Suites réelles et complexes

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1 Table des matières Suites réelles et complexes 1 Généralités Qu est-ce qu une suite? Différents modes de définition d une suite Opérations sur les suites Un peu de vocabulaire Convergence et limite d une suite de réels 3.1 Définition de la convergence et de la limite Premières propriétés Opérations sur les limites Suites extraites, suites adjacentes Suites extraites Théorème de la limite monotone Suites adjacentes Quelques compléments Suites de réels divergentes vers ± Suites de complexes Comparaison des suites Relation est négligeable devant Comparaison de quelques suites de référence Relation est équivalente à Relation est un grand O de Suites définies par l itération d une fonction Suites récurrentes linéaires du premier ordre Suites récurrentes linéaires du deuxième ordre Trois exercices corrigés La série harmonique alternée Une suite croissante Une suite définie implicitement Généralités 1.1 Qu est-ce qu une suite? Définition : soit E un ensemble. Une suite d éléments de E est une fonction u de N dans E. Nous la noterons aussi (u n ) n N ; nous parlerons également de la suite de terme général u n. Cette définition est trop restrictive puisque, par exemple, elle ne permet pas de parler de la suite de terme général 1/n. Nous nous autoriserons donc à manipuler des suites dont le terme général u n est défini à partir d un certain rang (en abrégé : APCR). Par exemple, la suite de terme général 1/n est définie à parti du rang 1, et peut donc être notée (1/n) n 1. En pratique, un laxisme très courant nous autorise à noter (u n ) la suite, sans expliciter précisément le rang à partir duquel elle est définie. 1

2 Nous nous intéressons essentiellement aux suites de réels. Nous donnerons également quelques notions sur les suites de complexes. D autre part, nous aurons l occasion de rencontrer des suites de vecteurs, de matrices, de fonctions (ce dernier cas menant par exemple à la théorie de Fourier). 1. Différents modes de définition d une suite La façon la plus simple de définir une suite est de donner une formule permettant de calculer son terme général ; par exemple, nous pouvons parler de la suite de terme général u n = (n + 1) n. Une autre façon très courante de définir une suite consiste à donner le premier terme (disons u 0 ) et une formule permettant de calculer u n+1 en fonction de u n. Voici un exemple : la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = u n + exp(u n ). Une façon un peu plus compliquée consiste à définir le terme général de la suite, comme la solution d une équation dans laquelle n apparaît comme paramètre. Si cette équation est bien choisie, elle possède une et une seule solution, pour tout n. C est le cas par exemple de la suite de terme général (x n ) n N, où x n est l unique solution de l équation exp( x) = nx. 1.3 Opérations sur les suites Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels, définies respectivement à partir des rangs n 1 et n, et λ un réel. Nous pouvons alors définir les suites u + v, λu et u v comme suit : (u + v) n = u n + v n pour n max(n 1,n ) ; (λu) n = λu n pour n n 1 ; et (u v) n = u n v n pour n max(n 1,n ). Nous pouvons également appliquer une fonction f à une suite (u n ), à condition qu il existe un rang n 0 à partir duquel tous les u n sont dans l ensemble de définition de f. Par exemple, en appliquant la fonction ln à la suite de terme général u n = n, nous obtenons la suite ( ln(n) ) n Un peu de vocabulaire Nous dirons qu une suite de réels (u n ) est : croissante si u n+1 u n quel que soit n ; exemples : n, n, n!, e n, ln(n) ; croissante APCR s il existe un indice n 0 tel que n n 0 implique u n+1 u n ; exemples : n, n, n!, e n, ln(n) ; décroissante si u n+1 u n quel que soit n ; exemples : 1/n, 1/n, e n ; strictement croissante si u n+1 > u n quel que soit n ; strictement décroissante si u n+1 < u n quel que soit n ; monotone si elle est croissante ou décroissante ; strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante ; constante si u n+1 = u n quel que soit n ; stationnaire s il existe un rang n 0 tel que u n+1 = u n quel que soit n n 0 ; remarquons que stationnaire veut dire constante APCR ; périodique, de période p > 0, si u n+p = u n quel que soit n ; exemple : ( 1) n ; périodique APCR, de période p > 0, s il existe un rang n 0 tel que u n+p = u n quel que soit n n 0 ; majorée s il existe M R tel que u n M quel que soit n ; exemples : ( 1) n, /cos(n) ; minorée s il existe m R tel que u n m quel que soit n ; bornée s il existe M 0 tel que u n M quel que soit n. Exercice : : exhibez une suite qui n est ni croissante, ni décroissante, ni majorée, ni minorée. Remarque: une suite de réels (u n ) est croissante ssi u n+k u n quels que soient n et k entiers.

