Exercices sur la notion d impédance

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1 Exrcics sur la notion d impédanc C documnt st un compilation ds xrcics posés n dvoirs survillés d élctricité au départmnt Géni Elctriqu t nformatiqu ndustrill d l UT d Nants. Cs dvoirs s sont déroulés généralmnt sans documnts, sans calcultt t sans téléphon portabl Ls dvoirs d un duré d 80 min sont notés sur 0 points. Donc chaqu point proposé au barèm corrspond approximativmnt à un activité d 4 min. Cs xrcics corrspondnt aux chapitrs 3, 4 t 5 d la Baslcpro sur l sit UTnlign. Un corrigé avc barèm d corrction st rmis aux étudiants n sorti du dvoir (C st souvnt l sul momnt où ils vont réfléchir à c qu ils ont su (ou pas su) fair dans c dvoir) Prsonnllmnt, m rfus à manipulr l barèm d un dvoir lors d la corrction dans l but d obtnir un moynn présntabl. (ni trop ni trop pu ) La moynn d un dvoir doit rflétr l adéquation ntr ls obctifs d l nsignant t ls résultats ds étudiants. Ls documnts proposés ici sont délivrés dans un format qui prmt tout assmblag/désassmblag ou modification à la convnanc d l utilisatur. Ls dssins t ls équations ont été réalisés avc Word97. Nos étudiants disposnt d un mass considérabl d informations sur intrnt. Ls nsignants sont maintnant souciux d lur apprndr à utilisr intlligmmnt ct immns champ d connaissanc. ls lur apprnnnt notammnt à citr ls sourcs ssourc proposé sur l sit ntrnt Copyright : droits t obligations ds utilisaturs L autur n rnonc pas à sa qualité d'autur t aux droits moraux qui s'y rapportnt du fait d la publication d son documnt. Ls utilisaturs sont autorisés à fair un usag non commrcial, prsonnl ou collctif, d c documnt notammnt dans ls activités d'nsignmnt, d formation ou d loisirs. Tout ou parti d ctt rssourc n doit pas fair l'obt d'un vnt - n tout état d caus, un copi n put pas êtr facturé à un montant supériur à clui d son support. Pour tout xtrait d c documnt, l'utilisatur doit maintnir d façon lisibl l nom d l autur Michl Piou t la référnc au sit ntrnt UT n lign. La diffusion d tout ou parti d ctt rssourc sur un sit intrnt autr qu l sit UT n lign st intrdit. Un vrsion d Baslcpro st disponibl sous form d un livr aux éditions Ellipss dans la collction Tchnosup sous l titr ÉLECTCTÉ GÉNÉALE Ls lois d l élctricité Michl POU - Agrégé d géni élctriqu UT d Nants Franc

2 Tabl ds matièrs Qustions d cours... Détrmination d un impédanc à partir ds graphs tnsion t courant. ( pts)... 3 Détrmination d un impédanc à partir ds graphs tnsion t courant ( pts)... 4 Notion d impédanc impédancs n séri. (,5 pt)... 5 Association d ptits t grands impédancs (3 pts) Association d ptits t grands impédancs (3 pts) ésau linéair n altrnatif sinusoïdal -C complxs sans calcultt. (,5 pts) ésau -C sinusoïdal _ Complxs sans calcultt. (4,5 pts) ésau linéair -C n altrnatif sinusoïdal (3 pts) Circuit -L n altrnatif sinusoïdal (3 pts)... 8 Circuit -L n altrnatif sinusoïdal (3 pts)... 9 Circuit -L n altrnatif sinusoïdal. (,5 PTS) Motur n régim altrnatif sinusoïdal (3,5 pts)... 4 Motur n régim altrnatif sinusoïdal variant (4 pts)... 5 mpédanc équivalnt calculé avc matlab (3,5 pts) mpédanc équivalnt calculé avc Scilab (3,5 pts) Calcul d un fonction d transfrt (4,5 pts)... 7

