Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

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1 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v ) les deux suites défiies par : u + 2 (u + v ) et u 0 2, v 0 2 v + u+2v 3. Motrer par récurrece que N, o a: u > 0, v > Motrer esuite que u et v sot adjacetes. Exercice 3 (Utilisatio des suites extraites ) Soiet (u ) N ue suite telle que les suites (u 2 ) N, (u 2+ ) N et (u 3 ) N coverget. Le but est de prouver que (u ) N coverge.. Peut o appliquer le résultat du cours : Si (u 2+ ) N et u 2 coverget vers la même limite l, alors la suite (u ) N coverge, et sa limite est l.? 2. Prouver que u 2 et u 3 ot la même limite. 3. Prouver que u 2+ et u 3 ot la même limite. 4. Coclure. Exercice 4 (Utilisatio du théorème des gedarmes) O pose, pour N, u 2 p 3 + p

2 . E miorat et majorat chaque terme de la somme, ecadrer u. A l aide de cet ecadremet, calculer lim + u. 2. Vérifier que p N, o a : 3 +p + 0. Chaque terme de la somme ted vers 0, et pourtat la somme elle même d après la questio précédete e teds pas vers 0. Y a t-il ue cotradictio? Exercice 5 S O pose, pour N, k v S 2 k et u S. Motrer que N, S + 2. Motrer que N, S 3. Motrer que u et v sot covergetes Exercice 6 Soit (u ) la suite défiie par: { u +2 u + u u 0 > 0, u > 0 Calculer u e foctio de et u 0, u. Exercice 7 U éuphar double sa taille tous les jours. U de ces éuphats met 30 jours à recouvrir la surface d u étag. Combie deux éuphars mettrot ils de temps à recouvrir le même étag? (Tous les éuphars ot la même taille au début de leur croissace) (o fera u raisoemet rigoureux! ) Exercice 8 Soit (u ) la suite défiie par: u 0 > 0 u + u + u O va determier la limite de u par deux méthodes. 2

3 . Méthode : (a) Motrer que N, u > 0, et motrer esuite que u est croissate (b) Motrer que u est pas majorée, e faisat u raisoemet par l absurde. (c) E déduire lim u. 2. Méthode 2: (a) Motrer que N, u > 0, et motrer esuite que N, (b) E déduire lim u. u 3

4 Idicatios pour l exercice Pas de difficultés ici, appliquer simplemet la défiitio d ue suite adjacete. Idicatios pour l exercice 2. Pas de difficulté 2. Exprimer u + v + e foctio de u v. E déduire le sige et le comportemet de u v. Idicatios pour l exercice 3. Bie sur que o Cosiderer la suite (u 6 ) N. N est elle pas extraite à la fois de u 3 et u 2? que peut o e déduire? 3. Faire u raisoemet idetique à celui de la questio précédete: quelle suite va t-o cosiderer? Idicatios pour l exercice 4. O a l iégalité suivate: p [, 2 ], p O peut esuite ajouter ces iégalités et utiliser u théorème célèbre. 3 + Idicatios pour l exercice 5. Faire ue récurrece 2. Faire ue récurrece ecore! 3. O ous a fait calculer des ecadremets: quel théorème va t-o pouvoir utiliser? Idicatios pour l exercice 6 Essayer de trasformer ce problème e u problème de suites récurretes liéaires. Idicatios pour l exercice 7 Pas de difficulté, poser simplemet le pb. O pourra oter: u taille de l étag le jour. Idicatios pour l exercice 8. (a) Pour motrer que u > 0, o fera u raisoemet par récurrece. (b) Si (u ) est majorée, motrer que u + u l est aussi. 2. (a) Procéder par récurrece ici aussi. 4

5 Correctio de l exercice Nous devos prouver 3 choses: ue suite est croissate, l autre décroissate, et u v (u ) est croissate. u + u + k3 k 2 + k3 ( + ) k 2 + d où le résultat. 2. (v ) est décroissate. v + v u + u + + 2( + ) ( + ) 2 + ( + ) + ( + ) ( + ) 2 2( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 2 ( + ) ( + ) 2 22 ( + ) 2 + ( 2 2 )(( + ) 2 + ) 2 2 ( + ) 2 (( + ) 2 + ) ( + ) 2 (( + ) 2 + ) Or 3, (les racies sot + 3 et 3). Doc (v ) est décroissate. 3. u v + 0. Ceci est clair, car u v Coclusio: (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Correctio de l exercice 2. La propriété est vraie au rag 0. Soit 0 tq u > 0 et v > 0. Motros que u + > 0 et v + > 0 Comme u + 2 (u + v ), par l hypothèse de récurrece, o a clairemet u + > 0 Comme v + u+2v 3, par l hypothèse de récurrece, o a clairemet v + > 0 Coclusio: N, o a u > 0 et v > Calculos u + u pour essayer de determier le ses de variatio de u : u + u 2 (u + v ) u 2 (v u ) Le sige de u + u est doc le même que le sige de (v u ). 5