3 Convergence et limite d une suite de réels.1 Définition de la convergence et de la limite Définition : soient (u n ) une suite de réels et l R. Nous dirons que la suite (u n ) converge vers l, et nous noterons lim u n = l, ou encore u n l, si: n n quel que soit ε > 0, il existe un rang n ε tel que u n l ε pour tout n n ε. Voici une autre formulation : la suite (u n ) converge vers l ssi, quel que soit ε > 0, il n existe qu un nombre fini de termes qui ne sont pas dans l intervalle [l ε,l + ε].. Premières propriétés Proposition : la limite d une suite, si elle existe, est unique. Preuve : par l absurde. Supposons que (u n ) possède deux limites l et l distinctes. Notons ε = l l. Comme 3 (u n ) converge vers l, il existe un rang n ε à partir duquel u n l ε. De même, il existe un rang n ε à partir duquel u n l ε. Alors, pour n max(n ε,n ε), nous aurons : 3ε = l l = l u n + u n l u n l + u n l ε Ce qui nous donne 3, puisque ε > 0. D où la contradiction. Proposition : modifier un nombre fini de termes de la suite (u n ) ne change ni sa convergence, ni sa limite. Preuve : supposons (u n ) convergente vers l. Notons (v n ) la suite déduite de (u n ) par modification d un nombre fini de ses termes, et N le plus grand indice d un terme modifié. Soit ε > 0 ; il existe un rang n ε à partir duquel u n l ε. Alors, pour n max(n + 1,n ε ), nous aurons v n l = u n l ε. Proposition : une suite u converge vers 0 ssi la suite u converge vers 0. Preuve : il suffit de remarquer que un 0 = un 0. Proposition : toute suite convergente est bornée. Preuve : notons l la limite de la suite, et fixons ε > 0. Soit n ε un rang à partir duquel tous les termes sont dans l intervalle [l ε, l+ε]. L ensemble des termes qui ne sont pas dans cet intervalle est donc fini, et par suite borné. Notons m (resp. M) un minorant (resp. un majorant) de cet ensemble. Alors min(m,l ε) u n max(m,l+ε) pour tout n. Remarque: la réciproque est fausse, comme le montre la suite de terme général ( 1) n : pour l 0, nous aurons ( 1) n+1 l 1 > 1/ quel que soit n N. La suite possède donc une infinité de termes situés hors de l intervalle [l 1/,l + 1/]. Raisonnement analogue si l 0. Proposition : si u n 0 et si v est bornée, alors (u nv n ) 0. n n Preuve : soit M 0 un majorant de la suite de terme général v n. Fixons ε > 0 ; soit n ε un rang à partir ε duquel u n M + 1. Alors u nv n Mε M + 1 ε pour tout n n ε..3 Opérations sur les limites Proposition : soient (u n ) et (v n ) deux suites qui convergent respectivement vers l et l. Alors la suite de terme général u n + v n converge vers l + l. Preuve : fixons ε > 0. Il existe un rang n ε (resp. n ε) à partir duquel u n l ε/ (resp. v n l ε/). Du coup, pour n max(n ε,n ε), nous aurons : (u n + v n ) (l + l ) = (u n l) + (v n l ) u n l + v n l ε/ + ε/ = ε Proposition : soient (u n ) une suite qui converge vers l et λ un réel. La suite de terme général λu n converge vers λl. ε Preuve : fixons ε > 0. Il existe un rang n ε à partir duquel u n l 1 + λ. Alors, pour n n ε, nous aurons : λu n λl = λ u n l λ 3 ε 1 + λ ε

