Logique formelle & Programmation logique

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1 Logique formelle & Programmation logique Dr. Stéphane Lengrand,

2 2 Cours 6 : Forme clausale, Prolog

3 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif)

4 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux l 1... l p

5 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux (en général) universellement quantifiée x 1... x k,l 1... l p avec {x 1,... x k } = fv(l 1... l p )

6 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux (en général) universellement quantifiée x 1... x k,l 1... l p avec {x 1,... x k } = fv(l 1... l p ) Soit A une formule du 1er ordre (close). forme clausale de A = ensemble fini de clauses C 1,..., C n telles que A ssi C 1,..., C n.

7 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux (en général) universellement quantifiée x 1... x k,l 1... l p avec {x 1,... x k } = fv(l 1... l p ) Soit A une formule du 1er ordre (close). forme clausale de A = ensemble fini de clauses C 1,..., C n telles que A ssi C 1,..., C n. Beaucoup de techniques de raisonnement automatique utilisent ces formes clausales

8 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux (en général) universellement quantifiée x 1... x k,l 1... l p avec {x 1,... x k } = fv(l 1... l p ) Soit A une formule du 1er ordre (close). forme clausale de A = ensemble fini de clauses C 1,..., C n telles que A ssi C 1,..., C n. Beaucoup de techniques de raisonnement automatique utilisent ces formes clausales Question : A possède-t-elle toujours une telle forme clausale?

9 3 Litéral, clause, forme clausale Définitions : litéral (noté l, l,...) = formule atomique (litéral positif) ou négation de formule atomique (litéral négatif) clause (notée C, C,...) = disjonction de litéraux (en général) universellement quantifiée x 1... x k,l 1... l p avec {x 1,... x k } = fv(l 1... l p ) Soit A une formule du 1er ordre (close). forme clausale de A = ensemble fini de clauses C 1,..., C n telles que A ssi C 1,..., C n. Beaucoup de techniques de raisonnement automatique utilisent ces formes clausales Question : A possède-t-elle toujours une telle forme clausale?

10 4 Mise sous formes clausale Concrètement, on cherche une formule B de la forme ( x x 1 k 1, l lp 1 1 )... ( x q 1... xq k q, l q 1... lq p q ) avec {x i 1,..., xi k i } = fv(l1 i... li p i ) et telle que A ssi B.

11 4 Mise sous formes clausale Concrètement, on cherche une formule B de la forme ( x x 1 k 1, l lp 1 1 )... ( x q 1... xq k q, l q 1... lq p q ) avec {x i 1,..., xi k i } = fv(l1 i... li p i ) et telle que A ssi B. 4 étapes

12 4 Mise sous formes clausale Concrètement, on cherche une formule B de la forme ( x x 1 k 1, l lp 1 1 )... ( x q 1... xq k q, l q 1... lq p q ) avec {x i 1,..., xi k i } = fv(l1 i... li p i ) et telle que A ssi B. 4 étapes

13 5 Mise sous formes clausale une forme prenexe de A : une formule logiquement équivalente à A, de la forme Q 1 x 1,..., Q n x n, C avec tous les quantificateurs Q 1... Q n en tête, C sans quantificateurs.

14 5 Mise sous formes clausale une forme prenexe de A : une formule logiquement équivalente à A, de la forme Q 1 x 1,..., Q n x n, C avec tous les quantificateurs Q 1... Q n en tête, C sans quantificateurs. une forme prénexe skolémisée de A : une formule close B de la forme y 1,..., y m, D avec D sans quantificateurs, telle que A ssi B. (Toutes les variables libres ou quantifiées existentiellement ont été substituées avec des nouveaux constructeurs de termes)

15 5 Mise sous formes clausale une forme prenexe de A : une formule logiquement équivalente à A, de la forme Q 1 x 1,..., Q n x n, C avec tous les quantificateurs Q 1... Q n en tête, C sans quantificateurs. une forme prénexe skolémisée de A : une formule close B de la forme y 1,..., y m, D avec D sans quantificateurs, telle que A ssi B. (Toutes les variables libres ou quantifiées existentiellement ont été substituées avec des nouveaux constructeurs de termes)

16 6 Mise sous formes clausale une forme normale conjonctive prénexe skolémisée de A : la même chose en imposant que D est une grande conjonction de disjonctions, i.e. une formule de la forme y 1,..., y m, (l l 1 p 1 )... (l q 1... lq p q )

