Chapitre 3 : Droites perpendiculairs et droites parallèles Sixième, Collège Saint-Exupéry

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1 hapitre 3 : Droites perpendiculairs et droites parallèles Sixième, ollège Saint-Exupéry e cours est plus détaillé que la leçon dictée aux élèves. Les figures doivent être reproduites dans le cahier de cours. Pour alléger le cahier cours, il est inutile de recopier les paragraphes onsignes, Remarque et Justification, qui sont toutefois expliqués à l oral. Les textes encadrés doivent être appris par coeur. 1. Droites sécantes et perpendiculaires 1.1. Droites sécantes Définition 1. Deux droites sont sécantes lorsqu elles se coupent en un point commun, que l on nomme point d intersection. O (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes. Le point O est leur point d intersection. Remarque. Quand vous tracez une figure, évitez les droites parfaitement horizontales ou parfaitement verticales. Privilégiez une figure légèrement inclinée. Propriété 2. Lorsque deux droites sont sécantes, leur point d intersection est unique. Justification. Soit deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sécantes et non-confondues. Si (d 1 ) et (d 2 ) se coupaient en deux points d intersection et, alors (d 1 ) et (d 2 ) seraient confondues, car on ne peut faire passer qu une seule droite par deux points et. Donc (d 1 ) et (d 2 ) ne peuvent pas se couper en deux points d intersection. Un même raisonnement montre que (d 1 ) et (d 2 ) ne peuvent pas se couper en plus de deux points d intersection. Enfin, comme (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes, elles on un point d intersection. onclusion : ce point d intersection est unique. 1/6

2 1.2. Droites perpendiculaires Définition 3. Deux droites sont perpendiculaires lorsqu elles sont sécantes et forment un angle droit (90 ) O Notation 4. On note (d 1 ) (d 2 ), qui se lit : La droite (d 1 ) est perpendiculaire à la droite (d 2 ). Remarque. On code la présence d un angle droit en indiquant un petit carré. e petit carré ne fait pas partie de la figure, c est juste une indication donnée au lecteur onstruction à la règle Soit une droite (d 1 ) et un point / (d 1 ). Tracer (d 2 ) (d 1 ) passant par le point. Règle Equerre Exercice. Tracer deux points et quelconques. Tracer (). Placer / (). En utilisant une équerre et une règle, tracer (d) () tel que (d). 2/6

3 1.4. onstruction au compas Première étape : Tracer un arc de cercle c 1 centre O et de rayon quelconque coupant la droite (d 1 ) en. En conservant la même ouverture de compas, tracer un arc de cercle c 2 de centre O coupant la droite (d 1 ) en D. Deuxième étape : Tracer un arc de cercle de centre passant pas. Tracer un arc de cercle de centre passant pas. O Troisième étape : En conservant la même ouverture de compas, tracer deux arcs de cercle : le premier de centre, le second de centre. Ils se coupent en D. Quatrième étape : Tracer la droite (D). La droite (D) est perpendiculaire à la droite (). est fini! D D Exercice. Tracer deux points et quelconques. Tracer (). Placer / (). En utilisant un compas et une règle, tracer (d) () tel que (d). 3/6

4 1.5. Distance d un point à une droite Définition 5. La distance d un point à une droite (d) est le plus court segment [H] tel que H (d). Le segment [H] est perpendiculaire à (d) et se nomme hauteur de à (d). Le point H se nomme pied de la hauteur de à (d). H (d) Justification. La hauteur est une notion d architecture. Pour mesurer la hauteur d une maison, on utilise un fil à plomb. Lorsque le sol est bien horizontal, le fil à plomb est perpendiculaire au sol. On mesure ainsi la distance H qui sépare le faîte dutoit du sol (d). [H] se nomme la hauteur, car se trouve en hauteur. Lorsque l observateur est situé sous le faîte du toit, le point H est à ses pieds, d où l appellation pied de la hauteur pour H. (d) H La distance H est bien la plus courte distance. En effet, si l on fait osciller le fil à plomb, on constate que le fil à plomb touche le sol uniquement en H. illeurs, la distance est toujours plus grande. H est donc bien la distance la plus courte. (d) H Il suffit ensuite de faire pivoter la figure de quelques degrés pour retrouver la figure donnée en définition. 4/6

5 2. Droites parallèles 2.1. Définition Définition 6. Deux droites sont parallèles lorsqu elles ne sont pas sécantes. Tracer une droite (d 1 ) quelconque. Tracer un point / (d 1 ). Tracer la droite (d 2 ) parallèle à (d 1 ) tel que (d 2 ). Notation 7. On note (d 1 )//(d 2 ), qui se lit : La droite (d 1 ) est parallèle à la droite (d 2 ). Remarque. Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes. Remarque. Il existe une définition plus ancienne, précisant que deux droites parallèles ne sont pas sécantes, sauf à l infini. ette définition est conforme aux observations astronomiques d étoiles lointaines et aux déformations de l espace. ette définition prend en compte la notion d infini, où rien ne peut être connu avec certitude. Remarque. Dans la vie courante, deux lignes droites (par exemple deux routes) ne peuvent pas être parfaitement parallèles. Il s agit à nouveau d une construction de l esprit, qui demande de l imagination. ais c est également pour cela qu on aime la géométrie! 2.2. onstruction On utilise règle et compas comme suit : Première étape : Deuxième étape : Equerre Règle Equerre Règle 5/6

6 3. Propriétés 3.1. Droites parallèles Propriété 8. Lorsque deux droites sont parallèles à une troisième, alors ces trois droites sont parallèles. (d 3) En notation géométrique, si (d 1 )//(d 2 ) et si (d 2 )//(d 3 ) alors (d 1 )//(d 3 ) Droites perpendiculaires (d 3) Propriété 9. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles. En notation géométrique, si (d 1 ) (d 3 ) et si (d 2 ) (d 3 ) alors (d 1 )//(d 2 ). Propriété 10. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. En notation géométrique, si (d 1 )//(d 2 ) et si (d 3 ) (d 1 ) alors (d 3 ) (d 2 ). 6/6