Analyse M1 ENSM. Ch. Menini

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1 Anlyse M1 ENSM Ch. Menini 10 jnvier 2013

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3 Tble des mtières 1 Suites et séries numériques Premiers résultts sur les suites numériques Suites monotones et conséquences Exemples de référence Comprison Suites rithmético-géométrique Suites homogrphiques Suites récurrentes réelles Méthode de Newton Suites récurrentes linéires Premiers résultts sur les séries numériques Séries de nombres réels positifs Produit de Cuchy Exercices Fonctions d une vrible réelle Générlités Continuité Dérivbilité Formules de Tylor Fonctions convexes Exercices Intégrtion Intégrtion sur un segment Fonction continue pr morceux Intégrle d une fonction continue pr morceux Cs des fonctions continues sur un segment Clcul des vleurs pprochées d une intégrle Extension ux fonctions à vleurs complexes Intégrtion et dérivtion Théorème fondmentl Clcul de primitives Intégrtion sur un intervlle quelconque Intégrle générlisée Fonctions intégrbles à vleurs positives Fonctions intégrbles à vleurs complexes Intégrtion et suites de fonctions Cs de l intégrtion sur un segment Convergence dominée Intégrles à prmètre Cs des intégrles sur un segment Cs des intégrles sur un intervlle quelconque Exercices

4 4 TABLE DES MATIÈRES 4 Espces vectoriels normés Générlités Topologie d un espce vectoriel normé Etude locle d une ppliction, continuité Suites dns un espce vectoriel normé Complétude Compcité Connexité Applictions linéires continues Cs prticulier des espces vectoriels normés de dimension finie Exercices Suites et séries de fonctions - Séries entières - Séries de Fourier Suites et séries de fonctions Convergence simple, convergence uniforme, convergence normle Lien vec l intégrtion et l dérivtion Séries entières Ryon de convergence Série entière d une vrible réelle Séries de Fourier Coefficients de Fourier Convergence en moyenne qudrtique Convergence ponctuelle Exercices Equtions différentielles Equtions linéires - cs des fonctions à vleurs dns R ou C Equtions linéires du premier ordre Equtions linéires du second ordre à coefficients constnts Equtions différentielles linéires - cs des fonctions à vleurs vectorielles Equtions linéires d ordre Equtions linéires à coefficients constnts Equtions linéires sclires d ordre Equtions différentielles non linéires Exercices Clcul différentiel et intégrles multiples Applictions continûment différentibles Fonctions numériques continûment différentibles Dérivées prtielles d ordre supérieur Intégrles multiples Intégrles doubles Intégrle sur une prtie simple du pln, notion d ire Exercices

5 Chpitre 1 Suites et séries numériques Rppelons u prélble une propriété de R qui est cpitle pour ce chpitre : Toute prtie non vide et mjorée de R dmet une borne supérieure. 1.1 Premiers résultts sur les suites numériques On désigne pr K le corps R ou C. Définition (Suite d éléments de K) Une suite de K est une ppliction de N dns K N K n u n notée (u n ) ou (u n ) n N. Une suite de K définie à prtir du rng n 0 est une ppliction de N [n 0, + [ dns K, on l note (u n ) n n0. L ensemble des suites de N dns K est noté K N. Proposition K N est un K-espce vectoriel. Définition Une suite (u n ) de R est dite mjorée, s il existe un réel M tel que pour tout entier n, u n M minorée, s il existe un réel m tel que pour tout entier n, u n m bornée, lorsqu elle est à l fois mjorée et minorée. Une suite (z n ) de C est dite bornée si l suite de réels ( z n ) est bornée. L ensemble des suites réelles (resp. complexes) bornées est noté B(R) (resp. B(C)). Proposition B(R) est un sous-espce vectoriel de R N. B(C) est un sous-espce vectoriel de C N. Définition Une suite (u n ) de K converge vers K si On note lors lim n u n =. ɛ > 0, p N, n p, u n ɛ. Une suite (u n ) de K est dite convergente s il existe un élément de K tel que (u n ) converge vers. Une suite non convergente est dite divergente. désigne ici l vleur bsolue lorsque K = R et le module lorsque K = C. Définition Une suite (u n ) de K est dite de Cuchy si Augustin Cuchy, Proposition ɛ > 0 n ɛ N, (n, p) N 2, n n ɛ p n ɛ u n u p ɛ. 1. Toute suite convergente est de Cuchy. 2. Pr construction de R, toute suite de Cuchy de R est convergente. 5

6 6 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Proposition (u n ) converge vers si et seulement si (u n ) converge vers 0. Si une suite converge vers et lors =. Toute suite convergente est bornée. Exercice 1 Enoncer et redémontrer les résultts concernnt les opértions lgébriques sur les limites. Vérifier qu un suite complexe (z n ) converge si et seulement si les deux suites réelles (Re(z n )) et (Im(z n )) convergent. Proposition Pssge à l limite et reltion d ordre : Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles convergent respectivement vers et, si de plus il existe un entier p tel que pour tout n p, u n v n lors. 2. Encdrement : Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles telles qu il existe un entier p tel que pour tout n p, u n v n w n. Si on suppose de plus que (u n ) et (w n ) convergent vers l même limite, lors (v n ) converge vers. 3. Si (u n ) converge vers 0 et (v n ) est bornée lors (u n v n ) converge vers 0. Démonstrtion : à fire. Pour le (1) donner ussi un exemple où = et u n < v n pour tout n. Définition Soit (u n ) une suite et ϕ une ppliction strictement croissnte de N dns N lors l suite (u ϕ(n) ) est ppelée suite extrite de l suite (u n ). l est dite vleur d dhérence de l suite u = (u n ) s il existe une suite extrite de (u n ) qui converge vers l. Proposition Si l suite (u n ) converge vers lors toute suite extrite de (u n ) converge vers. Démonstrtion : à fire. 1.2 Suites monotones et conséquences Dns cette prtie les suites considérées sont réelles. Définition L suite (u n ) est dite croissnte si pour tout entier n, u n u n+1, strictement croissnte si pour tout entier n, u n < u n+1, décroissnte si pour tout entier n, u n u n+1, strictement décroissnte si pour tout entier n, u n > u n+1, monotone si elle est croissnte ou décroissnte, strictement monotone si elle est strictement croissnte ou strictement décroissnte. Théorème (Limite monotone) Toute suite croissnte et mjorée est convergente. Toute suite décroissnte et minorée est convergente. Démonstrtion : à fire. Exercice 2 Montrer qu une suite croissnte est convergente si et seulement si elle est mjorée. Définition (Suites djcentes) les suites (u n ) et (v n ) sont dites djcentes si (i) l suite (u n ) est croissnte et l suite (v n ) est décroissnte (ii) l suite (u n v n ) converge vers 0 Théorème Deux suites djcentes sont convergentes et ont même limite. Démonstrtion : à fire. En reprennt les nottions de l définition des suites djcentes, on pourr commencer pr montrer que pour tout entier n, u n v n puis conclure grâce u théorème Exercice 3 Le fit que toute prtie non vide et mjorée de R dmet une borne supérieure nous permis d étblir le théorème de Limite monotone puis celui de convergence des suites djcentes. Montrer que si l on dmet le résultt de convergence des suites djcentes lors on peut en déduire que toute prtie non vide et mjorée de R dmet une borne supérieure (penser à l dichotomie). Exercice 4 On considère les suites ( n ) et (b n ) définies pr n = n 1 k! et b n = n + 1 n n!. Montrer que ces suites sont djcentes k=0 puis en déduire une démonstrtion de l irrtionlité de e.

