EXERCICES MPSI B 2. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 16/17 GÉNÉRALITÉS

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1 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 GÉNÉRALITÉS. :. : 3. * : (a) Soit (u ) ue suite e preat que les valeurs 0 ou dot la limite est 0 ; démotrer e utilisat la défiitio de la limite que u = 0 à partir d u certai rag. (b) Soit (u ) ue suite covergete e preat que les valeurs 0 ou ; démotrer que (u ) est costate égale à 0 ou à partir d u certai rag. (c) Démotrer plus gééralemet qu ue suite qui e pred qu u ombre fii de valeurs et qui est covergete est costate à partir d u certai rag. (a) Démotrer que si les deux sous-suites (u ) et (u + ) d ue suite réelle (u ) ot la même limite l, alors (u ) a pour limite l. (b) A-t-o la même coclusio si o suppose que les deux sous-suites (u ) et (u 3 ) de la suite (u ) ot la même limite l? (c) Que peut-o dire si o suppose que les trois sous-suites (u ), (u + ) et (u 3 ) de la suite (u ) ot chacue ue limite? (a) Motrer que si, das la défiitio de la covergece vers l d ue suite (u ) 0, o itervertit le deuxième et le troisième quatificateur, ce qui doe : ε>0 / u l <ε o obtiet la coditio : (u ) possède ue sous-suite covergeat vers l. REM : ceci est doc la défiitio de : l est ue valeur d adhérece de (u ). (b) Motrer qu ue suite réelle est o majorée si et seulemet si elle possède ue sous-suite de limite +. (c) Motrer qu ue suite réelle ted vers + si et seulemet si elle e possède pas de sous-suite majorée. 4. * : Motrer, par l absurde, que la suite (si ) est divergete ; idicatio : cosidérer diverses sous-suites de (si ) pour obteir ue cotradictio. 5. : Dire si chacue des assertios suivates est vraie ou fausse (pour vrai : démotrer, et pour faux : doer u cotre-exemple). (a) Si limu = 0 alors lim(u v ) = 0. (b) Si lim(u v ) = 0 alors limu = 0 ou limv = 0. (c) Si lim(u +v ) = + alors limu = + ou limv = +. (d) Si (u ) est ue suite strictemet décroissate à termes positifs ou uls, alors limu = 0. (e) Si limu = 0 et si (u ) est ue suite à termes positifs ou uls, alors (u ) est décroissate à partir d u certai rag. (f) Si u > 0 pour tout N, alors u + (g) Si u > pour tout N, alors (u ) + (h) Si u + u 0, alors (u ) est covergete. (i) Si pour tout N, lim + u, = 0 alors pour tout N, lim + (u, +u, + +u, ) = 0. (j) Si pour tout N, lim + u, = 0 alors lim + (u, +u, + +u, ) = * : Suite de l exercice précédet : (a) Si (u ) est covergete, alors ( u ) est covergete.

2 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (b) Réciproque de l assertio précédete. (c) Si u v w, limu = 0 et limw =, alors limv [0,]. (d) Si (u ) est covergete alors p N u +p u + 0. (e) Réciproque de l assertio précédete. (f) Si lim(u u ) = 0 et (u ) croissate alors (u ) est covergete. (g) Si (u ) est pas majorée, alors u +. (h) Réciproque de l assertio précédete. (i) Si limu = + alors (u ) est croissate à partir d u certai rag. (j) Si (u ) est pas majorée, alors il existe ue suite extraite de (u ) de limite +. () Réciproque de l assertio précédete. (l) Si lim(u + u ) = 0, alors lim u + =. u (m) Réciproque de (l). () Si (u ) et sot borées, alors lim(u + u ) = 0, équivaut à lim u + =. u u, (o) Si (u + u ) est mootoe, alors (u ) aussi à partir d u certai rag. (p) Si lim(u + u ) = 0, et si (u ) est borée, alors (u ) est covergete. 7. : Détermier la limite des suites de terme gééral u suivates e utilisat le théorème des gedarmes : (a) u = + (b) u = + (c) u = + (d) u = + (e) u =!+!+3!+ +!! (f) u = =0 8. : 9. * : (a) Soiet (u ) et (v ) deux suites à valeurs das [0,] et telles que limu v =. Que peut-o dire de (u ) et (v )? (b) Soit (u ) ue suite à termes > 0 mootoe ; motrer que si lim u + u = alors lim u + u =. (a) Motrer que l équatio x = x + +x +x+ possède ue uique solutio x R + (REM : x est le ombre d or, x 3 celui d arget, x 4 celui de broze... Les x ot doc été décrétés "ombres métalliques"). (b) Etudier la suite (x ). 0. : O doe deux suites (u ) et (v ) à termesstrictemet positifs et covergeat toutes les deux vers 0. u v p u v p Calculer lim lim et de lim lim? Pourquoi est-ce étoat? + p + u +v p p + + u +v p. * : Autour du lemme de Césaro. (a) Motrer que si limu = 0, alors lim u +u + +u = 0.

