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1 Principe d une minuerie (Afrique 2006) 1. ÉTUDE THÉORIQUE D'UN DIPÔLE RC SOUMIS À UN ÉCHELON DE TENSION. Le monage du circui élecrique schémaisé ci-dessous (figure 1) compore : - un généraeur idéal de ension de force élecromorice E = 12,0 V ; - un conduceur ohmique de résisance R inconnue ; - un condensaeur de capacié C = 120 µf ; - un inerrupeur K. K R E + C Le condensaeur es iniialemen déchargé. À la dae = 0, on ferme l'inerrupeur K. Figure 1 Sur le schéma du circui donné en ANNEXE (figure 1 à rendre avec la copie), une flèche représene le sens de circulaion du couran d'inensié i dans le circui. Ce sens sera considéré comme le sens posiif. Par ailleurs, on noe q la charge de l'armaure du condensaeur qui se chargera posiivemen En uilisan la convenion récepeur, représener par des flèches sur la figure 1 de l'annexe les ensions u C aux bornes du condensaeur e u R aux bornes du conduceur ohmique Donner l'expression de u R en foncion de i Donner l'expression de i en foncion de la charge q du condensaeur Donner la relaion lian q e u C En déduire l'expression de i en foncion de la capacié C e de la ension u C En appliquan la loi d'addiivié des ensions, éablir une relaion enre E, u R e u C Éablir l'équaion différenielle noée (1) à laquelle obéi u C u C = E (1 e τ ), avec τ = RC, es soluion de l'équaion différenielle (1) Vérifier que u C = E ( 1 e τ ) es soluion de l'équaion différenielle (1) De même, vérifier que u C = E ( 1 e τ ) respece la condiion iniiale On s'inéresse à la consane de emps du dipôle RC : τ = RC Par une analyse dimensionnelle, vérifier que le produi τ = RC es bien homogène à une durée A l'aide de la courbe u C = f() donnée en ANNEXE (figure 2 à rendre avec la copie), déerminer graphiquemen la valeur de τ par la méhode de vore choix. La consrucion qui perme la déerminaion de τ doi figurer sur la courbe u c = f() En déduire la valeur de la résisance R. Cee valeur sera donnée avec deux chiffres significaifs. 2. APPLICATION.

2 Au dipôle RC précédemmen éudié, on associe un monage élecronique qui commande l'allumage d'une lampe : - la lampe s'allume lorsque la ension u C aux bornes du condensaeur es inférieure à une valeur limie u al = 6,0 V ; - la lampe s' éein dès que la ension u C aux bornes du condensaeur es supérieure à cee valeur limie u al = 6,0 V. Le circui obenu (figure 3) es le suivan : K R E + P C monage élecronique L figure 3 Foncionnemen du bouon poussoir : Lorsqu'on appuie sur le bouon poussoir, ce dernier enre en conac avec les deux bornes du condensaeur e se compore comme un fil conduceur de résisance nulle. Il provoque la décharge insananée du condensaeur. Lorsqu'on relâche le bouon poussoir, ce dernier se compore alors comme un inerrupeur ouver Le condensaeur es iniialemen chargé avec une ension égale à 12 V, la lampe es éeine. On appuie sur le bouon poussoir P. Que devien la ension aux bornes du condensaeur u C pendan cee phase de conac? La lampe s'allume--elle? Jusifier la réponse On relâche le bouon poussoir Commen évolue qualiaivemen la ension aux bornes du condensaeur au cours du emps? La consane de emps du dipôle RC uilisé es τ = 25 s. Commen évolue l'éa de la lampe aussiô après avoir relâché le bouon poussoir? En vous aidan de la soluion de l'équaion différenielle (donnée à la quesion ), donner l'expression liérale de la dae al, à laquelle la ension aux bornes du condensaeur aein la valeur limie u al en foncion de u al, E e τ Calculer la valeur de al durée d'allumage de la lampe Rerouver graphiquemen la valeur de al à l'aide de la courbe u C = f() fournie en ANNEXE (figure 2 à rendre avec la copie). Indiquer clairemen cee durée sur le graphe La ension aux bornes du généraeur E éan consane, on voudrai augmener la durée d'allumage. Quels son les deux paramères du circui élecrique de la figure 1 sur lesquels on peu agir? Préciser pour chacun d'enre eux commen ils doiven varier.

