Intégration Primitives

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1 Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments Rppels de dérivtion Dérivtion en un point Dérivées des fonctions usuelles Dérivée de l fonction exponentielle Opértions sur les fonctions dérivées Complément : continuité d une fonction Notion d intégrle Intégrle d une fonction continue positive Dérivbilité de l fonction ire Primitives d une fonction continue Définition, premières propriétés Clcul d intégrle d une fonction continue et positive Existence de primitives d une fonction continue Recherche de primitives Primitives des fonctions usuelles Primitives de l fonction exponentielle Primitives et opértions sur les fonctions Ce cours est plcé sous licence Cretive Commons BY-SA 1

2 TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX 5 Intégrle d une fonction continue Cs générl Extension de l définition Linérité de l intégrle Reltion de Chsles Positivité, inéglité de l moyenne Vleur moyenne Tble des figures 1 Fonction prtie entière Unité d ire Intégrle d une fonction continue positive Intégrle d une fonction constnte positive Intégrle d une fonction ffine positive Dérivbilité d une fonction ire Intégrle d une fonction continue négtive Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Vleur moyenne Liste des tbleux 1 Dérivées des fonctions usuelles Opértions sur les fonctions dérivées Primitives des fonctions usuelles

3 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS En préliminire u cours : Activité : Activité 1 pge [TrnsMth] 1 Rppels et compléments 1.1 Rppels de dérivtion Dérivtion en un point Nombre dérivée : f () = lim h 0 f ( + h) f () h C est le coefficient directeur de l tngente à l courbe u point d bscisse. Éqution de l tngente : y = f () (x ) + f () Dérivées des fonctions usuelles Les résultts sont regroupés dns le tbleu 1. fonction f dérivée f Domine de dérivbilité f (x) = k (k constnte) f (x) = 0 R f (x) = x f (x) = 1 R f (x) = x 2 f (x) = 2x R f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 R f (x) = x n (n entier >0) f (x) = nx n 1 R f (x) = mx + p f (x) = m R f (x) = x 2 + bx + c f (x) = 2x + b R f (x) = 1 x f (x) = 1 x 2 ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = x f (x) = 1 2 x ]0 ; + [ Tble 1 Dérivées des fonctions usuelles Dérivée de l fonction exponentielle Propriété : L fonction exponentielle est dérivble sur R et (e x ) = e x. Si, b R et 0, l fonction x e x+b est dérivble sur R et ( e x+b) = e x+b Opértions sur les fonctions dérivées Les résultts sont regroupés dns le tbleu 2 1. Aire sous l prbole. 3

4 1.2 Complément : continuité d une fonction 2 NOTION D INTÉGRALE Opértion Dérivée Conditions d utilistion Somme de deux fonctions u + v u + v u et v dérivbles sur I Multipliction pr une constnte ku ku u dérivble sur I Produit de deux fonctions uv u v + uv u et v dérivbles sur I Inverse d une fonction 1 v v v 2 u et v dérivbles sur I Pour tout x I, v (x) 0 Quotient de deux fonctions u v u v uv v 2 u et v dérivbles sur I Pour tout x I, v (x) 0 Tble 2 Opértions sur les fonctions dérivées. 1.2 Complément : continuité d une fonction Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un ensemble D et x 0 D. On dit que f est continue en si lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Remrques : 1. Il ne suffit ps que l fonction soit définie en pour qu elle soit continue en. Pr exemple, l fonction prtie entière (voir figure 1) est définie en 2 mis n est ps continue en 2 : E (2) = 2 et E (x) = 1. lim x 2 x<2 Figure 1 Fonction prtie entière 2. On peut ussi écrire : lim h 0 f (x 0 + h) = f (x 0 ). Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un ensemble D et I un intervlle inclus dns D. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel x 0 de l intervlle I. Remrques : 1. Grphiquement, l fonction f est continue sur l intervlle I si on peut trcer s représenttion grphique «sns lever le cryon». 2. Cette notion ser étudiée plus en détil dns le chpitre «Continuité Dérivtion». 2 Notion d intégrle Dns toute cette section, (O ; ı ; j) désigne un repère orthogonl. C f désigne l courbe représenttive d une fonction f dns le repère (O ; ı ; j). 4

