Chapitre 6 Statistiques Classe :4 SC-EXP

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1 L-P-Bourguba de Tuns Prof :Ben jedda chokr Chaptre 6 Statstques Classe :4 SC-EXP EXERCICES EXERCICE 1 : Le tableau c-dessous ndque le taux de départ en vacances de la populaton d un pays de 1965 à 1993 : Année x Taux t 41 52,5 57,2 57,5 59, ,9 1.a. Représenter le nuage de ponts assocé à la sére statstque (x, t) dans le plan rapporté à un repère orthogonal b. Calculer les coordonnées du pont moyen G assocé à cette sére double et placer ce pont sur le graphque précédent. 2. a. Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare entre x et t. Peut-on envsager un ajustement affne? b. Détermner une équaton de la drote de régresson D de t en x par la méthode des mondres carrés : on prendra les valeurs approchées à deux décmales par excès pour les coeffcents. c. Tracer la drote D sur le graphque de la queston 1. a. 3. En supposant que l'évoluton se poursuve de la même façon pour les années suvantes, donner une estmaton du taux de départ en vacances de cette populaton en l'an 2009.

2 EXERCICE 2 : Dans tout l exercce, le détal des calculs n est pas demandé. Les résultats seront arronds à On rappelle que l mage d un réel x par la foncton exponentelle peut être notée exp(x) = e x. On veut étuder : l évoluton des records de l épreuve d athlétsme du 100 mètres masculn. Pour cela on cherche un ajustement des records pour en prévor l évoluton. On donne dans le tableau suvant certans records, établs depus Année Rang de l année, x Temps en seconde, y 10,80 10,60 10,40 10,30 10,06 9,93 9,86 9,79 1) Etude d un modèle affne a) Construre le nuage de pont M (x ; y ) avec comprs entre 1 et 8, assocé à cette sére statstque double b) Peut-on envsager un ajustement affne à court terme? Cet ajustement permet-l des prévsons pertnentes à long terme sur les records futurs? 2) Etude d un modèle exponentel Après étude, on chost de modélser la stuaton par une autre courbe. On effectue les changements de varables suvants : -0,00924x X = e et Y = ln y On obtent le tableau : -0,00924x X = e 1 0,895 0,824 0,758 0,554 0,464 0,431 0,401 Y = ln y 2,380 2,361 2,342 2,332 2,309 2,296 2,288 2,281 a) Donner une équaton de la drote de régresson de Y en X obtenue par la méthode des mondres carrés. b) En dédure que l on peut modélser une expresson de y en foncton de x sous la forme suvante : y = exp(ae -0,00924x + b) où a et b sont deux réels à détermner. c) A l ade de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévor en 2010? d) Calculer la lmte en + de la foncton f défne sur R par l expresson suvante : f(x) = exp(0,154e -0,00924x + 2,221). e) Que peut-on en conclure, en utlsant ce modèle, quand aux records du cent mètres masculn à très long terme.

3 EXERCICE 3 : Le but est de détermner le prx d équlbre d'un produt. (On rappelle que : le prx d'équlbre d'un produt est obtenu lorsque l'offre et la demande sont égales). Une étude fate sur ce produt a donné les résultats suvants (le prx au klogramme est exprmé en francs et les quanttés offre et demande sont exprmées en mllers de klogrammes) Prx proposé 0,30 0,35 0,45 0,65 0,80 1 x Demande 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25 y Offre z 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60 Dans ce problème, on utlsera, pour les calculs statstques, les fonctons de la calculatrce détal de ces calculs n'est pas demandé). Tous les résultats numérques seront donnés en valeurs décmales arrondes à 10-2 près. 1) Représentaton graphque Le plan (P) est rapporté au repère orthogonal (O ;, j) Représenter sur le même graphque les nuages de ponts assocés respectvement aux séres statstques ( x, y ) et ( x, z ). et ceux de coordonnées ( x, z ) respectvement. 2) Etude de la demande La forme du nuage de ponts assocé à la sére (x, y ) permet d'envsager un ajustement exponentel de y en x. On pose donc Y = ln y a) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare de la sére (x, Y ). Un ajustement affne par la méthode des mondres carrés de Y en x est-l satsfasant? Pourquo? b)donner alors une équaton de la drote de régresson de Yen x sous la forme Y = ax + b. En dédure en utlsant l'égalté Y = ln y une estmaton de la demande y, en foncton de x prx au klogramme. 3) Etude de l'offre La forme du nuage de ponts assocé à la sére (x, z ) permet d'envsager un ajustement affne de z en x. a) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare de la sére (x, z ). Un ajustement affne par la méthode des mondres carrés de z en x est-l satsfasant? Pourquo? b) Donner alors une équaton de la drote de régresson de z en x sous la forme z = mx + p.

