Degré Radian. 2π 9. ACTIVITÉ 2 (Enroulement de la droite des réels)

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1 ACTIVITÉ 1 (Le radian L objectif de cette première activité est de définir une nouvelle unité de mesure d angle. 1. Soit C un cercle de centre O et de rayon cm. (a Calculer le périmètre de ce cercle. (b Calculer la longueur d un arc de cercle dont l angle au centre mesure 180 degré. (c Calculer la longueur d un arc de cercle dont l angle au centre mesure 82 degré. 2. Pour quelle mesure d angle en degré, la longueur de l arc interceptant cet angle au centre mesure cm?. En mathématiques, nous préférons travailler avec des mesures d angles en radian. L intérêt provient du fait que la longueur d un arc de cercle de rayon R est égale à αr où α est une mesure en radian de l angle au centre qui intercepte l arc. Pour quelle valeur de R, la longueur d un arc de cercle est-elle égale à la mesure en radian de l angle au centre qui intercepte l arc?. Avec cette valeur de R, nous obtenons le cercle trigonométrique à condition qu un sens de parcours est attribué. Le sens trigonométrique (ou sens positif est le sens contraire des aiguilles d une montre. Pour ce cercle trigonométrique, donner la mesure en radian d un angle au centre mesurant 180 degrés. 5. Déterminer la mesure en degré d un angle de 1 radian.. Compléter le tableau de conversion suivant : Degré Radian ACTIVITÉ 2 (Enroulement de la droite des réels Soit un repère orthonormal ( O; ı, j, le cercle C de centre O et de rayon 1 et la droite D d équation x= 1 qui coupe l axe (Ox en I. À tout nombre a, on associe le point M de la droite D, d abscisse 1 et d ordonnée a. «L enroulement» de la droite D autour du cercle C met en coïncidence le point M avec un point N de C. Si a est positif, le point N est tel que I N = I M = a, l arc étant mesuré dans le sens inverse des aiguilles d une montre et, si a est négatif, le point N est tel que I N = I M = a, l arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d une montre. Le point N est le point du cercle C associé au nombre a. N O J D M I 1. Tracer un joli cercle trigonométrique. 2. Soit les points de la droite M i dont les ordonnées y i sont données par le tableau suivant : M i M 1 M 2 M M M 5 M M 7 M 8 M 9 y i Placer les points N 1, N 2, N, N, N 5, N, N 7, N 8, N 9 du cercle associés à ces nombres.. A tout réel a, combien de points sont-ils associés par l enroulement? N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin

2 . Indiquer un nombre associé à chacun des points I, J, B( 1;0 et B (0; Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point? Si oui, donner quatre nombres associés au point J. Écrire tous les réels associés au point J. BILAN : Imaginons l axe des réels complètement enroulé sur le cercle trigonométrique. Ce cercle a un périmètre de 2. Si le réel a repère le point N alors ce point est aussi repéré par l un des réels : a+ 2, a+,... dans le sens direct a 2, a,... dans le sens indirect Tous ses réels sont de la forme a+ k 2 avec k Z Tous ses nombres sont appelés les abscisses curvilignes du point N. ACTIVITÉ (Angle orienté de vecteurs L enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique C permet de définir des mesures d angles orientés de vecteurs unitaires. DÉFINITION Pour tous vecteurs u = OM et v = ON où les points M et N appartiennent au cerclec, on définit une mesure en radian de l angle orienté ( OM ; ON, comme la différence y x, avec x et y des abscisses curvilignes des points M et N (ou encore des réels associés respectivement aux points M et N dans l enroulement de la droite réelle sur le cercle C. Soit le cercle trigonométrique dans le repère orthonormé (O ; I, J. On considère les points A, B et C associés respectivement aux réels, et Placer les points A, B et C. 2. Préciser un réel associé au point I et au point J.. En utilisant la définition donnée ci-dessus, déterminer une mesure en radian des angles orientés suivants : a ( OI ; OA b ( OA ; OB c ( OA ; OC d ( OC ; OI. Donner d autres réels associés respectivement au point A et au point B. 5. En déduire d autres mesures en radian de l angle orienté OA ; OB.. Quel est l ensemble de toutes les mesures de l angle orienté ( OA ; OB? 7. Déterminer l ensemble de toutes les mesures de l angle orienté ( OA ; OC. ACTIVITÉ (Mesure principale d un angle orienté On notec le cercle trigonométrique. On considère un angle orienté de vecteurs ( u ; v dont α est une mesure en radian. 1. Dans cette question α= 1. Existe-t-il une mesure en radian β de l angle orienté ( u ; v qui appartient à l intervalle ] ; ]? Cette mesure β est-elle unique? Pour tout angle orienté, la mesure appartenant à l intervalle ] ; ] est la mesure principale. 2. Et pour α= 5.. Déterminer la mesure principale d un angle orienté de vecteurs mesurant Déterminer la mesure principale d un angle orienté de vecteurs mesurant 25. N. SANS page 2 Lycée Jean Giono Turin

