par les vecteurs unitaires OI et OA tel que ( ) α rapport à (OI), on définit par les vecteurs unitaires OI et OB, l angle orienté ( OI, OB) tel que.

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1 I- Angles orientés I- : Déinitions Déinition : À tout point A du cercle trigonométrique, on associe l angle orienté ( OI, OA) déini OI, OA et si B est le symétrique du point A par par les vecteurs unitaires OI et OA tel que ( ) α rapport à (OI), on déinit par les vecteurs unitaires OI et OB, l angle orienté ( OI, OB) tel que ( OI, OB) α. Exemple : Sur la igure suivante, on a : ( BA, BC) et ( CB, CD) Déinition : On dit que a est égale à b modulo c, s il existe un entier relati k, tel que : a b kc Notations : a b mod c ( ), a b ( c), a b [ c], a b ( mod c), a b ( c) a b [ c] signiient que a est égale à b modulo c. On peut enchaîner, ces égalités et n indiquer, qu à la in [ c ]( modulo c). Exemple : α k + k Z α [ ]., ou encore hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

2 Remarques: - Ainsi, on peut associer à l angle orienté ( ) α ( OI, OA) α, ( OI, OA) α +, ou encore ( OA) α OI [ ] - (, OI ) 0 OI, OA, d autres mesures comme, OI, [ ] -Pour un angle donné, on peut parler de l angle géométrique, lorsque sa mesure est positive. Déinition : À tout point M du cercle trigonométrique C, on associe l angle orienté ( OI, OM ) Parmi les mesures possibles de ( OI, OM ), il y a une unique mesure appartenant à l intervalle ], ]. Cette mesure est appelée la mesure principale (en radian) de l angle orienté ( OM ). OI,. Comment calculer la mesure principale d un angle donné? Exemple : Calculer la mesure principale de l angle dont une mesure est donnée par. Solution : On sait que les autres mesures de cet angles sont de la orme + k, avec k Z. On a donc parmi toutes les valeurs possibles de k, une qui vériie, l inéquation : < + k < k Ou encore 7 9 < k, en multipliant tous les membres de cette inéquation par :, on trouve : < k. Or,,... et,.... Donc le seul entier vériiant k dans l inéquation précédente est, d où + ( ). Donc la la mesure principale de est. Exercice : Calculer la mesure principale de l angle dont une mesure est donnée par. Solution : hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

3 Voici l algorithme et le programme du calcul de la mesure principale d un angle donné : Variables : ϕ, θ, k et t sont des nombres Entrées Introduire mesure de l angle Traitement k 0 t ϕ Tant que t> ; t t k k Fin Tant que Tant que t ; t t + k k + Fin Tant que θ ϕ + k Sorties Aicher k Aicher θ. (Sous Algobox, le nombre est déini par Math.PI) hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

4 I- : Propriétés I-.: Relation de Chasles Théorème (admis): Pour tous vecteurs u, v et w, on a : ( u, v ) + ( v, w ) ( u, w ) [ ] Et ceci, quelques soient les mesures des angles ( u, v ) et ( w ) v,. I-.: Propriétés des angles orientés Théorème : Pour tous vecteurs u, v et w, et tous réels non nuls k et k on a : [ ] ) ( v, u ) ( u, v ) ) Si k < 0 ; k u, k v u, v + [ ], k, alors : ( ) ( ) k k >, alors : ( k u, k v ) ( u, v ) ) Si 0 ) (, v ) 0 u [ ] Démonstration : ) [ ] ;, si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires. ) hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

5 ) ) Conséquences: ( u, v ) ( u, v ) [ ] ( u v ) ( u, v ) +, [ ] ( u v ) ( u, v ) +, [ ] Remarques: - (, v ) 0 - ( u, v ) ou u ou [ ] [ ] (, v ) 0 ( u, v ) [ ]. ; u [ ] Exercice :On considère deux points A et B du plan tels que AB 5. On place : le point E, tel que AB AE et ( AB, AE) [ ] ; 5 le point D, tel que le triangle ADE soit équilatéral avec (, ED) le point F, tel que DF 5 et ( DF, DE) [ ]. Faire une igure précise. Démontrer que les droites (AB) et (DF) sont parallèles. EA [ ] ; hosseini@maths-stan.r Page 5 Cours : Trigonométrie

