Première partie: Filtrage analogique Chapitre 2: Approximation. Vahid Meghdadi ENSIL ELT2

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1 Première artie: Filtrage analogique Chaitre : Aroximation Vahid Meghdadi ENSIL ELT

2 Aroximation Le but est de trouver un H() ou A() our que H(jω) ou A(jω) satisfasse un gabarit rototye donné. On cherche une fonction rationnelle sous forme H ( ) i N( ) i j D( ) bj a Ce H() doit être réalisable. Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

3 Simlification On cherche une méthode systématique. On rend H() sous la forme suivante: H ( jω) + ε F( Ω ) Ce cas articulier donne des méthodes systématiques simles. Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

4 Cas idéal A( jω) H ( jω) - Ω c Ω - Ω c Ω F( Ω ) - Ω c Ω Nous allons alors aroximer cette fonction. Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

5 Aroximation de F Dans la bande assante: H ( jω) F( Ω ) Dans la bande couée: H ( jω ) F( Ω ) ε nous ermet de considérer le F(Ω ) dans son état normalisé: F(). Il ermet donc de régler l atténuation autorisé dans la bande assante. F() H ( j) + ε Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

6 Proriété de F F( Ω ) Polynôme d'odre air de Polynôme d'odre air de Ω Ω F( Ω ) - Les racines du numérateur (les zéros de F) sont les fréquence sans erte ils sont dans la bande assante - Ω - Les racines du dénominateur sont les zéros de transmission car ils sont dans la bande couée H ( jω) -Pour des filtres assifs F( Ω ) car H ( jω) -Normalisation F() -Pour un filtre d ordre n, F(Ω ) est d ordre n. Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

7 Résumé A( jω) + ε F( Ω ) F(Ω ) A(jΩ) H(jΩ) Zéro Zéro d atténuation ôle Infini zéro Zéro de H ou ôle de A Chaitre : Aroximation des filtres -- osition de roblème

8 Aroximation Butterworth -Aroximation la lus simle -C est un filtre tout ôle tous les zéros de transmission sont à l infini -Toutes les racines de F(Ω ) sont normalement dans la bande assante, on les rend toutes à l origine 5 n3 F( Ω ) kω -Puisque F() k F( Ω ) Ω n n 4 3 n n - Plus n est grand lus F(Ω) est idéal Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

9 Aroximation Butterworth La ente àω est A( jω) F () db nω n H ( jω ) + ε Ω n Ω log( + ε Ω n ) n A( j) db log( + ε ). ε.5,.,, -4-4 Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

10 Aroximation Butterworth n, ε,.5,. -5 ε, n,, Ω, log H ( jω) - logε nlogω Ω Ω, H n ente n db/dec Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

11 Calcul de l ordre n A A max min log( + ε Ω log( + ε Ω n n a ) ) n.amax ε Ω () n.amin ε Ωa () Ω Ω a n.a.a max min n doit être entier, il est alors l entier immédiatement suérieur ou égal à n c. ε se calcule à artir de l équation () ou (). n c.amin log.amax log Ω Ω a Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

12 Calcul de H() H ( jω ) H ( jω) H ( jω) On remlace jω ar : H ( ) H ( ) H ( jω ) Ω j + ε Ω H ( ) H ( ) + ε ( j) n n Ω j H()H(-) a n racines : + ε ( j) ( j) e π π ε n n j( + k ) Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

13 Calcul de H() j( + k )/ n / n j e π π ε ε /n ε /n n air Racines de H()H(-) n imair Pour avoir un système stable, on rend les racine de gauche our H(), celles de droite aartiendront alors à H(-). A artir de ces racines, on ourra construire H(). Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

14 Calcul de H() Les racine de H() : ε /n P k (k+ ) π j j n e k,,..., n / n ε H ( ) n k ( k ) ε /n Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

15 Exemle Calcul du filtre Butterworth our n, ε 4 / / 5 4 / 3 4 /,, π π π π j j j j je P je P je P je P ) )( ( ) )( ( ) ( 4 / 3 4 / π jπ j je je H ) ( + + H Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

16 Exemle Le même exercice mais our n3. H ( ) Vérifier: H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 3 3 ( )( + + ) + Ω 6 H ( jω) ( ) 6 Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

17 Table de Butterworth

18 Cas ε H ( jω ) + ε Ω + ( ε Ω) n / n n Un changement de variable : / n Ω ε Ω Ω H ( j ) ε + Ω / n n Le roblème revient à calculer le H( ) our le cas où ε. Il y a des tables qui donne le H t ( ) our différentes valeurs de n. H / n ( ) H t ( ) ε - On calcule le n ; - On ose ε et on calcule le H t ( ) 3- On remlace ar ε /n. Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

