Corps finis. Exemples : Z/pZ. On note F p le corps Z/pZ. k[x]/p où k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible.

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1 Corps finis 1 Un peu d algèbre Si A est un anneau commutatif principal, (a) un idéal de A, et a est un élément premier de A alors l anneau quotient A/(a) est un corps. Exemples : Z/pZ. On note F p le corps Z/pZ. k[x]/p où k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible. 2 Caractéristique d un corps Proposition 1. Un corps fini contient un corps Z/pZ où p est un nombre premier. Soit K un corps fini, et soit π l application π : Z K n n 1 ker π est un idéal de Z, donc de la forme pz, avec p 0 et p 1. Si p = p 1 p 2, on a 0 = π(p) = π(p 1 )π(p 2 ) dans K, donc π(p 1 ) = 0 ou π(p 2 ) = 0. donc p 1 pz ou p 2 pz. donc p 1 = p ou p 2 = p car p i p. donc p est premier. On a donc π : Z Z/pZ = F p K p est le plus petit entier positif tel que p 1 = 0 dans K. p est appelé la caractéristique du corps. F p est le plus petit sous-corps de K. F p est l intersection des sous-corps de K. F p est appelé corps premier. Plus généralement, un corps premier est le plus petit corps contenu dans un corps donné. Il est isomorphe à Q, ou à un des corps F p où p est un nombre premier. La caractéristique d un corps est le nombre 0 si le corps premier est Q, le nombre p si le corps premier est F p. 1

2 3 Nombre d éléments d un corps fini. Proposition 2. Un corps fini K de caractéristique p admet p n éléments où n est un entier. En effet, le nombre n est égal à la dimension de K considéré comme espace vectoriel sur F p : n = dim Fp K Proposition 3. Si k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible dans k[x], dim k k[x]/p = deg P Soit A(x) k[x]. Notons A son image dans k[x]/p. La division euclidienne par P permet d écrire A(x) = q(x)p (x) + R(x) avec deg R deg P Cela définit une application à valeurs dans l espace des polynômes de degré au plus égal à deg P 1. k[x]/p k[x] deg P 1 A R C est un application linéaire d espaces vectoriels. Elle est injective car si R = 0 alors A(x) = q(x)p (x) donc A = 0 Elle est surjective car R a pour image R. Remarque. On en déduit que P est un polynôme irréductible dans F p [x], alors le corps F p [x]/p a p deg P éléments. 4 Eléments primitifs On a besoin de deux lemmes avant d énoncer le théorème. Si d est un entier, on note φ(d) le nombre des entiers x tels que { 1 x d x est premier à d On appelle φ(d) l indicateur d Euler de d. 2

3 Lemme 4. Le nombre de générateurs de Z/dZ est égal à φ(d). On considère les éléments suivants de Z/dZ, où x est un entier, x son image dans Z/dZ : 0, x, 2x,..., mx,..., (d 1)x Si x est premier à d, alors x est un générateur de Z/dZ. Si mx = 0, alors mx 0 (mod. d), alors mx = nd. Si x est premier à d, comme d mx, alors d m ce qui est impossible car m < d. Donc pour tout m < d, mx 0, donc les éléments 0, x, 2x,..., mx,..., (d 1)x sont distincts. Donc x est bien générateur. Si x n est pas premier à d, alors x n est pas un générateur de Z/dZ. Soit p tel que p x et p d. On a d p x = x p d, donc d x 0 (mod. d) p Donc les éléments 0, x, 2x,..., mx,..., (d 1)x ne sont pas distincts. En particulier φ(d) 1 car un groupe cyclique a au moins un générateur. Lemme 5. Si n est un entier 1, on a n = d n φ(d) Soit C d = n d Z/nZ l unique sous-groupe de Z/nZ d ordre d. Soit Φ(d) l ensemble des générateurs de C d. Z/nZ est réunion disjointe des Φ(d). On a n = Card Z/nZ = d n Card (Φ(d)) = d n φ(d). Théorème 6. Si K est un corps fini, alors le groupe multiplicatif K est cyclique. Soit q le nombre d éléments du corps K, q 1 celui du groupe K. Tout élément de K a un ordre d tel que d divise q 1. Si d est un diviseur de q 1 soient Hd l ensemble des élément de K d ordre d ; H d l ensemble des racines de X d 1. On a Hd H d. Si Hd, soit a H d. 3