6 Solution: Page Cours : Trigonométrie

7 Exercice : Donner la mesure principale de ( z ) 7 ( u, v ) [ ], ( v, w ) [ ], (, z ) Solution : 8 u, dans les cas suivants : 57 w [ ]. II- Lignes trigonométriques (Rappels) II- : Les coordonnées d un point du cercle trigonométrique Déinition : On dit que le repère ( O i, j ) ; est un repère orthonormal direct, si les deux conditions suivantes sont vériiées simultanément : j i ; ( i ; j ) [ ] Théorème (admis):soit M un point d un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un repère ( O ; i, j ) tel que (, OM ) x [ ] ( x, x) M cos. OI, alors les coordonnées du point M sont données par hosseini@maths-stan.r Page 7 Cours : Trigonométrie

8 Conséquences :)On a vu que si x est une mesure de l angle ( OI, OM ) de la orme x + k ( avec k Z) est aussi une mesure de ( OM ) OI,, donc : ( x + k ) cos x et ( x + k ) x cos, alors tout nombre réel ) Les coordonnées de tout point M du cercle trigonométrique, varient entre et, donc II- : Angles associés Théorème (admis): Pour tout réel x : cos x et x ( x) x, cos ( x) ( + x) x, cos ( + x) ( x) x, cos ( x) cos x cos x cos x Voici quelques angles et leurs us et cous associés: hosseini@maths-stan.r Page 8 Cours : Trigonométrie

9 Page 9 Cours : Trigonométrie. II- : Angles complémentaires Théorème 5 (admis): Pour tout réel x : x x x x x x x x cos, cos cos, cos + + Exemple : Calculer : cos 5 5 cos A. Solution: cos 5 5 cos A ; cos 5 cos A car 5 ; + cos 5 cos A ; cos cos + + A. Voici quelques mesures remarquables et leurs lignes trigonométriques : Mesure de l angle en radian 0 Sin x 0 Cos x 0 Tan x 0 -

10 II- Identités trigonométriques ondamentales On sait déjà que pour tout réel x, on a : x + cos x. x Et pour tout x R\{ + k / k Z}, tan x et cos x + tan x. cos x Exercice corrigé : Démontrer l égalité suivante, pour tout nombre réel t: t - cos t + cos t Solution: Pour démontrer cette égalité trigonométrique, on transorme le er membre (que est le membre le plus complexe de l égalité) par des manipulations algébriques ain qu,il soit identique au nd membre : x cos x cos x cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x x x x ( cos x) + cos x ( cos ( + cos x) cos + cos ( + cos x) x cos x + cos x x cos x + cos x + cos x + cos x x x (D'après l'identité a b ) hosseini@maths-stan.r Page 0 Cours : Trigonométrie

11 III-. Formules d addition Théorème : Pour les réels a et b, on a : a + b a cosb + cos a b, ( ) cos ( a + b) cos a cosb a b ( a b) a cosb cos a b, cos ( a b) cos a cosb + a b Démonstration : hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

12 III-. Formules de duplication (Formules de Carnot) Théorèmes 7: Pour x R: x x cos ( ) x ( x) cos x x ou cos( x ) cos x ou cos( x) x cos ou encore + cos x cos x cos x et x tan x k tan ( x) avec x + k et x +, k Z. (H.P.) tan x Démonstration : Exercice : Calculer les lignes trigonométriques de. Solution: hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