3 - - Qustions d cours (0,5 pt) Ecrir l xprssion d la capacité du condnsatur équivalnt à trois condnsaturs d capacités C, C t C3 rliés n séri. (0,5 pt) Ecrir l xprssion d la capacité du condnsatur équivalnt à trois condnsaturs d capacités C, C t C3 rliés n parallèl. Calculr la capacité équivalnt du dipôl ci-dssous.0 00 nf 00 nf 00 nf (00 nf n parallèl avc 00 nf) 00 nf. (00 nf n séri avc 00 nf) 00 nf Donc C q 00 nf ( pts) Soit un impédanc Z: Z U Qull st la particularité ds signaux u ( t ) t i(t) pour qu on puiss utilisr la notion d impédanc? ls sont altrnatifs sinusoïdaux d mêm fréqunc Qull st la particularité du résau élctriqu qui constitu l dipôl Z pour qu on puiss utilisr la notion d impédanc? C st un dipôl élctriqu linéair passif arg Z par rapport aux grandurs caractéristiqus d la tnsion u ( t ) t du courant Qu rprésntnt Z t ( ) i( t )? éponss : U U ff t ( Z ) (,U ) ff Z arg déphasag d u(t) par rapport à i(t) n convntion récptur ( pt) En utilisant la notation complx, écrir la formul du pont divisur d tnsion n régim altrnatif sinusoïdal t rprésntr l schéma associé. ( pt) En utilisant la notation complx, écrir la formul du pont divisur d courant n régim altrnatif sinusoïdal t rprésntr l schéma associé.

4 Détrmination d un impédanc à partir ds graphs tnsion t courant. ( pts) 5 V v V Z - - A partir ds rlvés d t ci-contr, détrminr la valur d v (t) i (t ) Z à la fréqunc considéré. A i 0 t Z V 5, 5 Ω Z,5.,5. ; arg( Z ) (,V ) 3 Détrmination d un impédanc à partir ds graphs tnsion t courant ( pts) v i t V Z A partir ds rlvés d v (t) t i (t) ci-contr, détrminr la valur d considéré. 0 épons : Z Z à la fréqunc 4 Notion d impédanc impédancs n séri. (,5 pt) v L montag ci-contr st alimnté par un tnsion v( t ) 00.cos(.t ). i a) Sachant qu L. 0 Ω, calculr la valur numériqu d l impédanc du dipôl.l à la pulsation considéré. v L v L b) En déduir i ( t ). L V Z L 4 Z + L i( t ) 5..cos.t 4 0..

5 5 Association d ptits t grands impédancs (3 pts) Lorsqu on utilis un calcultt ou un logicil d calcul, il st souvnt fort util d pouvoir vérifir l ordr d grandur d un résultat pour détctr d évntulls rrurs appl d cours: Z Grand Z ptit Z Grand Soit l dipôl linéair ci-dssous n régim altrnatif sinusoïdal d fréqunc «f». A Z Z3 B Z Grand Z ptit Z ptit A la fréqunc «f» considéré, ls impédancs ds différnts élémnts qui l constitunt ont ls valurs complxs suivants : 0 Z Z 30 Z..0, Z Z., Z4 a) Donnr l xprssion litéral d l impédanc équivalnt d c dipôl n fonction d Z, Z, Z 3 t d Z 4. (l n st pas intrdit d rfair un schéma ) b) Pour la valur d l impédanc équivalnt d c dipôl, cinq résultats différnts sont proposés. Sans ustification, sélctionnr (n l ncadrant) clui qui smbl l plus réalist : (Bon : +pt ; rin : 0 ; faux : -pt) 0, Z 46, ; - 0, Z 30,3774. ; 0, Z 3, ; Z ;, Z 3000,063. ; Z ( Z + Z ) + Z4 + Z 30, 0,8 3 Z ( 0. ) Z, 0,8 0, 8 [ ] + ( 0. ) 0. A Z Z Z3 Z4 B Calculs avc l logicil Scilab : %i; ésultats : z30; z i z30; _z z30*xp(-*0.8); argumnt_z z43000*xp(*.); z(((z^(-)+z^(-))^(-)+z4)^(-)+z3^(-))^(-) _zabs(z) argumnt zatan(imag(z),ral(z))