7 1.3. EXEMPLES DE RÉFÉRENCE 7 Théorème (Segments emboités) Soit (S n ) une suite de segments S n = [ n, b n ] que l on suppose emboités (S n+1 S n ). Alors leur intersection S = S n est non vide. n N De plus si l suite (b n n ) converge vers 0, l intersection S est réduite à un point. Démonstrtion : à fire en s inspirnt de l démonstrtion du résultt sur les suites djcentes. Théorème (Bolzno-Weierstrss) De toute suite réelle bornée on peut extrire une sous-suite convergente. Démonstrtion : On note E = {u n, n N} l ensemble des vleurs prises pr l suite. Si E est fini montrer que l on peut construire une sous-suite de (u n ) qui est constnte. Si E est infini construire une suite de segments emboités contennt une infinité d éléments de E (penser à l dichotomie). Exercice 5 Ce résultt t-il un nlogue pour les suites complexes? 1.3 Exemples de référence Comprison Proposition Soit (u n ) une suite de réels strictement positifs, s il existe r ]0, 1[ tel que pour tout entier n, un+1 u n r lors l suite (u n ) converge vers 0. Démonstrtion : A fire, pour cel comprer l suite (u n ) vec l suite géométrique (r n ). Exercice 6 Toujours vec une suite (u n ) de réels strictement positifs, -t-on l même conclusion si l suite ( un+1 u n ) converge vers l [0, 1[? Se servir de ce résultt pour comprer les suites de références ( n ), (n α ), (n!), (n n ), ((ln n) β ) Suites rithmético-géométrique Proposition Soit (u n ) l suite rithmético-géométrique définie pr et b étnt des complexes rbitrires fixés, (, b) (0, 0). Alors si n N, u n+1 = u n + b, 1. = 1, l suite est rithmétique de rison b et u n = u 0 + nb. 2. b = 0, l suite est géométrique de rison et u n = u 0 n. 3. (, b) (1, 0), l suite uxiliire (v n ) définie pr v n = u n b 1 Démonstrtion : à fire. Que représente le complexe l = b Suites homogrphiques pour l fonction f définie pr f(x) = x + b? est géométrique de rison. Proposition Soient (, b, c, d) C 4 tels que c 0, d bc 0 et (u n ) l suite homogrphique définie pr u n+1 = u n + b cu n + d vec u 0 choisi de sorte l suite soit bien définie. Alors si l éqution x = x+b cx+d dmet deux solutions distinctes α et β, l suite uxiliire (v n ) définie pr v n = un α u n β est géométrique, une unique solution α, l suite uxiliire (v n ) définie pr v n = 1 u n α est rithmétique. Démonstrtion : à fire. Exercice 7 Si c = 0 quel type de suite t-on? Si c 0 et d bc = 0 quel type de suite t-on? Déterminer les conditions sur u 0 pour que l suite (u n ) soit bien définie, on distinguer les mêmes deux cs que dns l proposition ci-dessus (ind. si u k = d c que vut lors v k?).

8 8 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Suites récurrentes réelles Proposition Soit f une fonction définie sur un intervlle I et telle que f(i) I, soit I. L suite (u n ) définie pr { un+1 = f(u n ) u 0 = est définie pr récurrence. Si f est croissnte sur I lors l suite (u n ) est monotone, croissnte si f(u 0 ) u 0, décroissnte si f(u 0 ) u 0. Si f est décroissnte sur I lors les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones, l une est croissnte et l utre est décroissnte. De plus si f est continue sur I et si (u n ) converge vers l I lors f(l) = l. Démonstrtion : à fire, pr récurrence. Exercice 8 (Suite de Héron d Alexndrie, 1e siècle v JC) f est définie sur R + pr f(x) = 1 2 (x + 2 x ) et (u n) pr u 0 R +, u n+1 = f(u n ). Justifier que l suite est bien définie pr récurrence puis l étudier (monotonie et limite éventuelle) Méthode de Newton Proposition Soit f une fonction réelle de clsse C 2 sur un segment [, b] ( < b) et vérifint : 1. f()f(b) < 0, 2. f ne s nnule ps sur [, b], 3. f ne s nnule ps sur [, b]. Alors l éqution f(x) = 0 dmet une unique solution r sur [, b] et de plus r est l limite de l suite récurrente définie pr x n+1 = x n f(x n) f (x n ) et x 0 = si f est décroissnte et convexe ou si f est croissnte et concve, x 0 = b si f est croissnte et convexe ou si f est décroissnte et concve. Isc Newton, Démonstrtion : Justifier que l on ne peut voir que l un des 4 cs : f est décroissnte et convexe ou f est croissnte et concve ou f est croissnte et convexe ou f est décroissnte et concve. Justifier l existence et l unicité de l rcine. Pour le reste de l démonstrtion se plcer dns le cs f croissnte et convexe et x 0 = b. On note g l fonction définie sur [, b] pr g(x) = x f(x) f (x), vec ces nottions x n+1 = g(x n ). Pour comprendre le principe de construction de l suite (x n ), commencer pr déterminer l éqution de l tngente à l courbe représenttive de f u point de coordonnées (x n, f(x n )) puis en déduire une construction géométrique du point de coordonnées (x n+1, 0). Montrer que g([r, b]) [r, b] puis que l suite (x n ) est décroissnte et minorée pr r. Conclure. Exercice 9 On peut compléter ce résultt et s intéresser à l vitesse de convergence de l suite construite pr l méthode de Newton. x ) Montrer que lim n+1 r n x n r = 0. x b) Ecrire l formule de Tylor-Lgrnge pour f sur [r, x n ] puis en déduire que lim n+1 r n x n r = 1 f (2) (r) 2 2 f (r). Exercice 10 Quelle suite obtenez-vous si vous ppliquez l méthode de Newton pour le clcul pproché de l solution dns R + de l éqution x 2 2 = 0? Suites récurrentes linéires Proposition Soit p un entier non nul et 0,..., p 1 des complexes. L ensemble E p des suites complexes (u n ) telles que pour tout entier n u n+p + p 1 u n+p u n u n = 0 est un C-espce vectoriel de dimension p.