13 Lorsque cela a un sens : tan a + tanb tan a tanb tan( a + b) ; tan( a b) tan a tanb + tan atanb Pour tous réels a et b, on a : a b [ cos ( a b) cos ( a + b) ] a cosb [ ( a + b) + ( a b) ] cos a cosb [ cos ( a b) + cos ( a + b) ] a + b a b a + b a b cos a + cosb cos cos ; a + b cos a + b a b a b a + b cos a cos b ; a b cos (H.P.) (H.P.) (H.P.) IV- Équations, inéquations trigonométriques IV-. Équations trigonométriques Théorème 8 (admis): On déinit les équations trigonométriques élémentaires : cosx a x b tanx tanγ ( avec < a < ) ( avec < b < ) k Z, x α + k cosx cosα ou k Z, x α + k où α est l' unique réel de [ 0, ] k Z, x β + k x β ou k Z, x β + k où β est l' unique réel de, x γ + k avec k Z avec x + k; k Z Cas particuliers : Pour tout réel x et tout entier relati k : cos x 0 x + k ; x 0 x k cos x x k ; x x + k cos x x + k ; x x + k hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

14 Exercice corrigé : Résoudre dans R puis dans [, [ : ( ) x. Solution: x + k ( x) ( x) ou k Z x + k k x + 8 k 7 k ou k Z ; S IR + ; + / k Z k x + 8,. On ait varier k dans Z, ain de trouver, les solutions dans [ [ 7 Pour k0, on trouve : ; ; 8 8 Pour k, on trouve : 9, car l autre solution, c est-à-dire 8 8 [, [ ; Pour k-, on trouve : 5 ; 8 8 ; 7 5 Pour k-, on trouve :, car l autre solution, c est-à-dire 8 8 Pour k et k -, on ne trouve aucune solution dans [, [ ; Donc S [, [ ; ; ; ; ; [, [ ; hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

15 x. Exercice 5: Résoudre dans R puis dans [, [ : ( ) cos x Solution: hosseini@maths-stan.r Page 5 Cours : Trigonométrie

16 IV-. Inéquations trigonométriques Dans cette partie du cours, on s intéresse à la résolution d'inéquations trigonométriques élémentaires à l aide d un cercle trigonométrique. Exercice corrigé : Résoudre dans R, puis dans [, [, l inéquation : cos( ) + 0 x () Solution: cos( x ) + 0. cos( x ) cos( x ) Pour résoudre cette inéquation on pose résoudre, d abord l inéquation: X x, donc résoudre l inéquation (), revient à cos X. On remarque que cos ou encore cos On retrouve les solutions de cette inéquation, sur l arc, colorié en rouge du cercle trigonométrique, ci-dessous : donc cos X + k X + k avec k Z. Ainsi, on a successivement : cos( ) x + k x + k + k x + k 8 8 avec k Z. D où : S IR U + k ; + k. On ait varier k dans Z, ain de trouver les solutions k Z : [, [,,, 8 S dans [ [,. Pour k pour k 0 Pour k hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

17 Exercice : Résoudre dans R, puis dans [ [ ; Solution: 0 : cos x + >. hosseini@maths-stan.r Page 7 Cours : Trigonométrie

18 Exercice 7: Trouver l ensemble de déinition de la onction déinie par : Solution: ( x) cos x, puis simpliier son expression. + cos x hosseini@maths-stan.r Page 8 Cours : Trigonométrie