4 Alors H d est un groupe formé des éléments x de K tels que x d = 1, il est isomorphe à Z/dZ par n a n. En effet, a H d H d, donc H d contient le groupe cyclique engendré par a qui admet d éléments; #H d d car H d l ensemble des racines de X d 1. donc #H d = φ(d). Si Hd est l ensemble des éléments d ordre d dans K, il a donc 0 ou φ(d) éléments. q 1 = #K = # Hd = #Hd φ(d) = q 1 d q 1 d q 1 d q 1 donc le nombre d éléments de K d ordre d q 1 est égal à φ(d). En particulier il existe un élément d ordre q 1. Cet élément engendre K. Définition 7. Les générateurs de K sont appelés éléments primitifs de K. 5 Existence de corps finis Proposition 8. Soit K un corps fini. Soit a un élément primitif de K. L ensemble des polynômes qui ont a comme racine est un idéal premier de F p [x]. Soit f et g deux polynômes à coefficients dans K. 0 = fg(a) f(a) = 0 ou g(a) = 0 Le générateur de cet idéal s appelle polynôme minimal de a. C est un polynôme irréductible. Proposition 9. Soit K un corps fini. Soit a un élément primitif de K. Soit f(x) le polynôme minimal de a dans F p [x]. Alors L application se factorise K F p [x]/(f(x)). F p [x] K g(x) g(a) F p [x]/(f(x)) K donc définit un homomorphisme de corps qui est injectif (en tant qu homomorphisme de corps) surjectif (son image contient tous les éléments de K, car elle contient a, a 2,...,a i,... ) 4

5 Proposition 10. Si a et b sont des éléments d un corps K de caractéristique p, alors (a + b) p = a p + b p. p ( ) p On a (a + b) p = a i b p i. i i=0 ( ) p p! (p 1)! Si 1 i p 1, on a = = p i i!(p i)! i!(p i)!. ( ) p est un entier, donc i!(p i)! divise p! = p(p 1)! i Or i!(p i)! est premier à p, donc divise (p 1)!. ( ) p Donc est divisible par p, et est donc nul dans K. i Il reste (a + b) p = ( p 0 ) b p + ( p p ) a p. Corollaire 11. Si a et b sont des éléments d un corps K de caractéristique p, alors (a + b) pn = a pn + b pn. Proposition 12. Soit F un corps et f(x) F[x]. Il existe un corps L F tel que f(x) se décompose en polynômes de degré 1 à coefficients dans L. Par récurrence a) Si deg f = 1 alors on peut prendre L = F. b) Supposons deg f = k + 1 Soit g(x) un diviseur premier de f(x). On va montrer que g(x) a au moins une racine dans K = F[x]/(g(x)). Soit α l image de x par l application quotient F[x] K. On a g(α) = 0 car l image de g(x) dans K est 0. Mais g(x) = g i x i a pour image gi α i, donc g(α) = g i α i = 0 dans K. Donc f(x) s écrit F[x] g(x) = g i x i K 0 = g i α i = g(α) f(x) = (x α)h(x) où h(x) est un polynôme de K[x] de degré k. Donc (par hypothèse de récurrence) il existe un corps L K tel que h(x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. Par conséquent f(x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. 5

6 Théorème 13. Etant donné un nombre premier p et un entier strictement positif n, il existe un corps à p n éléments. Considérons le polynôme f(x) = x pn x. Soit L F p tel que f(x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. Le nombre de ces facteurs est donc p n (= deg f). Ils sont distincts car le polynôme dérivé n a pas de racines. f (x) = p n x pn 1 1 = 1 Soit K l ensemble des racines de f(x) dans L. C est un sous-corps de L car il est stable par les lois de L. En effet, si a et b sont dans K, (a + b) pn = a pn + b pn = a + b et a 0 a pour inverse a pn 2 : (ab) pn = a pn b pn = ab a a pn 2 = a pn 1 = 1 puisque a est racine du polynôme x pn x = x(x pn 1 1). Donc K est un corps, et il a p n éléments. 6 Unicité des corps finis Comparons deux corps ayant le même nombre d éléments, soit q = p n Proposition 14. Soit K un corps ayant q éléments. Les éléments a de K vérifient a q = a. On a x q x = a K(x a). Le groupe K des éléments non nuls a q 1 éléments. Les éléments a de K vérifient donc a q 1 = 1. Les éléments a de K vérifient donc a(a q 1 1) = a q a = 0. Si a K, x a divise x q x, donc (x a) divise x q x. a K Il y a égalité car ces deux polynômes ont même degré. 6