6 Calculos v + v pour essayer de determier le ses de variatio de v : v + v u + 2v v 3 3 (u v ) Le sige de u + u est doc le même que le sige de (u v ). O est doc coduit à étudier la suite (v u ): calculos u + v + e foctio de u v pour voir ce que cela doe. u + v + 2 u + 2 v 3 u 2 3 v 6 (u v ) Aisi (u v ) est géométrique de raiso 6 : Comme <, elle ted vers 0. De plus, comme u v ( 6) (u0 v 0 ), o e déduit que u v < 0. 6 O a doc prouvé: (a) (u v ) teds vers 0. (b) (u ) croissate (c) (v décroissate Doc u et v sot adjacetes. Correctio de l exercice 3. O e peut appliquer ce résultat, car ce derier exige que u 2 et u 2+ coverget vers la même limite, or l éocé ici e précise pas si les limites de u 2 et u 2+ sot les mêmes. Cepedat, o va prouver que même si l éocé e le précise pas, les limites de u 2 et u 2+ sot bie les mêmes. Aisi o pourra coclure. 2. Suivos les idicatios: la suite u 6 est extraite de u 3, car u multiple de 6 est aussi u multiple de 3. (e d autres termes, u 6 u 3(2) ) Elle a doc la même limite que u 3. Mais elle est aussi extraite de u 2, car u multiple de 6 est aussi u multiple de 2. (e d autres termes, u 6 u 2(3) ) Elle a doc la même limite que u 2. Aisi u 3 et u 2 ot la même limite! (car la suite u 6 e peut avoir qu ue limite) 3. o effectue le même raisoemet avec la suite u 6+3, qui est extraite à la fois de u 2+ (car u 6+3 u 2(3+)+ ) et de u 3 (car u 6+3 u 3(2+) ) Doc les suites u 3 et u 2+ ot la même limite. 4. Des deux questios précédetes, o déduit que u 2 et u 2+ ot la même limite. O peut maiteat appliquer le résultat du cours! Aisi (u ) coverge. 6

7 Correctio de l exercice 4. O a : p [, 2 ], p 3 + O peut doc écrire 2 iégalités ( p variat de à 2 ): E ajoutat ces 2 iégalités, o obtiet doc: E utilisat le théorème des gedarmes, o obtiet: p p lim u + 2. O a doc ( apparemmet ) le paradoxe suivat: Chaque terme de la somme ted vers 0. Or das le cours, o a vu que la limite d ue somme de deux suites était la somme des deux limites. Doc, e suivat ce raisoemet, la limite de u devrait être ; ce qui est pas le cas. Où est l erreur das ce raisoemet? Elle viet du fait que si la limite d ue somme de k suites est e effet la somme des limites des k suites, ce est vrai que si le ombre k e déped pas de Ce qui est pas le cas içi, car quad + le ombre de suites ( ici 2 ) ted aussi vers +. Quad 2 est grad, chaque terme de la somme 3 est petit, mais comme il y a beaucoup de termes das la + p p somme ( 2 ), le résultat total est pas petit. Correctio de l exercice 5. Notos P () la propriété S +. P () est vraie: car S et o a bie + 0 Soit N. O suppose que P () est vraie. Motros que P ( + ) est vraie. S + S + + Or d après l hypothèse de récurrece, S +. Doc S Pour prouver P ( + ), il suffit doc d avoir: Prouvos le: () (car tout est positif) ( ) 2 ( + + )

