Il y a deux points de C dont l abscisse est égale à ère. 2 e manière : Soit S l ensemble des solutions de (1) dans l intervalle [ ; ].

Transcription

1 ère S Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des sinus () I. Équations trigonométriques utilisant les valeurs remarquables ) Équations du type cos x = a (a réel donné compris entre et au sens large) Exemple : Résoudre dans [ ; ] l équation cos x (). n cherche les réels x de l intervalle [ ; ] solutions de l équation () (c est-à-dire tels que cos x ). n utilise le cercle trigonométrique. n place la valeur sur l axe des abscisses. Les images des solutions sur le cercle trigonométrique sont les points qui ont pour abscisse. Il y a deux points de C dont l abscisse est égale à. Ces points sont les images respectives de et de sur le cercle trigonométrique. Ces deux nombres appartiennent à l intervalle [ ; ]. n peut conclure de deux manières. ère manière : Les solutions de () dans l intervalle [ ; ] sont et. e manière : Soit S l ensemble des solutions de () dans l intervalle [ ; ]. S, Remarque : L ensemble des solutions est noté avec des accolades. Il n y a pas d ordre pour noter les solutions. n peut écrire S ; ou noter sans aucune gêne S ;.

2 ) Équations du type sin x = a (a réel donné compris entre et au sens large) Même principe que pour les équations cos x = a (voir exercices). n place la valeur a sur l axe des ordonnées. ) Exemple Résoudre dans l intervalle [ ; ] l inéquation cos x. ) Dans la pratique Pour placer les points images des solutions avec précision sur le cercle trigonométrique, on se réfère aux valeurs remarquables du cosinus et du sinus (voir tableau en appendice). n hachure sur la zone de l axe des abscisses de à. n hachure la zone des abscisses de à. n utilise en particulier les constructions usuelles pour placer ces points. II. Inéquations trigonométriques utilisant les valeurs remarquables ) Exemple Résoudre dans l intervalle [ ; ] l inéquation cos x. Les solutions apparaissent sur un grand arc. n part de et on fait un tour complet. Les solutions (ou plutôt les points images de solutions) apparaissent sur le petit arc en rouge (extrémités comprises). n a pris soin de bien matérialiser les extrémités de cet arc. n doit voir ce grand arc comme la réunion de deux arcs. L ensemble des solutions S de l inéquation dans l intervalle [ ; ] est donc la réunion de deux intervalles. S ; S ; ;

3 ) Remarques Les solutions d une inéquation du type cos x a ou sin x a (où a est un réel donné compris entre et ) apparaissent sur un petit arc ou sur un grand arc. ppendice : valeurs remarquables du cosinus et sinus n prend soin de bien matérialiser les extrémités de ces arcs (selon que le signe est,, > ou <). L ensemble des solutions est soit un intervalle soit une réunion d intervalles suivant l intervalle dans lequel on résout l inéquation. n détermine le sens des crochets suivant les extrémités des arcs. x cos x 5 III. Pratique du cercle trigonométrique Déplacement sur le cercle trigonométrique sin x ) Résoudre dans [ ; ] n doit aller de à. Pour cela, on fait le cercle trigonométrique. : image de et de : image de et de n va de à en faisant un tour complet dans le sens positif. ) Résoudre dans [ ; ] n part de et on va à en faisant un tour complet. ) Résoudre dans [ ; ] n part de et on va à en faisant un demi-tour dans le sens trigonométrique. ) Résoudre dans [ ; ] n part de et on va à en faisant un demi-tour dans le sens trigonométrique. 5

4 Cours oral Valeurs remarquables du cosinus et sinus n revient à la trigonométrie. x 5 Rappels pour commencer sur le cercle trigonométrique n prend un réel x quelconque. cos x sin x n note M le point image associé à x sur le cercle trigonométrique. Constructions : Constructions de la famille des Constructions de la famille des Constructions de la famille des Constructions de la famille des : constructions possibles règle et compas (papier blanc) médiatrices Le repère,, cos x est l abscisse de M. sin x est l ordonnée de M. est un repère orthonormé direct du plan. M correspond à tous les réels de la forme x kavec k. 7 8

5 Équations et inéquations trigonométriques n repasse l inconnue en rouge. n regarde le nombre dans le membre de droite. Inéquation cos x n pourrait aussi résoudre l équation associée. Dans ce chapitre, on se ramènera toujours à une forme simple d équation ou d inéquation (on doit toujours avoir un cosinus ou un sinus «pur»). 9