6 6 Association d ptits t grands impédancs (3 pts) Lorsqu on utilis un calcultt ou un logicil d calcul, il st souvnt fort util d pouvoir vérifir l ordr d grandur d un résultat pour détctr d évntulls rrurs appl d cours: Z Grand Z ptit Z Grand Soit l dipôl linéair ci-dssous n régim altrnatif sinusoïdal d fréqunc «f». A Z Z Z3 B Z Grand Z ptit Z ptit A la fréqunc «f» considéré, ls impédancs ds différnts élémnts qui l constitunt ont ls valurs complxs suivants : 0 Z Z Z 0 Z Z4 4..0, ; Z5 Z , a) dssinr l schéma du dipôl n faisant apparaîtr ls élémnts n parallèl ou n séri. Donnr l xprssion litéral d l impédanc équivalnt d c dipôl n fonction d Z, Z, Z 3, Z 4 t d Z 5. b) Pour la valur d l impédanc équivalnt d c dipôl, cinq résultats différnts sont proposés. Sans ustification, sélctionnr (n l ncadrant) clui qui smbl l plus réalist : (Bon : +pt ; rin : 0 ; faux : -pt) 0, Z 46, ; - 0, Z 30,3774. ; 0, Z 3, ; Z 3000,063., , Z 9, ; Z ( Z4 + Z + Z ) + Z5 + Z 0, 0,8 3 Z ( 30. ) Z, 0,8 0, 8 [ ] + ( 30. ) 30. Z4 A Z Z Z3 Z5 B Calculs avc l logicil Scilab : %i; z0; z0; z330*xp(-*0.8); z40; z53000*xp(*.); 3 résultats : z i _z argumnt_z z(((z^(-)+z^(-)+z4^(-))^(-)+z5)^(-)+z3^(-))^(-) _zabs(z) argumnt zatan(imag(z),ral(z))

7 - 5-7 ésau linéair n altrnatif sinusoïdal -C complxs sans calcultt. (,5 pts) a) En vous aidant d la rprésntation graphiqu ci-contr, xprimr l complx sous la form xponntill (complétr ls dux cass): i v C v C +.0 b) ( t ) 0.cos( 00.t ) ; 500 Ω ; C F. ( ) Par un méthod à votr choix, détrminr v C (t) / Corrigé - 0 Vc E. + -/ + ou 0,5 pt. 4 Vc E. C + C V r c E r pt V r 0,5 pt 0,5 pt C E C C vc ( t) 5..cos 00.. t 4 ( ) Ls valurs ont été choisis pour qu ls calculs puissnt s fair à la main

8 8 ésau -C sinusoïdal _ Complxs sans calcultt. (4,5 pts) i v C v C i ( t ) 0,0.cos( 000.t ) ; 500 Ω ; C F ( ) a) Détrminr l xprssion numériqu d v ( t ). b) Calculr l xprssion numériqu d l impédanc complx Z C du condnsatur «C» à la pulsation considéré. En déduir V t l déphasag d v C ( t ) par rapport à i( t ). C Puis donnr l xprssion d v C ( t ) c) On a calculé ( t ) E.cos 000.t. 3 Par un diagramm d Frsnl ou par un calcul n complx, détrminr la valur numériqu d a) v ( t ).i( t ) 500.0,0.cos( 000.t ) 5.cos( 000.t ) pt 0,5 pt 0,5 pt b).5. 3 Z C C V C Z C V C ZC , V C arg( Z C ) déphasag d v C ( t ) par rapport à i( t ). 0,5 pt v C ( t ) 5. 3.cos( 000.t ) 0,5 pt c) En appliquant la loi d Ohm généralisé : E Z + Z. E Z + Z. E Z + Z. pt E ( ) C C 0,5 pt ( ) ( + 3) V C E 5. 3 V V C V E 5 V 3 0 V Ou avc l diagramm d Frsnl ci-contr : E 5 + ( 5. 3) 5. ( + 3) 0 V t ( t ) 0.cos( 00.t ) 3 Ou n appliquant la loi d Ohm généralisé : E 500 ( Z + Z ). ( ) ( ). C.. ( + 3) Ou avc la loi ds maills : ( t ) v ( t ) + v C ( t ) E V D où ( t ) 0.cos 000.t 3 + V C ( ) La valur st choisi d façon qu ls calculs numériqus puissnt êtr fait sans calcultt.

