UV Commande numérique. Transformée en Z. Limites du continu, besoin du discret. Plan du cours

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1 UV cours sur l trnsformé n Z (E. Chnthry) Ds sur l trnsformé n Z (L. Hdji) 8 cours/ds sur MALAB (V. Mhout) cours d présnttion ds Ps (V. Mhout) 5 Ps vc MALAB t XPC rgt xmn rnsformé n Z 3 èm nné MIC E. Chnthry V. Mhout Pln du cours Limits du continu, bsoin du discrt. Introduction. rnsformé n Z. Définition, condition d convrgnc b. Rltion ntr l trnsformé d Lplc t l Z 3. Propriétés 4. Méthods d clcul d l Z 5. L trnsformé invrs. Méthods nlytiqus b. Méthods numériqus 3 4

2 Systèm discrt : modélistion Signl nlogiqu & gnl numériqu Mond du continu commnd u(t) Procédé sorti y(t) Signl nlogiqu : gnl à tmps continu mis qui n'st ps forcémnt un fonction continu u sns mthémtiqu Convrtissur sorti cpté Convrtissur Signl nlogiqu continu Numériqu/Anlogiqu CNA Anlogiqu/Numériqu CAN u Mond du discrt Procssur y Signl nlogiqu non continu 5 6 Signl continu & gnl numériqu Echntillonng Signl numériqu: gnl défini pr ds points distincts, distnts d un périod d échntillonng. On prl us d gnl discrt. x Échntillonng : opértion mthémtiqu qui, à un gnl à tmps continu x(t), fit corrspondr l suit discrèt d vlurs qu prnd c gnl à ds instnts privilégiés t vc ntir rltif : x()x(t), t x() noté x() ou x t 6 t 7 t -3 t - t - t t t t 3 t 4 t 5 t 8 t 9 7 8

3 Echntillonng: illustrtion Signl discrt On not Imp() l impulon discrèt Imp() pour Imp() non out fonction discrèt st un somm infini d impulons pondérés + x(n) x Imp(n ) x st l vlur d x n t : périod d'échntillonng f / : fréqunc d'échntillonng 9 Systèm discrt : CNA Bloquurs d ordr Mond du continu commnd u(t) Convrtissur Numériqu/Anlogiqu CNA u Mond du discrt Procédé Procssur sorti y(t) sorti cpté Convrtissur Anlogiqu/Numériqu CAN On fit ppl à ds BLOQUEURS qui vont mintnir l vlur d gnl pndnt un périod d échntillonng y Grd l vlur pndnt l duré Objctif : l xprson B (p) x b(t) u(t) u(t B (p) p B(p) p t ) p p p ( ) Répons à un Dirc : somm d fonctions échlon p p ( ) x t

4 Bloquurs d ordr Pln du cours Prnd l pnt précédnt pndnt l duré x. Introduction. rnsformé n Z. Définition, condition d convrgnc b. Rltion ntr l trnsformé d Lplc t l Z 3. Propriétés 4. Méthods d clcul d l Z t 5. L trnsformé invrs. Méthods nlytiqus b. Méthods numériqus 3 4 L trnsformé n Condition d convrgnc - Rmrqu En continu : étud t nlys ds gnux t systèms utilis un modélistion à prtir d l trnsformé d Lplc En discrt : utilistion d l trnsformé n Z L trnsformé n Z s ppliqu sur ds gnux discrts du typ x(n) + x Imp(n ) Soit un vribl complx, r On ppll trnsformé n d x(n) l somm d l séri: jθ Si l séri convrg, X() st un fonction complx d L domin d convrgnc st un couronn cntré sur l origin Rmrqu: Pour un gnl à tmps continu x(t) échntillonné, on utilisr pr bus d lngg : X() Z[x(t)] X () x ; > R Nottion : X() ou Z [x(n)] ou Z(x) 5 6

5 Exmpls Exmpls (corrction) Qu vut X()? Impulon discrèt x() δ() Qu vut X()? Impulon discrèt x() δ() Echlon discrt x() On utilis l définition d X(): x() Γ() < X() δ() 7 8 Exmpls (corrction) Exmpls Qu vut X()? Echlon discrt x() Γ() < x() Qu vut X()? rmp x() Γ() < x() On utilis l définition d X() : X() Γ() puissnc Dns l domin où > X() l séri convrg vrs: x() Γ() < 9