5 2 NOTION D INTÉGRALE 2.1 Intégrle d une fonction continue positive 2.1 Intégrle d une fonction continue positive Définition 1 : On ppelle unité d ire du repère (O ; ı ; j) l mesure des ires, notée u.., telle que : 1 u.. = ı j Il s git de l ire du rectngle unité OIKJ (voir figure 2). Figure 2 Unité d ire Définition 2 : Intégrle d une fonction continue positive Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle [ ; b]. On ppelle intégrle de f sur [ ; b] l ire, exprimée en u.., du domine compris entre l xe des bscisses, l courbe C f et les droites d éqution x = et x = b (voir figure 4). On l note : f (x) dx Figure 3 Intégrle d une fonction continue positive Remrques : 1. Ceci se lit : «intégrle de à b de f (x) dx» ou bien «somme 2 de à b de f (x) dx». 2. On dit que l vrible x est muette. On peut insi noter indifféremment : f (x) dx = 2. Pour comprendre l utilistion du mot «somme», voir l ctivité de l feuille polycopiée. f (t) dt = f (u) du 5

6 2.1 Intégrle d une fonction continue positive 2 NOTION D INTÉGRALE Exemples : 1. Fonction constnte f (x) = 5 (voir figure 4) 5 2 5dx = 5 (5 ( 2)) = 5 7 = 35 Figure 4 Intégrle d une fonction constnte positive 2. Fonction ffine f (x) = x + 1, positive sur [2 ; 4] (voir figure 5) 4 2 (t + 1) dt = A ABCD + A CDE = = = 8 Figure 5 Intégrle d une fonction ffine positive 3. En utilisnt l méthodes des rectngles (voir ctivité 1 pge [TrnsMth] et lgorithme ire-rect.lg), on montre que : 1 0 x 2 dx = 1 3 Remrque : On peut utiliser l clcultrice pour déterminer une vleur pprochée d une intégrle (voir TP 45 pge [TrnsMth]). Exercices : 18 pge 203 ; 50 pge 216 (première courbe uniquement) et 55 pge pge 216 et 60 pge [TrnsMth] 3. Aire sous l prbole. 4. Trouver une vleur pprochée d une ire. 5. Utiliser les ires pour clculer une intégrle. 6. Propriétés de l fonction ire. 6

7 2 NOTION D INTÉGRALE 2.2 Dérivbilité de l fonction ire 2.2 Dérivbilité de l fonction ire Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; b]. Alors, l fonction Φ définie pr : est dérivble sur [ ; b] et Φ = f. Φ (x) = x f (x) dx Remrque : L fonction Φ représente, en unités d ire, l ire sous l courbe représentnt l fonction f, sur l intervlle [ ; x] (voir figure 6). Figure 6 Dérivbilité d une fonction ire Démonstrtion prtielle (exigible) On se plce dns le cs où f est croissnte sur [ ; b]. Soit x 0 et x 0 + h deux nombres de l intervlle [ ; b] (voir figure 6). Si h > 0 : Comme f est croissnte sur [ ; b], on : h f (x 0 ) Φ (x 0 + h) Φ (x 0 ) h f (x 0 + h) et, pr suite : f (x 0 ) Φ (x 0 + h) Φ (x 0 ) h f (x 0 + h) Si h < 0, on montre de même que : f (x 0 + h) Φ (x 0 + h) Φ (x 0 ) h f (x 0 ) Comme f est continue en x 0, on lim h 0 f (x 0 + h) = f (x 0 ) et, donc, pr encdrement : Φ (x 0 + h) Φ (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 h On en déduit donc que l fonction Φ est dérivble en x 0 et que Φ (x 0 ) = f (x 0 ). Remrque : On donc montré que l fonction Φ, ire sous l courbe de l fonction f, est une fonction dont l dérivée est f. On dit que Φ est une primitive de f. 7