3 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (b) Motrer que la réciproque de l assertio précédete est fausse. (c) Déduire du (a) que si limu =l C alors lim u +u + +u =l (lemmedecésaro). (d) Déduire du (a) que si lim(u u ) =a= 0 alorsu a (propriété appeléelemmedel escalier : si la hauteur des marches ted vers a alors la hauteur totale d u escalier de marches équivaut à a). (e) E déduire que si (u ) est à termes strictemet positifs, et si lim u u = a > 0 alors lim u = a (c est la comparaiso des critères de D Alembert et de Cauchy). (f) Déduire de (a) que si limu = 0 et (v ) est borée, alors lim u v +u v + +u v (g) E déduire que si limu =l R et limv =l R, alors lim u v +u v + +u v. * : Lemme de Césaro à l ifii. (a) Motrer que si limu = +, alors lim u +u + +u = 0. =ll. = +, mais que la réciproque est fausse. (b) Motrer que par cotre, si limu = +, u +u + +u et (u ) e sot pas forcémet du même ordre : o doera u exemple où u +u + +u α u, et u exemple où u +u + +u <<u. 3. * : O pose u = + et v = ; motrer SANS UTILISER LE FAIT QUE CES SUITES SONT! CONVERGENTES, que lim(v u ) = 0. SUITES MONOTONES Remarque : das les exercices suivats, lorsqu o demade de calculer u ombre a à 0 près, o cherche u etier N tel que N0 0,0 a N0 + 0,0 ; tout ecadremet de largeur 0,0 permet de détermier u tel ecadremet. Par exemple,,49877a,50354 permet d écrire :,49a,5, que l o ote : a =,50±0. Notos qu il y a pas uicité de l écriture : a =,5446 peut, à 0 près, s écrirea=,54±0 oua=,55±0. Il existe pas de largeur miimale d ecadremet permettat de détermier pour tout a u ecadremet du type : N0 an0 +0,0. Par exemple, sia =,50000, seul u ecadremet de largeur 0 6 permettra de détermier à coup sur si a,5. 4. : O pose h =. 5. : (a) Pour, motrer que : ecadremet de h. + l( +) l et e déduire u ecadremet de (b) O pose u =h h ; motrer que (u ) est covergete de limite [/,]. (c) Grâce à l ecadremet de / du (a), détermier u ecadremet de u et e déduire sa limite. (a) O pose r =. pour, et u i. Motrer que limr = +, sas utiliser h. ii. Motrer que pour, + +, soit e utilisat ue méthode d itégratio, soit e utilisat la quatité cojuguée de + iii. E déduire u ecadremet de puis de r ; motrer par exemple que 8r iv. Détermier u équivalet de r. 3

