Cours 6 : Tableaux de contingences et tests du χ 2

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1 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Cours 6 : Tbleux de contngences et tests du χ Tble des mtères Secton 1. Attrbut moyen vs. réprtton d'ttrbuts... Secton. Test non prmétrque sur les fréquences Structure du test... 3 Secton 3. Tbleux de contngences et fréquences mrgnles... 5 Écrre une nterprétton des données... 6 Secton 4. Test sur l vrnce... 9 Postults excts vs. postults symptotques Secton 5. Concluson... 1 Exercces Lectures Lecture suggérée : Howell, chptre 6, 6.1 à 6.7 nclusvement. Objectfs Pouvor rélser un test sur des réprttons dns une lste et dns un tbleu vec des mrges. Pouvor rélser un test sur l vrnce. Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 1

2 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Secton 1. Attrbut moyen vs. réprtton d'ttrbuts Pour fre des sttstques, l fut vnt tout mesurer un ttrbut sur des ndvdus. Souvent pr l sute, on rpporte l mesure de tendnce centrle: l moyenne. Or certns ttrbuts ne se moyennent ps. Pr exemple, lorsque l'on dt qu'l y 3% de fumeurs, on ne dt ps que l'ndvdu moyen fume à 3%. L'ndvdu typque s on entend pr typque, qu représente l mjorté ne fume ps. De même, lorsqu'on rpporte que 5% des fumeurs meurent du cncer du poumon, ç ne veut ps dre que le fumeur typque est à moté mort quoque. Ces deux sttstques sont bsées sur des mesures de type nomnles échelle de type I. Comme on l' vu u cours 1, une vrble se mesure à l de d une échelle sot nomnle, ordnle, reltve ou bsolue. Chcune de ces échelles permet des opértons mthémtques dfférentes. En psychologe, plus prtculèrement dns l recherche descrptve, une grnde prte des données ex. le sexe, l orgne ethnque, etc. provent des vrbles clssfctores pouvnt être mesurées unquement pr l échelle nomnle. Lorsque les données sont mesurées sur des échelles de type I, l seule opton possble est de clssfer les données comben sont de tel sexe? comben sont lbns? etc. pus de compter le nombre de représentnts dns chque ctégore. Il est fréquent uss de rpporter ces nombres en pourcentge. Cependnt, dns les tests qu vont suvre, l fut utlser l vleur des effectfs, ps les pourcentges. Secton. Test non prmétrque sur les fréquences L échelle nomnle ne permet ps de tests sttstques uss élborés qu une moyenne, ms elle permet qund même une comprson entre les effectfs. L comprson de ces décomptes permet de vérfer s les ctégores sont représentées dns des proportons égles, ou dns des proportons ttendues. Pr exemple, à l utomne, le cours de sttstque étt composé de 13 femmes et de 35 hommes. Pusqu l s gt d un cours oblgtore, l réprtton de cet échntllon consttue peut-être un bon ndce de l dstrbuton des sexes dns le chox de cette professon. Une queston nturelle lors est de svor s l psychologe ttre églement les étudnts des deux sexes. Pusque notre échntllon est composé d un totl de 158 personnes, l hypothèse nulle dcte lors une réprtton ttendue de dns chque ctégore. On peut lors dresser un tbleu des fréquences observées les effectfs que l on note O dns chcune des ctégores qu nous ntéressent c, deux ctégores, hommes et femmes. En prllèle, on uss les vleurs ttendues, notées. On note O en grs cr l s gt d une vrble létore qu peut chnger d un échntllon à l utre, et sns grs cr l s gt d une vleur prédte à pror pr notre hypothèse. Concrètement, on obtent : Hommes Femmes totl observé O ttendu Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ

3 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Un utre exemple dns lequel le nombre de clsse est supéreur à deux. Un journl rpporte que durnt l semne précédente, l s est produt 47 ccdents de l route, réprts ns pour chque jour de l semne : dm lun mr mer jeu ven sm totl O Encore c, l hypothèse que l on veux exmner est une réprtton égle des ccdents u cours des jours de l semne. Donc, vut 47 / Structure du test Une pproche est de tester s les écrts entre les vleurs observées O et ttendues sont sgnfctves. S nous utlsons cette pproche et fsons l somme des écrts, nous vons cependnt un gros problème, cr nous vons vu u cours que l somme des écrts donne toujours zéro. Une pproche lterntve est d utlser l somme des écrts ms u crré. De cette fçon, tous les écrts devennent postfs. Pour ben fre, on peut uss pondérer l écrt observé pr l vleur ttendue. On obtent une formule générle pour évluer l écrt ux vleurs ttendues : O H :O homme O femmes H 1 : O homme O femmes Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 3 Mntennt, l est démontré que O est normlement dstrbué qund l effectf observé est rsonnblement grnd. En effet, s est, dsons, 5, on s ttend à observer uss souvent 4 que 6 symétre, pr pur hsrd. De plus, l est démontré que l vrnce dns le nombre d effectfs d une clsse dont le résultt réel est est uss de c est à dre qu on s ttend en moyenne à une dfférence de ±. Autrement dt, l somme c-hut est une somme de scores z, des scores normlsés. Nous vons vu u cours 3 quelle est l dstrbuton théorque d une somme de scores normlsés, l χ. Nous vons tous les ngrédents pour construre un test sttstque..1. Postults Le test est bsé sur le postult que les fréquences observées O sont normlement dstrbué et que chque fréquence ttendue est suffsmment grnde. Ic, on entend pr grnde un > 5. S vous prédsez des clsses vec mons de cnq effectfs, vous devez lors les regrouper pour que l effectf prédt de cette super clsse dépsse 5... Hypothèses et seul Dns notre premer exemple, l hypothèse nulle prédt une réprtton égle des hommes et des femmes en psychologe. Nous pouvons lors écrre :

4 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Dns le cs des ccdents utomobles, l dée est l même, ms l formulton formelle plus longue : H : O dm 61 et O lun 61 et O sm 61 H 1 : O dm 61 ou O lun 61 ou O sm 61 Notons qu un test des fréquences est nécessrement bdrectonnel cr l ne peut ps prévor un effectf unquement plus pett ou unquement plus grnd. Nous doptons dns ces exemples un seul usuel de 5%..3. Chercher le test Le test de fréquence est de l forme : O où l vleur Rejet de H s O > s α est dstrbuée comme un χ nombre de clsse 1. Dns notre exemple sur le sexe des futurs psychologues, le nombre de clsses est, et donc l vleur crtque, près nspecton dns l tble, est sα Pour l exemple des ccdents de l route, l y 7 clsses, et l vleur crtque est sα Applquer le test et conclure Dns le premer exemple, nous trouvons : O O hom me hom me hom me O femme femme femme ce qu confrme ce que tous le monde st déjà: l réprtton des grs et des flles n est ps égle en psychologe. Dns le second exemple, on obtent, près un clcul smlre, l vleur Comme cette vleur est supéreure à l vleur crtque 1.59, on rejette H et conclut que l réprtton des ccdents n est sgnfctvement ps équvlente d un jour à l utre, et ce, vec un seul de confnce de 5%. Pusqu'l exste u mons une dfférence, on peut mentonner l plus grnde dfférence dns le tbleu comme étnt sgnfctve: l y sgnfctvement plus d'ccdents les smeds que les dmnches. Précsons que dns les exemples c-hut, nous prédsons une réprtton égle. Ce n est ps forcément notre hypothèse nulle. Une hypothèse qu prédt des vleurs ttendues est tout uss possble, et est testée de l même fçon que c-hut. Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 4