4 Proposition : soient (u n ) et (v n ) deux suites qui convergent respectivement vers l et l. Alors la suite de terme général u n v n converge vers l l. Preuve : fixons ε > 0. La suite (u n ) converge, donc est bornée : soit M majorant u n pour tout n. Il existe un rang n ε (resp. n ε ε) à partir duquel u n l M + 1 (resp. v n l ε l + 1 ). Alors, pour n max(n ε,n ε), nous aurons : u n v n ll = un (v n l ) + l (u n l) un v n l + l u n l Mε M l ε l + 1 ε Proposition : si la suite (u n ) converge vers l > 0, alors u n l/ APCR. Preuve : fixons ε = l/. Il existe un rang n ε à partir duquel u n l ε, soit l u n l l/, et donc u n l/. Proposition : si les suites (u n ) et (v n ) convergent respectivement vers l et l 0, alors on peut parler de la suite de terme général u n et cette dernière converge vers l v n l. Preuve : sans perte de généralité, nous pouvons supposer l > 0. D après le résultat précédent, il existe un rang n 1 à partir duquel v n l / (et donc v n > 0). Fixons ε > 0. La convergence des deux suites implique l existence d un rang n ε à partir duquel u n l l ε 4 et v n l l ε ( l + 1). Alors, à partir du rang max(n 1,n ε ), nous aurons : u n l u n l v n l = v n l v n l = (u n l)l + l(l v n ) v n l Proposition : si u est à termes positifs et converge vers l, alors l 0. u n l + l v n l v n v n l ε + ε = ε Preuve : par l absurde : supposons l < 0. Alors, d après la proposition.3, nous aurions u n l/ à partir d un certain rang, ce qui contredirait le fait que la suite soit à termes positifs. Théorème : (des trois suites). Soient (a n ), (b n ) et (c n ) trois suites de réels. Si (a n ) et (c n ) convergent vers une même limite l, et si a n b n c n APCR, alors (b n ) converge vers l. Preuve : nous avons 0 b n a n c n a n APCR. Comme la suite de terme général c n a n converge vers 0, il en est de même de celle de terme général b n a n, donc (b n ) converge vers la limite commune de (a n ) et (c n ). Ce théorème porte un tas de noms folkloriques, qu il est recommandé de ne pas utiliser. Lorsque vous appliquez ce théorème, contentez-vous de la formule par encadrement, nous avons la convergence souhaitée. Théorème : soient : I un intervalle de R ; (u n ) une suite à valeurs dans I, APCR ; et f une fonction continue de I dans R. Si la suite (u n ) converge vers l I, alors la suite de terme général f(u n ) converge vers f(l). Ce théorème sera admis (provisoirement) ; il fera l objet d une preuve dans le chapitre consacré aux fonctions continues. 3 Suites extraites, suites adjacentes 3.1 Suites extraites Définition : une extraction est une fonction s : N N strictement croissante. Exemples : les fonctions n n, n n, n n et n p n (où p n désigne le n-ième nombre premier) sont des extractions. Proposition : toute extraction s vérifie s(n) n pour tout n. Preuve : par récurrence. Nous avons déjà s(0) 0. Supposons s(n) > n acquise ; alors s(n + 1) > s(n) n, donc s(n + 1) > n + 1. Définition : une suite v est extraite d une suite u s il existe une extraction s telle que v = u s, c est-à-dire v n = u s(n) pour tout n. Proposition : la composée de deux extractions est une extraction. Conséquence : si w est extraite d une suite v, elle-même extraite d une suite u, alors w est également extraite de u. 4

