Club math du collège privé laïc les «pigeons» TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES CLASSE 2 e S Année scolaire Fiche numéro 1et 2
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- Marie-Josèphe Gaulin
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1 TRVUX IRIGES E MTHEMTIQUES LSSE 2 e S nnée scolaire Fiche numéro 1et 2 Structure : ngles orientés-trigonométrie-produit scalaire-roites et cercles dans le plan Exercice 1. x étant la mesure principale d un angle orienté, démontrer que : ( ) ( ) 4 4 a) cos x + sin x + cos x sin x = 2 b) cos x + sin x = 1 2sin x cos x π 2 e)1 + cos x 0 f)1-sinx c) cos x sin x = 1 2sin x d) si x ±, montrer tan x sin x = tan xsin x π 9π 4π 6π g) cos + cos + cos + cos = Exercice 2 1. ompléter le tableau suivant egrés Radians os Sin Tan 2. ompléter les égalités suivantes à l aide de cos x et sin x (excepté pour la 1 ). cos 2 x + sin 2 x = 1 + tan 2 x = cos ( 2 π x) = cos (π x) = sin (π x) = sin ( 2 π x) = 3.En s aidant éventuellement du rapporteur,placer les points associés aux angles orientés suivants π 2π π π 3π sur le cercle trigonométrique :,,,,, EXERIE 3. HUGUES SIL TRVUX IRIGES E MTH SEONE Page 1
2 I- est un triangle rectangle. émontrer que 2 1) cos + cos + cos = 1 2 2) sin + sin + sin = 2 II- Soient m + 4 m u et v m 2 où m est un réel. 1-éterminer m pour que les vecteurs soient colinéaires. 2-éterminer m pour que u, Exercice 4 QM v soit une base du plan 1.Les droites passant par ( 1, 2) et de coefficient directeur 1/m ont pour équation : a mx y+2m+1=0 b m(x y)+2=m c my=x+2m d x my+2m+1=0 EXERIE 5 est un triangle quelconque dont les angles sont aigus ; S est l aire de, H le projeté orthogonal de sur []. On pose = c, = b, = a. a. Montrer que S = 1 2 bc sin ; donner deux autres relations similaires exprimant S. En déduire la «formule a des sinus»: sin = b sin = c sin. b. pplication numérique : est un quadrilatère tel que = 30, = 70, = 25 et = 60. La longueur vaut 8. alculer les longueurs et à 10 3 près. 1-1 : asique 1 La figure ci-dessous représente un rectangle tel que : = 5 et = 3 ; un triangle F équilatéral et un triangle E rectangle et isocèle en. Le point H est le milieu du segment []. HUGUES SIL TRVUX IRIGES E MTH SEONE Page 2
3 F E alculer les produits scalaires suivants : 1. H ; 2. E ; 3. F ; 4. E ; 5. E ; 6. E. 1-2 : asique 2 Sachant que les vecteurs u et v sont tels que u = 3, v = 7 et u v = 13, calculer les produits scalaires suivants : 1. u ( u + 3v ). 2. ( u 2v ) : asique 3 Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O ; i, j). Soient les points (1 ; 1), (4 ; 3) et ( 1 ; 6). 1. alculer le produit scalaire.. 2. En déduire cos Â, puis une valeur approchée de  en degré à 10 1 près. 1-4 : asique 4 On considère un triangle tel que = 4, = 6 et = π 3. alculer. 1-5 : asique 5 est un triangle tel que = 6, = 7 et = alculer le cosinus de l angle. 2. En déduire la valeur exacte du sinus de l angle. 3. On note I le milieu de []. alculer la longueur I. 4. On note J le projeté orthogonal du sommet sur le côté []. alculer la longueur J. HUGUES SIL TRVUX IRIGES E MTH SEONE Page 3
4 1-6 : ercles 1 Soit () et (') les cercles d'équations : et les rayons de ces cercles. Sont-ils sécants? x + y + 4x + 2y + 2 = 0 et x + y 4x 4y 2 = 0. éterminez les centres 1-7 : ercles 3 (c) On considère le cercle d équation x + y + x + y 8 = 0 et le cercle de centre O ( 1 ; 3 2 ) et de rayon éterminez le centre O et le rayon r de puis déterminez une équation de. Tracez les 2 cercles. 1-8 : ercles 4 (c) a. Montrer que l'équation rayon. x + y 2x 8y 8 = 0 est celle d'un cercle () dont on précisera le centre et le b. alculer les coordonnées des points d'intersection et de () avec la droite () d'équation x + 2y + 1 = : ercles 6 Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O ; i, j). On considère les points ( 2 ; 1), (6 ; 2) et (4 ; 5). 1. Montrer que le triangle est rectangle en. 2. éterminer l équation du cercle de diamètre []. 3. éterminer l équation du cercle Γ circonscrit au triangle : ercle et droites ans un plan, muni d un repère orthonormal ( O ; i, j) ( 3 ; 1 ) et ( 5 ; 5 ). On note l ensemble des points ( ; ) 1. a. éterminer une équation de et Γ., on considère les points : ( 2 ; 1 ), ( 5 ; 7 ) M x y du plan tels que M. = 27 b. Vérifier que H ( 1 ; 7 ) est un point de et que ( 1 ; 1 ) c. onstruire et Γ. 2. a. Résoudre le système ( ) : b. Que peut-on en déduire? S x + 2y 13 = 0 x + y 8 x 4 y + 10 = 0 E est un point de Γ. 3. éterminer l équation réduite de la tangente à Γ au point E puis la tracer. 4. éterminer les coordonnées des points d intersection de Γ avec les axes du repère : Puissance d un point - Géométrique Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R et M un point non situé sur Γ., et Γ le cercle de diamètre [ ]. HUGUES SIL TRVUX IRIGES E MTH SEONE Page 4
5 Γ Γ M O O M On se propose d établir que, dans chacune des configurations ci-dessus, on a : M. M = M. M. Soit E le point diamétralement opposé à sur Γ. 1. Montrer que M. M = M. M E. En déduire que M. M = OM R. 2. Établir le résultat annoncé. HUGUES SIL TRVUX IRIGES E MTH SEONE Page 5
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