SERIE N 6 ETUDE DES OSCILLATIONS ELECTRIQUE FORCE CIRCUIT RLC EN REGIME SINUSOIDALE

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1 SERIE N 6 ETUDE DES OSCILLATIONS ELECTRIQUE FORCE CIRCUIT RLC EN REGIME SINUSOIDALE EXERCICE 1 On réalise entre deux points A et M d un circuit un montage série comportant un résistor de résistance R=40Ω, une bobine d inductance L et de résistance r =13Ω et un condensateur de capacité C. On maintient entre A et M une tension excitatrice sinusoïdale u(t), de pulsation ω réglable et de valeur efficace U constante. On pose u ( t ) = U 𝟐.sin (ω.t + ) 1) L intensité instantanée i(t) du courant dans le circuit est donnée par l expression i( t ) = I 𝟐.sin (ω.t ) a) Etablir l équation différentielle en i ( t ) b) Déterminer à partir de la construction de Fresnel, les expressions de l intensité efficace I et de la valeur efficace Uc de la tension uc(t) aux bornes du condensateur Figure 1 en fonction de : U, R, r, L, C, et ω. c) Exprimer uc(t) en fonction de : t, ω, C et I. 2) Un oscilloscope bicourbe branché comme l indique la figure-1- permet de visualiser tensions U(t) et Uc(t) Pour une valeur particulière ω1 de la pulsation de la tension excitatrice U(t), on obtient l oscillogramme de la figure -2- ( ci-contre ) Pour le balayage horizontal et la sensibilité verticale la division 67,23 1 est la même et correspond au côté d un carré tracé sur l écran de l oscilloscope. Balayage horizontal : s /division a) Montrer que la courbe 1 correspond à Uc ( t ) b) Déterminer graphiquement le déphasage ( φc φu ) de Uc(t) par rapport à U(t). c) Déduire la valeur de φu. Dans quel état particulier se trouve le circuit? Figure 2 c) Sachant que C=10μF, calculer la valeur de l inductance L. d) Calculer la valeur I1 de l intensité efficace. En déduire la valeur de U. e) Déterminer la sensibilité verticale sur la voie -1-. f) Calculer UAB, et UBD et UAD valeurs efficaces des tensions UAB (t), et UBM(t). g) Définir et calculer le coefficient de surtension. 3) On règle la pulsation ω à la valeur ω2 telle que la valeur efficace UAD de la tension aux bornes de l ensemble ( résistor, bobine ) soit égale à la valeur efficace U de la tension excitatrice U. a) Trouver la relation qui existe entre L, C, et ω2. b) Indiquer en le justifiant si le circuit est inductif ou capacitif. Faire la construction de Fresnel correspondante. c) Calculer la valeur de la pulsation ω2 et celle du déphasage φ de l intensité instantanée du courant par rapport à la tension excitatrice U(t). d) Exprimer l intensité instantanée i2 en fonction du temps. e) Calculer la puissance moyenne consommée par le circuit.

2 EXERCICE 2 Une portion de circuit MN voir figure, comporte en série une bobine de résistance r et d inductance L, et un condensateur de capacité C est soumise à une tension : u ( t ) = U. 2 sin(ω.t ) La mesure des valeurs efficaces de l intensité du courant et des tensions aux bornes de la bobine et du condensateur a donner les valeurs : I=150mA, UMP=19V, UPN=12V. 1) Reproduire puis compléter la construction de FRESNEL de la figure ci-contre en prenant comme Echelle : 1cm pour 2V. ri φ=0rad( axe des phases) 2) Déterminer à partir de cette construction : a) La nature du circuit. b) Les valeurs de r, L et C. c) La valeur efficace et la phase de la tension u(t). 3) Exprimer les tensions instantanées UMP(t) et UPN(t). 4) Calculer la puissance moyenne consommée par la portion MN du circuit. EXERCICE 3 Un circuit électrique est constitué des éléments suivants : - Une bobine de résistance r et d inductance L - Un condensateur de capacité C=12μF. - Un résistor de résistance R=80Ω. L ensemble associé en série est alimenté par un générateur de courant sinusoïdal qui délivre une tension alternative U(t)=Um.sin(ωt +φu) avec Um constante et ω réglable. Les tensions UAB(t) et UAD(t) sont observées sur un oscilloscope pour une pulsation ω1, on obtient les deux courbes de la figure ci-dessous.( page suivante )