17 6 Mise sous formes clausale une forme normale conjonctive prénexe skolémisée de A : la même chose en imposant que D est une grande conjonction de disjonctions, i.e. une formule de la forme y 1,..., y m, (l l 1 p 1 )... (l q 1... lq p q ) une forme clausale de A : une conjonction de clauses closes, logiquement équivalente à une forme normale conjonctive prénexe skolémisée de A, i.e. de la forme : ( x x 1 k 1, l l 1 p 1 )... ( x q 1... xq k q, l q 1... lq p q ) avec {x i 1,..., xi k i } = fv(l i 1... li p i )

18 6 Mise sous formes clausale une forme normale conjonctive prénexe skolémisée de A : la même chose en imposant que D est une grande conjonction de disjonctions, i.e. une formule de la forme y 1,..., y m, (l l 1 p 1 )... (l q 1... lq p q ) une forme clausale de A : une conjonction de clauses closes, logiquement équivalente à une forme normale conjonctive prénexe skolémisée de A, i.e. de la forme : ( x x 1 k 1, l l 1 p 1 )... ( x q 1... xq k q, l q 1... lq p q ) avec {x i 1,..., xi k i } = fv(l i 1... li p i )

19 Mise sous forme clausale 7

20 7 Mise sous forme clausale Les transformations permettant chacune des 4 étapes, pour toute formule A, sont dans les exercices des TDs.

21 7 Mise sous forme clausale Les transformations permettant chacune des 4 étapes, pour toute formule A, sont dans les exercices des TDs. Exemple : (r(986) y, r(y)) devient r(986) y, r(y), la seconde étant bien insatisfiable ssi la première l est (c est-à-dire ssi r(986) y, r(y) est valide)

22 7 Mise sous forme clausale Les transformations permettant chacune des 4 étapes, pour toute formule A, sont dans les exercices des TDs. Exemple : (r(986) y, r(y)) devient r(986) y, r(y), la seconde étant bien insatisfiable ssi la première l est (c est-à-dire ssi r(986) y, r(y) est valide) Pour économiser de la place, sans perdre d information logique, on ne retient de ( x x 1 k 1, C 1 )... ( x q 1... xq k q, C q ) que l ensemble des clauses C 1,..., C n, où la disjonction est associative + commutative (les clauses sont des multisets de littéraux)

23 7 Mise sous forme clausale Les transformations permettant chacune des 4 étapes, pour toute formule A, sont dans les exercices des TDs. Exemple : (r(986) y, r(y)) devient r(986) y, r(y), la seconde étant bien insatisfiable ssi la première l est (c est-à-dire ssi r(986) y, r(y) est valide) Pour économiser de la place, sans perdre d information logique, on ne retient de ( x x 1 k 1, C 1 )... ( x q 1... xq k q, C q ) que l ensemble des clauses C 1,..., C n, où la disjonction est associative + commutative (les clauses sont des multisets de littéraux)

24 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles

25 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles Clause de Horn : clause où au plus un litéral est positif

26 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles Clause de Horn : clause où au plus un litéral est positif Syntaxe : l:-l1,...,ln. pour (l ( l 1 )... ( l n ))

27 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles Clause de Horn : clause où au plus un litéral est positif Syntaxe : l:-l1,...,ln. pour (l ( l 1 )... ( l n )) ou encore (l 1... l n ) l Conjonction de litéraux l 1... l n à prouver, la requête, est écrite?:-l1,...,ln.

28 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles Clause de Horn : clause où au plus un litéral est positif Syntaxe : l:-l1,...,ln. pour (l ( l 1 )... ( l n )) ou encore (l 1... l n ) l Conjonction de litéraux l 1... l n à prouver, la requête, est écrite?:-l1,...,ln. Propriété de ce fragment de G3 : La partie gauche du séquent reste invariante tout au long de la preuve. C est le programme. Il est donné dès le début dans un fichier.pl

29 8 ProLog (pour Programmation Logique) ProLog : prouveur qui implémente G3 avec variables existentielles, restreint aux séquents de la forme C 1,..., C n l 1... l p où C 1,..., C n sont des Clauses de Horn qui possèdent 1 litéral positif l 1,..., l p sont des litéraux positifs avec variables existentielles Clause de Horn : clause où au plus un litéral est positif Syntaxe : l:-l1,...,ln. pour (l ( l 1 )... ( l n )) ou encore (l 1... l n ) l Conjonction de litéraux l 1... l n à prouver, la requête, est écrite?:-l1,...,ln. Propriété de ce fragment de G3 : La partie gauche du séquent reste invariante tout au long de la preuve. C est le programme. Il est donné dès le début dans un fichier.pl

30 Questions? 9