3 .1 Exercices sur les angles orientés de vecteurs EXERCICE 1 Soit ABC un triangle équilatéral direct. Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants : 1. AB ; AC ; 2. C B ; C A ;. EXERCICE 2 Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points A et B tels que : ( OI ; OA = 5 et J ( OI ; OB = 2 ( AB ; C B. I O I J Déterminer la mesure principale des angles suivants : ( 1. OA ; O J ; ( O 2. J ; OB ;. OA ; OB ;. AO ; OB ; 5. OA ; BO ;. AO ; BO ; ( 7. 2 OA ; OB. EXERCICE Dans le repère (O ; I, J orthonormé direct du plan, on considère le triangle IAB équilatéral direct de centre O et inscrit dans le cercle trigonométrique C. 1. Déterminer une mesure en radian des angles orientés ( OI ; OA et ( OI ; OB. 2. Déterminer une mesure en radian de l angle orienté ( OI ; BO.. Déterminer une mesure en radian de l angle orienté ( OB ; I A. EXERCICE ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que I A ; I B =. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : 1. ( AI ; I B ; 2. ( AI ; IC ;. ( I A ; C B. A B I C N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

4 PROBLÈME 1 (Algorithme pour obtenir la mesure principale Julien a remarqué que la technique afin d obtenir la mesure principale d un angle est très répétitive. Il a décidé de mettre en place un algorithme. Pour ce faire, il note r le nombre rationnel tel que l angle mesure r. Remarque : r Q. Avant de généraliser son algorithme, il décide de travailler avec r 0. Il utilise la fonction floor d algobox qui est la partie entière d un réel. En mathématiques, la partie entière d un réel est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à ce réel. Voici son algorithme écrit avec Algobox : 1 VARIABLES 2 r EST_DU_TYPE NOMBRE d EST_DU_TYPE NOMBRE e EST_DU_TYPE NOMBRE 5 t EST_DU_TYPE NOMBRE a EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 LIRE r 9 e PREND_LA_VALEUR floor(r/2 10 d PREND_LA_VALEUR r/2-e 11 SI (d<=0.5 ALORS 12 DEBUT_SI 1 t PREND_LA_VALEUR e 1 FIN_SI 15 SINON 1 DEBUT_SINON 17 t PREND_LA_VALEUR e+1 18 FIN_SINON 19 a PREND_LA_VALEUR r-2*t 20 AFFICHER "La mesure principale de r Pi est : " 21 AFFICHER a 22 AFFICHER " Pi" 2 FIN_ALGORITHME 1. Expliquer le rôle de la variable e puis de la variable d. 2. Entre quelles valeurs, la variable d est-elle toujours comprise?. Pourquoi, dans le cas où d 0,5, la variable t prend-elle la valeur e? Et pourquoi e + 1 dans le cas contraire?. Expliquer le rôle de la variable a. 5. L algorithme de Julien est-il fonctionnel pour r 0? Justifier!. Julien ne sait pas comment améliorer son algorithme pour r Z. Pouvez-vous l aider?.2 Cosinus et sinus d un angle ACTIVITÉ 5 (Cosinus et sinus d un angle x Le plan est muni d un repère orthonormé ( O; ı, j et le cercle trigonométrique a pour centre le point O. Soit x un réel. Après enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique (cf activité 2, le point M d abscisse x sur la droite des réels correspond au point N sur le cercle trigonométrique tel que l angle orienté de vecteurs ( ı ; ON ait pour mesure d angle x radian. Nous confondrons l angle orienté ] de vecteurs et sa mesure dans la suite de l activité. Nous travaillerons avec x 0 ; [ pour simplifier le problème. 2 Voici une illustration de la situation : N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