8 3 PRIMITIVES D UNE FONCTION CONTINUE 3 Primitives d une fonction continue 3.1 Définition, premières propriétés Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle I. On dit que F est une primitive de f sur l intervlle I si, pour tout x I, F (x) = f (x). Remrque : On dmettr provisoirement que toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Ce résultt ser montré dns l section 3.3. Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervlle I et F une primitive de f sur I. 1. Pour tout réel C, l fonction x F (x) + C est ussi une primitive de f sur I. 2. Si G est une primitive de f sur I, il existe un réel C tel que, pour tout x I : G (x) = F (x) + C Démonstrtion : Le 1. est évident. 2. On note φ (x) = G (x) F (x). On φ (x) = G (x) F (x) = f (x) f (x) = 0 sur l intervlle I, donc l fonction φ est constnte sur I. Il existe donc C R tel que, pour tout x I, φ (x) = 0, c est-à-dire G (x) = F (x) + C. Remrque : Toute fonction continue dmet donc une infinité de primitives. Toutes les primitives d une même fonction ne diffèrent que d une constnte. Corollire : Soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I. Soit x 0 I et y 0 R. Il existe une et une seule primitive G de f sur l intervlle I telle que G (x 0 ) = y 0. Démonstrtion : Soit F une primitive de f. Toutes les primitives de f sont de l forme G (x) = F (x) + C, vec C R. On veut G (x 0 ) = y 0, c est-à-dire F (x 0 ) + C = y 0 ; d où C = y 0 F (x 0 ). L existence et l unicité de C entrîne l existence et l unicité de l primitive G. Exercices : 2, 3 pge 200 et 62 pge pge 200 et 64 pge pge [TrnsMth] 3.2 Clcul d intégrle d une fonction continue et positive Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; b]. Soit F une primitive quelconque de f sur I. Alors : f (t) dt = F (b) F () Démonstrtion : Soit Φ (x) = x f (t) dt. On vu que Φ est une primitive de f sur I. Pr suite, comme F est ussi une primitive de f, il existe une constnte C telle que G (x) = F (x) + C. De plus, Φ () = 0 = F () + C donc C = F () et Φ (x) = F (x) F (). On boutit donc à F (x) F () = x f (t) dt, ce qui, ppliqué en x = b, donne le résultt voulu. 7. Vérifier que F est une primitive de f. 8. Primitives d une même fonction. 9. Courbe d une primitive. 8

9 4 RECHERCHE DE PRIMITIVES 3.3 Existence de primitives d une fonction continue Remrque : on écrir ce résultt sous l forme suivnte : f (t) dt = [F (t)] b = F (b) F () Exemple : On veut clculer 3 ( 1 t 3 + 2t + 1 ) dt. On pose f (t) = t 3 + 2t + 1. f est continue et positive sur [1 ; 3]. Soit F (t) = t4 4 + t2 + t. On : Pr suite, F est une primitive de f sur [1 ; 3]. On donc : F (t) = 1 4 4t3 + 2t + 1 = t 3 + 2t + 1 = f (t) 3 1 ( t 3 + 2t + 1 ) [ t 4 dt = 4 + t2 + t ] 3 1 = ( ) ( ) = = = Existence de primitives d une fonction continue Théorème : Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Remrques : 1. On déjà montré ce résultt pour des fonctions continues et positives u Pour l démonstrtion, on dmettr le résultt suivnt : «Toute fonction continue sur un intervlle [ ; b] dmet un minimum et un mximum sur [ ; b]». Démonstrtion prtielle (exigible) On se limiter u cs où I est un intervlle fermé de l forme [ ; b]. On note lors m le minimum de f sur [ ; b] et on note g (x) = f (x) m. g est une fonction continue et positive sur [ ; b], elle dmet donc une primitive G sur [ ; b]. On donc G (x) = g (x) = f (x) m. On note F l fonction définie sur [ ; b] pr F (x) = G (x) + mx. F est dérivble sur [ ; b] et F (x) = G (x) + m = f (x) + m m = f (x). F est donc une primitive de f sur [ ; b]. 4 Recherche de primitives 4.1 Primitives des fonctions usuelles Les résultts du tbleu 3 se retrouvent fcilement pr une lecture «inversée» du tbleu donnnt les dérivées des fonctions usuelles. 4.2 Primitives de l fonction exponentielle Propriété : Soit, b deux nombres, vec 0 1. Une primitive sur R de f (x) = e x est F (x) = e x. 2. Une primitive sur R de g (x) = e x+b est F (x) = 1 ex+b. 9