4 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 6. : (b) Gééralisatio : s = avec 0<α<. α i. Motrer que lims = +, sas utiliser h. ii. Démotrer que pour ( +) α ( +) α α α α e déduire u ecadremet de α pour, puis de s et doer efi u équivalet de s ; motrer le développemet : α = α α +O(). iii. Doer par exemple u ecadremet de s 0, pour α = 3. (a) O pose q =. i. Pour, vérifier + ii. Motrer que (q ) est covergete de limite q vérifiat,5q. iii. Détermier, e utilisat (i), u ecadremet de q N q pour N >0 et e déduire : iv. Calculer q à 0 près. Sur casio : SUM(SEQ(/X ^,X,,)) v. O démotrera ultérieuremet que q = π 6 π = O( ). + q q (b) Gééralisatio : O pose s = avec α>. α i. Pour, motrer que α α ( +) α ; admettat ce résultat, déduire de (iii) le développemet : α α ( ) α α ii. Motrer que (s ) est covergete ; soit s sa limite. iii. Détermier, e utilisat (i), u ecadremet de s N s pour N > 0 et e déduire u ecadremet de s s similaire à celui de a.(iii). 7. : f est ue foctio cotiue, positive et décroissate sur [, + [.. (a) Vérifier que pour, f() (b) O pose u = f() + f(x)dxf( +). f(x)dx ; motrer que (u ) coverge vers l [0,f()]. (c) Applicatio : motrer que l coverge vers γ [0,] ; e déduire le développemet : = l+γ +o(). (d) Applicatio : w = ; motrer que (w ) coverge vers R [,] ; e déduire le développemet : = R+o(). 4

5 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 8. * : Quelques séries à siges alterés. O rappelle que h N = N = ln +γ +ε N avec limε N = 0. = (a) Détermier la valeur de la somme ifiie : (b) Détermier maiteat la valeur de la somme ifiie : Qu y a-t-il de paradoxal das ce résultat? impairs impairs 9. * : Soit (u ) ue suite réelle ; o pose u = if p u p impairs (a) Justifier que la suite (u ) possède toujours ue limite ; cette limite est appelée limite iférieure de la suite (u ) : lim(u ) = lim if u p. + p (b) Défiir de la même faço la limite supérieure d ue suite réelle après avoir justifié so existece. (c) Motrer que (u ) possède ue limite ssi lim(u ) = lim(u ). (d) Motrer que la limite de toute sous-suite de (u ) est comprise etre lim(u ) et lim(u ), et que lim(u ) et lim(u ) sot eux-mêmes limites de sous-suites de (u ). u 0 > 0 0. * : Etudier la suite récurrete défiie par u = + pour u. * : Lesurplombde domios Soit (A ) ue suite de poits sur ue droite. O pose G =Isobar(A,...,A ). ( OG = OA OA ).O suppose que G A + = u (vecteur costat). (a) Faire ue figure e costruisat A,A,A 3,A 4. (predre u assez grad). (b) Démotrer que u A A + =. (c) E déduire que A A +. (d) O empile des domios au bord d ue table de faço à obteir le surplomb maximal. Calculer e foctio du ombre de domios (chacu de logueur l), ce surplomb maximal. Calculer le plus petit à partir duquel ce surplomb est supérieur à l. SUITES ADJACENTES. : O pose v = l et u = l. (a) Motrer que ces deux suites sot adjacetes. (b) Calculer à 0 près leur limite commue γ (costate d Euler). (c) E déduire le développemet : = l+γ +O( ) 3. : O pose u = et v =. (a) Motrer que ces deux suites sot adjacetes de limite commue R que l o calculera à 0 près. 5