5 Remarque: la composition d extractions se fait de gauche à droite. Donnons un exemple : s : n n et t : n n sont deux extractions. Appliquons-les dans cet ordre à une suite u = (u 0,u 1,u,u 3,...) ; nous aurons v = u s = (u s(0),u s(1),u s(),u s(3),...) = (u 0,u,u 4,u 6,...) Puis : w = v t = (v t(0),v t(1),v t(),v t(3),...) = (v 0,v 1,v 4,v 9,...) = (u 0,u,u 8,u 18,...) = (u s(t(0)),u s(t(1)),u s(t()),u s(t(3)),...) = (u (s t)(0),u (s t)(1),...) Donc w = u s t. Proposition : une suite u converge vers l ssi toute suite v extraite de u converge vers l. Ce théorème sert à montrer qu une suite u ne converge pas vers l : il suffit d exhiber une suite v extraite de u, qui ne converge pas vers l. Exemple : la suite de terme général ( 1) n ne converge pas, puisque la suite extraite des termes d indice pair converge vers 1, tandis que la suite extraite des termes d indice impair converge vers 1. Proposition : si les suites extraites (u n ) et (u n+1 ) convergent toutes deux vers une même limite l, alors (u n ) converge vers l. Preuve : fixons ε > 0. Il existe un rang n ε (resp. n ε) tel que u n l ε (resp. u n+1 l ε) pour tout n n ε (resp. n n ε). Donc pour n max(n ε,n ε + 1), nous aurons u n l ε. 3. Théorème de la limite monotone Théorème : (de la limite monotone) toute suite de réels croissante et majorée converge. Ce théorème sera admis. Il nous est indispensable pour la preuve du théorème des suites adjacentes. 3.3 Suites adjacentes Définition : deux suites (a n ) et (b n ) de réels sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes : (a n ) est croissante ; (b n ) est décroissante ; la suite de terme général b n a n converge vers 0. Théorème : (des suites adjacentes) si deux suites de réels sont adjacentes, alors elles convergent vers une même limite. Preuve : commençons par montrer que b n a n pour tout n : si ce n était pas le cas, il existerait un rang n 0 tel que b n0 a n0 < 0. Compte tenu du sens de variation des deux suites, nous aurions b n a n b n0 a n0 pour tout n n 0, et ceci contredirait la convergence de b n a n vers 0. Nous en déduisons a n b p quels que soient les indices n et p. En effet a n a n+p b n+p b p. Mais alors la suite (a n ) est croissante et majorée (par b 0 ), donc elle converge ; de même, (b n ), qui est décroissante et minorée (par a 0 ) converge. Comme la suite de terme général b n a n converge vers 0, nous pouvons conclure que les deux suites (a n ) et (b n ) ont la même limite. Exemple : nous étudions la série harmonique alternée (qui a été étudiée plus haut, au 3.3) ; son terme général est S n = k + 1. Ses premiers termes sont 1, 1/, 5/6 et 7/1. Notons a n = S n et b n = S n+1 ; nous constatons que: a n+1 a n = S (n+1) S n = 0 k n+ b n+1 b n = S (n+1)+1 S n+1 = 0 k n+3 k k n k + 1 k + 1 = 1 n n + < 0 0 k n+1 k + 1 = 1 n n + 4 > 0 5

6 Ceci montre que la suite (a n ) est décroissante, tandis que la suite (b n ) est croissante. Observons que a n b n = S n S n+1 = k + 1 k + 1 = 1 qui converge manifestement vers 0. Donc les suites n + 0 k n 0 k n+1 (a n ) et (b n ) convergent vers une même limite. On peut montrer que celle-ci est ln(). 