9 1.4. PREMIERS RÉSULTATS SUR LES SÉRIES NUMÉRIQUES 9 On dit que (u n ) est récurrente linéire d ordre p. Cs p = 2 : une bse de E 2 est dns le cs où x x + 0 = 0 dmet deux rcines distinctes α et β, {(α n ), (β n )}, dns le cs où x x + 0 = 0 dmet une rcine double α, {(α n ), (nα n 1 )}. Démonstrtion : à fire, on pourr commencer pr considérer l ppliction ϕ définie de C p dns E p pr ϕ(u 0,..., u p 1 ) = (u n ) (est-elle bien définie, nture de cette ppliction?). Pour trouver une bse on pourr trouver une condition nécessire et suffisnte pour que l suite ( n ) soit élément de E p. Exercice 11 (Suite de Fiboncci XII-XIII ième) Expression en fonction de n du terme générl de l suite récurrente linéire d ordre 2 définie pr u n+2 = u n+1 + u n, u 0 = u 1 = Premiers résultts sur les séries numériques Définition Soit (u n ) une suite à vleurs dns K. L série de terme générl u n prtielles (s n ) vec s n = n k=0 u k. On note l série u n. est l suite des sommes L série u n est dite convergente si l suite des sommes prtielles (s n ) converge, on note lors l limite + u n := lim s n et le reste d ordre p r p := n + Sinon elle est dite divergente. + n=p+1 u n. L limite est ppelée somme de l série. Proposition L ensemble des séries est un K-espce vectoriel, l ensemble des séries convergentes est un K- espce vectoriel. Proposition (Condition nécessire de convergence) Si l série u n converge lors l suite (u n ) converge vers 0. Démonstrtion : à fire. Avec l suite de terme générl u n = n + 1 n, montrer que cette condition n est ps suffisnte. Définition L série réelle u n est dite lternée si l suite (( 1) n u n ) est de signe constnt. Théorème (Séries lternées) Soit ( n ) une suite décroissnt vers 0, lors l série ( 1) n n est convergente et de plus r n n+1. Démonstrtion : Montrer que les suites des sommes prtielles d ordre pir (s 2n ) et des sommes prtielles d ordre impir (s 2n+1 ) sont djcentes. Exemple : L série hrmonique lternée n 1 cel considérer 1 n 0 k=0 ( t)k dt. ( 1) n+1 n n=0 converge. On peut montrer de plus que s somme vut ln 2, pour Théorème (Séries bsolument convergentes) Soit u n une série réelle ou complexe, si u n converge lors u n converge. L série u n est lors dite bsolument convergente. Démonstrtion : Utiliser que R ou C munis respectivement de l vleur bsolue ou du module sont complets. Vérifier que l suite des sommes prtielles d une série bsolument convergente est de Cuchy puis conclure. Définition Une série u n convergente mis non bsolument convergente est dite semi-convergente. Exemple : L série hrmonique lternée est semi-convergente. 1.5 Séries de nombres réels positifs Théorème On suppose que l suite (u n ) est à termes positifs lors l série u n converge si et seulement si l suite des sommes prtielles (s n ) est mjorée. Démonstrtion : Avec l hypothèse u n 0 pour tout entier n, on que l suite des sommes prtielles est une suite croissnte.

10 10 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Proposition (Séries de références) 1. q 0 et u n = q n, q n converge si et seulement si 0 q < α > 0 et u n = 1/n α, 1 n α converge si et seulement si α > 1. Démonstrtion : à fire. Théorème (Comprison) Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs telles qu il existe n 0 tel que pour tout n n 0, u n v n. Alors si v n converge lors u n converge, si u n diverge lors v n diverge. Démonstrtion : conséquence du théorème Exercice 12 Déduire du résultt précédent une démonstrtion élémentire que toute série bsolument convergente de R est convergente. On pourr considérer l suite uxiliire de terme générl v n = u n u n, que peut-on lors dire de l série v n? Corrolire Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs. Si u n = o(v n ) ou si u n = O(v n ) lors si v n converge lors u n converge, si u n diverge lors v n diverge. Si u n v n lors u n et v n sont de même nture. Démonstrtion : à fire. Proposition (Sommtion des reltions de comprison) Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs. Si u n = o(v n ) (resp. si u n = O(v n )) lors si v n converge + u k = o( + v k ) (resp. + u k = O( + v k )), k=n si u n diverge lors k=n k=n n u k = o( n v k ) (resp. k=0 k=0 Si u n v n lors lorsque les deux séries convergent + lorsque les deux séries divergent k=n n u n k=0 u k + k=n n u k = O( n v k )). k=0 v k n k=n v k k=0 Démonstrtion : Revenir ux définitions et sommez les inéglités. Dns le cs de l divergence pensez de plus que n l on lim u k = + cr ce sont des séries à termes positifs. n k=0 Théorème (Comprison d une série à une intégrle) Soit f une fonction continue pr morceux sur [0, + [, à vleurs réelles, positive et décroissnte, lors l série de terme générl u n = n f(t) dt f(n) est n 1 convergente. En prticulier l série f(n) converge si et seulement si f est intégrble sur [0, + [. Démonstrtion : Montrer que l série u n est à termes positifs et mjorée puis conclure. Exercice 13 Nture des séries de Riemnn 1 n, nture des séries de Bertrnd 1? α n(ln n) β Théorème (Comprison logrithmique) Soient u n et v n deux séries à termes strictement positifs, on suppose qu il existe un entier n 0 tel que pour tout n n 0, un+1 u n vn+1 v n lors si v n converge lors u n converge, si u n diverge lors v n diverge. Démonstrtion : Utiliser encore qu une série à termes positifs converge si et seulement si elle est mjorée. Corrolire (Règle de d Alembert) Soit u n une série à termes strictement positifs. Alors s il existe q ]0, 1[ et un entier n 0 tel que pour tout entier n n 0, un+1 u n q lors l série u n converge. u Ceci est vérifié en prticulier si lim n+1 n u n = l [0, 1[. s il existe q > 1 et un entier n 0 tel que pour tout entier n n 0, un+1 u n q lors l série u n diverge. u Ceci est vérifié en prticulier si lim n+1 n u n = l ]1, + [. k=0

11 1.6. PRODUIT DE CAUCHY 11 Démonstrtion : à fire en utilisnt le théorème de comprison logrithmique, pour l suite (v n ) prendre l suite géométrique. Corrolire (Règle de Rbe-Duhmel) Soit u n une série à termes strictement positifs et telle que u n+1 u n = 1 β n + o( 1 n ) lors si β > 1 l série u n converge, si β < 1 l série u n diverge. Démonstrtion : à fire en utilisnt le théorème de comprison logrithmique, pour l suite (v n ) prendre l suite de Riemnn, v n = n α. Exercice 14 Nture de l série de terme générl u n = ( 2n n ) /(n4 n )? 1.6 Produit de Cuchy Définition On ppelle produit de Cuchy de deux séries réelles ou complexes u n et v n, l série w n de terme générl w n = n k=0 u k v n k. Théorème Le produit de Cuchy w n de deux séries bsolument convergentes u n et v n est une série bsolument convergente et de plus w n = ( u n )( v n ). n=0 n=0 Démonstrtion : On note T n := {(k, l) N 2 0 k n, 0 l n k} et I n := {i N 0 i n}, insi T n In 2 T 2n (fire un dessin). Avec les nottions précédentes, on pose w n = n u k v n k et on n w j = u k v l, k=0 j=0 (k,l) T n de plus en notnt U n := n u j, V n := n v j et W n := n w j, nous vons j=0 j=0 j=0 n=0 W n U n V n W 2n. De l bsolue convergence des séries u n et v n on déduit que l série à termes positifs w n est convergente puis en pssnt à l limite que + j=0 w j = + j=0 u j + j=0 v j. Comme w n w n l série w n étnt bsolument convergente, elle est convergente et de plus n n n w j ( u j )( v j ) j=0 j=0 j=0 ce qui permet de conclure que + w n = ( + u n )( + v n ). Exercice 15 n=0 n=0 n=0 = u k v l (k,l) I n 2 \Tn U n V n W n ) Justifier l convergence de l série z n n! pour tout complexe z, on note e(z) = + n=0 zn n! l somme de l série. Montrer que e(z)e(z ) = e(z + z ). ( ) ( 1) n+1 b) Montrer que l série de terme générl est convergente. Qu en est-il de son crré de Cuchy? n + 1 n N