3 1) Montrer que la courbe (C1) représente U(t) et calculer φu. 2) Déterminer les valeurs : - Des tensions maximales Um et URm. - De l intensité efficace I1 du courant. - De l impédance Z du circuit et de la pulsation ω1. 3) Déterminer le déphasage φ=( φu φi ) entre U(t) et i(t). C1 En déduire le facteur de puissance et la nature du circuit. C2 4) Faire la construction de fresnel à l échelle : 1cm pour 5V. Déduire les valeurs de r et L. 5) Montrer qu il y a une deuxième pulsation ω2 ω1 pour laquelle on obtient une intensité efficace I2 = I1. Calculer ω2 et donner le diagramme de Fresnel correspondant. 6) En faisant varier ω on obtient pour une valeur : UAB = UAD + UDB. a) Montrer que le circuit est en état de résonance d intensité. b) Calculer l intensité efficace I0 du courant. c) Montrer que l énergie de l oscillateur est constante, et calculer sa valeur. d) Exprimer le rapport UC / U en fonction de R, r, L et C. * Calculer sa valeur * Déduire alors le phénomène mis en évidence. EXERCICE 4 Un dipôle RLC en série est constitué de : Un condensateur de capacité C = 5µF D une bobine dont les caractéristiques sont L et r Ce dipôle est branché aux bornes d un générateur G.B.F délivrant une tension sinusoïdale de fréquence N réglable : U(t)=Um.sin(ωt +Π/2). Pour une fréquence N1 du G.B.F, on observe sur l écran d un oscilloscope bicourbe les graphes représentant les tensions U(t) aux bornes du générateur et UC(t) aux bornes du condensateur Sensibilité horizontale : /cm Sensibilités verticales : sur la voie 1 : 2V/cm sur la voie 2: 20/cm 1) Faire le schéma du circuit en indiquant les branchements à réaliser pour observer ces deux courbes à l écran de l oscilloscope. 2) Etablir l équation différentielle vérifiée par l intensité i(t) du courant dans le circuit. En déduire qu il s agit des oscillations forcées. 3) Déterminer graphiquement les valeurs de Um, Ucm et du déphasage φ1 de la tension UC(t) par rapport à la tension U(t). 4) a) quel est le déphasage φ de la tension U(t) par rapport { l intensité i(t) du courant dans le circuit b) Quelle est la nature du circuit? c) En déduire l expression de i(t). On fait varier la fréquence N0 jusqu au une valeur où U(t) et Uc( t ) sont en quadrature de phase 5) a) Déterminer l expression de l inductance L de la bobine en fonction de N0 et C b) Déterminer dans ce cas l expression de la résistance r de la bobine en fonction de Um, Ucm, L et C c) Quelle serait l expression de la tension aux bornes de la bobine? 6) Déterminer l expression de l énergie moyenne E dissipée par effet joule pendant une période d oscillation de l intensité du courant. 7) Montrer que l énergie électromagnétique E emmagasinée par le dipôle RLC est conservée au cours du temps.

4 EXERCICE 5 Un résistor de résistance R= 32 Ω : Un circuit électrique comporte en série : *- Une bobine d inductance propre L et de résistance r. *-Un condensateur de capacité C L ensemble est alimenté par un générateur basse fréquence délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t) = 30 2 sin(2πn.t) avec N= 50Hz. 1) A l aide d un oscilloscope bi courbe on observe les tensions u(t) sur la voie (1) et ub(t) aux bornes de la bobine sur la voie (2),on obtient les oscillogramme ci-contre a- Faire le schéma du circuit en précisant les branchements sur l oscilloscope. b- Déterminer le déphasage Δφ = φub - φu c- Exprimer ub (t) sachant que la sensibilité verticale est la même sur les deux voies. 2) Etablir l équation différentielle vérifiée par i(t). 3) On donne dans la figure 2 ci-dessous, la représentation de Fresnel incomplète relative aux tensions efficaces. a- A partir de cette représentation déterminer l intensité efficace I et la résistance r. b- Calculer le déphasage φub φi En déduire la valeur de L c- Montrer que le circuit est capacitif.compléter la représentation et déduire la valeur C. 4) Pour une fréquence N1, la puissance moyenne consommée prend une valeur maximale P1 a- Calculer N1 et P1 b- Etablir l expression de uc c- Calculer le coefficient de surtension du circuit. Construction de Fresnel Echelle : 1 cm 2,5 V

5 EXERCICE 6 Un circuit électrique comporte, montées en série, une bobine d inductance L et de résistance r=10ω, un condensateur de capacité C=2µF, un résistor de résistance R et un ampèremètre. Un générateur basse fréquence GBF impose, aux bornes du circuit, une tension sinusoïdale u(t)=umsin(2πnt), d amplitude Um Un oscilloscope permet de visualiser simultanément la tension u(t) aux bornes du générateur et la tension u constante et de fréquence N réglable. R(t) aux bornes du résistor. On obtient les oscillogrammes de la figure 1. 1) Représenter le schéma du circuit électrique en précisant les connexions de l oscilloscope pour visualiser simultanément les tensions U( t ) et UR ( t ) 2) a- Montrer que la phase initiale de l intensité du courant électrique φi = π /3 b- Relever, à partir des oscillogrammes de la figure 1, la fréquence N et les amplitudes Um et URm respectivement de U(t) et UR ( t ) 3) a- Montrer que R = 2rU Rm U m 2U Rm b- Calculer R. c- Déterminer la valeur de l intensité I du courant électrique indiquée par l ampèremètre. 4) a- Montrer que l équation différentielle, régissant les oscillations du courant électrique circulant dans le circuit, s écrit : (R + r)i + L di idt = u(t). dt + 1 C b- On a représenté { l échelle : 1V 1cm, le vecteur V associé à U(t). Compléter la construction de Fresnel, en représentant les vecteurs V1 V2 et V3 associés respectivement à (R + r)i, L. di et 1. i(t)dt. dt C c- En exploitant la construction de Fresnel, déterminer la valeur de L. Construction de Fresnel à compléter