4 Quelques compléments 4.1 Suites de réels divergentes vers ± Définition : nous dirons que la suite de réels (u n ) diverge vers + si, pour tout réel M, il existe un rang n M à partir duquel u n M. Exemples : les suites de termes généraux respectifs n, n, n, n! divergent vers +. Proposition : si (u n ) diverge vers +, et si v n u n APCR, alors (v n ) diverge vers +. Si (u n ) diverge vers +, et si (v n ) est bornée ou diverge vers +, alors la suite de terme général u n + v n diverge vers +. Proposition : soit (u n ) une suite de réels croissante. Si cette suite est majorée, alors elle converge ; sinon, elle diverge vers +. Preuve : le premier cas découle du théorème 3.. Pour le deuxième cas : soit M R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe un indice n M tel que u nm M ; mais la suite est croissante, donc u n M pour tout n n M. 4. Suites de complexes Proposition : soit (u n ) une suite de complexes et z C. La suite (u n ) converge vers z ssi la suite de terme général x n = R(u n ) (resp. y n = I(u n )) converge vers a = R(z) (resp. b = I(z)). Preuve : sens direct : x n a u n z, donc, si (u n ) converge vers z, alors (x n ) converge vers a ; par raison de symétrie, (y n ) converge vers b. Réciproque : supposons que (x n ) (resp. (y n )) converge vers a (resp. b). Alors : u n z = (xn + iy n ) (a + ib) = (xn a) + i(y n b) = x n a + y n b Le dernier terme converge vers 0, donc z n n 0. 5 Comparaison des suites Remarque: toutes les suites considérées dans cette partie sont à termes non nuls APCR. 5.1 Relation est négligeable devant Définition : la suite (u n ) est négligeable devant la suite (v n ) si la suite de terme général u n v n converge vers 0. Ceci a bien sens, puisque (v n ) est à termes non nuls APCR. Notation : nous noterons u n = o(v n ), et nous dirons que u n est un petit o de v n lorsque n tend vers l infini. Proposition : la relation est négligeable devant est transitive ; elle est, en un certain sens, compatible avec l addition et la multiplication : si u n et v n sont des o(x n ), alors u n + v n = o(x n ) ; si u n = o(v n ), alors u n x n = o(v n x n ). Remarque: on peut avoir u n () = o(x n ) et v n = o(y n ), sans avoir u n + v n = o(x n + y n ). 5. Comparaison de quelques suites de référence Nous nous proposons de comparer les suites de termes généraux respectifs n a, (lnn) b, c n, n!. Commençons par établir un résultat utile pour la suite. Proposition : soit (u n ) une suite à termes non nuls APCR. S il existe un réel k [0,1[ tel que u n+1 k u n APCR, alors la suite (u n ) converge vers 0. 6

7 Preuve : soit n 0 un rang à partir duquel l inégalité est vérifiée. Alors, pour n n 0, nous aurons : u n = u j+1 u n0 u j 0 j<n n 0 = u j+1 k = k n n0 u j 0 j<n n 0 0 j<n n 0 Donc la suite (u n ) n n0 converge vers 0 ; il en est donc de même de la suite (u n ). Proposition : soient α > 0, β > 0 et γ > 1. Alors ln α (n) = o(n β ), n β = o(γ n ) et γ n = o(n!). ln α ( ) α ( ) α ( ) α ( (n) Preuve : n β = lnα (n) ln(n) α (n β/α ) = = α n β/α β ln(nβ/α ) α ln(n β/α ) α ) = n β/α β n β/α Nous savons que ln(x) x n Notons u n = nβ γ n. Alors u n+1 u n = 0 ; ceci permet de conclure. (n + 1)β γ n+1 γn n β = 1 ( n + 1 ) β. γ n La suite de terme général n + 1 n La proposition 5. permet de conclure. Noton v n = γn n!. Alors v n+1 = γn+1 v n (n + 1)! n! γ n = γ n + 1. converge vers 1, donc celle de terme général u n+1 u n converge vers k = 1 γ < 1. La suite de terme général v n+1 v n converge vers 0 : ici encore, nous pouvons conclure avec la proposition Relation est équivalente à Définition : la suite (u n ) est équivalente à la suite (v n ) si la suite de terme général u n v n converge vers 1. Nous noterons un ñ v n. Proposition : la relation est équivalente à est réflexive, symétrique et transitive. Elle est compatible avec la multiplication. Proposition : la suite (u n ) est équivalente à la suite (v n ) ssi u n v n = o(v n ). Remarque: aucune suite ne peut-être équivalente à une suite nulle APCR. La relation d équivalence des suites n est pas compatible avec l addition ; retenez le commandement suivant : TU NE SOMMERAS POINT D ÉQUIVALENTS! 