RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS UN TRIANGLE QUELCONQUE. APPLICATIONS.

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1 Sylvain ETIENNE 003/004 RELTIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DNS UN TRINGLE QUELCONQUE PPLICTIONS Niveau : Terminale S Pré-requis : Vecteurs Produit scalaire Trigonométrie Points remarquables d un triangle Relation de Chasles Nous nous plaçons dans cet exposé dans un plan affine euclidien P I INTRODUCTION Un triangle BC est la donnée de trois points, B, C appelés sommets et des trois segments associés, appelés côtés Nous considérons pour la suite un triangle BC non plat (certains résultats sont encore vrais pour un triangle plat!) Nous utiliserons les notations suivantes : Les longueurs des côtés BC, C, B sont respectivement a, b, c B ˆ, ˆ et C ˆ sont les mesures dans [ 0,π ] des angles géométriques du triangle I est le milieu de [ BC] H est le projeté orthogonal de sur [ BC] C est le cercle de centre O et de rayon R : c est le cercle circonscrit au triangle No us pouvons supposer que le plan est orienté et que le triangle orienté BC est direct, ie ( B; C ) est une base directe du plan II RELTIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES Commençons par donner un résultat important sur la somme des angles : Théorème 1 : La somme des angles orientés (resp géométriques) du triangle BC est égale à π modulo π (resp égale à π ) La somme des angles orientés est égale à : ( B, C) + ( BC, B) + ( C, CB) Il suffit à présent de remplacer ( C, CB ) par ( C, BC) qui détermine le même angle La relation de Chasles implique alors que cette somme est égale à l angle de ( B, B), qui est l angle plat Page 1

2 Sylvain ETIENNE 003/004 Soit le poi D et E définis par : et s nts D = BC E = B L angle ( BC, B ) est égal à D, E, ce couple est direct et CB = D E ( ) C, CB = C, D = C, D C, D Nous avons aussi : ( ) ( ) ( ) ; par suite, le couple ( ) est direct et CB = CD Les points, B, C, D, E sont dans un même demi-plan délimité par la droite B Le théorème d additivité sur les angles géométriques (supposé connu!) ( ) donne : BC + CD + D E = BE = π, d où : BC + CB + CB = π Proposition 1 (relation des sinus dans un triangle) : Nous avons, dans le triangle BC, les relations suivantes : a b c = = = R sin ˆ sin Bˆ sin Cˆ Il y a deux cas, suivant que BC soit aigu ou obtus Soit B le point opposé à B sur le cercle circonscrit Le théorème de l angle inscrit nous donne que la mesure de l angle en B du triangle rectangle BB C vaut  ou π  Or sin ( ˆ ) ˆ BC π = sin et sin ˆ BB = a, d où R sin ˆ = Nous allons à présent donner les formules d l Kashi, qui est un mathématicien arabe du quatorzième siècle Proposition (formules d l Kashi) : Nous avons, dans le triangle BC : a = b + c bccos ˆ Par permutation circulaire, nous obtenons de même : b = a + c accos Bˆ, c = b + a bacos Cˆ Nous avons : BC = ( ) C B = C + B C B, et nous utilisons le fait que : C B = C B cos ˆ Les deux autres formules se montrent par permutation circulaire Page

3 Sylvain ETIENNE 003/004 Remarque 1 : Dans le cas d un triangle rectangle, nous retrouvons le théorème de Pythagore Théorème (théorème de la médiane) : vec les notations du début, nous avons les relations suivantes : 1 B C = I a, 4 1 c + b = I + a, c b IH BC = Nous avons : B C = I + IB I + IC = I + I IC + IB I + IB IC Or I est ( ) ( ) le milieu de [ BC], donc IB = CI, donc I IC + IB I = 0 et a IB IC = D où la 4 première formule En utilisant la première formule d l Kashi sous la forme : a = b + c B C, nous en déduisons immédiatement la deuxième formule Nous avons : I = B + C, et regardons la quantité I BC D une part, elle est égale à IH BC par propriété du produit scalaire et d autre part, elle vaut en développant : = B + C B + I BC C = B C En regroupant les deux égalités, nous obtenons : ( ) ( ) c b = IH BC III IRE D UN TRINGLE QUELCONQUE Nous noterons p le demi-périmètre, ie triangle BC p = a+ b+ c et S l aire géométrique du Définition 1 : Si h, hb, hc désignent respectivement les hauteurs issues des sommets, B, C, alors l aire géométrique S est égale au demi-produit de la base par la hauteur correspondante Nous notons : S = ah (et aussi S = bhb = chc) Théorème 3 : Nous avons les relations suivantes : i- S = bcsin ˆ = casin Bˆ = absin C ˆ abc -ii- S = 4R Page 3