8 La derière iégalité état vraie, comme o a raisoé par equivalece, l iégalité () est vraie: P ( + ) est doc vraie Doc N, S + 2. Notos Q() la propriété S. Q() est clairemet vraie: car ( S ). Rmq: pas besoi de calculatrice pour voir ceci! : (car tout est positif) (2 2) , ce qui est vrai! Soit N. O suppose que Q() est vraie. Motros que P ( + ) est vraie. S + S + + Or d après l hypothèse de récurrece, S. Doc S + Pour prouver Q( + ), il suffit doc d avoir: Prouvos le: () + + (car tout est positif) ( ( + ) + 4( + 2) ) 2 (2 + 2) 2 La derière iégalité état vraie, comme o a raisoé par equivalece, l iégalité () est vraie: Q( + ) est doc vraie Doc N, S. 3. Prouvos que (u ) est covergete. D après les deux questios précédetes, o a: S + + u }{{} 2 + }{{} + 2 (car > 0) Et aisi, grace au théorème des gedarmes, u + 2 Prouvos que (v ) coverge. L idée aturelle ( puisqu elle a bie marché pour u!) est d utiliser les iégalités précédetes. O obtiet: S ( + ) 2 v (3) Or et + 0 ( cela se prouve e utilisat la quatité cojuguée). O e peut pas appliquer le théorème des gedarmes, car das l ecadremet (3), le terme de gauche ted vers 2, et le terme de droite vers 0. 8

9 Il faut doc adopter ue autre tactique! Le choix des armes est limité maiteat: il e ous reste que le théorème sur les suites mootoes. Essayos de l appliquer. v + v S + S ( + ) + ( + ) Or : doc v + v 0 v décroissate. De plus v est miorée d après (3), car v 2( + ) 2 2. Doc v coverge (mais o e coait pas sa limite) Correctio de l exercice 6 O a pas vu das le cours ue méthode pour étudier ce type de suite. Il va doc falloir faire preuve d imagiatio. Mais otre imagiatio doit être guidée par ce que l o coait: e l occurece, le cours. Les seules suites vues e cours dot o sait toujours calculer le terme u e foctio de sot: les suites géométriques, arithmétiques ou arithmético-géométriques les suites récurretes liéaires d ordre 2 ( celles qui vérifiet u +2 u + + u ) La suite u défiie par l éocé propose ue relatio de récurrece faisat iterveir les termes d ordre, + et + 2: il e peut s agir d ue suite géométrique, arithmétique ou arithmético-géométrique, qui e fot iterveir que les termes d ordre et +. E fait u est pas ue suite récurrete liéaire d ordre 2, mais l(u ) e est ue: l(u ) existe car N, u > 0 ( d après ue récurrece triviale) Si o pose v l(u ), v vérifie doc: v +2 2 v v. l équatio caractéristique est : x 2 2 x 2 0, o trouve comme racies 2 et. O applique le cours: O sait qu il existe A R et B R tq N, v A ( 2) + B. O détermie A et B e faisat 0 et das l égalité précédete: { { { v 0 A + B v A 2 + B B v 0 A v A 2 + v 0 A A 2 3 (v 0 v ) B v v Doc v 2 ( 3 (v 0 v ) ) + v v u e 2 3 (v 0 v )( 2) e v v Correctio de l exercice 7 Notos T la taille iitiale d u éuphar, S la taille de l étag. O otera u la taille du éuphar au jour 9

10 Le premier jour, le éuphar a T comme taille; aisi u T. De plus, o a u + 2u (le éuphar double sa taille e u jour). Aisi (u ) est ue suite géométrique de raiso 2. O peut doc écrire u (u )2 T 2 Le 30 ieme jour, la taille du éuphar est égale à S. O a doc u 30 T 2 29 S. Notos v la taille atteite par deux éuphars le jour. Le premier jour, o a v 2T. O a v + 2v (chaque éuphar double sa surface). La suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 2, de premier terme v 2T. O peut doc écrire: v (v )2 2T 2 T 2. O cherche tel que v S. Or T 2 29 S et v T 2. ce qui doe 29. Aisi 2 éuphars mettrot 29 jours à recouvrir l étag. Et o pas 5!! Correctio de l exercice 8. (a) O motre que u > 0 par récurrece: u 0 > 0 d après l éocé. Soit 0 tq u > 0. Motros que u + > 0. ceci est évidet, car u + u }{{} >0 Doc N, u > 0 Efi, u + u u > 0 d après ce qui précède: u est aisi croissate. (b) Supposos que u soit majorée. Il existe M R tq N, 0 < u < M. D ue part, 0 < u + u < u + < M. D autre part, u > M. O aurait doc: + u }{{} >0 N, M > M Cette iégalité est vraie N, ce qui est absurde car M + + (c) La suite u est croissate, mais pas majorée: elle ted doc vers +. Rmq: ceci est vrai que parce que u est croissate; ue suite o majorée e ted pas écéssairemet vers (a) O a déjà prouvé que u > 0. O motre que u par récurrece: u 0 > 0 d après l éocé. Soit 0 tq u. Motros que u + > +. O a u u + u }{{} >0 + u }{{} >0 Doc N, u > 0 O retrouve le résultat précédet (ouf!) 0