5.4 Relation est un grand O de Définition : nous dirons que (u n ) est un grand O de (v n ) si la suite de terme général u n v n est bornée. Nous noterons u n = O(v n ). Exemples : n est un O de 5n, n 3, n, n!, mais aussi de O(n /7). Si (u n ) converge, alors u n est un O(1). Proposition : si u n = O(x n ) et v n = O(x n ), alors u n + v n = O(x n ). Si u n = o(v n ) et v n = O(w n ), alors u n = o(w n ) ; même conclusion si u n = O(v n ) et v n = o(w n ). 6 Suites définies par l itération d une fonction Soient I un intervalle de R et f une fonction de I dans R. Nous dirons que f est itérable si f(i) I ; dans ce cas, les fonctions f f, f f f,... sont toutes définies sur I et à valeurs dans I. Nous pouvons définir l image de x I par la n-ième itérée de f : f [0] (x) = x, et f [n+1] (x) = f [n]( f(x) ) pour tout n N. Exemple : fixons a > 0. Définissons une suite (x n ) de réels strictement positifs par la donnée de x 0 > 0 (quelconque) et la relation x n+1 = 1 ( x n + a ). La suite de terme général x n converge vers a ; on peut x n montrer que la convergence est quadratique, c est-à-dire : le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération. Cette méthode est effectivement mise en œuvre dans certaines bibliothèques de calcul numérique. Nous nous intéressons maintenant aux suites (de réels ou de complexes) dont le terme général u n vérifie u n+1 = au n + b (suites récurrentes linéaires du premier ordre) puis à celles dont le terme général u n+ = au n+1 + bu n (suites récurrentes linéaires du deuxième ordre). 7

8 6.1 Suites récurrentes linéaires du premier ordre Soit (u n ) vérifiant u n+1 = au n + b. Le cas a = 1 est banal (suite arithmétique), de même que le cas b = 0 (suite géométrique). Nous supposons donc a 1 et b 0. Si une telle suite convege vers l, alors l = al + b, soit l = b 1 a. Notons alors v n = u n l : la suite (v n ) vérifie v n+1 = av n, elle est donc géométrique de raison a. La suite (u n ) converge vers l ssi a < 1 ou a = Suites récurrentes linéaires du deuxième ordre Notons E a,b l ensemble des suites (u n ) vérifiant u n+ = au n+1 + bu n. Remarquons que E a,b n est pas vide (il contient la suite nulle), et qu il est stable pour l addition des suites, ainsi que pour la multiplication d une suite par un scalaire. Commençons par exhiber des suites de terme général r n appartenant à E a,b ; nous aurons donc r n+ = ar n+1 + br n pour tout n N, et en particulier pour n = 0, ce qui nous donne r = ar+b, qui est l équation caractéristique associée à E a,b. Si = a + 4b 0, alors l équation possède deux solutions r 1 = a 4δ et r = a + 4δ, où δ et δ sont les racines carrées complexes de. Compte tenu de ce qui a été signalé plus haut, la suite de terme général λ(r 1 ) n + µ(r ) n appartient à E a,b. Nous admettrons que tout élément de E a,b est de cette forme. Si = a +4b = 0, alors l équation possède une solution double r = a/. La suite de terme général r n appartient à E a,b. Montrons qu il en