19 Exercice Il nous faut un filtre our - atténuer au moins db our les fréquences suérieures à - ne as atténuer lus de db our les fréquences inférieures à Solution: H ( ) Utiliser Matlab our tracer H(jΩ) et vérifier si le gabarit est resecté. Chaitre : Aroximation des filtres -- Aroximation Butterworth

20 Proriétés Butterworth [z,,k] butta(3); zlane(); oly(); %> [ ]>^3+^++ h freqs(k*oly(z),oly(),w); semilogx(w,*log(abs(h))), grid semilogx(w,unwra(angle(h)/i*8)), grid Imaginary Part Real Part Chaitre : Aroximation des filtres Aroximation Butterworth

21 Aroximation Chebyshev -Le filtre Chebyshev est un filtre tout ôle. - Le filtre de Butterworth était meilleur au milieu de la bande assant (Ω) alors que le filtre de Chebyshev traite équitablement tous les oints de la bande assante. H ( jω) + ε F( Ω ) Ici, on aroxime la fonction F(Ω ) à l aide de olynôme Chebyshev. Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

22 Polynôme de Chebyshev On définit le olynôme de Chebyshev. T T T T N ( ) cos[cos ( )] cos[ N cos ( Ω)] Ω ( Ω) cosh[ N cosh ( Ω)] Ω Ω Ω Ω ( Ω ) cos[cos ( Ω )] cos [cos Ω] Ω 3 3( ) cos[3cos ( )] 4 3 Ω Ω Ω Ω Proriétés : T ΩT ( Ω) T ( ) T T ( Ω) N + N N Ω N N Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

23 Polynôme de Chebyshev On rend : F T N ( Ω ) ( Ω) 4 3 N N -5 N3 - ε -5 - F T N ( Ω ) ( Ω) H ( jω) log( + ε F( Ω db )) Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

24 Proriété Chebyshev - C est un filtre à équi-ondulation dans la bande assante. A( ± j) db log( + ε ) Le filtre de Chebyshev tend vers l infini quand Ω> et de manière monotone. Alors que le filtre Butterworth est monotone à la fois dans la bande assante et dans la bande atténuée ε ε.5 ε. n Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

25 Calcul de H() A( ) A( ) + ε cos On calcule les racines de ce olynôme. On rend ε cos( nu + ε cosnu cosh nv u k + π n jnv) ± et j ( ncos ) j cos jε sin nu sinh nv ± j j v ± arcsinh, α : arcsinh n ε n ε u + jv Sachant que : j cos( u + jv) On ourra calculer : + j j cos( u + jv ) k σ ω k k k k Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

26 Calcul de H() k + σ k sin sinh k,,..., n k + n π α ωk cos π coshα n où α arcsinh n ε Remarque : Les kn,, n- donnent les racines de H(-). Proriété: σ k sinh + α ωk cosh α C est-à-dire que les racines sont sur une ellise. Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

27 Calcul de H() A( ) n k ( k ) Il faut aussi un facteur d échelle, ce qui nous ramène à n n ε A( ) ( k ) k Les racines de H() Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

28 Calcul de l ordre n A A max min + log( ε ) + ε Ω Ω log[ cosh ( ncosh a / )] n cosh cosh Ωa /.Amin.Amax Ω Remarque: ( ) cosh x ln x + x x n n ε A( ) ( k ) k Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

29 Exemle Déterminer la fonction de transfert d un filtre Chebyshev our n lorsqu une variation maximale de db est autorisée dans la bande assante. Solution : ε.59 α.75,.55 ± j.893 A( ) db Ω Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

30 Proriétés -Le module le H() varie entre et -log(+ε ) dans la bande assante. -Le module de H() tend vers zéro de manière monotone dans la bande couée. -Filtre Chebyshev donne la meilleur atténuation dans la bande coué armi tous les filtres tout ôle de même ordre. - H ( j) H ( j) quand n est imair + ε quand n est air - Un filtre aux éléments assifs LC ne eut as donner une atténuation autre que ou infini à l origine (f). Alors les filtres LC Chebyshev d ordre air ne sont as synthétisables. Chaitre : Aroximation des filtres -3- Aroximation Chebyshev

31 Table de Chebyshev

32 Table de Chebyshev (suite)

33 Table de Chebyshev (suite)

34 Aroximation Chebyshev inversée -Tout filtre tout ôle est «maximally flat» (monotone) dans la bande couée. -Le filtre Butterworth est en lus «maximally flat» (monotone) dans la bande assante. -Chebyshev est équi-ondulation dans la bande assante grâce à la disosition des ôles. -Filtre Chebyshev inversé est maximally flat dans la bande assante et à équi-ondulation dans la bande couée (ce n est as un filtre tout ôle). -Ce filtre eut être obtenu moyennant un changement de variable à artir d un filtre Chebyshev -C est un filtre à ôle et à zéro. Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