6 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (b) E déduire le développemet : = R+O( ). 4. Soit f ue foctio cotiue décroissate positive sur [,+ [ ; o pose u = f() ; soit F ue primitive de f sur [,+ [. (a) Motrer que sif possède ue limite fiiele + alors les suites (u ) et (v ) = (u +l F()) sot adjacetes. (b) Applicatio aux séries de Riema : motrer que si α> alors la somme S = possède ue limite fiie S α quad ted vers + et que S =S +O α. 5. : Moyee arithmético-géométrique de deux réels a et b>0, ab ; (a) Motrer que a ab a+b b. Soiet a 0 =a, b 0 =b, puis pour tout N a + = a b et b + = a +b (b) Motrerque (a )et (b )sotadjacetes;lalimitecommueestpardéfiitiolamoyeearithmético-géométrique de a et b. Idicatio : b a (b a ). (c) Calculer la moyee arithmético-géométrique de et à 0 8 près. Programme sur TI ou Casio : A B Lbl (A*B) C (A+B)/ B C A If B-A >0 ^(-8) The Goto Ed (EdIf pour Casio) Disp A,B (d) * Calculer b a e foctio de b et a et e déduire que si ε = b a, ε a +ε = ε puis que 4 ε ε b a 8a 8a. Calculer par exemple le ombre d itératios suffisates pour calculer la moyee 8a arithmético-géométrique de et à 0 00 près. 6. * : La moyee arithmético-harmoique : Pour 0<ab o pose m(a,b) = a+b et h(a,b) = m a, (moyeeharmoique de a et b) b (a) Motrer que ah(a,b)m(a,b)b et que h(a,b).m(a,b) =ab. a0 =a a+ =h(a (b) O pose et N,b ). b 0 =b b + =m(a,b ) Motrer que ces deux suites sot adjacetes ; soit l(a,b) la limite commue. (c) Vérifier que Na b = ab; que vaut doc l(a,b)? (la moyee "arithmético-harmoique" est doc autre que la moyee géométrique!). 6

7 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (d) Détermier ue relatio de récurrece simple vérifiée par (b ) (de la forme b + = f(b )) et comparer avec la méthode de Héro (exercice 4). 7. * Algorithme de Borchardt : soiet a 0 =a, b 0 =b avec 0<ab, puis pour tout N (bie oter le a + b au lieu du a b ). a + = (a +b ) et b + = a + b (a) Motrer que (a ) et (b ) sot covergetes de même limite, que l o otera l. (b) O pose q = a +q ; vérifier que q + =. b (c) E déduire que si α = arccos a b, a =b cos α, puis que b siα =b 0 si α. siα (d) E déduire que l =b 0 α = b a arccos a αsiα et que (b a ) b 0 +. b (e) Que vaut doc l si a = /,b = /? 8. * Algorithme de Borchardt, bis : soiet a 0 =a, b 0 =b avec 0<ab, puis pour tout N b + = (a +b ) et a + = a b + (bie oter les subtiles différeces etre les exercices 5, 7 et 8!). (a) Motrer que (a ) et (b ) sot covergetes de même limite, que l o otera l. (b) O pose q = b +q ; vérifier que q + =. a (c) E déduire que si α = argch b a, b =a ch α, puis que a =a shα sh α. (d) E déduire que l =a shα α = b a argch b et que (b a ) a α sh α +. a (e) Motrer que si o part de a 0 = ab, b 0 = a+b logarithmique de a et b. au lieu de a 0 = a, b 0 = b, alors l = b a lb la = moyee 9. * : Soit x R ; o pose x = 0 [0 x] et y =x +0. (a) Détermier (x ) et (y ) pour x = 9,898. (b) Prouver que (x ) et (y ) sot adjacetes de limite x. 30. : Soit (u ) ue suite décroissate de réels covergeat vers 0. O pose S =u u +...+( ) + u = ( ) + u (a) Vérifier que (S ) et (S ) sot adjacetes et que doc S = + ( ) + u existe. (b) Motrer que S S u + et que S S est du sige de ( ). Remarque : ces résultats costituet le théorème dit des sériesalterées (car S est alterativemet au dessous et au dessus de S). 7