19 V- Fonctions circulaires V-. Déinition d une onction circulaire (trigonométrique) Déinition 5: Toute onction qui peut être associée à un cercle trigonométrique est appelée onction circulaire, comme les onctions x a x, x a cos x et x a tan x. V-. Fonction périodique Une onction circulaire est déinie sur R. En traçant une onction circulaire, on peut constater qu une partie de la courbe est reproduite indéiniment à gauche et à droite sur les intervalles successis de longueur T, ainsi, on peut logiquement penser à un moyen qui justiiera cette particularité de ces onctions et de cette açon, on se limite à l étude de cette onction sur cet intervalle de longueur T ain de trouver son comportement sur le reste de R. Déinition : Le plan est muni d un repère orthogonal ( ; i, j ) O. Une onction est de période T (la période la plus petite ) (ou T-périodique) si : pour tout x D,, x +T D et x -T D et pour tout x D, ( x +T )( x ) et la courbe C est globalement invariante par la translation de vecteur V kt i, il suit alors d étudier sur l intervalle d étude E et de compléter par translations de ce vecteur. Théorème 9: Soit est une onction T-périodique, alors pour tout entier naturel n, elle est aussi nt-périodique : x D, n Z, ( x + nt ) ( x) Démonstration : Conséquences:Les onctions : x a x et x a cos x, qui sont -périodique, sont telle que : ( x + k ) cos x et ( x + k ) x cos - La onction x a tan x est périodique de période T. Déinition 7: Soient a et b deux entiers non nuls. L'ensemble des multiples strictement positis communs à a et b possède un plus petit élément appelé "Plus Petit Commun Multiple" de a et b, et noté ppcm(a ; b). hosseini@maths-stan.r Page 9 Cours : Trigonométrie

20 Théorème 0: Soient et g deux onctions périodiques, de périodes respectives T et T, alors les onctions + g et g sont T-périodiques et telles que T ppcm( T ;T ). Démonstration : Exercice 8 : Considérons la onction déinie par ( x) cos ( x) + ( 5x) Etudier la périodicité de. Solution :. hosseini@maths-stan.r Page 0 Cours : Trigonométrie

21 Exercice 9: Soit la onction déinie par : x 5x + cosx + x + tan 7 9 Etudier la périodicité de. ( ) ( x) Solution : hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

22 V-.. Etude d une onction trigonométrique Méthode : - On essaye de restreindre l intervalle d étude de à un intervalle E, par les moyens suivants : * si est T-périodique, on choisit un intervalle de longueur T ; * si est paire ou impaire, on choisit un intervalle dont l une des borne est 0 ; * si, pour tout réel x, ( a + x) ( a x) ( ou ( a x) b ( x) symétrique par rapport à la droite d équation x a (ou le point ( a,b) et dans ce cas, on choisit un intervalle de borne a ; x + α x + * si, pour tout réel x, ( ) ( ) β ), alors C est Ω centre de symétrie), alors C est invariante par translation de vecteur α i + β j et dans ce cas on choisit un intervalle de longueur α. - On étudie les variations de sur E. Exemple : Considérons la onction déinie sur R par ( x) cos( x) ( x) Pour tout réel x, analysons les période de chaque terme de cette onction : cos ( x) est périodique de période est de période. et ( x) Donc, si la onction est périodique, alors une période ne peut être que ppcm( ; ) Donc est T, -périodique. Mais, a-t-on la période la plus petite? On remarque que : ( + x) cos( ( + x) ) ( + x) ( + x) cos( x + ) ( ( x) ) ( + x) cos( x) ( x) ( + x) ( x). Donc est -périodique, il suit donc d étudier sur tout intervalle de longueur comme,. L intervalle, étant centré sur 0, donc x,, x,, on peut donc établir image de x par : ( x) ( x) ( x) cos( x) ( ( x) ) cos( x) ( x) ( x) cos. est paire, on peut donc restreindre l étude de à l intervalle : E 0,. hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

23 Comme est le produit de onctions trigonométriques dérivables sur R ou encore sur E : x E, ( x) ( x) x + cos( x) cos x x ( x) x cos x x + cos( x) cos x x ( x) x cos x x + cos( x) x E ( ) ( x) x cos x ( x + x) ( x) x cos x ( + ) x ( x) x cos x ( x) ( + x). 0,, x cos x 0 et sur E, x0 pour x0 et cos x 0 pour x E, x 0 et 0 + x, donc le signe de ( x) obtient par lecture sur le cercle trigonométrique : x. est celui de x, signe qu on x > 0 x < x < 0 x > x 0,, donc est strictement croissante sur x,, donc est strictement décroissante sur 0,.,. x 0 Signe de (x) Variations de 8 0 hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