4 4) Etude graphque du prx d'équlbre On consdère, dans la sute du problème, que la demande et l offre sont respectvement formalsées par les fonctons f et g défnes sur l'ntervalle [0, 2] par -1,4lx+ 2,08 f(x) = e et g(x) = 0,53x + 1,10. a)détermner le sens de varaton de la foncton f sur l'ntervalle [0, 2] et dresser son tableau de varaton. b) Sur le graphque du 1), tracer les courbes représentatves des fonctons f et g. c)détermner graphquement le prx d'équlbre du produt. 5) Etude numérque du prx d équlbre On consdère la foncton b défne sur l'ntervalle [0, 2] par h(x) = f(x) - g (x). a)détermner le sens de varaton de la foncton h sur l'ntervalle [0, 2] et dresser son tableau de varaton. b) Montrer que l'équaton h(x) = 0 admet dans l'ntervalle [0, 2] une soluton unque x 0. Donner une valeur approchée décmale à 10-1 près de x 0. Quel est le prx d'équlbre du produt consdéré?

5 EXERCICE 4: Le tableau c-dessous décrt le nombre moyen y d'objets qu'un ouvrer commençant à travaller sur une chaîne de montage produt en un jour, le x ème jour où l travalle sur cette chaîne. x y A) Dans cette parte, on utlsera pour les calculs statstques les fonctons de la calculatrce (le détal des calculs n'est pas demandé). 1) Dans le plan (P) représenter le nuage de ponts assocé à la sére statstque(x, y ). 2) Détermner les coordonnées du pont moyen G de ce nuage et le placer sur le graphque précédent. 3)a) Détermner une valeur approchée à 10-2 près du coeffcent de corrélaton lnéare de la sére statstque (x, y ). b) Donner une équaton de la drote ( ) de régresson de y en x par la méthode des mondres carrés. Représenter la drote ( ) sur le graphque précédent. C) Un ajustement affne de ce nuage de ponts est-l acceptable? Justfer la réponse. B) 1) Sot alors la foncton numérque f défne sur l'ntervalle [0 ; + [ par : f(x) = e -0.4x.On appelle (C) sa courbe représentatve dans le plan (P). a)détermner le sens de varaton de la foncton f sur l'ntervalle [0; + [. b) Détermner la lmte de f au vosnage de +. Interpréter graphquement ce résultat. c)dresser le tableau de varaton de la foncton f. 2) Dans la stuaton du A), on constate une stablsaton de la quantté d'objets produts en un jour après un certan temps de manpulaton de la machne. Une étude permet de consdérer que le nombre d'objets produts par un ouvrer le x ème jour où l travalle sur cette chaîne est modélsé par une expresson de la forme : 50 - a e bx ou a et b sont des réels. Sot g la foncton numérque défne sur l'ntervalle [0 ; 100] par g (x) = 50 - a e bx Détermner les réels a et b pour que la courbe représentant la foncton g dans le plan (P) passe par les ponts A et B de coordonnées respectves (1; 27) et (9 ; 49). On donnera de a la valeur exacte pus une valeur entère approchée à une unté près. On donnera de b la valeur exacte pus une valeur décmale approchée à 10-1 près. 3) En consdérant que, pour x entre 0 et 100, f(x) est une bonne approxmaton de g(x), estmer le nombre d'objets que devrat produre un ouvrer le 15 ème jour où l travalle sur la chaîne.

6 EXERCICE 5 : Dans cet exercce, les calculs peuvent être effectués à la calculatrce; leur détal n'est pas exgé. Le tableau c-dessous donne la charge maxmale y en tonnes, qu une grue peut lever pour une longueur x en mètre, de la flèche. Longueur 16, , ,7 x Charge y ,5 5 4,5 4 3,5 3,2 1.Les réponses numérques à cette queston seront données à l0-2 près. a.représenter le nuage de ponts M(x ; y ) à l'ade d'un repère orthogonal (O;, j ) Détermner le coeffcent de corrélaton lnéare entre x et y. Détermner une équaton de la drote de régresson de y en x par la méthode des mondres carrés. Construre cette drote sur le graphque précédent. b.utlser cette équaton pour détermner la charge maxmale que peut lever la grue avec une flèche de 26 mètres. Que peut-on dre? 2.On pose z = 1 y a.recoper et compléter le tableau suvant (les z seront arronds à 10-3 près) x 16, , ,7 z 0,1 Détermner le coeffcent de corrélaton lnéare entre x et z pus une équaton de la drote de régresson de z en x par la méthode des mondres carrés (les résultats numérques seront arronds à 10-4 près). En se fondant sur les résultats obtenus en 2. b., calculer la valeur de z correspondant à x = 26; en dédure la charge maxmale que peut lever la grue avec une flèche de 26 mètres. Ce résultat vous paraît-l plus satsfasant que celu de 1. d.? Pourquo?