5 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Secton 3. Tbleux de contngences et fréquences mrgnles Supposons que dns l étude précédente sur l réprtton des sexes en psychologe, nous yons uss mesuré l tttude fce à l psychologe sot fvorble ou défvorble. Nous obtenons de fçon générle que 63 personnes sur l échntllon de 158 sont fvorbles à l usge des sttstques en psychologe, sot un pourcentge de près de 4%. On peut se poser l queston à svor s cel est uss vr des hommes que des femmes. Heureusement, lors de l collecte des données sur cette deuxème queston, nous vons uss l nformton sur le sexe, ce qu permet d étblr le tbleu suvnt, qu on ppelle un tbleu de contngence : Femme Homme Totl Fvorble Défvorble Totl Des mrges du tbleu, nous obtenons l nformton précédente que les femmes sont nettement mjortres dns le déprtement de psychologe. De l utre mrge, nous obtenons l nformton que près de 4% sont fvorbles à l psychologe. Est-ce qu l en v de même pour les hommes, pour les femmes prses séprément. L hypothèse nulle, qu dt que 4% des femmes sont fvorbles à l sttstque prédt donc que.4 13 donne le totl de femmes fvorbles, sot 49. Inversement,.6 13 donne 74 femmes défvorbles. Chez les hommes,.4 35 donne 14 lors que.6 35 donne 1 hommes défvorbles. Nous vons ms ces vleurs entre prenthèses dns le tbleu c-hut. Comme on le vot, l semble exster des dévtons mportntes surtout chez les hommes défvorbles. Peut-on tester formellement cette ntuton? Le test du χ s utlse uss vec pluseurs vrbles clssfctores..1. Postults Le test est bsé sur le postult que les fréquences observées O j sont normlement dstrbuées et que chque fréquence ttendue est suffsmment grnde. Ic, on entend pr grnde un j > 5. S vous prédsez des clsses vec mons de cnq effectfs, vous devez lors les regrouper pour que l effectf prédt de cette super-clsse dépsse 5... Hypothèses et seul Dns notre exemple, l hypothèse nulle prédt une réprtton égle des tttudes des hommes et des femmes en psychologe. Nous pouvons lors écrre : H :O tttude homme O tttude femmes O tttude H 1 : O tttude homme O tttude femmes où l brre vertcle se lt «étnt donnée». Autrement dt, le sexe n nfluence ps l tttude de l personne fce à l sttstque. Lors du cours sur les ANOVA, nous prlerons d une "bsence d ntercton" entre le sexe et l tttude. Une fçon plus courte de noter les hypothèses est: Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 5

6 PSY 14 H : Ps d'ntercton entre le sexe et l'tttude H 1 : Intercton entre le sexe et l'tttude Nous doptons dns cet exemple un seul usuel de 5%..3. Chercher le test Le test de fréquence est de l forme : O où l vleur j j j j Rejet de H s O > s α j j Technques d nlyses en psychologe est dstrbuée comme un χ nombre de clsse 1 nombre de clsse j 1. Nous vons dû utlser une double somme cr l fut fre l somme pour les deux lgnes tttudes fvorble et défvorble et pour les deux colonnes hommes et femmes. Dns notre exemple sur le sexe et l'tttude des futurs psychologues, le nombre de colonne est et le nombre de lgne, uss. On utlse donc degré de lberté pour rechercher l vleur crtque. Elle est, près nspecton dns l tble, sα Applquer le test et conclure Nous trouvons : O j j j O HF HF HF O HD HD HD O FF FF FF O ce qu montre que les grs ont une tttude sgnfctvement dfférentes des flles fce ux sttstques χ p <.5. Les hommes tendent à être plus fvorbles ux sttstques à plus de 9% lors que l'nverse est vr pour les femmes, seulement 5% d'entre elles montrnt une tttude fvorble ux sttstques. Écrre une nterprétton des données L'écrture d'une nterprétton des résultts n'est ps chose sée. D'un côté, tout un trvl de sttstque été rélsé. Or celu qu v lre votre recherche n'est ps un sttstcen ms un psychologue. Vous devez explquer les résultts en termes ccessbles et sgnfctfs pour votre lecteur. Il est probble que H,, ÿ, etc. ne feront qu'égrer votre udtore. D'un utre côté, pour des rsons de crédblté, vous ne pouvez ps fre d'ffrmtons grtutes. À toutes les fos que vous rpportez une dfférence ou un effet, vous devez mettre dns votre rpport des sgnes lngustques qu dsent en substnce "je n'ffrme ps cel grtutement, j' posé mes hypothèses et ft le test sttstque ppropré, et l'effet est sgnfctf ou ps." FD FD FD Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 6