6 Exmpls (corrction) Qu vut X()? rmp x() Γ() < En ppliqunt l définition: d d X() d d x() d d X() ( ) d d ( ) ( ) ( ) Rmrqu: Dns l cs où l rmp provint d un échntillonng à l périod lors x() Γ() X() ( ) < Qu vut X()? Exmpls Rltion ntr pln d Lplc t rnsformé n puissnc x() Γ() En ppliqunt l définition: < X() R Im R Im Ctt séri convrg > Et dns c cs X() Pln n Pln d Lplc L dmi-pln rél négtif dvint l disqu cntré n t d ryon : { p } L { } 3 4

7 Rltion ntr pln d Lplc t rnsformé n Rltion ntr pln d Lplc t rnsformé n R R R R Im Im Im Im Pln d Lplc Pln n Pln d Lplc Pln n Un droit vrticl dvint un crcl cntré n Un pôl dns Lplc rst un pôl 5 6 Pln du cours 3- Propriétés. Introduction. rnsformé n Z. Définition, condition d convrgnc b. Rltion ntr l trnsformé d Lplc t l Z 3. Propriétés 4. Méthods d clcul d l Z 5. L trnsformé invrs. Méthods nlytiqus b. Méthods numériqus Linérité : Z(f+bg) Z(f) + b Z(g) Rtrd: Z(f(- )) - Z(f) Ex: à x(n) on fit corrspondr y(n) tl qu y x - lors Y() - X() rnsform l convolution n produit : g(n) x(n) * y(n) c-à-d g Alors Z(g) Z(x). Z(y) Multipliction pr : Z( f()) F(/) n x y n 7 8

8 héorèms Pln du cours héorèm d l vlur initil lim X() héorèm d l vlur finl x x lim( )X() Ls pôls d X() doivnt êtr strictmnt plus ptits qu. Introduction. rnsformé n Z. Définition, condition d convrgnc b. Rltion ntr l trnsformé d Lplc t l Z 3. Propriétés 4. Méthods d clcul d l Z 5. L trnsformé invrs. Méthods nlytiqus b. Méthods numériqus 9 3 Clcul d l Z n fonction d l suit x() Résumé d qulqus trnsformés usulls Utilistion d l définition X () x ; > R Exmpl : (voir slids précédnts) ou x pout tout < t pour tout > x x() Z(δ()) Z( Γ()) p + t t x - x Z(rmp) ( ) (p + ) t t ( t ) X() +.5 Z( ) 3 3

9 Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Condition d pplicbilité : il fut vérifir qu ls x soint n nombr fini, i- lim X(p) p Méthod : décompotion n élémnts mpls Décompotion n élémnts mpls d X(p) Utilistion d l tbl ds trnsformés Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Condition d pplicbilité : ls x sont n nombr fini, i- lim H(p) p Méthod : Décompotion n élémnts mpls d X(p) H(p) p(p p + ) p + p +.5 p Exmpl: Clcul d l Z d H(p) p(p + 3p + ) Utilistion d l tbl ds trnsformés H() Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Méthod : Méthod ds rédus X() pôls pi d X(p) X(p) Rédup i - - p Méthod : Méthod ds rédus X() X(p) Rédup i - pôls p d X(p) - i Exmpl pour : H(p) p(p + 3p + ) p Rédu X() Clcul ds rédus: st un pôl d ordr d X(p), on not X (p)(p-)x(p) Rédu X() st un pôl d ordr d X(p), on not X (p)(p-)²x(p) Rédu X(p)'( ( p ) + X ) (p) p Pôls : p; p-; p- Rédu Rédu H() + Rédu

10 Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Méthod : Méthod ds rédus X() X(p) Rédup i - pôls p d X(p) - i p Rédu X() Clcul d l Z à prtir d l fonction d trnsfrt Méthod : Méthod ds rédus X() X(p) Rédup i - pôls p d X(p) - i p Rédu X() Exmpl pour : H(p) p(p + ) Exmpl pour : H(p) p(p + ) Pôls : p; p- Rédu. Rédu H() Pln du cours. Introduction. rnsformé n Z. Définition, condition d convrgnc b. Rltion ntr l trnsformé d Lplc t l Z 3. Propriétés 4. Méthods d clcul d l Z 5. L trnsformé invrs. Méthods nlytiqus b. Méthods numériqus L trnsformé invrs Méthod : méthod ds rédus x Clcul ds rédus: Dns l cs générl Rédu - pôls i d X() i [ X() ] Si st un pôl d ordr d - X() : Rédu X() ( ) X() Si st un pôl d ordr d - ' X() : Rédu (( ) X( ) X() Attntion pour X() Si st un pôl d ordr d X() X() lors c st un pôl d ordr d ) 39 4