12 12 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES 1.7 Exercices Exercice 16 1) Les ffirmtions suivntes (portnt sur une suite (u n ) n ) sont-elles exctes? () Soit R. Si u n > pour tout n, et si (u n ) n converge vers une limite l R lors l >. (b) Si u n > 0 pour tout n et lim n u n = 0 lors (u n ) n est décroissnte à prtir d un certin rng. (c) (u n ) n converge si et seulement si lim n (u n+1 u n ) = 0. (d) Si u n > 0 et si (u n ) n n est ps mjorée lors lim n u n = +. (e) Si (u n ) n décroît et si u n v n lors (v n ) n décroît. (f) Si une suite réelle une limite strictement positive, tous ses termes sont positifs à prtir d un certin rng. Réciproque? (g) Une suite qui prend un nombre fini de vleurs converge si et seulement si elle est sttionnire à prtir d un certin rng. 2) Montrer que l suite n = 1/n + ( 1) n ne converge ps (en utilisnt l définition de l convergence). 3) Quels sont les liens entre l convergence de (u n ) n et celle de ( u n ) n? 4) Donner des exemples de suites de rtionnels (resp. irrtionnels) convergent vers un irrtionnel (resp. vers un rtionnel). 5) Si les 3 sous-suites (u 2n ) n, (u 2n+1 ) n et (u 3n ) n convergent, montrer que (u n ) n converge. 6) Si l suite (x 2n ) n tend vers le réel α et si l suite (x 2n+1 ) n tend vers le réel β, β α, montrer que l ensemble des vleurs d dhérence de l suite (x n ) n est l ensemble {α, β}. 7) Soient (u n ) n, (v n ) n deux suites convergentes de limites respectives u et v. Montrer que l suite (min(u n, v n )) n converge vers min(u, v). (Cs générl?) Exercice 17 Etudier l nture et déterminer l limite éventuelle des suites (u n ) n de terme générl : ) u n = n! n n, b) u n = nα β n, c) u n = nα (ln n) β, d) u n = n + n n, e) u n+1 = e u n, ( f) u n = 1 + n) x n, x R, Exercice 18- Moyenne de Cesro Soit (u n ) n une suite de nombres réels, on définit l suite v n = u u n. n 1) Montrer que si (u n ) n dmet une limite finie l, lors (v n ) n converge églement vers l. L réciproque est-elle vrie? On pose pour k 1, k = u k+1 u k. Montrer que u n v n = 1 n 1 n k=1 k k. En déduire que l réciproque est vrie si de plus on suppose lim k k k = 0. 2) Que peut-on dire si u n +? 3) On suppose que (u n+1 u n ) n dmet une limite (finie ou infinie). Montrer que u n ( ) n l. un+1 4) On suppose que u n > 0 pour tout n et que dmet une limite l ; montrer qu il en est de même pour u n n ( n u n ) n. Exercice 19- Théorème(s) du point fixe. 1. Soient E un espce métrique complet (pour simplifier on peut ussi prendre (R, ) ou (C, )) et f : E E une ppliction contrctnte : k [0, 1[, (x, y) E E, d(f(x), f(y)) kd(x, y). Soient E et (u n ) n l suite définie pr u 0 = et u n+1 = f(u n ). Montrer que (u n ) n est de Cuchy, que f dmet un unique point fixe (un élément α de E tel que f(α) = α) et que n 0, d(u n, α) k n d(u 1, u 0 ) 1 k. 2. (Sns les suites de Cuchy.) Soit f : [, b] [, b] une fonction continue. Montrer que f possède u moins un point fixe (on pourr utiliser le théorème des vleurs intermédiires). Si de plus f est contrctnte montrer que f dmet un unique point fixe (on obtient lors l même estimtion pour u n α ). 3. (Knster) Soit f : [, b] [, b] croissnte. Montrer que f possède u moins un point fixe. Pour cel on pourr considérer l ensemble E := {x [, b] x f(x)}, que peut-on dire de x 0 = sup E? 4. Soit f : [, b] [, b] continue, dérivble sur ], b[, de dérivée f bornée pr une constnte k, 0 k < 1. Montrer que f est contrctnte. Etudier l suite définie pr u 0 0 et n 0, u n+1 = sin 1 u n. Exercice 20- Développement déciml. 1. Etnt donné un nombre réel x [0, 1[, montrer qu il existe une suite (α n ) n de nombres entiers, α n {0, 1,..., 9} tels que x = + n=1 α n10 n.

13 1.7. EXERCICES Y -t-il unicité du développement? 3. Montrer que x Q si et seulement si le développement décimle de x est périodique à prtir d un certin rng. Exercice 21 Déterminer l nture des séries suivntes données pr leur terme générl, en fonction des prmètres éventuels. ( ) u n = sin π ) n ; b) u n = 2 4 (2n) n n ; c) u n = n + 1 n + 1 n n ; d) u n =, n 1 ; ( n n e) u n = n 1/n 1 1) ; f) un = 1 + z n, z C et z 1 ; g) u n = ( n ) ( n ) 3, R ; h) un = ) (n+1)π ln (1 + ( 1)n sin 2 x n α α > 0 ; g) u n = dx. x Exercice 22 nπ Soient α un réel strictement positif et u n = ( 1)n αn + 1. ) Quelle est l nture de l série de terme générl u n? b) Montrer que 1 1 u n = dt ; préciser cette somme pour α = 1, α = 2, 1 + tα n 0 0 Exercice 23 ( 1) n Soit u n = et v n + ( 1) n n = ( 1)n, n 1. Montrer que u n v n et déterminer l nture des séries n n 1 u n et n 1 v n. Exercice 24 ) Justifier l convergence et clculer l somme de l série de terme générl u n = 2n 1 n 3 4n, n 3. b) Justifier l convergence et clculer l somme de l série de terme générl u n = ln ( ) 1 1 n, n 2. 2 c) Déterminer les réels et b pour que l série de terme générl u n soit convergente et déterminer s somme vec i) u n = lnn + ln (n + 1) + bln (n + 2),, b R ; ii) u n = n + n b n + 2,, b R. Exercice 25 Soit P et Q deux polynômes de degrés respectifs p et q vec Q 0. Soit n 0 le plus petit entier tel que, pour tout n n 0, Q(n) 0 (pourquoi existe t-il?). Montrer que 1. + n=n 0 P (n) Q(n) converge si et seulement si q p n=n 0 ( 1) n P (n) Q(n) converge si et seulement si q p + 1. Exercice 26 ) Soit, b deux réels. Montrer que l série de terme générl u n = n b n+1 converge si et seulement si = b. b) Soit (u n ) une suite de nombres positifs. Montrer que les séries de termes générl u n et v n, où v n = un 1+u n sont de même nture. Exercice 27 Soit (u n ) n une suite réelle positive décroissnte. ) On pose v n = 2 n u 2 n, montrer que les séries u n et v n sont même nture. b) Nture en fonction de α de l série de Riemnn 1 n? α c) Nture en fonction de α et β de l série de Bertrnd 1? n α (lnn) β Exercice 28 1 Soit (u n ) n une suite réelle positive et v n = 1+n 2 u n. ) Montrer que si u n converge lors v n diverge. On pourr risonner pr l bsurde en supposnt que u n et vn sont toutes les deux convergentes. b) Montrer u moyen de deux exemples que, lorsque u n diverge, v n peut converger ou diverger selon les cs. Exercice 29- Trnsformtion d Abel ) Soient (ɛ n ) n N une suite de réels positifs décroissnte qui converge vers 0 et ( n ) n N une suite d éléments de K (K = R ou C) telle que n M > 0, n N k M. On note A n = n k et S n = k=0 k=0 n ɛ k k. Montrer que pour tous entiers p < q, k=0 S q S p = ɛ q A q + q 1 k=p+1 En déduire que ɛ n n est une série convergente sur K. (ɛ k ɛ k+1 ) A k ɛ p+1 A p.