6 EXERCICE 7 On étudie la résonance d intensité d un dipôle comprenant un résistor de résistance R variable, une bobine d inductance L et de résistance r, un condensateur de capacité C = 1 μf et un ampèremètre de résistance négligeable. Ce circuit est alimenté par un générateur qui délivre une tension sinusoïdale de fréquence N variable et de valeur efficace constante U = 4,5 V (figure -1-). La valeur de la résistance R est ajustée de façon qu elle prenne successivement les valeurs R1 = 20 Ω et R2 = 110 Ω. On fait varier la fréquence de la tension délivrée par le générateur, et pour chaque valeur de N on relève l intensité efficace I du courant circulant dans le circuit, puis on trace la courbe I = f(n) pour les deux valeurs de R choisies. On obtient le graphique de la figure -2-. Partie A 1) À quelle résistance, R1 ou R2 correspond la courbe 1? Justifier la réponse. 2) Déduire de la courbe 1 la fréquence de résonance du circuit. 3) Que peut-on dire de l influence de la valeur de la résistance du circuit sur la fréquence de résonance? 4) Déterminer l inductance L et la résistance r de la bobine. 5) Calculer le facteur de surtension Q du circuit dans le cas 1. Partie B On s intéresse au phénomène de résonance d intensité étudié { l oscilloscope pour un circuit RLC analogue à celui représenté par le figure -1-, tels que : C1 = 10-5 F, R1 = 200 Ω, et L1 et r1 sont inconnues. 1) a) Reproduire le schéma de la figure -1- et indiquer les branchements de l oscilloscope qui permettent de visualiser, sur la voie A : la tension aux bornes du générateur u(t), et sur la voie B : la tension aux bornes du résistor ur1( t) b) Laquelle des deux tensions permet d étudier l intensité du courant? Justifier. 2) On modifie la fréquence N de la tension délivrée par le générateur de manière à chercher la résonance d intensité. Au cours de cette recherche, on observe pour une fréquence N1 du générateur les courbes représentées ci-contre. Déterminer : a) La valeur numérique de la fréquence N 1. b) Le déphasage de u(t) par rapport à ur1( t) c) Les valeurs maximales Um de u(t) et U Rm de u R (t) d) En déduire la valeur de l impédance Z du circuit. e) Faire le diagramme de Fresnel correspondant. Déterminer les valeurs de r1 et L1. f) Lorsque la résonance est atteinte, quelle particularité présente les deux courbes? Quel est alors le rapport d amplitude de ces deux courbes?

7 EXERCICE 8 Au cours d une séance de travaux pratiques le professeur demande aux élèves de réaliser un circuit série comprenant : - Un générateur de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace constante. - Un conducteur ohmique de résistance R = 50 Ω. - Une bobine d inductance L = 30 mh et de résistance inconnue r. - Un interrupteur K. - Un condensateur de capacité inconnue C. Les élèves disposent par ailleurs d un oscilloscope bicourbe. L oscilloscope doit être branché convenablement pour visualiser simultanément en : - Voie Y2, la tension aux bornes du dipôle constitué par le conducteur ohmique, la bobine, le condensateur disposé en série. - Voie Y1, une tension proportionnelle à l intensité du courant dans le circuit. Trois groupes d élèves proposent les montages schématisés ci- après (figures 1, 2, 3). Le professeur n accepte que le montage de la figure 3. 1) Pourquoi les schémas des figures 1 et 2 sont rejetés? Dans chaque cas préciser la tension visualisé en Y1 et celle visualisé en Y2. 2) Le document suivant montre l aspect de l écran de l oscilloscope ainsi que les sensibilités adoptées pour chacune des deux courbes. a- En exploitant les oscillogrammes, déterminer : - La fréquence N de la tension de la tension délivrée par le générateur. - Les tensions maximales Um et U Rm aux bornes des dipôles BA et MA puis l intensité maximale Im. En déduire l impédance Z du circuit. - Le déphasage φ de la tension u(t) aux bornes du dipôle AB par rapport à l intensité du courant i(t). on précisera laquelle de i(t) ou u(t) est en avance de phase sur l autre. b- Calculer alors la résistance r de la bobine et la capacité C du condensateur. 3) Un élève agit sur la fréquence du générateur de façon à annuler le déphasage entre u(t) et i(t). a- Dans quelle condition particulière se trouve le circuit à cet instant? b- Déterminer dans cette condition : - La fréquence de fonctionnement du générateur. - l intensité maximale du courant électrique. - La tension maximale aux bornes du dipôle MA.

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