NOM : ANGLES ET ROTATIONS 1ère S

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1 Exercice 1 ABC est un triangle de sens direct rectangle en A. On construit à l extérieur du triangle les carrés ACDE et BCF G. Démontrer que les droites (BD) et (AF ) sont perpendiculaires, et que BD = AF. Illustration D. LE FUR 1/ 50

2 Exercice 2 ABC est un triangle équilatéral de sens direct. On construit sur [AB], [BC] et [CA] les points P, Q et R tels que AP = BQ = CR. Démontrer que le triangle P QR est équilatéral. Illustration D. LE FUR 2/ 50

3 Exercice 3 ABC est un triangle de sens direct. On construit M et N tels que AMB et ACN soient équilatéraux directs. Démontrer que MC = NB. Illustration D. LE FUR 3/ 50

4 Exercice 4 Soit ABCD un carré de centre O de sens direct. Soient I le symétrique de A par rapport à B et J le symétrique de D par rapport à A. Démontrer que OIJ est un triangle rectangle isocèle en O. Illustration D. LE FUR 4/ 50

5 Exercice 5 L angle de 2 radians Soit un secteur angulaire d angle 2 radians, de rayon 1, et un carré de côté 1. Démontrer que ces deux domaines ont même aire et même périmètre. 1 1 D. LE FUR 5/ 50

6 Exercice 6 OAB et OCD sont deux triangles rectangles isocèles de sens direct. Montrer que AC = BD et que (AC) et (BD) sont perpendiculaires. Illustration D. LE FUR 6/ 50

7 Exercice 7 ABCD et AEF G sont deux carrés de sens direct, de côtés inégaux. On désigne par M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [BD], [DE], [EG] et [GB]. Soit r la rotation de centre A et d angle π 2. 1) Faire une figure. 2) Montrer que MNP Q est un parallélogramme. 3) Déterminer l image du segment [BE] par la rotation r. 4) En déduire que MNP Q est un carré. Illustration D. LE FUR 7/ 50

8 Exercice 8 «J habite à la campagne dans une zone en forme de triangle équilatéral dont les sommets sont 3 villages. Ma maison se trouve à vol d oiseau à 3 km, 4 km et 5 km des 3 villages. De combien chaque village est-il distant des deux autres?» Soit M un point intérieur à un triangle équilatéral ABC direct. On considère la rotation r de centre A et d angle π 3. 1) Construire N = r(m). 2) A l aide des données MA = 5, MB = 4 et MC = 3, déterminer les longueurs du triangle CMN. En déduire sa nature. 3) A l aide des relations métriques dans le triangle CMN, en déduire la longueur des côtés du triangle ABC. Illustration D. LE FUR 8/ 50

9 Exercice 9 Trois cercles de rayon R = 1 sont tangents deux à deux. Calculer l aire hachurée comprise entre les 3 cercles. Rappel : l aire d un secteur angulaire d angle α radians et de rayon R est A = 1 2 αr2. D. LE FUR 9/ 50

10 Exercice 10 ( ) 5π A 6 ( π ) J 2 Sur un cercle trigonométrique (C), on considère les points A et B tels que : ( OI, OA) = 5π 6 et ( OI, 2π OB) = 3. Déterminer les mesures principales des angles suivantes : ( OA, OJ ) ; ( OJ, OB) ; ( OA, OB) ; ( AO, OB) ; I (π) O I(0) ( OA, BO) ; ( AO, BO) ; (2 OA, 3 OB). ( B 2π ) 3 ) J ( 3π 2 D. LE FUR 10/ 50

11 Exercice 11 ABC est un triangle isocèle en A. I, J et K sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Démontrer que les angles ÂBC et ĴOC sont égaux. Illustration D. LE FUR 11/ 50

12 Exercice 12 Dans un repère orthonormal de sens direct (O ; i, j ), on considère le point B(1 ; 1) et le point A d abscisse 2 tel que :( i, π BA) = 3. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. Illustration D. LE FUR 12/ 50

13 Exercice 13 ABCD est un parallélogramme de centre O. 1) Démontrer que ( AB, AD) + ( CB, CD) = 0. 2) Quelle propriété du parallélogramme a-t-on démontré? 3) On suppose que ( π AB, AD) = 4. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : ( CD, CB) ; ( BA, DA) ; ( DC, DA) ; ( BC, DA). Illustration D. LE FUR 13/ 50

14 Exercice 14 (C 1 ) et (C 1 ) sont deux cercles de centres respectifs O 1 et O 2 et de même rayon R = 2 cm. On suppose que ces deux cercles se coupent en deux points A et B avec ( O 1 A, O 1 B) = π 3. (C 1 ) (C 2 ) B O 1 O 2 A 1) Quelle est la nature du quadrilatère O 1 AO 2 B? 2) Calculer la distance O 1 O 2 et la distance AB. 3) Calculer le périmètre et l aire de la surface d intersection des deux disques (zone hachurée sur la figure). Rappel : un arc de cercle d angle α radians et de rayon R a pour longueur L = αr ; un secteur angulaire d angle α radians et de rayon R a pour aire : A = α 2 R2. D. LE FUR 14/ 50

