1 Dénition et parité de la fonction Inverse
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- Henriette Moreau
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1 Seconde Fonction Inverse et fonctions homographiques Mai Dénition et parité de la fonction Inverse 1.1 Dénition Attention : - est l'opposé de (un nb + son opposé =0), tandis que 1 est l'inverse de (un nb son inverse = 1)! Il faut bien se souvenir que l'inverse d'un nombre positif est positif, et l'inverse d'un nombre négatif reste négatif. Dénition : La fonction Inverse est la fonction qui, à tout réel x non nul, associe son inverse 1 x. Dans toute cette partie, on notera f la fonction Inverse : f(x) = 1 x. 1. Domaine de dénition Comme on ne peut pas diviser par zéro, le nombre 0 n'a pas d'inverse : il n'a donc pas d'image par la fonction Inverse. On dit que c'est la valeur interdite de la fonction f. Le domaine de dénition de f est donc la réunion de deux intervalles disjoints : D f =] ; 0[ ]0; + [ = R \ {0} = R. 1.3 Propriété de symétrie de la courbe Propriété : La courbe de la fonction Inverse est symétrique par rapport à l'origine O du repère. On dit que cette fonction est impaire. dém : Soit x un réel non nul quelconque. Alors x est lui aussi diérent de 0, et f( x) = 1 x = 1 x = 1 x. Ainsi f( x) = f(x) pour tout x dans dans D f. Quand une fonction possède cette propriété, on dit qu'elle est impaire. Conséquence graphique : Les points M(x; f(x)) et M ( x, f( x)) de la courbe de f sont symétriques par rapport à O. En eet, calculons les coordonnées du milieu du segment [MM ] : abscisse = x M + x M = x + ( x) = 0. ordonnée : y M + y M f(x) + f( x) f(x) + ( f(x)) = = = 0. On obtient bien le point O, origine du repère. Comme ceci est valable quel que soit le réel x 0, toute la courbe de f est symétrique par rapport à O. 1 FctsInverseEtHomographiques
2 Seconde Fonction Inverse et fonctions homographiques Mai 014 Sens de variations de la fonction Inverse.1 Sur ]0; + [ Soient a et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Pour savoir dans quel ordre sont rangées leurs images f(a) et f(b), on étudie le signe de leur diérence : f(a) f(b) = 1 a 1 b On réduit alors au même dénominateur : = b ab a ab = b a Puis on s'intéresse aux signes du numérateur et du dénominateur. ab Comme on a pris a < b, on a 0 < b a, donc le numérateur est strictement positif. Comme a > 0 et b > 0, leur produit ab (le dénominateur de notre fraction) est lui aussi strictement positif. Ainsi, la fraction b a est strictement positive. ab C'est-à-dire f(a) f(b) > 0, ce qui équivaut à f(a) > f(b). On a donc prouvé que quels que soient les réels a et b de ]0; + [, leurs images sont rangées dans le sens contraire à celui de a et b. Autrement dit, la fonction Inverse renverse l'ordre sur ]0; + [ : elle est strictement décroissante sur ]0; + [. Sur ] ; 0[ Prenons cette fois a et b strictement négatifs, avec a < b. Comme précédemment : f(a) f(b) = b a ab. L'hypothèse a < b entraîne encore que le numérateur est strictement positif. Le dénominateur ab reste lui aussi strictement positif, grâce à la règle des signes car a < 0 et b < 0. Donc fa) f(b) > 0, ce qui équivaut encore à f(a) > f(b). Ainsi la fonction Inverse renverse aussi l'ordre sur ] ; 0[ : elle est strictement décroissante sur ] ; 0[. 3 Comportement de La fonction Inverse au voisinage de 0 et de l'inni 3.1 Au voisinage de 0, à droite x 1 0, 1 = 1 0, 01 = 1 0, 001 = 1 1 0, = f (10 p ) = p f(x) p FctsInverseEtHomographiques