8 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (c) Détermier à 0 prèss= /+/3 /4+... = (o motre qu e fait S = l et T = π 4 ). + ( ) + ett = /3+/5 /7+... = + ( ) + 3. : (a) Motrer que si (u ) et (v ) sot deux suites à termes > 0 vérifiat : (u ) croissate, (v ) décroissate, et lim u v =, alors (u ) et (v ) sot adjacetes. (b) Motrer que les suites suivates sot adjacetes : u = Idicatio : étudier les foctios x et utiliser l iégalité de Beroulli (exercice 3 récurreces). + et v = x x et x + x x+, ou bie motrer que (c) Quelle valeur approchée de e obtiet-o e calculat u 000 et v 000? (d) Vérifier que u v =v u avec u et v ratioels. u u = 3. : Motrer que les suites suivatessot adjacetes (o pourra utiliser 3. a)) : u = 4 etv = + 4 ; admettat avoir démotré que la limite commue est / π, e déduire u 00 ecadremet de ; quelle approximatio de cet ecadremet fourit-il? 50 Rep :,0.0 9 ±0, : Soit θ ]0, π [ ; motrer que les suites suivates sot adjacetes (o pourra utiliser 3. a)) : u =si θ,v =ta θ. 34. * : Motrer que les suites suivates sot adjacetes et doer ue valeur approchée de leur limite à 0 près. (a) u = et v = Idicatio : o pourra motrer e utilisat quatités cojuguées, que v u 35. * : Démostratio partielle de la formule de Stirlig. ( )!. (a) Démotrer que la suite (u ) défiie par u =!e est covergete de limite l o ulle, e motrat que (u )!e et (v ) = sot des suites adjacetes. + (b) E déduire u équivalet de! (o démotrera grâce aux itégrales de Wallis que l = π). APPLICATIONS DU THÉORÈME DE BOLZANO WEIERSTRASS 36. : Démotrer que de toute suite complexe, o peut extraire ue sous suite covergete, sachat que de toute suite réelle, o peut extraire ue sous suite covergete. 37. * : Lecritèrede Cauchy. Defiitio Oditque (u )estuesuitedecauchylorsque ε>0 N,p u u p ε 8

9 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 38. * : L exercice a pour but de démotrer que toute suite de ombres complexes est covergete ssi elle est de Cauchy (o dit qu elle vérifie le critère de Cauchy ). (a) Motrer qu ue suite covergete est ue suite de Cauchy. (b) Motrer qu ue suite de Cauchy est borée. (c) E utilisat le théorème de Bolzao-Weierstrass complexe (ex. précédet), motrer qu ue suite de Cauchy est covergete. (d) Démotreràl aideducritèredecauchyqu étatdoéuesuite(u ),silasuitedetermegééralt = u est covergete, alors la suite de terme gééral s = u est aussi covergete. (a) Motrer qu ue suite réelle borée est divergete si et seulemet si elle possède deux sous-suites covergeat vers des limites distictes. (b) Motrer qu ue suite réelle est divergete de deuxième espèce (autremet dit : a pas de limite, i fiie, i ifiie) si et seulemet si elle possède deux sous-suites ayat des limites distictes. (c) Étedre le (a) aux suites complexes. SUITES RÉCURRENTES 39. : O cosidère la suite récurrete défiie par so premier terme u 0 et la relatio u =f(u ) où f (x) =ax(4 x). (a) Cas a =,u 0 = ; costruire les premiers termes de la suite das ue figure, puis l étudier. (b) Exceptioellemet o peut calculeru das le cas précédet : vérifier que u = u, et e déduire u e foctio de. (c) Cas a = 3 4,u 0 = ; costruire les premiers termes de la suite das ue figure, puis l étudier. Idicatio : f (f (x)) x = x 64 (3x 8)3. (d) Cas a = ; que se passe-t-il pour u 0 = 3? Et pour u 0 = 3,? (O e demade pas d étude précise mais de costruire les premiers termes de la suite). Commeter les figures ci-dessous. 40. Etudier la suite défiie par u 0 =, u = u. 9