24 Exercices à aire à la maison Exercice 0: Simpliier l écriture des expressions suivantes : 0 a) A b) B cos + cos + cos + cos Exercice : Soit x un réel de açon que les expressions A et B ci-après existent : ) Ecrire plus simplement l expression : A. tan x tan x ( ) n k k ) Ecrire plus simplement l expression : B tan( x) Exercice : ) Pour x et y [ ] ) Pour α R tel que [ ] Exercice : k 0, où n N. ( x y), montrer que tan x tan y. cos x cos y n k α, calculer cos kα cos k ( ) (( ) α ) k + ) Montrer que l'expression ( Sin a cos a) ( Sin a + cos a) + est indépendante de a. ( 9x) cos( 9x) ) Simpliier (avec les conditions d existences) : + ( x) cos( x) Exercice : ) Montrer que pour tout réel x : x cos( x) + cos( x) ) Résoudre dans R : Exercice 5 : cos + 8 x cos( x) cos( x) Sin a + cos a. 8 a) Montrer que, pour tout réel x, on a cos( x) cos x cos x b) En déduire que x R, on a : cos( x ) + cos( x) + cos x cos x + cos x cos x c) Résoudre dans R l équation X + X X 0 cos x + cos x + cos x d) En déduire la résolution dans R de l équation ( ) ( ) hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie

25 Exercice : Après avoir déterminé les conditions d existence éventuelles, résoudre les équations trigonométriques suivantes ) tan ( x ) ; ) ( x ) + ( x) + ( x) 0 ; ) x cos x ; ) tan x + ; tan x 5) ( x ) cos x + x cos( x) ; ) cos x x ; cos ( x) + cos ( x) 7) (x) cos(x) ; 8) >. cos x Exercice 7: Considérons la onction : x a cos( x) ( x) ) Étudier la périodicité et la parité de. En déduire qu il suit d étudier sur l intervalle. 0, D. [ ] ) Étudier les variations de sur [ 0, ] D. ) Dresser le tableau de variation de sur [, ] D 0. ( ) ) Représenter graphiquement sur dans un repère orthogonal bien adapté. Exercice 8: Soit p le polynôme déinie sur R par ( x) x x + ) a) Calculer p(). p. b) En déduire, pour tout réel x, le signe de p(x). Soit g la onction déinie sur I, 0 par : g( x) x + tan x x. ) a) Justiier que g est dérivable sur I. b) Déterminer g ( x) sur I. ) a ) Quel est le sens de variations de x a cos x sur I. En déduire un encadrement de cos x, lorsque x I. b) Déterminer le sens de variations de la onction g sur l intervalle 0,. ) Justiier l inégalité suivante : x 0,, x + tan x x. hosseini@maths-stan.r Page 5 Cours : Trigonométrie

26 Exercice 9: Soit la onction déinie par ( x) cos x + cos x ) Déterminer D, D, D. ) Etudier la parité et la périodicité de et en déduire qu il suit d étudier sur l intervalle D [0,]. ) Calculer (x) et en déduire le sens de variation de sur D. ) Calculer (x) et en déduire la concavité et les points d inlexion de C sur D. 5) Déterminer une équation cartésienne des tangentes T et T à C respectivement aux points d abscisses 0 et. ) Représenter graphiquement et les tangentes T et T dans un repère orthogonal bien choisi. Exercice 0: On considère la onction déinie par : ( x) ) Déterminer le domaine d existence de. x. cos x ) Étudier la périodicité et la parité de. En déduire qu il suit d étudier sur [, ] D ) Déterminer les limites de aux bornes de [, ] D asymptotes à C sur [, ] D 0. ) Quel est l ensemble de dérivabilité de? 5) Étudier le sens de variation de sur [, ] D 0. ) Établir l équation de la tangente T à C au point d abscisse et en déduire l existence de deux Exercices du livre : 0 page 89 ;,, 5 page 90 ; 77 page 9. hosseini@maths-stan.r Page Cours : Trigonométrie