7 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Ces sgnes lngustques sont les mêmes dns à peu près toutes les dscplnes scentfques: 1 l'utlston du mot "sgnfctvement", l'ncluson du résultt du test entre prenthèses, suv du seul α suvnt cette écrture très strcte: "nom-de-l-stt degrés de lberté, s'l y résultt, p < seul α " s le test est sgnfctf. S'l n'est ps sgnfctf, l fut uss rpporter l sttstque, ms cette fos, "p > seul α ". Le sgne plus pett sgnfe que l probblté d'obtenr ce résultt pr pur hsrd est plus pett que α, ce qu veut dre qu'on rejeté H. Voc un pett exemple qu reprend l réprtton des sexes en psychologe de l secton 1. Je suppose que le chercheur, un étudnt de mîtrse, tent un cher, une sorte de journl personnel dns lequel l note ses observtons et commentres en physque, l'usge du cher est oblgtore. Voc ce qu'l note dns son cher: [1 nov ] Ne me reste plus que tros semnes pour trouver un projet [ nov ] Le sexe des sprnts psychologues, ç s tune bonne dée! C peut être super utle. L sso v pouvor prévor plus exctement le nombre de csses de bère à commnder u prty de fn d nnée. Ps s y mons de grs que de flles, l corpo pourrt fre des cmpgnes de recrutement meux cblées. C est cool! [1 nov } Zut, le déprtement ne veut ps me donner les lstes des étudnts. J peux qund même ps fre un recensement complet mo-même. J vs collecter un échntllon. Où? Le cours de stts commence à 13h. C t un cours oblgtore, l devrt être réprésenttf. [1 nov, 1h45] Décompte de ceux qu entrent : homme code 1: femme code : Totl : homme 35, femme 13 [1 nov, 13h3] C ben l r qu l plus de flles. C tu sgnfctf? Voyons H :Nbre grs Nbre flle l moté 135/ 79 H : #grs #flles 79 H 1 : #grs 79, #flles 79. C est ps des moyennes, c est des effectfs test du ch vec rép. égle. L étudnt entre dns un fcher sexe.dt, que l on vot dns l Fgure 1 pus exécute l syntxe suvnte : Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 7

8 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Fgure 1 : Données de l expérence sur le sexe des futurs psychologues o o o o o o dt lst fle"c:\wndows\bureu\sexe.dt" lst /sexe nbre. weght by nbre. npr test /chsqusexe1, /expectedequl. Il obtent le lstng de l Fgure qu'l grfe dns son cher: Voc ce qu'l écrt dns son rpport de recherche: [Méthode] Ch-Squre Test Frequences SEE Ctegory Observed N Expected N Resdul Totl 158 Test Sttstcs SEE Ch-Squre df 1 Asymp. Sg.. cells.% hve expected frequences less thn 5. The mnmum expected cell frequency s 79.. Étnt donné qu'l n'exste ps de lstes d'nscrts ccessble, nous vons procédé à l collecte d'un échntllon représenttf d'étudnts de psychologe à l'unversté de Montrél. L'échntllon est bsé sur l'ssstnce u cours PSY 14, un cours oblgtore pour tous les étudnts de premère nnée. [Interprétton des résultts] Fgure : Lstng produt ps SPSS Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 8

9 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Se trouvt présent 35 hommes et 13 femmes. Il semble qu'l y t presque 4 fos plus de femmes que d'hommes en psychologe, ce qu est sgnfctvement dfférent d'une réprtton égle χ , p <.5. Il se peut que notre échntllon ne sot ps bsolument représenttf. Premèrement, l s'gt d'une clsse de premère nnée. Peut-être que l réprtton tend à s'homogénéser u fur et à mesure que les étudnts progressent dns leurs études. De plus, l'échntllon été prs en fn d'nnée scolre. Le tux d'bsentésme est peut-être plus grnd pour les hommes que pour les femmes à cette pérode de l'nnée. Comme on peut le vor, à prt l'utlston du mot "sgnfctvement" et l présence de l prenthèse, l n'y ucune référence u trvl de sttstque dns le rpport fnl. C peut donner une mpresson que l sttstque est néglgeble en psychologe. Il n'en est ren. S l'étudnt vt écrt entre prenthèse "t , p >.5", le trvl urt été sûrement refusé et l'étudnt contrnt de recommencer ou pre, exclu des études supéreures. Secton 4. Test sur l vrnce Le derner test que nous présentons dns cette secton est un test de l vrnce. Plus précsément, l s gt unquement d un test qu permet de svor s l vrnce est telle qu ttendue selon notre hypothèse. Pr exemple, sot un échntllon de 4 sujets où nous observons une vrnce non bsée de 1 untés u crré. Supposons que nous yons une théore qu prédt que l vrnce devrt être de 1. Est-ce que l prédcton fte pr cette théore est rejetée? Dns l prtque cournte de l recherche, l est plutôt rre de vor une théore qu ft des prédctons sur l vrnce. Il en exste, et en générl, ce sont les plus complètes cr elles font uss des prédctons sur l moyenne, ms elles se comptent sur le bout des dogts. Nénmons, le test développé c est à l bse de l ANOVA, le test sttstque le plus utlsé pour dstnguer des moyennes. Il est donc mportnt de ssr l provennce de ce test, ce que nous voyons c. Exmnons un peu l vrnce d un échntllon. S nous fsons des mnpultons lgébrques, nous vons dns l sute, nous ne mettrons ps l étquette "n - 1" : Or, 1 n 1 Il s ensut que [ ] Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 9