14 14 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES b) Quel type prticulier de séries vérifient ces hypothèses? c) Appliquer ce résultt ux séries e inθ n α, sin(nθ) n α et n 1 n 1 n 1 cos(nθ) n α Etudier l convergence bsolue de ces séries (on pourr utiliser l inéglité vec (α, θ) ]0, 1] (R\2πZ). cos nθ n α 1 + cos 2nθ 2n α ). Exercice 30 1) Soit (u n ) n une suite réelle telle que n u n converge. On note v n = + k=n u k (bien défini?). ) Montrer que l suite (nv n ) n converge vers 0. b) Montrer que l série de terme générl v n converge et que + n=1 v n = + n=1 nu n. 2) Appliquer ceci u clcul de + n=1 nrn lorsque ceci un sens. Exercice 31 ) Soit f une fonction décroissnte, continue et positive sur [1, + [ et soit g une primitive de f sur cet intervlle. Montrer que pour tout entier k 1 0 f(k) (g(k + 1) g(k)) f(k) f(k + 1). b) En déduire qu il existe une constnte C et une suite (α n ) n convergent vers 0 tels que n f(k) = g(n + 1) + C + α n. k=1 c) Justifier l convergence de l suite de terme générl S n = n k=1 1 lnn, on note γ s limite (constnte d Euler k 0, 57). d) On pose pour tout entier n 2 u n := S n S n 1 et u 1 := S 1. Trouver un équivlent lorsque n tend vers + de + u n puis montrer que u k 1 lorsque n tend vers +. 2n k=n+1 e) En déduire que S n = γ + 1 ( ) 1 2n + o. n f) Comment fire pour voir le développement à l ordre 2? Exercice 32 (commuttivité dns l somme d une série). ) Soit u n une série numérique à termes positifs ou nuls et σ une bijection de N. Montrer que les séries u n et uσ(n) sont de même nture et qu elles ont même somme dns le cs où elles convergent. b) Montrer que le résultt du ) est encore vri si l on suppose que l série u n est bsolument convergente. c) On regrde mintennt l effet d un chngement de l ordre des termes dns une série dont les termes ne sont ps des réels de signe constnt. c1) Déterminer l nture de l série de terme générl u n = ( 1)n 1, n 1, et donner s somme. n c2) On réordonne les termes de l fçon suivnte, on prend le premier terme d indice impir, puis les deux premiers termes consécutifs d indice pir, et on recommence. Cel donne n (2n + 1) 1 2(2n + 2) + Montrer que l nouvelle série est convergente et clculer s somme. Que remrquez-vous? c3) Montrer que l série de terme générl v n = ( 1)n+1 n + 1, n 1, est convergente. c4) Soit σ l permuttion des entiers nturels définie pr Montrer que l série v σ(n) diverge. p N, σ (3p) = 2p ; σ (3p + 1) = 4p + 1 ; σ (3p + 2) = 4p + 3.

15 Chpitre 2 Fonctions d une vrible réelle 2.1 Générlités Soit D une prtie d intérieur non vide de R, on noter R D l ensemble des fonctions de D dns R, c est un R-espce vectoriel. De même pour E un R ou C-espce vectoriel de dimension finie, on noter E D l ensemble des fonctions de D dns E. Suf précision explicite les fonctions considérées dns l suite seront des éléments de R D. Définition f est dite mjorée, s il existe un réel M tel que pour tout x de D, f(x) M, minorée, s il existe un réel m tel que pour tout x de D, f(x) m, bornée, lorsqu elle est à l fois mjorée et minorée. f C I est dite bornée si f l est. Définition f est dite croissnte sur D (resp. strictement croissnte sur D) si (x, x ) D 2, x < x f(x) f(x ) (resp. f(x) < f(x )) décroissnte sur D (resp. strictement décroissnte sur D) si (x, x ) D 2, x < x f(x) f(x ) (resp. f(x) > f(x )) monotone sur D (resp. strictement monotone sur D) si elle est croissnte ou décroissnte sur D (resp. strictement croissnte ou strictement décroissnte sur D). Exercice 1 : rppeler les résultts sur les sommes, produits, composition de fonctions monotones ou strictement monotones. Définition (Prité) Soit D une prtie symétrique pr rpport à 0, f est dite pire si pour tout x de D, f( x) = f(x), impire si pour tout x de D, f( x) = f(x). Exercice 2 : D est toujours une prtie centrée en 0 et f une fonction définie sur D, exprimer f comme somme d une fonction pire et d une fonction impire. Que peut-on dire de l ensemble des fonctions pires et de l ensemble des fonctions impires? Définition (Périodicité) Le réel T R est dit période de l fonction f dns R D lorsque x D, x + T D et f(x + T ) = f(x). Exercice 3 : Il est clir que l somme de deux fonctions T -périodiques est une fonction T -périodique. Dns cet exercice nous nous demndons ce que l on peut dire sur l somme pour deux fonctions de périodes différentes. 1) Résultt préliminire : les sous-groupes dditifs de R sont de l forme Z ou sont denses dns R. Démonstrtion de ce résultt : On note G un sous-groupe dditif de R non réduit à {0} et A = {x G : x > 0}. (i) Si = inf A > 0, montrer que A et G = Z. (ii) Si inf A = 0, montrer que G est dense dns R. 15

16 16 CHAPITRE 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE 2) Appliction ux fonctions périodiques : (i) Soit f une fonction continue périodique sur R, montrer que si f est non constnte, f dmet une plus petite période positive non nulle. (ii) Soient f et g deux fonctions continues de R dns R, périodiques de périodes respectives α > 0 et β > 0. On cherche à svoir si f + g est ussi périodique. Cs où α/β Q, montrer que f + g est périodique (considérer αz βz). Cs où α/β Q, que peut-on dire de αz βz et de αz + βz? On suppose que f + g est périodique de période γ > 0. Montrer lors que l fonction h définie pr h(x) = f(x + γ) f(x) dmet α et β pour périodes. En déduire que h est constnte insi que k définie pr k(x) = g(x + γ) g(x), puis que h et k sont nulles et enfin que γ = 0, ce qui permet d ffirmer que f + g n est ps périodique. Définition (Limite) I est un intervlle, un point ou une extrémité de I, f une fonction de R I. f dmet le réel b pour limite en (noté lim f = b ou lim f(x) = b) lorsque x réel : ɛ > 0, δ > 0, x I, x δ f(x) b ɛ = + : ɛ > 0, A R, x I, x A f(x) b ɛ = : ɛ > 0, A R, x I, x A f(x) b ɛ f dmet + pour limite en (noté lim f = + ou lim f(x) = + ) lorsque x réel : B R, δ > 0, x I, x δ f(x) B = + : B R, A R, x I, x A f(x) B = : B R, A R, x I, x A f(x) B f dmet pour limite en (noté lim f = ou lim f(x) = ) lorsque x réel : B R, δ > 0, x I, x δ f(x) B = + : B R, A R, x I, x A f(x) B = : B R, A R, x I, x A f(x) B Pour les limites à droite (noté lim f ou lim f(x)), remplcer x I pr x I [, + [. + x + Pour les limites à guche (noté lim f ou lim f(x)), remplcer x I pr x I ], ]. x Exercice 4 : Retrouvez que lorsqu elle existe, l limite est unique. Remrque Bien noter qu vec l définition doptée pour l limite, si est dns I lors l limite éventuelle de f en ne peut-être que f(). Exercice 5 : 1) Montrer que toute fonction dmettnt une limite finie en un point est bornée u voisinge de ce point. 2) Montrer que toute fonction dmettnt une limite strictement positive en un point est minorée u voisinge de ce point pr un nombre réel strictement positif. 3) Retrouver les rêgles sur les opértions lgébriques sur les limites, sur les compositions. f = b si et seulement si pour toute suite (x n ) de D conver- Proposition (Crctéristion séquentielle) lim gent vers, l suite (f(x n )) converge vers b. Preuve : à fire. Théorème (Limite monotone) I = (α, β) intervlle et f monotone sur I lors f dmet en tout point de ]α, β[ une limite à droite et une limite à guche, une limite à droite en α, une limite à guche en β. Preuve : à fire, pour dns I on pourr considérer les ensembles {f(x) x < } et {f(x) x > } et, selon l monotonie de f, les bornes supérieures ou inférieures de ces ensembles. 2.2 Continuité Définition Soit D une prtie de R et un point de D lors f est dite continue en si elle dmet une limite en. f est dite continue sur D si elle est continue en tout point de D. Remrque On rppelle qu vec l définition doptée pour l limite, cette limite ne peut-être que f().