3 ANNEXE (à rendre avec la copie) K i R E + C q Figure 1 u C (V) Courbe u C = f() Figure 2

4 Le condensaeur dans ous ses éas (Polynésie 2003) Ce exercice se propose d'éudier le comporemen d'un condensaeur. 1 ère parie On réalise le circui ci-conre (schéma n 1) consiué d'un généraeur de couran, d'un condensaeur, d'un ampèremère, e d'un inerrupeur. Le condensaeur es préalablemen déchargé, e à la dae = 0 s, on ferme l'inerrupeur K. L'ampèremère indique alors une valeur consane pour l'inensié I = 12 μa. Un ordinaeur muni d'une inerface (non représené) relève, à inervalles de emps réguliers, la ension u AB aux bornes du condensaeur. Les résulas son les suivans : Schéma n 1 (s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 u AB (V) 0,00 1,32 2,64 4,00 5,35 6,70 7,98 9,20 10,6 Quesions 1.1. Rappeler la relaion permean de calculer la charge q du condensaeur en foncion de I. Calculer q à la dae = 3,0 s On a représené (graphe n 1) la courbe donnan la charge q du condensaeur en foncion de u AB Déerminer à parir de cee dernière, par une méhode que l'on expliciera, la valeur de la capacié C du condensaeur La valeur indiquée par le consruceur es C = 4,7 μf à 10 % près. La valeur obenue es-elle en accord avec la olérance du consruceur? graphe n 1

5 2 ème parie On éudie mainenan la charge e la décharge d'un condensaeur à ravers un conduceur ohmique. Pour cela, on réalise le monage suivan (schéma n 2). Le condensaeur es iniialemen déchargé, e à la dae = 0 s, on bascule l'inerrupeur en posiion 1. Données : R = 2,2 kω ; C = 4,7 μf ; R' = 10 kω Quesions du 2.1. Éablir l'équaion différenielle E = RC C d + uc vérifiée par la ension u C aux bornes du condensaeur pendan la phase de charge La soluion analyique de cee équaion es de la forme : u C = A(1 e α. ), compe enu de la condiion iniiale relaive à la charge du condensaeur. En vérifian que cee expression es soluion de l'équaion différenielle, idenifier A e α en foncion de E, R, C À parir graphe n 2, déerminer la valeur E. du 2.4. La méhode d'euler perme de calculer, pas à pas, les valeurs de u C e de C à inervalles de d emps réguliers choisis Δ. Si Δ es considéré comme suffisammen pei dans le cadre de l'expérience, on peu écrire : duc u C ( + Δ) = u C () + Δ. On choisi Δ = 1 ms. d a) A l'aide de l'équaion différenielle éablie à la quesion 2.1., déerminer la valeur iniiale de la du dérivée noée : C. d 0 b) En appliquan la méhode d'euler, compléer le ableau suivan (à refaire sur la copie) : ( ms ) u C () (.) 0 du C d ( )