15 Exercice 15 A ABC est un triangle et I est le milieu de [BC]. On sait que ( IA, IB) = π 3. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : ( AI, IB) ; ( AI, IC) ; ( IA, CB). π 3 B I C D. LE FUR 15/ 50

16 Exercice 16 On considère la ligne brisée ABCDE telle que : AB = 3 cm, BC = 2 cm et ( BA, BC) = 2π 3 + 2kπ CD = 3 cm et ( BC, CD) = π 4 + 2kπ DE = 2 cm et ( BA, DE) = π 2 + 2kπ 1) Construire cette ligne brise. 2) Déterminer la mesure principale de ( DC, DE). Illustration D. LE FUR 16/ 50

17 Exercice 17 ABCD est un parallélogramme tel que : ( AB, AD) = π 6 + 2kπ. ADE est un triangle équilatéral direct. CMD est un triangle rectangle tel que : ( CM, CD) = π 2 + 2kπ. Illustration 1) Montrer que ( CD, AE) = π 2 + 2kπ. 2) En déduire la mesure principale de l angle ( CM, AE). Quelle conclusion peut-on en tirer? D. LE FUR 17/ 50

18 Exercice 18 On considère le triangle ABC rectangle en C tel que ( π AB, AC) = + 2kπ et AB = 8 cm. 6 1) Construire le triangle ABC. 2) Déterminer et dessiner l ensemble (E) des points M qui vérifient : ( MA, MB) = π 2 + 2kπ. 3) Déterminer et dessiner l ensemble (H) des points M qui vérifient : ( MB, MA) = π 6 + kπ. Illustration D. LE FUR 18/ 50

19 Exercice 19 A ABC est un triangle rectangle isocèle en B et direct. K est le point d intersection de la bissectrice de l angle BAC et du côté [BC]. J 1) Déterminer la mesure principale en radians de : ( BC, CA), ( AB, AK) et ( BC, KA). 2) Soit J le milieu du segment [AC]. Démontrer que ( BJ, KA) = ( KA, CB). B K C 3) Soit I le centre du cercle inscrit dans ABC. Quelle est la nature du triangle BIK? Illustration D. LE FUR 19/ 50

20 Exercice 20 A 1) Soit A l image de A par la rotation de centre O et d angle π 2. x Q O P Soit [Ax) une demi-droite d origine A et O un point n appartenant pas à cette demi-droite. Pour tout point M de [Ax), on considère le carré direct MNP Q de centre O. M N A a) Démontrer, en utilisant la relation de Chasles que, pour tout point M distinct de A, on a : ( AM, A N) = ( AO, A O) + 2kπ. b) En déduire que : ( AM, A N) = π 2 + 2kπ. pour tout point de ]Ax). c) Déterminer le lieu des points N lorsque M décrit la demi-droite ]Ax). 2) Déterminer les lieux des points P et Q. Illustration D. LE FUR 20/ 50

21 Exercice 21 D. LE FUR 21/ 50

22 Exercice 22 D. LE FUR 22/ 50

23 Exercice 23 D. LE FUR 23/ 50

24 Exercice 24 D. LE FUR 24/ 50

25 Exercice 25 D. LE FUR 25/ 50

26 Exercice 26 D. LE FUR 26/ 50

27 Exercice 27 D. LE FUR 27/ 50

28 Exercice 28 D. LE FUR 28/ 50

29 Exercice 29 D. LE FUR 29/ 50

30 Exercice 30 D. LE FUR 30/ 50

31 Exercice 31 D. LE FUR 31/ 50

32 Exercice 32 D. LE FUR 32/ 50

33 Exercice 33 D. LE FUR 33/ 50

34 Exercice 34 D. LE FUR 34/ 50

35 Exercice 35 D. LE FUR 35/ 50

36 Exercice 36 D. LE FUR 36/ 50

37 Exercice 37 D. LE FUR 37/ 50

38 Exercice 38 D. LE FUR 38/ 50

39 Exercice 39 D. LE FUR 39/ 50

40 Exercice 40 D. LE FUR 40/ 50

41 Exercice 41 D. LE FUR 41/ 50

42 Exercice 42 D. LE FUR 42/ 50

43 Exercice 43 D. LE FUR 43/ 50

44 Exercice 44 D. LE FUR 44/ 50

45 Exercice 45 D. LE FUR 45/ 50

46 Exercice 46 D. LE FUR 46/ 50

47 Exercice 47 D. LE FUR 47/ 50

48 Exercice 48 D. LE FUR 48/ 50

49 Exercice 49 D. LE FUR 49/ 50

50 Exercice 50 D. LE FUR 50/ 50

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