10 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 1 n n on se rppelle que l somme des écrts à l moyenne donne toujours zéro cours. S l on dvse les deux côtés pr, où est l vrnce prédte pr l théore, n n 1 1 Mntennt, l prte de guche 1 est égle à 1 n, sot un rto de l vleur de l vrnce obtenue de notre échntllon dvsée pr l vrnce ttendue multplé pr n - 1. S notre hypothèse est vre, les deux vrbles sont égles, et le rto donne 1. Donc, l prte de guche devrt donner une vleur proche de n 1. L prte de drote, s on regrde ttentvement est une somme de scores bruts normlsé plus b une moyenne d échntllon normlsée pr son erreur type. S vous vous rppelez de votre cours 3, on vot que est un χ vec n degrés de lberté et que b est χ vec un seul degré de lberté l n y qu un terme. Cec sgnfe que l prte de guche, contennt les éléments de notre hypothèse vrnce observée et vrnce prédte est dstrbuée comme une χ vec n 1 degrés de lberté. Il ne nous en fut ps plus pour fre un test sttstque. Le test peut être undrectonnel ou bdrectonnel..1. Postults Le test de l vrnce est bsé sur le postult que les données brutes sont normlement dstrbuées. Il s gt d un postult fort, cr l ne porte ps sur l moyenne, ms sur chque donnée brute on ne peut ps fre ppel u théorème centrl lmte c. Dns les fts cependnt, le test semble ssez résstnt s n >>, de telle fçon que pour des données pproxmtvement normles, les conclusons sont encore vlbles... Hypothèses et seul Dns notre exemple, l hypothèse nulle prédt que l vrnce réelle de l populton est donnée pr, une vleur décdée pror pr notre théore. Nous pouvons lors écrre : H : H 1 :

11 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Comme toujours, nous chosssons dns notre exemple un α 5%. L dstrbuton du χ n'est ps symétrque; l fut donc trouver deux bornes, une nféreure s - α/ et une supéreure s α/..3. Chercher le test Le test de l vrnce est de l forme : Rejet de H s n 1 > s α/ ou n 1 < s - α/ où l vleur n 1 ~ χ n - 1. Les vleurs crtques sont: s α/ et s - α/.878 vec 38 degrés de lberté cr 39 n est ps tbulé. L fgure qu sut montre les deux seuls %.5% Fgure 4 : Plcement des vleurs crtques s - α / et s α / sur l dstrbuton χ..4. Applquer le test et conclure Le test devent: n L vleur obtenue de notre échntllon n étnt ps plus grnde que l vleur crtque, on ne rejette ps H ; l vrnce observée est comptble vec l prédcton du modèle. Postults excts vs. postults symptotques Certnes dstrbutons sont bsées sur le postult que n >> lors que d'utres sont bsées sur une tlle n donnée. On ppelle le premer type de postult un postult symptotque. L dstrbuton normle, telle que défne dns l théore des erreurs de Guss, est bsée sur un nombre de fcteur n non spécfé ms grnd. Il s'gt donc d'une théore bsée sur un postult symptotque. L dstrbuton de Webull est uss bsée sur un postult symptotque pusque le nombre de compétteurs n est non spécfé ms dot être Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 11

