5. tg = tg 9. cotg ( 90 ) = cotg 70. cos(80 + α) = cos(80 α) Exercice.5 Simplifier sans utiliser de calculatrice. cos( 0 ) cos 0. sin(00 ) cos( 0 ). cos( 5 ) sin( 0 )

24 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 9 Exercice. Simplifier (on suppose les dénominateurs non nuls). sin(90 α) sin( α). sin (90 α) tg (5 +α) cos(0 α) tg (5 +α) 5. sin(80 α) cos(90 α) + sin(90 +α) sin(70 +α). cos(90 +α) cos(90 α). sin( α) sin(90 +α) cos( α) cos(80 +α) cos(70 α). tg (70 +α) tg sin(80 α) (80 α) sin(70 α).7 Equations trigonométriques Angles ayant même sinus : sin x = sin α ( angles supplémentaires) Angles ayant même cosinus : x = α + k ou x = α + k (k ZZ) cos x = cos β ( angles opposés) Angles ayant même tangente : x = β + k ou x = β + k (k ZZ) tg x = tg γ x = γ + k ( angles antisupplémentaires) (k ZZ) Exemples.7 Résolvons les équations trigonométriques élémentaires suivantes:. sin x = sin. sin x = sin 0, 5. cos x = cos. cos x = cos, 5. tg x = tg 5. tg x = tg 0, 9 Exemples.8 Résolvons dans l ensemble des angles (en degrés) et dans l ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes :. sin x =. sin x =. cos x =. cos x = 5. tg x =. tg x = Exemples.9 Résolvons dans l ensemble des angles (en degrés) et dans l ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes :

25 CHAPITRE. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 97. sin x = 0, 97. cos x = 0, 7. tg x =, 7 Exercices.0 Résoudre dans IR (poser des conditions d existence si nécessaire):. sin x = sin x. cos x = cos x. tg x = tg x. cos x = sin x 5. cos x cos x = 0 Exercices. Résous dans IR :. sin y sin y = 0. cos ( γ ) sin ( γ + ) = 0. sin x = sin x. tg z + tg z = 0 5. cos x = cos ( x 9 ) Exercices. Résous dans IR :. cos x =. tg x + tg x + = 0. tg x cotg x = Exercices. Cherche le domaine de définition et l ensemble des racines des fonctions f : IR IR : x f(x), telles que f(x) égale cos x+cos x. cos x+. sin x