5 C - Trigonométrie TD 1S K J N + j x O H ı I 1. Montrer que l abscisse du point N est cos(x et son ordonnée est sin(x. 2. Démontrer la relation fondamentale de la trigonométrie à savoir : cos 2 (x+sin 2 (x=1.. Dans le cas où x =, déterminer les valeurs exactes de cos(x et de sin(x.. Faire de même pour x =. 5. Expliquer rapidement pourquoi cos = 2 et sin = L objectif de cette partie est de déterminer cos( x et sin( x. (a Sur la figure précédente, placer exactement le point N 1 tel que ( ı ; ON 1 = x. (b Par quelle transformation géométrique, l image de N est N 1. (c En déduire les valeurs de cos( x et sin( x en fonction respectivement de cos(x et sin(x. 7. Faire de même avec cos( x et sin( x. 8. Faire de même avec cos(+ x et sin(+ x. 9. Soit un angle orienté de vecteurs ( u ; v de mesure principale α. Justifier le fait que cos( u ; v = cos(α et sin( u ; v = sin(α. Cela signifie que le cosinus ou le sinus est périodique de période 2. EXERCICE 5 Après avoir placé les points du cercle trigonométrique correspondant aux nombres réels suivants, déduire graphiquement les valeurs exactes de leurs cosinus et sinus : EXERCICE En vous aidant éventuellement du cercle trignométrique ou des formules trigonométriques, compléter les tableaux suivants avec les valeurs exactes : x cos x sin x x cos x sin x N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin

6 EXERCICE 7 Déterminer les valeurs exactes de sin 1 1 et cos. EXERCICE 8 Simplifier les expressions suivantes : A= sin( x+cos ( 2 + x B = sin(+ x+cos ( 2 x + sin( x C = sin ( 2 x + sin ( 2 + x D = sin(+ x+cos(+ x sin( x E = 2sin ( 2 + x + sin ( 2 x cos( x EXERCICE 9 On donne cos 2 5 = 5 1. Déterminer les valeurs exactes de sin 2 5, cos 5, sin 5, cos 10 et sin 10. EXERCICE 10 Dans chaque ] cas, donner le signe de cos x et de sin x. a x ; [ b x [175 ; 17] c x ] [ 2 2 ; 0. ( 2+ On donne cos =. 12 ( 1. Calculer sin. 12 EXERCICE En déduire les lignes trigonométriques de 12. EXERCICE 12 Calculer, sans utiliser la calculatrice : A= sin + sin + sin 5 + sin 7 B = cos cos 2 + cos cos 5 C = sin + cos 7 + cos( D = sin 2 cos+sin 2 E = cos 7 + sin cos F = sin 2( + cos 2 ( G = 2cos 2( cos + 1 ACTIVITÉ L objectif de cette activité est de résoudre des équations du type cos x = a. 1. Soit l équation cos x= 0,5 à résoudre dans R. (a Placer sur le cercle trigonométrique les points M et M d abscisse 0,5. (b Déterminer les mesures principales des angles ( OI ; OM et ( OI ; OM. (c En déduire l ensemble des solutions de l équation cos x = 0, 5 dans ] ; ]. (d Résoudre dans R l équation cos x = 0, 5 puis dans [0 ; 2[. 2. Résoudre dans R, les équations cos x = 1, 2 puis cos x = 10. En déduire une condition sur a pour que équation cos x= a admette des solutions.. Sur ] ; ], résoudre l équation cos x = 0, 25. On notera θ la solution dans [0 ; ]. Exprimer en fonction de θ les solutions de cette équations dans R.. Proposer une méthode de résolution d une équation du type cos x= a sur R. 5. Résoudre dans R, l équation sin x = 0, 5.. Proposer une méthode de résolution d une équation du type sin x = a sur R. N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

7 EXERCICE 1 Résoudre les équations suivantes : 1. Dans R : cos x = 2 ; 2. Dans ] 2 ; 2] : sin x= sin ;. Dans R : sin x= 0 ;. Dans R : cos x = 0 ; 5. Dans R : cos x = cos ( ;. Dans R : cos x = cos ; 7. Dans R : sin x= 1 2 ; 8. Dans R : 2sin x+ 2=0 ; 9. Dans ] ; ] : (sin x+ 1(cos x 1=0 ; 10. Dans ] ; ] : cos 2 x = 1 ; 11. Dans [0; 2] : 2sin 2 x+ sin x 1= 0 ; 12. Dans ] ; ] : 2cos x+ =2 ; 1. Dans ] ; ] : sin 2 x sin x = 0. EXERCICE 1 Pour chacune des équations suivantes : 1. les résoudre dans R, c est-à-dire déterminer l ensemble des réels x vérifiant l équation ; ( 2. placer sur le cercle trigonométrique les points M tels que ı ; OM = x ;. Donner leurs mesures principales. 1. cos 2x= 2. cos x= 0 ; 2 ;. cos(x+ = 1 2 ;. sin x= cos x ; 5. sinx = ;. cos 2x = cos x ; N. SANS page 7 Lycée Jean Giono Turin