3 Seconde Fonction Inverse et fonctions homographiques Mai au voisinage de + x f (10 p ) f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0, p 3.3 Tableau de variations La double barre sous le zéro indique que c'est la valeur interdite de la fonction Inverse. x 0 + f(x) NB : Il faut toujours préciser l'intervalle sur lequel la fonction varie, quand on veut comparer les images de deux nombres. Il serait faux de dire que f est globalement strictement décroissante sur ] ; 0[ ]0; + [. En voici un contre-exemple : 1 ( ) < 3 mais f est positif, donc f 1 = est négatif, tandis que f(3) = 1 ( 3 1 ) < f(3) : les images sont dans le même ordre que les nombres de départ, alors que si l'armation précédente était vraie, elles devraient être rangées dans le sens contraire! 3.4 Courbe de la fonction Inverse La courbe de la fonction Inverse s'appelle une hyperbole. Elle est formée de deux arcs disjoints, symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine du repère. 3 FctsInverseEtHomographiques
4 Seconde Fonction Inverse et fonctions homographiques Mai 014 La courbe se rapproche indéniment de l'axe des ordonnées lorsque x tend vers 0, à droite ou à gauche : on dit que l'axe des ordonnées est l'asymptote verticale de la courbe. La courbe se rapproche indéniment de l'axe des abscisses quand x tend vers +, et quand x tend vers. On dit que l'axe des abscisses est l'asymptote horizontale de la courbe de f. 4 Résolution d'équations et d'inéquations avec la fonction Inverse 4.1 Equations 1 x = k Exemples : Résoudre graphiquement, puis algébriquement : a) 1 x = b) 1 x = 3 c) 1 x = 1/4 d) 1 x = Inéquations 1 x k ou 1 x k Exemples : Résoudre graphiquement, puis algébriquement : a) 1 x b) 1 x < 3 c) 1 x 1/4 d) 1 x > 3. 5 Fonctions homographiques 5.1 Dénition dénition : Soient a, b, c et d quatre réels xés, avec c 0. La fonction dénie pour tout x d par h(x) = ax + b s'appelle une fonction homographique. c 5. Exemples de transformations d'écriture Exemple 1 : Prouver que pour tout réel x on a : x + 5 x = x. Exemple : Déterminer les réels α et β tels que pour tout x 1, on ait : x 7 x + 1 = α + β x + 1 Remarque : On admet que, pour toute fonction homographique telle que h(x) = ax + b pour x d, il existe des réels α et β tels que h(x) = α + β. Il en découle que c la courbe d'une fonction homographique est toujours une hyperbole, comme c'est le cas pour la fonction Inverse. 4 FctsInverseEtHomographiques
5 Seconde Fonction Inverse et fonctions homographiques Mai Résolution d'équations du type h(x) = k Rappel : produit en croix Pour tous les réels a, b, c et d, avec b et d non nuls, a b = c d ad = bc. Exemple 1 : Utiliser un produit en croix pour résoudre l'équation : 3x + 1 x 5 = 4 9 Exemple : Même méthode pour prouver que -1 a un unique antécédent par la fonction h : x 5x + 3, et obtenir sa valeur. 7x Résolution d'inéquations du type h(x) > 0, h(x) < 0 Méthode : Pour déterminer le signe de h(x) = ax + b, on construit un tableau de signes. Donc pour résoudre une inéquation de la forme h(x) > 0, h(x) 0, h(x) < 0 ou h(x) 0, on construit le tableau de signes de h(x) et on trouve l'ensemble des solutions grâce au signe de h(x) qui apparaît dans la dernière ligne du tableau. NB : Revoir le chapitre Fonctions Anes pour la détermination du signe de mx + p. Attention : ne pas oublier qu'on ne peut pas diviser par zéro, et donc que d c interdite pour la fraction h(x). Exemples : Résoudre (i) : 3x + 6x 5 0, puis (ii) : 0. 4x + 5 3x + 1 est valeur 5.5 Résolution d'inéquations du type h(x) > k (etc.) avec k non nul Principe : On se ramène au cas précédent en soustrayant k à l'inéquation et en réduisant le membre de gauche au même dénominateur pour n'en faire plus qu'une seule fraction. NB : Le dénominateur de h(x) n'est pas toujours positif, donc un produit en croix nous conduirait à devoir changer le sens de l'inégalité dans certains cas, ce qui serait souvent oublié et donc souvent source d'erreurs : c'est pourquoi il faut impérativment suivre le principe donné ci-dessus et construire un tableau de signes une fois l'inéquation correctement transformée. 5 FctsInverseEtHomographiques
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