9 - 7-9 ésau linéair -C n altrnatif sinusoïdal (3 pts) L obctif d ct xrcic st d tstr votr maîtris dans l utilisation ds vcturs d Frsnl t/ou ds complxs. (Ls valurs d,,c t L ont été choisis pour facilitr ls calculs. Ls déphasags ont ds valurs particulièrs). v a) i( t ) 0, 0.cos( 00.t ) ; 500 Ω ; 500 Ω C.00 i Détrminr v ( t ), v C ( t ) t ( t ). C v C VC V E v ( t ).i( t ) ,0.cos( 00.t ) 5.cos( 00.t ) L diagramm d Frsnl ci-contr détrmin un carré. L théorèm d Pythagor établit la rlation ntr ls longuurs d un côté t d la diagonal. ( t v C ) 5.cos( 00.t ) ; ( t ) 5..cos( 00.t ) 4

10 - 8-0 Circuit -L n altrnatif sinusoïdal (3 pts) i ( t ) 0.cos(.t ) ; Ω ; L. 500 Ω L v L Détrminr v L ( t ). (Ls valurs ont été choisis d façon qu ls calculs puissnt s fair à la main avc ds angls rmarquabls) 5 V V L 3 E V 0 V 5. 3 V En complx (avc la formul du pont divisur d tnsion) ou avc un diagramm d Frsnl : ( t V ) 0.cos(.t ) L ( t v L E 0 0. E. L L ) 5.cos(.t + )

11 - 9 - Circuit -L n altrnatif sinusoïdal (3 pts) Soit l montag ci-dssous t l graph d la tnsion v( t ). i v v L v L a) On sait qu 500Ω t L 500Ω. En prnant l vctur d Frsnl r associé au courant i( t ) comm référnc, rprésntr, à main lvé, l allur ds vcturs V r L, V r r t V associés rspctivmnt à v L ( t ), v ( t ) t v( t ). b) présntr l graph d v ( t ) dans l mêm rpèr qu v( t ). Précisr son amplitud. L diagramm d Frsnl détrmin un carré. L théorèm d Pythagor établit la rlation ntr ls longuurs d un côté t d la diagonal. VL V V V V 00 Déphasag d v ( t ) par rapport à v( t ) : rad 4

12 - 0 - Circuit -L n altrnatif sinusoïdal. (,5 PTS) ( t) 0.cos(0000. t) ; 500 Ω ; L 50 mh. ( 3 ) i L v L Par un méthod à votr choix, détrminr v L (t) ( t) 0.cos(0000. t) ; 500 Ω ; L 50 mh. Par la méthod d Frsnl ou par la formul du pont divisur n complxs :, V r L E r V r ou V. L. L E.. L. + pt,5 pt VL. L E L v L ( t) 5..cos t + 4 ( 3 ) Ls valurs ont été choisis pour qu ls calculs puissnt s fair à la main

13 - - 3 Motur n régim altrnatif sinusoïdal (3,5 pts) 35 V u 0 ms t Un motur élctriqu monophasé st soumis à la tnsion u(t) cicontr. Dans ls conditions d fonctionnmnt nvisagés, c motur put êtr modélisé par un dipôl constitué d un résistanc 3 Ω n séri avc un inductanc L. A la pulsation considéré, L. 8 Ω. 8 (On précis qu , 6 t arctg, 464 ) 3-35 V a) présntr l dipôl élctriqu du modèl équivalnt à c motur n orintant sa tnsion «u» à ss borns t l courant «i» qui l travrs n convntion récptur. b) Exprimr la valur numériqu d la pulsation d la tnsion (t donc du courant). Précisr son unité. c) On a calculé l amplitud du courant qui travrs c dipôl, t on a trouvé, 54 A. Précisr l raisonnmnt t l calcul (littéral t numériqu) qui ont prmis d obtnir c résultat. (un dmi lign). d) présntr un diagramm d Frsnl d la tnsion «u» t du courant «i». Précisr la valur d l angl orinté (, U ) ( 4 ) ntr ls dux vcturs (avc son unité). Périod : T 0 ms pulsation : T.0 00 rad / s mpédanc du dipôl modélisant l motur: Z 3 8 8,6 + Z Z 8,6. arg( Z ) arctg,464 rad 3 U 35,54 A Z 8,6 U.,464 (,U ) arg( Z ),464 rad ( 4 ) Donc d vrs U