17 2.3. DÉRIVABILITÉ 17 Exercice 6 : Rppeler l crctéristion séquentielle de l continuité. Rppeler les résultts sur l continuité et opértions lgébriques, continuité et composition. Proposition Si f est continue en lors f est continue en. Si f et g sont continues en lors sup(f, g) est continue en. Preuve : à fire. Pour l continuité de sup(f, g) on pourr commencer pr montrer que sup(f, g) = 1 2 (f + g + f g ). Exercice 7 : Etudier l continuité de sup(f 1,..., f n ) où {f 1,..., f n } est une fmille de fonctions continues sur un intervlle I. Donner une suite (f n ) n de fonctions continues sur I telle que sup n N f n n est ps continue. Théorème (Théorème des vleurs intermédiires) Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R, et b deux points de I. Alors pour tout réel r compris entre f() et f(b) il existe c dns I tel que f(c) = r. Preuve : à fire. Commencer pr justifier que l on peut se rmener u cs où < b et f() < r < f(b) puis pr exemple considérer E = {x [, b] f(x) r}, que dire lors de sup E? On peut ussi construire deux suites djcentes ( n ) et (b n ) telles que pour tout n, f( n ) r f(b n ), que dire lors de l limite de ces suites? Corrolire Si f est continue sur un intervlle I de R lors f(i) est un intervlle de R. Exercice 8 : Soit f une fonction continue de R dns R telle que lim f = et lim f = +, montrer que f s nnule + u moins une fois sur R. Théorème Si f est continue sur le segment [, b] lors f est bornée et tteint ses bornes. Preuve : à fire. f bornée : supposer pr exemple que f n est ps bornée et en déduire une contrdiction à l ide du théorème de Bolzno-Weierstrss et de l continuité. f tteint ses bornes : utiliser encore le théorème de Bolzno-Weierstrss et l continuité. Définition (Continuité uniforme) Une fonction f définie sur un intervlle I de R est dite uniformément continue si ɛ > 0, δ > 0, (x, y) I 2, x y δ f(x) f(y) ɛ. Exercice 9 : Où se trouve l différence vec l définition de f continue sur I? Donner un exemple de fonction continue mis non uniformément continue sur ]0, 1[. Théorème (Continuité uniforme) Si f est continue sur le segment [, b] lors f est uniformément continue sur [, b]. Preuve : à fire, pr l bsurde et l clé est encore vec le théorème de Bolzno-Weierstrss et l continuité. Exercice 10 : Montrer qu une fonction continue de R dns R et dmettnt des limites finies en + et est uniformément continue. L conclusion reste t-elle vlble si l on suppose seulement f continue de R dns R et bornée? Théorème (Continuité et stricte monotonie) Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l intervlle I, lors f est bijective de I sur l intervlle J = f(i) et de plus f 1 est continue de J sur I. On dit lors que f est un homéomorphisme de I sur f(i). Preuve : J intervlle résulte de l continuité de f et du théorème des vleurs intermédiires. f bijective de I sur f(i) résulte de l stricte monotonie de f puisque ceci permet de montrer l injectivité de f. Le seul point restnt à montrer est l continuité de f 1 et cel revient à montrer que f est ouverte, c est-à-dire que pour tous < b de I, f(], b[) est un intervlle ouvert (à fire). Exercice 11 : Montrer que si f est continue et injective sur [, b] lors elle est strictement monotone. 2.3 Dérivbilité Définition Soit D une union d intervlles non triviux de R et un point de D lors f est dite dérivble en (resp. dérivble à droite, resp. à guche) si l ppliction définie sur D \ {} pr x f(x) f() x dmet une limite finie en (resp. limite finie à droite, resp. à guche). Cette limite est notée f () (resp. f d (), resp. f g()). f est dite dérivble sur D si elle est dérivble en tout point de D.

18 18 CHAPITRE 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Proposition f dérivble en et f () = A équivut à l existence d une fonction ɛ définie sur D, nulle en et continue en telle que x D, f(x) = f() + (x )A + (x )ɛ(x). Proposition Si f est dérivble en lors f est continue en. Preuve : à fire. Exercice 12 : Retrouver les résultts sur les opértions sur les fonctions dérivbles en. Théorème (Composition) Soit f dérivble en I et g définie sur J f(i) dérivble en f() lors g f est dérivble en et (g f) () = g(f()) f (). Preuve : à fire Théorème (Appliction réciproque) Soit f une bijection continue d un intervlle I sur un intervlle J. Si f est dérivble en et f () 0 lors f 1 est dérivble en b = f() et (f 1 ) (b) = 1 f (). Preuve : à fire. Exercice 13 : retrouver les dérivées des fonctions rccos, rcsin, rctn, rgch, rgsh, rgth. Théorème (Dérivée et extremum locl) Si f est définie et dérivble sur un intervlle ], b[ et dmet un extremum en un point c de ], b[ lors f (c) = 0. Preuve : à fire. Exercice 14 : Montrer que ce résultt n est plus vri sur [, b]. Donner une exemple de fonction dérivble sur ] 1, 1[ dont l dérivée s nnule en 0 mis qui n dmet ps d extremum en 0. Théorème (Rolle) Soit f une fonction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ et telle que f() = f(b). Alors il existe c dns ], b[ tel que f (c) = 0. Preuve : à fire, un dessin pourr être utile. Exercice 15 : Montrer que si P est un polynôme scindé de R[X] de degré supérieur ou égl à 2, lors le polynôme dérivé P est ussi scindé. Exercice 16 : Montrer à l ide d un contre-exemple que le théorème de Rolle n est ps vri pour une fonction à vleurs complexes. Théorème (Eglité des ccroissements finis) Soit f une fonction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. Alors il existe c dns ], b[ tel que f (c) = f(b) f() b. Preuve : A fire, ppliquer le théorème de Rolle à une fonction bien choisie. Théorème (Monotonie et signe de l dérivée) Soit f une fonction continue sur un intervlle I et dérivble sur I, lors (i) f est croissnte sur I si et seulement si f 0 sur I, (ii) f est décroissnte sur I si et seulement si f 0 sur I, (iii) f est constnte sur I si et seulement si f = 0 sur I. De plus dns les cs (i) et (ii) f est strictement monotone si et seulement si l ensemble des vleurs d nnultion de f ne contient ps d intervlle d intérieur non vide. Preuve : à fire. Théorème (Inéglité des ccroissements finis - cs réel) Soient f et g deux fonctions continues sur [, b], dérivbles sur ], b[ et telles que f g sur ], b[. Alors f(b) f() g(b) g(). Preuve : à fire en remrqunt que f g implique g f g. Exercice 17 : Montrer que si f est une fonction continue sur [, b], dérivble sur ], b[ et telle que f dmette une limite l en lors f est dérivble en et f () = l (ind. revenir à l définition de l limite et utiliser l inéglité des ccroissements finis).