10 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 5 (a) Idicatio : f (f (x)) x =x(x )(x a)(x+/a) avec a =. 4. : Méthode de Héro pour calculer ue racie carrée. 4. : 43. : (Héro d Alexadrie, mathématie grec du Ier siècle après J.C. ; mais la méthode était coue des Babyloies). Soit a u réel >. (a) Motrer que si x est u réel > 0, x< a a x > a. (b) Étudier la suite récurrete (appelée la suite de Héro) défiie par u 0 = a, u = fait ue figure. (c) O pose v = a u ; étudier (v ). (d) Détermier par cette méthode ue valeur approchée de à 0 5 près. (e) Motrer que u v (u v ) et e déduire u majorat de u v. ous allos maieteat obteir u meilleur majorat. a v = a+v (f) * O pose U = u a u + a déduire que u a (a+ a)ε avec ε = u v. u + a après avoir u ; calculer U e foctio de U et e déduire U = (U 0 ) puis e a et a v ( a)ε. Doer efi u majorat de a+ (g) * Pour obteir à 0 00 près, pour quelle valeur de suffit-il de calculer u et v.? (a) Etudier la suite récurrete (faire ue figure) : u 0 =, u =u u. (b) Motrer que lim = et e déduire, e admettat le lemme de l escalier (exercice. (d)) que u u u. (a) Etudier la suite récurrete (faire ue figure) : u 0 = et u =u + u. (b) Motrer que u u et e déduire, e admettat le lemme de l escalier (exercice. (d )), que u. (c) Autre méthode évitat le recours au lemme de l escalier : Motrer que u u +u u ; sommer ces iégalités pour allat de à ; e déduire que u u et coclure. u 44. * : Étudier la suite défiie par :.u 0 = a C.u + = (u + u ) COMPARAISON DES SUITES 45. : (a) Classer par ordre croissat pour la relatio <<. ( ) ; ; () ; ; ; ; ;. 0

11 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (b) Comparer et! pour la relatio << (idicatio : poser u =! la comparaiso de et ()!. (c) Itroduire! et ()! das la liste du (a). et détermier lim u + u ) ; e déduire 46. Vrai ou faux? N (a) Soiet (u ), (u u > 0,v ),(v ) des suites réelles vérifiat : > 0 u u (b) Si u + a, alors u u 0 a. u u (c) Si v alors u u 3 v v v. u u (d) Si v alors u u 0 v v v v u ; alors u +v u +v. (e) Si limu = alors limu + =. N u > 0,v (f) Si > 0 et f est ue foctio strictemet croissate surr u <<v +, alors f (u )<<f(v ). 47. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes > 0 ; Motrer que u = o(v ) λ>0 u λv APCR u = O(v ) λ>0 u λv APCR 48. * : Comparer et! (α>0) pour la relatio <<. α (a) E utilisat la formule de Stirlig. (b) Sas l utiliser (sauf le cas α =e). u v λ> µ ]0,[ µv u λv APCR 49. : Motrer que si limu = 0 et limv = 0 alors (siu siv ) (u v ) et (e u e v ) (u v ). 50. * : Aire d u disque et aire des polygoes réguliers iscrits et circoscrits. (a) Motrer qu u triagle isocèle de côté a, de hauteur h et d agle au sommet θ a pour aire a siθ =h ta θ. (b) SoitD u disque de rayor; motrer que l aire d u polygoe régulier iscrit àcôtés vauts = π si R et détermier de même l aire S d u polygoe régulier circoscrit à côtés. (c) Motrer que lims et lims sot bie égales à ce que l o souhaite et détermier u équivalet simple des S quad : Détermier u équivalet simple pour chacue des suites ci-après, puis leur limite si elle existe. (a) (b) =0 (c) ( ) ( état fixé) (d) (+) p ( ) p (p etier positif fixé) (e) (+) p p (p+) (p etier positif fixé) (f) + (g) + (h) + (i) 3

12 EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 (j) () + (l) + (m) () l 4 l (o) 3 l (p) + (q) + (r) ( ) + + (s) ( ) + +(4 ) (t) ()! (u) (+) (v) ( ) (w) (+) (x) (+) e Réposes : a. ; b. ;. ;l. 3 ; m. ;. (e ). ; c.! ; d. pp ; e. p(p ) p ; f. ; g. ; h. ; i. (l) ; o. ; q. + ; r. ; s.. ;t. ()! ;u. e ; v. ; j. e ; w.