14 - - 4 Motur n régim altrnatif sinusoïdal variant (4 pts) 35 V u 0 ms t Un motur élctriqu monophasé st soumis à la tnsion u(t) cicontr. Dans ls conditions d fonctionnmnt nvisagés, c motur put êtr modélisé par un dipôl constitué d un résistanc 8 Ω n séri avc un inductanc L. A la pulsation considéré, L. 0 Ω. 0 (On précis qu , 73 t arctg 0,343 rad ) 8-35 V a) présntr l dipôl élctriqu du modèl équivalnt à c motur n orintant sa tnsion «u» à ss borns t l courant «i» qui l travrs n convntion récptur. b) Exprimr la valur numériqu d la pulsation d la tnsion (t donc du courant). Précisr son unité c) Donnr l xprssion numériqu d l impédanc Zmotur du dipôl modélisant l motur sous la form algébriqu ( a +. b) t sous la form xponntill ( ρ. θ ). (Pas d calcul ni d ustification) d) On a calculé l amplitud du courant qui travrs c dipôl, t on a trouvé 0,93 A. Précisr l raisonnmnt t l calcul (littéral t numériqu) qui ont prmis d obtnir c résultat. (un dmi lign) ) présntr l allur du diagramm d Frsnl d la tnsion «u» t du courant «i». Précisr la valur d l angl orinté (, U ) ( 5 ) ntr ls dux vcturs (avc son unité). Périod : T 0 ms pulsation : T.0 00 rad / s mpédanc du dipôl modélisant l motur: Z 8 0 9, 73 + Z Z 9, 73. arg( Z ) arctg 0,343 rad 8 U Z 35 9, 73 0,93 A 0,343 U (,U ) arg( Z ) 0,343 rad ( 5 ) Donc d vrs U

15 5 mpédanc équivalnt calculé avc matlab (3,5 pts) L xrcic suivant n dmand aucun connaissanc préalabl du logicil matlab ntroduction : Voici l xmpl du calcul, à l'aid du logicil "matlab", d l impédanc équivalnt " Z " d'un dipôl constitué d dux, impédancs ( Z ,5 t Z 50. ) n parallèl: Ls instructions t ls réponss dans matlab sont donnés dans ds ncadrés n pointillé. Donnés ntrés dans matlab: épons matlab: ( 6 ) z 000*xp(*.); z 50*xp(-*0.5); z (z^- + z^-)^- ans : z i C qui put s traduir par Z 4, , On put calculr l d Z avc l'instruction "abs": C qui put s traduir par Z 440,53 On put calculr l argumnt d Z avc l'instruction " angl ": C qui put s traduir par arg ( Z ) 0,0 rad abs(z) ans : angl(z) ans : 0.0 Suit à ctt introduction, vous avz rpéré l langag utilisé par l logicil «matlab» pour ffctur ds calculs avc ds valurs complxs. Vous avz rmarqué n particulir la façon d écrir ( ) Z Z + Z Enoncé d l xrcic : Voici l calcul, à l'aid du logicil "matlab", d l impédanc équivalnt " Z q " d'un dipôl constitué d cinq impédancs Z, Z, Z 3, Z 4 t Z 5 dont ls valurs ont été établis pour un fréqunc f 000Hz): z000*xp(*.); z50*xp(-*0.5); z3300*xp(*0.8); z400*xp(-*0.); z5900*xp(*0.7); zq(((z^- + z^-)^- + z3 + z4)^- + z5^-)^- ans : zq i abs(zq) ans : 45.9 angl(zq) ans : a) constitur l schéma montrant l'assmblag ds 5 impédancs. b) L dipôl constitué ds 5 impédancs st travrsé par un courant altrnatif sinusoïdal d fréqunc f 000Hz. L'amplitud d c courant st d 0 ma. Détrminr l'amplitud U d la tnsion aux borns du dipôl. Détrminr l ( ) déphasag, U ( 7 ) d la tnsion aux borns du dipôl par rapport au courant. (On suppos l dipôl orinté n convntion récptur). ( 6 ) «ans» pour «answr», c qui signifi «répons» ( 7 ) Donc d vrs U