19 2.4. FORMULES DE TAYLOR 19 Théorème (Inéglité des ccroissements finis - cs vectoriel) Soit f une fonction à vleurs dns E un R-espce vectoriel de dimension finie, et g une fonction à vleurs réelles, f et g continues sur [, b], dérivbles sur ], b[. Si N 2 (f ) g lors N 2 (f(b) f()) g(b) g(). Remrque N 2 désigne ici l norme euclidienne (N 2 (x) = ( n i=1 x2 i )1/2 ). On peut voir C comme un R- espce vectoriel de dimension 2, on voit donc en prticulier que l inéglité des ccroissements finis est vrie pour les fonctions à vleurs complexes bien que l églité ne le soit ps. On l inéglité des ccroissements finis pour tout espce vectoriel normé mis l preuve est moins immédite ussi nous nous contenterons de ce cs. Preuve : On note (x, y) = n i=1 x iy i le produit sclire ssocié à l norme N 2 et on introduit l fonction uxiliire ϕ définie sur [, b] pr ϕ(t) = (f(t) f(), f(b) f()). Vérifier que ϕ est à vleurs réelles, continue sur [, b], dérivble sur ], b[ et que sur ], b[ ϕ N 2 (f(b) f()) g. Conclure en utilisnt l inéglité des ccroissements finis - cs réel. 2.4 Formules de Tylor Définition Soit D un intervlle ou réunion d intervlles non réduits à un point, on définit pr récurrence l dérivée n ieme de f pr f (0) = f et f (n 1) étnt définie et dérivble sur D, f (n) = ( f (n 1)). On dit que f est n fois dérivble sur D. f est dite de clsse C n sur D lorsque qu elle est n fois dérivble sur D et que s dérivée n ieme est continue. Proposition (Formule de Leibniz) f et g étnt n fois dérivble sur l intervlle I lors le produit fg l est ussi et n ( ) n (fg) (n) = f (k) g (n k). k k=0 Preuve : à fire pr récurrence. Exercice 18 : Soient deux réels et b, l fonction f définie sur R pr f(x) = (x ) n (x b) n. Clculer f (n) et en déduire une utre expression de n k=0 ( n k) 2. Théorème (Formule de Tylor-Lgrnge) Si f est de clsse C n sur l intervlle [, b] non réduit à un point et n + 1 fois dérivble sur ], b[ lors il existe c dns ], b[ tel que f(b) = n k=0 f (k) () (b ) k + f (n+1) (c) k! (n + 1)! (b )n+1. Remrque L formule de Tylor-Lgrnge est le prolongement de l formule des ccroissements finis (fire n = 0 pour en être convincu). On de même pour b < l existence de c entre et b tel que voir l preuve ci-dessous. f(b) = n k=0 f (k) () (b ) k + f (n+1) (c) k! (n + 1)! (b )n+1. Preuve : Appliquer le théorème de Rolle à l fonction g définie sur [, b] pr g(x) = n k=0 où A ser choisi de sorte que g(b) = g(), puis conclure. f (k) (x) (b x) k A + (b x)n+1 k! (n + 1)! Théorème (Inéglité de Tylor-Lgrnge) Si f est de clsse C n+1 sur l intervlle [, b] non réduit à un point lors n f(b) f (k) () (b ) k b n+1 sup f (n+1). k! (n + 1)! k=0 [,b] Preuve : c est une conséquence directe de l formule de Tylor-Lgrnge puisque vec l hypothèse f de clsse C n+1, f (n+1) est continue sur [, b] compct donc est bornée sur cet intervlle.

20 20 CHAPITRE 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Remrque On un résultt nlogue en remplçnt l vleur bsolue pr l norme si f est à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension finie. Théorème (Formule de Tylor-Young) Si f est n fois dérivble sur un intervlle I non réduit à un point lors pour tout de I il existe une fonction ɛ définie et continue sur I, ɛ() = 0 et x I f(x) = n k=0 f (k) () (x ) k + (x ) n ɛ(x). k! Définition (Développement limité) On dit que f dmet un développement limité à l ordre n en s il existe un polynôme P n de degré inférieur ou égl à n et une fonction ɛ définie et continue sur un voisinge I de, ɛ() = 0 tels que x I \ {} f(x) = P n (x) + (x ) n ɛ(x). Ceci s écrit ussi f(x) = P n (x) + o((x ) n ) et P n est ppelé prtie régulière d ordre n en de f. Remrque L formule de Tylor-Young est le prolongement de l définition de l dérivtion à l ordre 1 (fire n = 1). Une conséquence immédite de l formule de Tylor-Young est que si f est n fois dérivble sur I lors elle dmet un développement limité d ordre n. Il y équivlence pour n = 1 (cf. proposition 2.3.2). Attention l équivlence n est plus vrie pour n 2, un contre-exemple clssique, considérer l fonction définie u voisinge de 0 pr f(x) = x 3 sin( 1 x ) et f(0) = 0. Preuve : Pr récurrence, on note (H n ) l hypothèse de récurrence Si h est une fonction n fois dérivble sur un intervlle I non réduit à un point lors pour tout de I il existe une fonction ɛ définie et continue sur I, ɛ() = 0 et x I h(x) = n k=0 h (k) () (x ) k + (x ) n ɛ(x). k! (H 1 ) est l définition de l dérivée, montrons que pour tout n 1, [(H n ) implique (H n+1 )]. Soit f une fonction n + 1 fois dérivble sur I et h = f est n fois dérivble sur I, vec l hypothèse (H n ) nous vons l existence d une fonction ɛ définie et continue sur I, ɛ() = 0 et x I f (x) = Pr continuité de ɛ en, nous vons ussi n k=0 f (k+1) () (x ) k + (x ) n ɛ(x). k! α > 0, η > 0, x I, x < η ɛ(x) < α. Ainsi grâce à l inéglité des ccroissements finis nous vons n α > 0, η > 0, x I, x < η f(x) f() Ce qui permet de dire en posnt θ() = 0 et pour x dns I \ {}, k=0 f (k+1) () (k + 1)! θ(x) = f(x) f() n f (k+1) () k=0 (k+1)! (x ) k+1 (x ) n+1 (x )k+1 n+1 α x. n + 1 que l fonction θ est continue sur I et que l on donc bien (H n+1 ). Nous vons (H 1 ) vérifiée, pour tout n 1, (H n ) implique (H n+1 ) donc (H n ) est vérifiée pour tout n 1. Théorème (Résultts sur les développements limités) P n et Q n désignent des éléments de R[X]. 1. Si f(x) = P n (x) + o(x n ) = Q n (x) + o(x n ) lors P n = Q n 2. Si f(x) = P n (x) + o(x n ) et f pire (resp. impire) lors P n est pir (resp. impir). 3. Si f(x) = P n (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n ) lors pour tout réel c, f(x) + cg(x) = P n (x) + cq n (x) + o(x n ) et (fg)(x) = R n (x) + o(x n ) vec R n = P n Q n [n]. 4. Si f dmet une développement limité d ordre n en 0 et si lim f 0 lors 1 0 f dmet un développement limité d ordre n en 0.