10 4.3 Primitives et opértions sur les fonctions 5 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE CAS GÉNÉRAL fonction f primitives F Domine de vlidité f (x) = ( constnte) F (x) = x + C R f (x) = x F (x) = x2 2 + C R f (x) = x n (n entier >0) F (x) = xn+1 n C R f (x) = 1 F (x) = 1 + C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ x 2 x f (x) = 1 F (x) = 1 x C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ x2 f (x) = 1 1 (n entier 2) F (x) = xn n 1 1 x n 1 + C ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = 1 x F (x) = 2 x + C ]0 ; + [ Tble 3 Primitives des fonctions usuelles 4.3 Primitives et opértions sur les fonctions On tire fcilement des règles de clcul sur les dérivées le résultt suivnt : Propriété : 1. Si F et G sont des primitives respectives de f et g sur un intervlle I, lors F + G est une primitive de f + g sur I. 2. Si F est une primitive de f sur I et si k R, kf est une primitive de kf sur I. Remrque : Attention! Il n y ps de résultts nlogues sur les produits et les quotients de fonctions (ce n étit déjà ps le cs pour l dérivtion). Exercices : 8 pge 201 et 69, 70 pge , 14, 16, 17 pge pge [TrnsMth] 5 Intégrle d une fonction continue Cs générl 5.1 Extension de l définition On peut remrquer que l formule : f (t) dt = F (b) F () donnée pour des fonctions continues et positives, encore du sens lorsque l fonction n est plus nécessirement positive. 10. Recherche de primitives. 11. Primitive vérifint une condition initile. 12. Recherche d une primitive. 10

11 5 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE CAS GÉNÉRAL 5.2 Linérité de l intégrle Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle I, F une primitive de f sur I et, b I. On ppelle intégrle de l fonction f entre et b le nombre défini pr : f (t) dt = F (b) F () Remrque : Ce nombre ne représente plus une ire sous l courbe, et n est ps nécessirement positif. Propriété : Soit f une fonction continue sur I et, b I. Démonstrtion : On note F une primitive de f sur I. Exemples : 3 1 b ( 3x) dx = b f (t) dt = 0 f (t) dt = f (t) dt = F () F () = 0 f (t) dt f (t) dt = F () F (b) = (F (b) F ()) = f (t) dt ] 3 ( ) [ 3x2 = ( 1)2 = = 24 2 = [ 1 u 2 du = 1 ] 1 u = 1 ( 1 1 ) = = 1 2 e t+1 dt = [ e t+1] 1 0 = e 1 Exercices : 20, 23(. uniquement), 24 (. uniquement) et 25 (. uniquement) pge 204 et 79, 82 (c. uniquement) pge [TrnsMth] 5.2 Linérité de l intégrle Théorème : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I,, b I et k R. On : kf (x) dx = k (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx f (x) dx + Démonstrtion : On note F une primitive de f et G une primitive de g sur I. Comme kf est une primitive de kf, on : g (x) dx kf (x) dx = [kf (x)] b = kf (b) kf () = k (F (b) F ()) = k f (t) dt 13. Clculer une intégrle à l ide d une primitive. 11

