La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016

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1 L formule de Simpson vec reste intégrl Jen-Frnçois Burnol, septembre 1 On cherche à pprocher l intégrle b f (t)dt pr une combinison linéire λf () + µf ( + b ) + νf (b) On v tout d bord prendre = et b = 1. On choisit λ,µ,ν pour que l formule λf () + µf () + νf (1) soit excte pour les polynômes de degrés u plus deux, ce qui donne trois conditions sur nos trois inconnues, en prennt successivement f (t) = 1,t,t : = λ + µ + ν = λ + ν = λ + ν Le système se résout isément et donne λ = ν = 1 et µ = 4. D où l forme linéire S(f ) = f () + 4f () + f (1) Pour l intervlle [,1] on écrit : f (t)dt = g(u)du vec g(u) obtenu pr chngement de vrible et vlnt près clcul 1 f ( 1 g()+4g()+g(1) (1 + u)). Ainsi S(g) = s exprime vec f vi S [,1] (f ) = f () + 4f ( 1 ) + f (1) Une fonction h sur un intervlle [,b ] se rmène à une fonction f sur [,1] pr f (u) = (b )h( + (b )u), b h(t)dt = f (u)du, d où notre choix d pproximtion : +b h() + 4h( S [,b ] (h) = (b ) ) + h(b) On veut une formule pour l erreur = b f (t)dt S [,b ](f ). À nouveu on trville d bord vec =, b = 1. On pose donc : f () + 4f () + f (1) (f ) = f (t)dt On sit que ceci est nul si f est une fonction polynomile de degré u plus deux. De plus, si f est impire lors à l fois l intégrle et l pproximtion sont nulles. Donc en fit l formule est excte pour les polynômes de degrés u plus trois et cel suggère qu on devrit pouvoir exprimer l erreur en fonction de l dérivée qutrième de f. À prtir de mintennt on suppose donc que f est de clsse C 4. L idée est l suivnte : pr l formule de Tylor vec reste intégrl on x f (x) = f () + f ()x + f () x + f () () x (x t) + f (4) (t)dt } {{ } T(x) g(x) 1

2 Le premier membre T(x) est un polynôme de degré u plus trois. On f = T + g donc (f ) = (T)+ (g) pr linérité. Au pssge je signle que g est ussi C 4 puisque T est C. Bref : g() + 4g() + g(1) (f ) = (T) + (g) = g(x)dx }{{} = Avnt de poursuivre, on rppelle que pour f impire on sit déjà que (f ) =, donc on v supposer f pire. Dns ce cs le polynôme de Tylor T étit ussi pir, et pr conséquent g est pire. De plus g() = donc il nous fut évluer : (f ) = g(x)dx g(1) On pourrit clculer g(x)dx pr une intégrle double sur le domine t x 1 mis si on n est ps à l ise vec cel il y une stuce. Il suffit d écrire l formule de Tylor vec reste intégrl pour l fonction C 5, F(y) = y f (x)dx. y F(y) = F() + F ()y + F () y + F() () y + F(4) () y4 4 + (y t) 4 F (5) (t)dt 4 F(y) = f ()y + f () y + f () () y + f () () y4 (y t) } {{ } 4 f (4) (t)dt Q(y) En dérivnt pr rpport à y (F est C 5, donc G ussi) : y G(y) f (y) = F (y) = f () + f ()y + f () y + f () () y + G (y) Pr comprison vec l formule f (x) = T(x) + g(x) cel donne G (x) = g(x). On insi une formule pour g(x)dx : (1 t) 4 g(x)dx = G(1) G() = 4 f (4) (t)dt On fit tout ce risonnement 1, sns plus supposer que f étit pire, pour montrer l générlité. Mis mintennt je suppose à nouveu f pire et je termine le clcul. (f ) = g(x)dx g(1) = (1 t) 4 1 f (4) (t)dt = 1 (1 t) f (4) (t)dt 9 ((1 t) 4)(1 t) f (4) (t)dt (1 + t)(1 t) f (4) (t)dt 1. Une utre méthode consiste à ppliquer les règles de dérivtion à H(y,z) = y (z t)4 f (4) (t)dt, d dx H(x,x) = ( y + z ) (y,z)=(x,x) H(y,z). L contribution de l première dérivée prtielle est nulle.

3 Il ne reste plus qu à étendre l intégrle sur tout [,1] pour voir une formule qui ser vlble pour les fonctions C 4 pires ou impires, donc pour toutes : (f ) (1 + t )(1 t ) f (4) (t)dt 7 On obtenu comme désiré une formule excte utilisnt les dérivées qutrièmes de f. C est l seule formule possible de ce type, on ne peut ps se débrrsser des vleurs bsolues pr des bidouillges, on ne peut ps trouver un polynôme qui ferit le job à l plce : si un utre intégrnde fonctionnit l différence devrit être «perpendiculire» à tous les f (4) donc à toutes les fonctions continues, et pr conséquent serit nulle (suf en un nombre fini de points, si on postule quelque chose de continu pr morceux u déprt). Venons-en mintennt à l mjortion : (f ) 1 (1 + t )(1 t ) dt M 7 4 (f ) = 1 9 M 4(f ) } {{ } C L intégrle C se clcule en effet fcilement (pr prité puis t 1 t pr exemple) mis on peut ussi ppliquer l formule encdrée à f (x) = x 4, d où : 5 1 = 4C = C = 9 Finlement si on revient à une fonction h sur un intervlle [,b ], il fut ppliquer ce qui précède à f (t) = b +b h( + b t) ce qui donne (bien sûr on suppose < b) l formule bien connue pour l mjortion de l erreur dns l méthode de Simpson : [,b ] (h) = [,1] (f ) 1 9 M 4(f ) = 1 9 b On peut ussi écrire explicitement l formule excte : b +b h() + 4h( [,b ] (h) = h(t)dt (b ) ) + h(b) = [,1] (f ) 7 7 ( b (1 + t )(1 t ) ( b + x + b b ( ) 4 b M 4 (h) = ) 4 h (4) ( + b )( b x + b (b )5 88 M 4(h) + b t) b dt ) h (4) (x)dx Note : pour éviter les confusions je précise que dns mes commentires de leçons présentées le septembre, j vis proposé de simplifier certins clculs en utilisnt des formules de Tylor vec reste intégrl, mis ce qui est fit ici est encore utre chose.. Bien sûr si f est impire lors f (4) l est ussi et donc notre intégrle est bien nulle. Et toute fonction sur [,1] est de mnière unique somme d une fonction pire et d une fonction impire. Et nous trvillons vec des formes linéires.