16 z000*xp(*.); z50*xp(-*0.5); z3300*xp(*0.8); z400*xp(-*0.); z5900*xp(*0.7); zq(((z^- + z^-)^- + z3 + z4)^- + z5^-)^- ans : zq i abs(zq) ans : Z Z3 Z4 Z Z5 3 b) U Z ,53 V (,U ) arg( Z ) 0,500 rad angl(zq) ans :0.500

17 - 5-6 mpédanc équivalnt calculé avc Scilab (3,5 pts) L xrcic suivant n dmand aucun connaissanc préalabl du logicil Scilab. l st constitué d dux qustions indépndants ntroduction : Voici l xmpl du calcul, à l'aid du logicil "Scilab", d l impédanc équivalnt " Z " d'un dipôl constitué d dux, impédancs ( Z ,5 t Z 50. ) n parallèl: Ls instructions t ls réponss dans Scilab sont donnés dans ds ncadrés n pointillé. Donnés ntrés dans Scilab: z 000*xp(%i*.); z 50*xp(-%i*0.5); z (z^(-) + z^(-))^(-) épons Scilab: z i On put calculr l d Z avc l'instruction "abs": C qui put s traduir par Z 440,53 abs(z) ans : «ans» pour «answr», c qui signifi «répons» On put calculr l argumnt d Z avc l'instruction " atan ": atan(imag(z),ral(z)) C qui put s traduir par arg ( Z ) 0,0 rad ans : 0.0 Suit à ctt introduction, vous avz rpéré l langag utilisé par l logicil «Scilab» pour ffctur ds calculs avc ds valurs complxs. Vous avz rmarqué n particulir la façon d écrir ( ) Z Z + Z Enoncé d l xrcic : Voici l calcul, à l'aid du logicil "Scilab", d l impédanc équivalnt " Z q " d'un dipôl constitué d cinq impédancs Z, Z, Z 3, Z 4 t Z 5 dont ls valurs ont été établis pour un fréqunc f 000Hz): z000*xp(%i*.); z50*xp(-%i *0.5); z3300*xp(%i *0.8); z400*xp(-%i *0.); z5900*xp(%i *0.7); zq(((z^(-) + z^(-))^ (-) + z3 + z4)^ (-) + z5^(-))^ (-) répons : zq i abs(zq) ans : 45.9 atan(imag(zq),ral(zq)) ans : a) constitur l schéma montrant l'assmblag ds 5 impédancs qui constitunt l dipôl Z q. b) L dipôl constitué ds 5 impédancs st travrsé par un courant altrnatif sinusoïdal d fréqunc f 000Hz L'amplitud d c courant st 0 ma. Détrminr l'amplitud U d la tnsion aux borns ( ) du dipôl. Détrminr l déphasag, U d la tnsion aux borns du dipôl par rapport au courant. (On suppos l dipôl orinté n convntion récptur).

18 - 6 - z000*xp(%i*.); z50*xp(-%i *0.5); z3300*xp(%i *0.8); z400*xp(-%i *0.); z5900*xp(%i *0.7); zq(((z^(-) + z^(-))^(-) + z3 + z4)^(-) + z5^(-))^(-) répons : zq i abs(zq) ans : 45.9 a) Z Z3 Z4 Z Z5 3 b) U Z ,53 V (,U ) arg( Z ) 0,500 rad atan(imag(zq),ral(zq)) ans : 0.500

19 - 7-7 Calcul d un fonction d transfrt (4,5 pts) Soit l montag ci-contr n régim altrnatif sinusoïdal d pulsation. a) Exprimr l impédanc Z du dipôl // C. C Mttr Z sous la form a Z + b C s b) En utilisant la règl du pont divisur d tnsion n complx, xprimr E S n fonction ds paramètrs du montag :, t C. Mttr l xprssion précédnt sous la form : C S E c., puis sous la form + d. S E + Précisr ls xprssions d t d n fonction ds paramètrs du montag :, C t C. Z + ou Z C + C + C + C... C C C + +. C C + C D après la formul du pont divisur d tnsion : C + 0,5 pt S E. C C C C + C C + ( + C ). ( C ) Z Z+ C + ( + C ). ( C ) pt S E C C + + C + C ( C + C ) pt + C ( C + C ) C ( C + C ) pt