12 5.3 Reltion de Chsles 5 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE CAS GÉNÉRAL Comme F + G est une primitive de f + g, on : (f (x) + g (x)) dx = [F (x) + G (x)] b = F (b) + G (b) F () G () = (F (b) F ()) + (G (b) G ()) = f (t) dt + f (t) dt Conséquences : Intégrle d une fonction continue négtive Soit f une fonction continue et négtive sur l intervlle [ ; b]. L intégrle de f sur [ ; b] l opposé de l ire, exprimée en u.., du domine compris entre l xe des bscisses, l courbe C f et les droites d éqution x = et x = b (voir figure 7). Figure 7 Intégrle d une fonction continue négtive En effet, f (t) dt = ( f (t)) dt, où f est une fonction continue et positive, dont l courbe est symétrique de celle de f pr rpport à l xe des bscisses. Aire du domine entre deux courbes Si f et g sont deux fonctions continues sur [ ; b], vec f (x) g (x) sur [ ; b], l ire du domine compris entre les deux courbes C f et C g est : (f (t) g (t)) dt Pour des fonctions continues et positives, si f g, cette ire est : f (t) dt g (t) dt = Exercices : 58 pge 216 et 103, 104 pge [TrnsMth] (f (t) g (t)) dt 5.3 Reltion de Chsles Théorème : Reltion de Chsles Soit f une fonction continue sur un intervlle I et, b, c I. On : f (x) dx + c b f (x) dx = c f (x) dx 14. Clculs d ires. 12

13 5 INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE CAS GÉNÉRAL5.4 Positivité, inéglité de l moyenne Démonstrtion : On note F une primitive de f sur I. f (x) dx + c b f (x) dx = [F (x)] b + [F (x)]c b = F (b) F () + F (c) F (b) = F (c) F () = c f (x) dx Conséquence : Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Soit f une fonction continue sur l intervlle [ ; b]. L intégrle de f sur [ ; b] l ire, exprimée en u.., du domine compris entre l xe des bscisses, l courbe C f et les droites d éqution x = et x = b comptée : positivement si f(x) 0 ; négtivement si f (x) 0. Sur l figure 8, on donc : 4 2 f (x) dx = A 1 A 2 + A 3 Figure 8 Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Exercices : 19 pge 203 ; 50, 57 pge 216 ; 109 pge 221 et 128 pge [TrnsMth] 5.4 Positivité, inéglité de l moyenne Théorème : Positivité, Comprison d intégrles Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I et, b I vec b. 1. Si, pour tout x [ ; b], f (x) 0 lors f (x) dx 0 2. Si, pour tout x [ ; b], f (x) g (x) lors f (x) dx g (x) dx 15. Intégrles et ires. 13

14 5.5 Vleur moyenne RÉFÉRENCES Démonstrtion : Le 1. est évident (pour une fonction positives, l intégrle est l ire sous l courbe) 2. On note φ = g f. Pour tout x [, b], φ (x) 0 donc, d près le 1., φ (x) dx 0, soit (g (x) f (x)) dx 0. En utilisnt l linérité de l intégrle, on obtient g (x) dx f (x) dx 0 puis g (x) dx Remrques : 1. Attention! L hypothèse b est essentielle cr, si > b, f (x) dx = f (x) dx. b 2. L réciproque de ce théorème est fusse. Corollire : Inéglité de l moyenne Soit f une fonction continue sur un intervlle I et, b I vec b. Soient m et M deux réels tel que, pour tout x [ ; b], m f (x) M. Alors : m (b ) f (x) dx M (b ) Démonstrtion : Comme pour tout x [ ; b], m f (x) M, d près le théorème précédent : mdx f (x) dx Mdx Or mdx = m (b ) et Mdx = M (b ). D où le résultt. f (x) dx. Exercices : 93 pge , 32 pge 206 ; 95 pge 219 ; 101 pge 220 et 131 pge pge 209 et 143 pge [TrnsMth] 5.5 Vleur moyenne Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle [ ; b]. On ppelle vleur moyenne de f entre et b le réel : µ = 1 b f (x) dx Remrque : Si f est positive sur [ ; b], µ correspond à l huteur du rectngle construit sur [ ; b], dont l ire, exprimée en u.. est égle à f (x) dx (voir figure 9). Exercices : 97 pge [TrnsMth] Références [TrnsMth] trnsmath Term S, progrmme 2012 (Nthn) 3, 6, 8, 10, 11, 12, 13, Comprison d intégrles. 17. Encdrements d intégrles. 18. Suites d intégrles. 19. Vleur moyenne. 14

15 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Figure 9 Vleur moyenne 15

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