Conférence A Batton : mercredi 4 décembre 2013

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1 Conférence A Batton : mercredi 4 décembre 2013 Le calcul en cycle 2 : Introduction : présentation : documentaire «Comment j ai détesté les maths?» paroles de chercheurs et de lycéens. Point commun avec le rapport sur l application des programmes de 2008 : prendre le temps et du plaisir à faire des mathématiques. Le calcul mental : vidéos Plan : Un peu d Histoire de calcul Les calculs à l école Propriétés et connaissances mobilisées Calcul mental : place et enjeux Des activités et des jeux 1/Un peu d Histoire du calcul Démarrage de l écriture en Mésopotamie : - entailles sur bois de renne ( avant J.C.), os entaillés (6 500 avant J.C.), bois entaillés (empire romain) : correspondance 1 pour 1 «Calcul» vient du latin calculus = caillou : caillou d argile servant à faire du 1 pour 1 donc du dénombrement, pour garder en mémoire une quantité (nombres de moutons, de soldats) Puis on fit des inscriptions sur les boules. Utilisation de phalanges : 12 phalanges donc base 12 Les égyptiens = hiéroglyphes avec base 10 : travail avec les élèves sur le 0 qui marque l absence ; les calculs écrits ; calculs trop lourds surtout pour la multiplication donc passage au système de position Invention de la machine à calculer avec des boutons poussoirs ou avec des roues, des baguettes, 2/ Les calculs à l école Ressources : programmes de 2008 documents d accompagnement de Brochures EDUSCOL. Glossaire : Liaison GS/CP et vocabulaire selon les manuels. Configuration : collection organisée Constellation : on est sur les conventions et les habitudes sociales. Chiffres et Nombres : Les chiffres composent les nombres. Ce sont des symboles pour écrire les nombres. Il existe des nombres à un chiffre. Utilisation du mot nombre : Nombre cardinal : le plus difficile à donner du sens dès la maternelle. Le nombre sert d abord à être la mémoire de la quantité. Ordinal donne l ordre Mesure : donner des encadrements dès la maternelle. Quatre grandes classes d usage mathématiques des nombres entiers.

2 Mémoriser en vue de reproduire communiquer compléter comparer. Introduire l espace comme notion. Anticiper le résultat d une augmentation, d un résultat, le résultat d un déplacement. Nombre : - le concept de nombre se caractérise par : L ensemble des problèmes qui peuvent être traités en utilisant ce concept Les obstacles que ce concept permet de dépasser, les procédures que ce concept permet de remplacer avantageusement Des images et actions mentales (matériel à disposition : doigts, picbille, pour s en détacher) Un langage : signes, syntaxe, vocabulaire (lien lexical) Des définitions et des propriétés : commutativité, associativité, distributivité Des savoir-faire, des techniques (les doubles, les compléments à 10, adaptation à la situation) «Imaginer ce que je vois» changement de point de vue. Laisser voir quelqu un d autre à notre place. Un langage, des signes, une syntaxe, un vocabulaire : Exemple faire le lien entre le double et la multiplication par deux qui donne le résultat du double, pour mettre l action mentale en route. Définitions et propriétés : A l école élémentaire, on est sur les propriétés. Au collège on est sur la propriété caractéristique. Le nombre sert à calculer à l école élémentaire. On a aussi de savoirs faire et des techniques : Les inconditionnels du complément à 10 ; des doubles, On se déstresse en s appuyant sur ce que l on connaît. EN CP, il y a toujours des élèves qui ont les stratégies de «la maîtresse grande sœur» Compter, dénombrer, calculer : Surcomptage à partir du plus grand: il faut aussi arriver en partant du plus petit. Dépasser la suite qui revient à rester sur l alphabet et n apporte rien. ERMEL : dénombrement associé au comptage. Utilisation de la comptine numérique en associant oralement ou mentalement un objet nouveau à chaque mot récité. Découvrir le monde avec les mathématiques : Compter c ets utiliser la comptine. Dénombrer c est répondre à combien. Stella Baruk Nombrer c est répondre à combien Brissiaud Dénombrement : tout procédé permettant d accéder au nombre Premiers pas vers les maths : dénombrement, tout procédé (psychologues disent procédures) permettant d accéder au nombre. Trois conditions pour dénombrer : Créer mentalement des quantités : on compte aussi ce qui est caché derrière. L unité c est un carré : difficulté du repérage de l unité. 5/4 Enumérer : «Dans ma famille, il y a.»un point par membre

