Primitives. Si f a une primitive F alors elle a une infinité de primitives. Deux primitive diffèrent d'une constante k.

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1 Primitives Dans tot ce chapitre on travaille sr n des fonctions définies sr n intervalle I. I Définition. La fonction F définie sr l'intervalle I est ne primitive de f définie sr I signifie qe f est la fonction dérivée de F sr I. F est ne primitive de f F ' = f Eemple : F définie sr R par : F = 4 est ne primitrive de f définie par f = G définie sr R par : G = est ne atre primitive de f. II Eistence. Théorème. Tote fonction contine sr I admet ne primitive sr I. On admet ce théorème. Théorème. Si F est ne primitive de f alors G, définie par : G() = F() + k, est ne primitive de f. Si F et G sont de primitives de f alors G vérifie : G() = F() + k. Démonstration. G' = F' = f donc G est ne primitive de f. (F-G)' = F'-G' = f-f = 0 (fonction nlle) donc F-G est ne fonction constante égale à k. (G-F)() = G() - F() = k donc G() = F() + k. 3 Théorème 3. Si f a ne primitive F alors elle a ne infinité de primitives. De primitive diffèrent d'ne constante k. Démonstration. C'est ne conséqence directe d théorème. 4 Unicité. Soit a appartenant à I et b qelconqe. Si f est ne fonction contine sr I elle admet ne niqe primitive F vérifiant F(a) = b. Démonstration. f est contine donc a ne primitive G. F telle qe : F() = G() - G(a) + b, convient. Si F et G sont de primitives de f vérifiant la condition alors : G =F k G a =F a k b=b k k =0 F =G. Remarqe importante. Tote fonction f étdiée en terminale est contine sr D f et a ne infinité de primitives. Por a D f tote fonction f admet ne niqe primitive F vérifiant F(a) = b. Ater Thierry Vedel. Page sr

2 III Calcl d'ne fonction primitive. Primitives selles. Por déterminer ne primitive ont se sert des formles de dérivation. f f ' k n n n ln = n n n = n n n f 0 k F k 3 n por 0 ln n = n k 3 k n n k k=ln a a 0 et ln a =k k n n k = = k e e e e k Primitives et opérations. a Somme. b Prodit par ne constante. c Fonction composée. Une primitive de f+g est F+G. Une primitive de kf est kf. Une primitive de ' f() est F(). d Remarqe importante. Il n'y a pas de formle por intégrer le prodit fg. Il eiste ne techniqe por intégrer certains prodits qi s'appelle l'intégration par parties mais cette techniqe n'est pls a programme de TES. On appliqera cette méthode en eercices dirigées por calcler par eemple ne primitive de ln. Ater Thierry Vedel. Page sr

3 3 Eemples. a Fonction polynôme. Soit f définie sr R par : f = On appliqe les formles : ne primitive de n est égale à n n ne primitive de kf est égale à kf ne primitive de est égale à F = k F = k Por vérifier on dérive la fonction F. b Fonction polynôme. Soit f définie sr R par : f = On pose = 3 8 donc ' =3 4 et f = ' 4. Une primitive de ' 4 est F = 3 8 k c Fonction rationnelle. Soit f définie sr ] ; [ ] ; [ par : f = 3 On écrit f sos la forme f =a b f = = = ' avec = et ' =. Attention, est négatif sr ] ; [. Donc il fat distinger de cas. Premier cas. Sr I =] ; [, 0 ' F = ln k a por primitive ln(). Deième cas. Sr I =] ; [ = = ' avec = et ' =. 0 ' F = ln k = ln k a por primitive ln(). Ater Thierry Vedel. Page 3 sr

4 { Fonctions primitives. On pet regroper les de cas en n sel avec la valer absole. F = ln k A retenir. Si 0 alors ln est ne primitive de ' Si 0 alors ln est ne primitive de ' Si est ne fonction qi ne s'annle jamais ln est ne primitive de ' d Fonction rationnelle. Soit f définie sr ] ; 3 [ ] 3 ; [ ] ; [ par : f = 6 Premièrement on factorise le dénominater ( si ce n'est pas possible on ne sait pas intégrer f avec les otils de terminale ). 6 a por discriminant =b 4 ac= 4 6 = = b = = 3 a = b = = a donc f = 3 Deièmement on change l'écritre. On écrit f sos la forme : f = a b 3 a b 3 On identifie les nmératers et a b 3a b a 3 b a b 3a b = = 3 3 { a b=0 3 a b= a b=0 { 3 a b= { a= b= a a= b= donc f = 3 Troisièmement on intègre en appliqant la formle : ln est ne primitive de '. F = ln ln 3 k= ln 3 k Ater Thierry Vedel. Page 4 sr

5 Le rapport 3 a le même signe qe le prodit donc est postif à l'etérier des racines. Por ] ; 3 [ ] ; [, F = ln 3 k Por ] 3 ; [, F = ln 3 k e Fonction eponentielle. Soit f définie sr R par : f =e 3 4 On appliqe la formle : ne primitive de ' e est e. =3 4 et ' =3 donc on écrit f sos la forme f = 3 3 e 3 = 3 ' e f Fonction eponentielle. F = 3 e3 4 k Soit f définie sr R par : f = 4 e 4 On appliqe la formle : ne primitive de ' e est e. = 4 et ' =4 g Fonction logarithme. F =e 4 k ln Soit f définie sr ] ; [ par : f = On pose =ln donc ' = f s'écrit f = ' dont ne primitive est. F = ln k Ater Thierry Vedel. Page sr