11 Méthod : méthod ds rédus L trnsformé invrs x Rédu i - pôls i d X() [ X() ] X() Méthod : méthod ds rédus L trnsformé invrs x Rédu i - pôls i d X() [ X() ] X() Exmpl pour X() Pour : on chrch ls pôls d X() ( ) L pôl st - t Rédu ( ). x Pour > : on chrch ls pôls d Exmpl pour X() ( ) L pôl st t Rédu x, x ( ) 4 4 Méthod : méthod ds rédus x pôls Exmpl pour i L trnsformé invrs d Rédu i - X() X() [ X() ] ( ) X() Pour : on chrch ls pôls d ( ) Ls pôls sont (doubl) t (mpl) Rédu. Rédu ( ). ( ) ( ) x Pour > : on chrch ls pôls d ( ) L pôl st Rédu ( ). ( ) >, x X() ( ) ( ) Méthod : L trnsformé invrs X() décompotion n élémnts mpls d X() t utilistion d l tbl d trnsformés Exmpl pour X() ( )(.5) 43 44

12 L trnsformé invrs X() L trnsformé invrs X() Méthod : décompotion n élémnts mpls d X() t utilistion d l tbl d trnsformés Méthod 3: divion polynomil Exmpl pour X() ( )(.5) X() 4 4 ( )(.5).5 X() x 4Γ() 4(.5) On chrch à rtrouvr ls cofficints x pr l définition X () x ; > R Exmpl pour X() L trnsformé invrs X() L trnsformé invrs X() Méthod 3: divion polynomil Méthod 4: méthods ds récurrncs On chrch à rtrouvr ls cofficints x pr l définition X () x ; > R Exmpl pour X() Donc x ; x ; x 4, 8 - b N( X() D( ) b ) + b + + b b m m d d Rppl: à x(n) on fit corrspondr y(n) tl qu y x - lors Y() - X() X() + + b + b X() b X() m m d d X() x + x + x dx d b Imp() + b Imp( ) + b Imp( ) b m Imp( m) 47 48

13 L trnsformé invrs X() Fonctions d trnsfrt discrèts Méthod 4: méthods ds récurrncs Exmpl pour X() ( ) X() ( ) X() X() + + X() + Déf: un systèm numériqu st défini pr un rltion d récurrnc ntr son ntré () t s sorti y() Ctt éqution st d l form: y( + n) + n y( + n ) y( + ) + y() b () + b ( + ) b ( + m) Comm ctt éqution st cusl, l sorti à +n n put dépndr qu d l ntré ux instnts d vnt m n m x x x + Imp( ) On ppll fonction d trnsfrt G() du systèm l rpport ntr l trnsformé n d l sorti Y() t cll d l ntré E() G() Y() E() b + b m + bm n n n Fonction d trnsfrt vc bloquur Méthods d numéristion x(t) x* x* B (p) (p) F() Z[B F() ( F() (p)(p)] Z ( (p) )Z p p ) (p) p Méthods pprochés qui constnt à trouvr un pproximtion d pf() n pproximnt un dérivé èr méthod d Eulr : u& u(t + ) u(t) lim èm méthod d Eulr: u& u(t) u(t ) lim p p (+) 5 5

14 53 Méthods d numéristion () Intégrtion pr l méthod ds trpès: L ir sous l courb d x&(t) st pproximé pr l ir du trpè On not : x& ( + ) x(t)dt & + + donc x x ( + )Z() On pss n Z :( )X() Z() Z(x) & X() + + p + donc : Rmrqu: l pproximtion d ustin st l plus fin ds 3 pproximtions proposés + + x&(t) (+) Approximtion d ustin 54 Pour un PI: R g(p) Appliction èr méthod d Eulr : èm méthod d Eulr : ustin : + p i p i i R g() R g() + i i i R g()