3 Ne pas compter les présents en PS. Compter les étiquettes des présents. Montre 2 avec les deux étiquettes en même temps. Compter/dénombrer : Dénombrer : répondre à combien Compter : utiliser la comptine pour dénombrer Surcomptage (comptage sur les doigts) Reconnaissance globale : Avant d entrer à l école, les élèves savent reconnaître quand il y 1, 2, 3 : le subitizing Reconnaissance de configurations connues : dés, doigts,. Par décomposition : exemple grelit grelot maternelle. Par comptage dénombrement et non comptage numérotage: 1 et on dit 2 quand le 2 est là. Construire une collection témoin : doigts traits cailloux Un élève se trompe de 1 à chaque fois au surcomptage. Il a compris qu il se trompait de 1 à chaque fois et ajoutait 1 pour réparer son erreur sans comprendre. Le calcul c est quand on n est plus sur les objets. La connaissance de la comptine ne permet pas d accéder au fait que e+f fait k. On reste sur la récitation quand on fait du surcomptage. Pour les additions, par cœur sur les moins de 10 puis après automatiser les procédures. Quelle définition du calcul en primaire? Par opposition au comptage c est mettre en relation des quantités directement à partir des représentations numériques sans passer par la réalisation physique d une ou plusieurs collections dont les éléments seraient dénombrés. Le surcomptage va plus vite sur les doigts dans certains cas mais cela n apporte rien pour les stratégies. Il faut construire les représentations mentales. Exemple du vendeur au marché qui doit développer des stratégies de calcul. Il faut des activités en temps court pour éviter le surcomptage. Exemple Optimaths CP : boîtes transparentes, on ajoute des jetons ensemble : dénombrer ; boîtes opaques ; calculer. Dès la maternelle, travailler la multi présentation. Si bruit, représentation sonore. Si élève dessine, voir s il y a représentation mentale. Lier la comptine au comptage dénombrement. Relation numérique du suivant au précédent. Quand grande quantité et on ajoute petite quantité, on peut surcompter mais ne construit pas de nouvelle compétence numérique. Avec des élèves en réussite, pourquoi changeraient-ils? Donner un calcul compliqué à des élèves de CP est intéressant ; c est du calcul ; faire débattre des procédures. En CP, difficultés à verbaliser : souvent difficulté lexicale. En petit groupe, la mise en mots est plus simple. On apprend par mimétisme, avec les autres ; c est aussi un gain de temps. Une tâche d évaluation. «Donne moi n objets» permet mieux que la tâche «Combien il y a d objets» d évaluer la compréhension des premiers nombres. 3 types de situations : Rituelles ; fonctionnelles ; construites Le vocabulaire rencontré : Calcul : posé de tête. Classification des différents calculs : Quel support?

4 Calcul mental et automatisé (résultats mémorisés et procédures) et dont le calcul est immédiatement disponible ou calcul mental réfléchi (procédures raisonnées) on s appuie sur une stratégie ne nécessitant pas ou peu d écrit. Calcul écrit et automatisé : opération en colonnes «je pose 2 et je retiens 1» ne permet pas d entrer dans le sens «en machin combien de fois trucs?» idem ; ordre de la formule magique; Dire : avec n combien de fois je fais de paquets? Le calcul posé est du calcul sur les chiffres. Quel intérêt de poser deux nombres à un chiffre? A-t-on besoin de poser 24+25? Non il faut calculer en ligne. Le contrat didactique doit être explicité ; les liens doivent être explicités. Calcul écrit et réfléchi : calcul en ligne s appuyant sur une stratégie nécessitant une mémoire des étapes successives. Facilite l accès au par cœur et aide à la résolution en colonne. Calcul instrumenté et automatiser : calculatrice Calcul instrumenté et réfléchi avec calculatrices (on imagine qu une fonction n est pas disponible ; possibilité d utiliser la calculatrice avec interdiction d utiliser certaines touches) L ordre de grandeur devrait être systématique. Compter sur ses doigts n est pas calculer sur les doigts. Je suis à 4 comment je fais pour aller à 5? Je suis à 4 j ajoute 3 : décomposer. Ils ont compris que la quantité se décompose, se complète se recompose. Le choix des doigts ; s appuyer sur les doigts pour décomposer. Mettre des actions physiques. Procédures : , réutiliser ses doigts autrement pour entrer dans le calcul. 7+7=14 et 14+1= pas besoin de poser Stratégies : écart ; complément ; bâtons ; poser opération ; expression verbale en phrase. III/ Utilisation des propriétés Utilisation des propriétés des opérations lors des calculs : commutativité + associativité ; décomposition multiplicative + associativité ; décomposition additive = associativité (connaissance du système décimal de position) ; décomposition additive + distributivité (connaissance des doubles) IV/La place du calcul mental - Une fonction sociale : indispensable pour les besoins de la vie quotidienne ; mettre en place des moyens efficaces de calculer en l absence de supports ou d instruments pour obtenir un résultat exact, un résultat approché, un ordre de grandeur ; il permet de mettre en place des moyens de contrôle efficaces Trois types d objectifs : l automatisation de calculs simples ; la diversité des stratégies de calcul ; une première maitrise du calcul approché - Une fonction pédagogique : voir doc d accompagnement La mémorisation : l entraînement ne suffit pas ; il faut avoir une bonne représentation du nombre avec des collections témoins (constellations ; doigts ; matériel de numération comme le décicube, les cartes à points, la file numérique en escalier avec une couleur par nombre, le boulier, la machine à calculer pour le Zéro +1, la balance Celda-Asco pour comprendre le signe =)

5 Pour rendre plus disponibles les résultats il faut diversifier les représentations et situations (les tables de multiplications à connaître dans les deux sens et à trous) Le calcul mental est sur les stratégies : ne pas s interdire le support écrit pour parler les stratégies ; ne pas poser pour vérifier V/ Des activités et des jeux - Plaisir de l activité pratiquée - Pleine adhésion des élèves à y participer Trois activités routinières : - jeu du Lucky Luke pour la multi-représentation et les décompositions - jeu du Greli-Grelo pour la recomposition - jeu du gobelet pour le complément - Activités de rapidité : cartes-flash, cartes éclairs, activités Boule («Faites vos jeux à l école»), site «chez nonette» avec des jeux de bataille pour la comparaison ; «Chiffre en jeu» pour la composition/décomposition ; pistes à compter de L. Chamdavoine ; «Halli Galli» pour la décomposition du 5 ; domino/loto/mémory pour l appariement ; Quadramino ; dominos pour les tables de multiplication Bibliographie : - Jeux de l APMEP - «Le calcul mental» : Gamo - «Apprendre à calculer à l école» Brissiaud - «Activités de calcul mental» Peltier Jeux du commerce : «dix sur dix», «shut the box» «énigmo» Compte rendu rédigé par Nathalie Moulin, CPC et Alain Deniel, IEN.