12 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe grnd. À l'opposé, l dstrbuton bnomle est bsée sur un n précs l fut connître le prmètre n pour lre dns l tble Bn, p ; l s'gt d'un postult exct. Les dstrbutons symptotques sont plus dffcles à démontrer le théorème centrl lmte prs 1 ns à démontrer; le cs générl pour l Webull été prouvé en pr momême. Cependnt, ls sont beucoup plus smples d'utlston pusqu'on n' ps à connître l vleur de n. De plus, les postults symptotques peuvent être utlsés pour rejeter des théores de l pensée. En effet, comme on ne connît ps le nombre de neurones dns le cerveu ou très pproxmtvement, une théore de l'esprt ne peut ps être bâte sur un nombre n de neurones ou de synpses, selon ce qu ser le plus pertnent. Voc deux exemples de théore du fonctonnement cogntf qu font ppelle à des rguments symptotques: 1 Les réseux connexonnstes clssques fonctonnent en smulnt un grnd nombre de "neurones" qu peuvent, près des stmultons, ccroître ou rédure leurs connectons récproques. Les premers neurones peuvent être connectés à une cmér et les derners à un brs robot. Les connexons de ces neurones smplfés sont donc des "fcteurs" ffectnt l réponse, ls sont en grnd nombre, et à peu près utnt exctteur qu'nhbteur. Or, suvnt l théore des erreurs de Guss, l fut que les réponses de ce système sot dstrbuées de fçon norml rgument symptotque utlsnt le théorème centrl lmte. Cependnt, qund on enregstre les temps de réponse des humns, ls ne sont jms symétrques utour du temps de réponse moyen, ce qu nvlde le modèle norml, et donc, les réseux connexonnstes clssques rejet de H. Les réseux de courses postulent plutôt que les neurones vont régr usstôt qu'un récepteur sensorel ou un neurone ntécédent s'ctve. Il s'gt donc d'un modèle de course le plus rpde envoe son sgnl en premer. En utlsnt un rgument symptotque, le modèle prédt est l dstrbuton de Webull qu prédt que les temps de réponse sont symétrques, tout comme ceux qu'on observe. Le modèle de course n'est donc ps rejeté non rejet de H. Secton 5. Concluson Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 1

13 PSY 14 Technques d nlyses en psychologe Exercces 1. Un chercheur ft une étude uprès de deux petts groupes d étudnts lttérture et optométre. Il s ntéresse à l vrble «Qulté de ve» qu l mesure suvnt le revenu nnuel. Lequel, prm les tests suvnt, dot-l rélser? Test z b Test sur l médne c Test t d Test χ. En une heure, les nombres d utlsteurs de 6 guchets utomtques sont les suvnts : 1, 3, 1, 41, 67, 37. Vérfez que ces guchets sont unformément vstés sur l bse de votre échntllon vec un seul de décson de Un nouveu vccn été testé sur 15 enfnts, dont 7 dns un groupe contrôle. Sx enfnts trtés sont mldes contre 5 dns le groupe contrôle. Chosssez un seul et vérfez l effccté du vccn. 4. Un cnddt à l mre de Montrél demnde un sondge. Effectué uprès de 111 hommes et 133 femmes, l révèle que 49 personnes sont contre lu lors que 171 lu sont fvorbles, et 4 ncertnes. Prm les femmes, ces nombres devennent 35 contre, 8 pour. Est-ce que le cnddt peut compter églement sur les hommes et les femmes pour être élu? 5. Un journl rpporte le nombre de meurtres comms à Montrél u cours des nnées 1984 à 1989 : 34, 7, 41, 5, 18, 35. Vérfez l hypothèse d une réprtton égle vec un seul de 5%. 6. Un sondge effectué uprès des 1 employés d un bureu rpporte que 4 d entre eux ont une opnon fvorble envers leur nouveu ptron, 5 sont défvorbles, et 3 restent neutres. Les opnons se réprtssent-elles églement? Attenton à l pogne 7. Au cours d une recherche, vous vez mesuré l tlle de 3 unverstres québécos. Vous voulez vérfer s les données de cette vrble se dstrbuent normlement seul de 1%. Pour cel, vous devez : étblr une dstrbuton de fréquences à prt des tlles observées tbleu donné c-bs, et b dresser un tbleu des vleurs ttendues s l dstrbuton est belle et ben normle. L moyenne de votre échntllon est 1.65 m vec un écrt type non bsé de 7. cm. Tlles Observées Attendues ? Une compgne observe que les ventes du derner mos se réprtssent comme sut dns leurs 5 commerces : 81, 84, 75, 78, 8, en K$. Dot-elle fermer une boutque seul de 1%? Cours 6. Tbleux de contngences et tests du χ 13

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