7 Théorème 15. Soient K et L deux corps ayant p n = q éléments. Alors K est isomorphe à L. Soit a un élément primitif de K et f(x) son polynôme minimal. On a donc K F p [x]/(f(x)). Comme a K, a est racine de x q x, donc f(x) divise x q x. On a aussi x q x = a L(x a). Donc il existe un élément b L qui est aussi une racine de f(x). Donc le polynôme minimal de b, soit g(x) est un diviseur de f(x). Puisque f(x) est irréductible et unitaire, on en déduit que f(x) = g(x). Donc On a un homomorphisme D où un homomorphisme K F p [x]/(f(x)) = F p [x]/(g(x)) F p [x]/g(x) L h(x) h(b) K F p [x]/(f(x)) = F p [x]/(g(x)) L Cet homomorphisme est injectif (homomorphisme entre corps) et surjectif car #K = #L. Remarque. On peut reformuler le résultat précédent comme ceci : deux corps finis contenant F p et ayant le même degré ([K : F p ] = deg Fp (K)) sont isomorphes. Ceci n est plus vrai si les corps ne sont pas finis. Contre exemple : deux corps contenant Q et ayant le même degré ([K : Q] = deg Q (K)) ne sont pas nécessairement isomorphes : Q( 2) Q( 3). Corollaire 16. Tout corps ayant p n éléments est isomorphe à un corps de la forme F p [x]/(f(x)) où f(x) est un polynôme irréductible de degré n. Soit a un élément primitif de K et f(x) son polynôme minimal. K = F p (a) F p [x]/(f(x)) Exercice : construire les corps F 4, F 8, F 16. Remarque. Il n existe pas de procédé général pour trouver un polynôme irréductible de degré donné n, c est-à-dire pour construire un corps F p n. 7

8 Définition 17. La réunion des corps finis contenus dans un corps algébriquement clos de caractéristique p est appelée clôture algébrique de F p. Proposition 18. Deux clôtures algébriques de F p sont isomorphes. On l admettra. 7 Extension de corps Proposition 19. Un corps L de caractéristique p contient au plus un corps ayant p r éléments. En effet s il en existe un, c est l ensemble des racines du polynôme x pr x dans L. Proposition 20. Un corps L ayant p n éléments contient un corps ayant p r éléments si et seulement si r divise n. Si le corps L contient un corps K ayant p r éléments alors. dim K L = n/r donc r divise n. Montrons que si r divise n, le corps L contient un corps ayant p r éléments. r n p r 1 p n 1 car p n (p r ) n/r 1 n/r 1 (mod p r 1) K est le sous-groupe cyclique à p r 1 éléments de L qui est le groupe cyclique à p n 1 éléments. Un groupe cyclique à p n 1 éléments contient un sous-groupe M à p r 1 éléments qui est l ensemble des x tels que x pr 1 = 1. On pose K = M {0}. C est l ensemble des x tels que x(x pr 1 1) = 0 c est-à-dire x pr x = 0. 8 Trace et Norme Soient K L deux corps finis ayant respectivement p r = q et p n = q s éléments avec s = n/r. La trace On définit la trace d un élément x de L comme étant Tr L/K x = x + x q + x q2 + + x qs 1 s 1 = Propriétés Tr est un forme linéaire surjective sur K Tr(x q ) = Tr(x) 0 x qi 8

9 Pour montrer que Tr est un forme linéaire surjective sur K, il faut montrer qu il existe α L telle que Tr(α) 0. Or Tr(α) = 0 α est une racine de x + x q + x q2 + + x qs 1 = 0. Cette équation est de degré q s 1 et L a q s éléments, donc il existe un élément α de L qui ne vérifie pas l équation. La norme On définit la norme d un élément x de L comme étant Propriétés N L/K x = xx q x q2 x qs 1 = s 1 0 x qi N est un homomorphisme de groupes de L dans K. N est surjective sur K N(x q ) = N(q) On a N L/K x = xx q x q2 x qs 1 = x 1+q+q2 + +q s 1 = x qs 1 q 1 Soit α un élément primitif de L. L image de la norme est le sous-groupe cyclique de K engendré par N(α). Or N(α) = α qs 1 q 1. Comme α est d ordre q s 1, N(α) est d ordre q 1 donc engendre K. 9