6 2.5. Sur le graphe 2, on a représené rois courbes : Courbe n 1 : courbe obenue par la méhode d'euler avec un pas Δ = 5 ms, Courbe n 2 : courbe obenue par la méhode d'euler avec un pas Δ = 2 ms, Courbe n 3 : représenaion de la soluion analyique de l'équaion différenielle. a) Quelle es l'influence du pas Δ, uilisé dans la méhode d'euler? b) Quels son les avanages e les inconvéniens d'avoir un Δ rès grand ou rès pei? c) Qu'enend-on à la quesion 2.4., par "Si Δ es considéré comme suffisammen pei dans le cadre de l'expérience"? 2.6. Définir la consane de emps du circui. Déerminer sa valeur à parir du graphe n 2 par une méhode que l'on expliciera. En déduire une nouvelle valeur expérimenale de C e la comparer à la valeur nominale. graphe n On bascule alors l'inverseur en posiion 2. En jusifian, répondre par vrai ou faux aux affirmaions suivanes : a) La durée de la décharge du condensaeur es supérieure à celle de la charge. b) La consane de emps du circui lors de la décharge es égale à (R + R').C.

7 Défibrillaeur cardiaque (Anilles 2003) Le défibrillaeur cardiaque es un appareil uilisé en médecine d'urgence. Il perme d'appliquer un choc élecrique sur le horax d'un paien, don les fibres musculaires du cœur se conracen de façon désordonnée (fibrillaion). Le défibrillaeur cardiaque peu êre représené de façon simplifiée par le schéma suivan : K 1 K 2 Élecrodes Généraeur de ension 1,5 kv u C C i() Thorax du paien La capacié du condensaeur C es de 470 µf. Le horax du paien sera assimilé à un conduceur ohmique de résisance R = 50 Ω. 1. Phase A Lors de la mise en foncion du défibrillaeur, le manipulaeur obien la charge du condensaeur C (iniialemen déchargé) en ferman l'inerrupeur K 1 (K 2 éan ouver) Quel es, parmi les documens présenés en annexe (à rendre avec la copie), celui qui correspond à cee phase du processus? Jusifier En uilisan ce documen, déerminer par la méhode de vore choix, la consane de emps τ du circui lors de cee même phase (le documen sera rendu avec la copie) Quelle es la valeur maximale W max de l'énergie que peu socker le condensaeur C? Faire une applicaion numérique Si l'on considère qu'un condensaeur es chargé lorsque la ension enre ses bornes aein 97 % de la ension maximale, au bou de quelle durée Δ le condensaeur sera--il chargé? 1.5. Comparer cee durée à la valeur habiuellemen admise de 5.τ.

8 2. Phase B Dès que le condensaeur C es chargé le manipulaeur peu envoyer le choc élecrique en connecan le condensaeur aux élecrodes posées sur le horax du paien. Il choisi alors le niveau d'énergie du choc élecrique qui sera adminisré au paien, par exemple W = 400 J. À la dae iniiale 0 le manipulaeur ferme l inerrupeur K 2 (K 1 ouver) ce qui provoque la décharge parielle du condensaeur ; la décharge es auomaiquemen arrêée dès que l'énergie choisie a éé délivrée. Au cours de l'applicaion du choc élecrique la ension u C () aux bornes du condensaeur varie selon l'expression suivane : u C () = A. e RC 2.1. Déerminer les valeurs numériques de A e de RC. Préciser les uniés Quelle relaion lie l'inensié i() du couran de décharge e la charge élecrique q() porée par l'armaure posiive du condensaeur? 2.3. Quelle relaion lie la ension u C () e la charge élecrique q()? 2.4. En déduire que l'expression de i() es de la forme : i() = B. Exprimer B en foncion des consanes A, R e C À quelle dae l'inensié du couran es-elle maximale? Calculer la valeur absolue de cee inensié. Cee valeur dépend--elle de la capacié du condensaeur? e RC 3. Phase C La décharge s'arrêe dès que l'énergie élecrique W P de 400 J, iniialemen choisie, a éé délivrée Déerminer graphiquemen, en uilisan l'un des documens en annexe, la dae 1 à laquelle la décharge parielle du condensaeur es arrêée. Calculer la valeur de la ension u C ( 1 ) à cee dae. Vérifier graphiquemen cee valeur En s'appuyan sur la variaion de l'énergie du condensaeur enre les daes 0 e 1 rerouver la valeur de la ension u C ( 1 ).

9 ANNEXE

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