35 Aroximation Chebyshev inversée H ( jω) + ε F( Ω ) Ondulation dans la bande coué Monotone dans la bande assante La fonction F(Ω ) qui en résulte. Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

36 Transformation à artir d un filtre Chebyshev Dans la bande assante transform Ω < Ω > Ω a Bande couée Dans la bande transition et couée transform Ω > Ω < Ωa Bande transition et assante Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

37 Aroximation Chebyshev inversée ) / ( ) ( Ω Ω Ω a T n k F Il faut que : ) ( () a T n k F Ω ) / ( ) ( ) ( Ω Ω Ω + Ω a n a n T T j H ε Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

38 Calcul de H() On obtiendra la même formule que our le filtre Chebyshev. n cosh cosh a /.Amin.Amax Ω Ω Le filtre de Chebyshev inversé a des zéros et des ôles: Les zéros sont: j k k,3,..., n cos( kπ / n) j Les ôles s obtiennent ar l équation : + ε Tn Qui est la même exression que our Chebyshev mais / Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

39 Exemle Calculer l ordre d un filtre Chebyshev inversé our avoir au moins 6 db d atténuation arès Hz et au maximum. db d atténuation avant 5 Hz. Solution: Utilisant la formule récédente n3.4 Pour le filtre normalisé: Les ôles: k j j j j.737 Les zéros: z k + j.84 - j.84 + j.63 - j.63 Imaginary Part Real Part Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

40 Exemle (suite) - -4 / /.4< La fonction de transfert du filtre rototye. Chaitre : Aroximation des filtres -4- Aroximation Chebyshev inversée

41 Aroximation ellitique (Cauer) C est un filtre à équi-ondulation à la fois dans la bande assante et à la fois dans la bande couée. Le filtre ellitique donne un ordre minimal our un gabarit donné. H ( j Ω ) + Ω ε Rn ( ) La fonction rationnelle R n (Ω) est à otimiser utilisant des outils informatiques. Chaitre : Aroximation des filtres -5- Aroximation ellitique

42 Comaraison (n5) Butterworth Chebychev Chebychev inv.5.5 Chaitre : Aroximation des filtres.5 Ellitique Aroximation ellitique

43 Table du filtre ellitique Chaitre : Aroximation des filtres -5- Aroximation ellitique

44 Filtre de Bessel Les quatre filtres récédents s intéressaient à l amlitude de la fonction de transfert. Filtre de Bessel est utilisé quand les caractéristiques de hase deviennent imortantes. Le filtre de Bessel ne résente as surtension (overshoot) our la réonse à un échelon. La hase de filtre de Bessel est resque linéaire dans la bande assante. Pour les alications audio où la hase eu imorte, le filtre de Bessel est rarement utilisé, ar contre là où la distorsion de hase est gênante, c est le filtre de Bessel qui est rivilégié. Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

45 Calcul du filtre de Bessel délai d(arg H ( jω)) τ dω Suosons un filtre tout ôle: H ( ) M ( ) + N( ) où M() est la artie aire et N() la artie imaire. N( jω) / j La hase de cette fonction sera: φ tan (ourquoi?) M ( jω) φ N( jω) M ( jω) j M ( jω) N( jω) tanh cotanh( jφ ) Cette hase doit être linéaire: φ( ω) Tω cotanh( jt ω) cotanh( T ) M ( ) N( ) Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

46 Calcul du filtre de Bessel La relation récédente ne eut as être vérifiée toujours. On fait une aroximation utilisant la série de McLaurin cotanh( T ) + T 3 + T 5 + T T Pour un filtre d ordre n, il suffit de rendre les n remiers termes. Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

47 Exemle Calculer la fonction de transfert d un filtre de Bessel d ordre 3. M ( ) 6( T ) N( ) T 3 + ( T ) + 5( T ) T 5 T k H ( ) 3 ( T ) + 6( T ) + 5( T ) + 5 K est calculé our avoir H() k5. Le dénominateur est toujours un olynôme de Bessel. Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

48 Proriété du filtre de Bessel Proriété du olynôme de Bessel B (n ) B + B n n n B B + B b3 etc Phase (radian) n n n3 n4 n5 n6 n7-8 n8 n9 n Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

49 Caractéristique d amlitude - n -4-6 n Chaitre : Aroximation des filtres -6- Aroximation Bessel

50 Comaraison amlitude Chaitre : Aroximation des filtres -7- Comaraison

51 Comaraison hase Chaitre : Aroximation des filtres -7- Comaraison

52 Comarison Chaitre : Aroximation des filtres -7- Comaraison