4 Sylvain ETIENNE 003/ i- Par le théorème précédent, S = ah et ˆ 1 h = bsin C, d où S = absin C ˆ Il en est de même pour les deux autres égalités 1 1 -ii- En utilisant la proposition 1, il vient immédiatement : sin ˆ a abc S = bc = bc = R 4 R Théorème 4 (formule de Héron) : Nous avons : S = p( p a)( p b)( p c) b + c a De la première formule d l Kashi, nous tirons le, à savoir : cos ˆ = bc Comme ˆ sin est positif, nous pouvons le tirer de la relation : cos ˆ + sin ˆ = 1, d où ( b + c a ) ( ) ˆ sin = 1, et 4bc sin ˆ = 4bc b + c a, puis 4bc 4b c sin ˆ = bc ( b c a ) bc ( b c a ) a ( b c) = ( b + c) a, Or ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a+ b c a b c b+ c a b+ c a b+ c + a, = p a p b p c p ( )( )( ) S = 1 ˆ b csin, d où S = p ( p a )( p b )( p c) IV PPLICTIONS ) FORMULE DU PRLLELOGRMME Proposition 3 : Si BCD est parallélogramme, alors : B + BC + CD + D = C + BD Soit I le milieu de [ BD] (c est aussi le milieu de [ C] car BCD est un parallélogramme) lors, en appliquant le théorème de la médiane (théorème, deuxième égalité) aux triangles BD et CBD, nous obtenons : 1 B + D = I + BD, 1 BC + CD = CI + BD D où B + BC + CD + D = I + CI + BD, ie : B + BC + CD + D = C + BD Page 4

5 Sylvain ETIENNE 003/004 Remarque : La réciproque est vraie B) IRE MXIMLE Théorème 5 (inégalité isopérimétrique) : p L aire géométrique S est inférieure ou égale à la quantité et il y a égalité 3 3 si et seulement si le triangle est équilatéral ; ce dernier a donc une aire maximale pour un périmètre p donné Nous avons : ( p a)( p b)( p c) 1/3 ( p a) + ( p b) + ( p c) ( ) ( ) 3 : En effet, le ( ) logarithme népérien du premier membre, égal à ln p a + ln p b + ln p c 3, est inférieur à celui du second, en raison de la concavité de la courbe du logarithme népérien De plus, nous avons ( p a) + ( p b) + ( p c) = p et par le théorème 4 (formule de Héron) : ( )( )( ) S = p p a p b p c, nous en déduisons l inégalité : lorsque ( )( p b)( p c) 1/3 = ( p a) + ( ) + ( ) p S L égalité se produit 3 3 p a p b p c 3, ce qui ne se produit que pour p a = p b= p c, c est à dire lorsque le triangle est équilatéral C) CERCLES INSCRITS ET EXINSCRITS Soit I le centre du cercle inscrit et r son rayon, I, IB, IC centres des cercles exinscrits dans les angles, B, C et r, rb, rc leur rayon respectif J est le point de contact du cercle inscrit avec le côté [ BC] Proposition 4 : Nous avons : S = pr = ( p a) r = ( p b) rb = ( p c) rc, S = r r rb rc L aire S est la somme des aires de IBC, IC, IB L aire de IBC est BC IJ, ou encore ar, celles de IC et IB sont respectivement br et cr, d où S = ( a+ b+ c) r = pr S est aussi la somme des aires de ICet de I B privée de l aire I BC ; ces aires sont respectivement br, cr et De même, nous obtenons les deux autres formules ar, et nous avons S = ( b+ c ) = ( p a) a r r Page 5

6 Sylvain ETIENNE 003/004 En multipliant les quatre aires trouvées précédemment, nous trouvons : 4 S = pr p a r p b r p c r, ( ) ( ) B ( ) ( )( )( ) = p p a p b p c rr r r B c Puis par la formule de Héron, nous obtenons : S = r r r r c B C V CONCLUSION Le triangle est une figure géométrique simple qui comporte de nombreuses relations tant métriques que trigonométriques, certaines établies depuis l antiquité Ces formules permettent notamment de résoudre des problèmes d optimisation Page 6