4 Un dernier mot : rien ne nous oblige à utiliser f (4) on peut ussi donner une formule vec f (). Il suffit de reprendre l technique mis en llnt un crn moins loin dns l formule de Tylor initile : f (x) = f () + f ()x + f () x } {{ } T 1 (x) x + (x t) f () (t)dt À nouveu (f ) = (T 1 ) + (g 1 ) = g()+4g()+g(1) g(x)dx. On suppose à nouveu que f, donc g 1 est pire. Cette fois-ci on obtient : (f ) = g 1 (x)dx g 1(1) = (1 t) f () (t)dt g 1 (x) (1 t) f () (t)dt t(1 t) f () (t)dt Si on écrit cette formule sous l forme (ttention que si f est pire lors f () est impire, donc tf () (t) est pire et c est pour cel qu il n y ps de vleurs bsolues utour du premier t cidessous) : (f ) t(1 t ) f () (t)dt On clcule mintennt 1 t(1 t) dt = 1 ( ) = 1 et donc [,1](f ) 1 M (f ) (ou ussi l vrinte 9 1 sup tf () (t) ). Sur un intervlle [,b ] l mjortion ser [,b ] (f ) 1 (b ) 4 M 1 (f ) = (b )4 57 M (f ) On ne voit ps imméditement un désvntge flgrnt pr rpport à l utre mjortion (b ) 5 88 M 4(f ), à prt le fit de rter que l pproximtion est excte pour les polynômes de degrés trois. Prenons =, b = 1, et f (t) = t n l mjortion clssique nous dit et celle vec l derivée tierce nous dit n(n 1)(n )(n ) 88 n(n 1)(n ) 57 qui est meilleure dès que n > 5, n > 8! Mis bon, on est en trin de comprer tn dt = n+1 1 vec (4 n + 1)/, inutile de préciser que de toute fçon c est ctstrophique pour n grnd comme pproximtion! Et de plus l erreur véritble est proche de 1/ tndis que nos mjortions, que ce soit l clssique ou celle vec M tendent vers l infini vec n! Si j essie vec =, b générl, et toujours f (t) = t n, n grnd, l mjortion vec M 4 donne n(n)(n )(n ) 88 b n 4 b 5 et celle vec M donne n(n)(n ) 57 b n b 4 ce qui est meilleur sous l même condition n > 5, n > 8! Mis l vleur excte b n+1 /(n + 1) diffère de toute fçon de l pproximtion 1 bn+1 (1 + 4 n ) pr bien moins que ce que ces estimtions prétendent... L idée est donc peut-être que si l fonction vrie trop brutlement l mjortion de l erreur vec M est meilleure ; mis que l estimtion de l intégrle est de toute fçon dns ces circonstnces probblement médiocre.. en fit c est plutôt l vnt vnt dernier mot. 4

5 Mis il y bien un désvntge mjeur de l mjortion vec M c est qu en cs de découpge prélble en N sous-intervlles on obtient une mjortion de l erreur globle en N, et ps en N 4 qui est l estimtion correcte. Comme nous llons le justifier mintennt grâce à notre formule excte. Je rppelle sur [,1] : (f ) (1 + t )(1 t ) f (4) (t)dt 7 Comme le poids est positif, pr l première formule de l moyenne (à poids), on : ξ ],1[ : (f ) (1 + t )(1 t ) dt f (4) (ξ) 7 9 f (4) (ξ) Et sur un intervlle [,b ] l formule ser : (b )5 ξ ],b [ : [,b ] (f ) = 88 f (4) (ξ) Considérons mintennt un intervlle [ A, B], que l on subdivise en N sous-intervlles de consécutifs de mêmes longueurs (B A)/N. L formule pour l erreur totle N commise en ppliqunt Simpson à chque sous-intervlle ser : N (B A) 5 N = 88 N 5 f (4) (ξ k ) k= vec A + k(b A)/N < ξ k < A + (k + 1)(B A)/N. On reconnît une somme de Riemnn pour l intégrle de f (4) : 88 N 4 (B A) 4 N = B A N B f (4) (ξ N k ) f (4) (t)dt = f () (A) f () (B) A k= On donc, suf si f () (B) = f () (A), un équivlent pour l erreur commise dns cette méthode d pproximtion : (B A) ( 4 f () (A) f () (B) ) N N 88 N 4 Ceci montre que, suf cs exceptionnel, l décroissnce est exctement en N 4. On ne peut ps obtenir ce résultt si on seulement une mjortion de l erreur dns l méthode de Simpson. Comme je l i indiqué pendnt l sénce, si pr contre l fonction sur [ A, B] se prolonge pr périodicité de période B A, en étnt C sur l droite réelle, lors N 4 n est plus du tout un bon estimé de l décroissnce de l erreur N cr celle-ci ser en fit un O(N k ) pour tout k. 5

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