est de même de la suite de terme général x n = nr n. Notons que b = a /4. Alors : x n+ = (n + )r n+ = (n + )(ar n+1 + br n ) = (n + 1)ar n+1 + nbr n + ar n+1 + br n = ax n+1 + bx n + (ar + b)r n = ax n+1 + bx n Ceci car ar + b = a / a / = 0. À nouveau, nous admettrons que tout élément de E a,b est de cette forme. Exemple : la suite de Fibonacci, de terme général F n, est définie par la donnée de F 0 = 0, F 1 = 1 et la relation de récurrence F n+ = F n+1 + F n. L équation caractéristique associée r = r + 1 a pour solutions ϕ = et ϕ = 1 ϕ = 1 5. L expression du terme général est F n = ϕn ϕ n. 5 Remarque: le choix adopté ici pour les deux premiers n est pas le seul possible ; certains auteurs préfèrent le choix F 0 = F 1 = 1, d autres le choix F 0 = 1, F 1 =. 7 Trois exercices corrigés 7.1 La série harmonique alternée Il s agit de la suite de terme général S n = Partons de la formule 1 ( t) n+1 = (1 + t). Nous montrons qu elle converge vers ln(). k + 1 t k, que nous écrivons t = ( t)n+1 + t k. 1 + t dt 1 Intégrons les deux membres sur [0,1], il vient : t = t n+1 dt ( 1)n t + t k dt ; en évaluant l intégrale du membre de gauche, et la somme du membre de droite, il vient ln() = ( 1) n+1 k + 1 soit S n = ln() + R n, où R n = ( 1) n 0 R n = 0 0 t n+1 dt 1 + t Nous en déduisons R n n 0, puis S n n ln(). t n+1 dt 1 + t. Nous pouvons facilement encadrer R n : 8 0 t n+1 dt = 1 n t n+1 dt 1 + t +

9 7. Une suite croissante Nous nous intéressons à la suite définie par la donnée de son premier terme u 0 et la relation de récurrence u n+1 = u n + (u n ). Il est clair que cette suite est croissante. Supposons qu elle converge vers un réel l; alors, en passant à la limite dans les deux membres, nous obtenons l = l + l, donc l = 0 ; ce qui nous amène à une discussion selon la valeur de u 0 : si u 0 > 0, alors la suite diverge vers + ; si u 0 < 1, alors u 1 > 0, même conclusion que pour le cas précédent si u 0 = 0, la suite est constante ; si u 0 = 1, alors u 1 = 0, donc la suite est stationnaire ; il reste le cas 1 < u 0 < 0 ; remarquons que, si 1 < x < 0, alors x + x > 1 clairement ; et x + x = x(1 + x) < 0 ; une récurrence immédiate nous montre alors que tous les termes de la suite sont dans l intervalle ] 1,0[. En particulier, notre suite, qui est croissante, est majorée par 0 et donc converge vers Une suite définie implicitement Nous nous intéressons à la suite dont le terme général x n est l unique solution sur R de l équation exp( x) = nx. Commençons par prouver l existence et l unicité de x n : la fonction f n : x R nx e x est définie, continue et strictement croissante sur R. Elle réalise donc une bijection de R = ],+ [ sur ] lim f n, lim f n [ = ],+ [ = + R. Observons au passage que f n (0) = 1, donc x n > 0. L équation dont x n est solution peut s écrire x n = e xn n ; comme x n > 0, nous en déduisons l encadrement 0 < x n < 1 n, qui permet de conclure : la suite (x n) converge vers 0. Montrons (en prime) que la suite (x n ) est décroissante. f n+1 (x n ) = (n + 1)x n exp( x n ) = nx n exp( x n ) + x n = f n (x n )+x n = x n > 0 = f n+1 (x n+1 ). Comme la fonction f n+1 est strictement croissante, nous en déduisons x n > x n+1, donc la suite (x n ) est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite l 0. FIN [Suites] Version du 4 octobre 010 9