21 2.5. FONCTIONS CONVEXES Si f(x) = P n (x) + o(x n ), g(x) = Q n (x) + o(x n ), f(0) = 0 et s il existe des intervlles I et J sur lesquels sont définis respectivement f et g et tels que f(i \{0}) J \{0} lors g f(x) = R n (x)+o(x n ) vec R n = Q n P n [n]. 6. Si f(x) = P n (x) + o(x n ) et F est une primitive de f u voisinge de 0, lors F (x) = P n+1 (x) + o(x n+1 ) vec P n+1 l primitive de P n vlnt F (0) en 0. L nottion P [n] signifie que le polynôme P été tronqué à l ordre n (on ne grde que les termes de degré inférieur ou égl à n). Preuve : à fire. 1 Exercice 19 : retrouver des développements limités usuels, en 0, cos x, sin x, exp x, cosh x, sinh x, 1 x, (1 + x)α, ln(1 + x), rctn x, etc Fonctions convexes Définition Une prtie A de R 2 est dite convexe si pour tous points et b de A, le segment [, b] est contenu dns A. Une fonction f définie sur un intervlle I d intérieur non vide est dite convexe si l ensemble {(x, y) I R f(x) y} (épigrphe de f) est une prtie convexe de R 2. Nous llons retrouver les propriétés des fonctions convexes sous forme d exercice. Soit I un intervlle de R. Une fonction f : I R est dite convexe si (x, y) I 2, t [0, 1], f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y). Vérifier que ceci correspond bien à l définition déjà donnée. 1. Montrer que si f est convexe sur I et si (, b, c) I 3 vec < b < c lors on (Inéglités des trois pentes) : f(b) f() b f(c) f() c f(c) f(b). c b 2. Déduire des inéglités précédentes qu une fonction convexe est continue sur I. 3. Soit f : I R convexe. Montrer que f possède des dérivées à guche et à droite en tout point x I et étblir que pour tout (x, y) I I vec x < y on f g(x) f d (x) f g(y) f d (y). Donner un exemple d une fonction f : [, b] R continue et convexe, et qui ne possède ps de dérivées ltérles en u moins une des extrémités de [, b]. 4. Montrer que pour tout point x 0 I il existe une fonction ffine ϕ : I R telle que ϕ(x 0 ) = f(x 0 ) et pour tout x I, ϕ(x) f(x). 5. Soit f : I R dérivble, I ouvert. Montrer que f est convexe si et seulement si f est croissnte. Si f est deux fois dérivble sur I lors f est convexe si et seulement si f (x) 0 pour tout x I. 6. Soit f : I R convexe, I ouvert. Montrer que si (x 1,..., x n ) I n et (λ 1,..., λ n ) (R + ) n vec n i=1 λ i = 1 lors n n f( λ i x i ) λ i f(x i ). i=1 7. Montrer que pour tout (t 1,..., t n ) (R + ) n et (λ 1,..., λ n ) (R + ) n vec n i=1 λ i = 1 on n n i=1 λ it i. On vient de montrer que l moyenne géométrique est inférieure à l moyenne rithmétique. i=1 i=1 tλi i 8. Soit f une fonction convexe croissnte sur R. Montrer que f est constnte ou dmet une limite infinie en Soit f : I R une fonction convexe dérivble. Montrer que si c est un point d nnultion de l dérivée de f, lors f(c) est le minimum bsolu de f. 2.6 Exercices Exercice 20 Montrer qu une fonction f :], b] R uniformément continue dmet une limite en. Supposons mintennt f dérivble sur ], b[. Que peut-on dire si sup x ],b[ f (x) <? L fonction f :]0, 1] R, x x 2 sin(1/x), est-elle uniformément continue? Exercice 21

22 22 CHAPITRE 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Montrer qu une fonction f :], b[ R continue telle que lim f(x) = lim f(x) n est ps injective. x + x b Exercice 22 Soient f, g deux fonctions continues sur [0, 1] telles que pour tout x [0, 1], f(x) < g(x). Montrer qu il existe m > 0 tel que pour tout x [0, 1] on f(x) + m < g(x). Exercice 23 Un mobile prcourt à vitesse continue une distnce d en une unité de temps. Montrer qu il existe un intervlle d une demi-unité de temps pendnt lequel il prcourt une distnce d 2. Exercice 24 Soient, b des réels strictement positifs. E(x) désigne l prtie entière d un réel x. Montrer que x lim x 0 + E( b x ) = b, lim b x 0 + x E(x ) = 0. Exercice 25 Donner un exemple de fonction continue sur [0, 1] non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul point. Une fonction telle que pour tout x R, lim h 0 (f(x + h) f(x h)) = 0, est-elle continue sur R? Exercice 26 Etudier l dérivbilité des fonctions suivntes insi que le cs échént l continuité de l dérivée. ) f 1 (x) = x 2 cos(1/x) si x 0 et f 1 (0) = 0, b) f 2 (x) = sin x sin(1/x) si x 0 et f 2 (0) = 0, c) f 3 (x) = ln(x) x 2 2x + 1 x 1 si x 1 et f 3 (1) = 0, d) f 4 (x) = x sin(x/2) si x ]0, π] et f 4(0) = 2, e) f 5 (x) = x x, f) f 6 (x) = cos x sur R +. Exercice 27 Déterminer, b, c R de mnière à ce que l fonction f définie sur R + pr f(x) = x si 0 x 1 et f(x) = x 2 + bx + c sinon soit deux fois dérivble sur R +. Exercice 28 (Théorème de Drboux) Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I de R. Si [, b] I et f () < 0 < f (b), montrer qu il existe c [, b] tel que f (c) = 0 (on pourr utiliser les bornes de f sur [,b]). En déduire que f (I) est un intervlle. Exercice 29 Soit f : [, + [ R continue et dérivble sur ], + [ telle que f() = lim x + f(x). Montrer qu il existe c ], + [ tel que f (c) = 0. Exercice 30 Soit f : [, b] R dérivble et f() < f(b). Montrer qu il existe l [, b[ tel que f(l) = f() et f (l) 0. Exercice 31 Soit f une fonction réelle n fois dérivble sur un intervlle I. Si f s nnule en n + 1 points différents de I, lors f (n) s nnule u moins une fois. Exercice 32 Clculer l dérivée n-ième des fonctions suivntes. ) f 1 (x) = sin 2 x, b) f 2 (x) = ln(1 + x), c) f 3 (x) = x + 2 2x 2 7x + 3. Exercice 33 Dns l ppliction du théorème des ccroissements finis à l fonction f(x) = x 2 +bx+c sur l intervlle [α, β] préciser le nombre θ ]α, β[. Interpréttion géométrique? Exercice 34 Soient f et g deux fonctions continues de [, b] dns R et dérivbles sur ], b[. Montrer qu il existe c ], b[ tel que (g(b) g())f (c) = (f(b) f())g (c). En déduire l version suivnte de l règle de l Hospitl : Si f et g sont continue de [, b] dns R, dérivbles dns ], b[. Alors lim x + g(x) g() f(x) f() = lim x + g (x) f (x) lorsque ces limites existent. sin(x π/3) Exemples : étudier les limites lim x π/3 1 2 cos x et lim x 1 x 1 x m 1. Que peut-on dire de lim x 0 cos x cos 2x Exercice 35 Montrer que l ppliction f : R R définie pr x { e 1 x 2 si x 0, 0 sinon sin 2 x? est de clsse C sur R. On pourr en prticulier montrer que pour tout entier n et tout x 0, f (n) (x) = Pn(x) 1 Q n(x) e x 2 polynômes et que f (n) (0) = 0. Exercice 36 Démontrer que : vec P n et Q n des

23 2.6. EXERCICES x > 0, ln(1 + x) > x x x R, 1 + x e x, en déduire que pour k [0, 1) l suite de terme générl u n = (1 + k)(1 + k 2 ) (1 + k n ) est convergente. 3. il existe un réel M > 0 tel que pour tout x [0, π/4], 0 cos x 1 x 2 Mx x R, e x 1 x x2 2 e x. Exercice 37 Soit f : R R une fonction de clsse C 2. On suppose que f et f sont bornées. On désigne pr M 0 = sup x R f(x) et M 2 = sup x R f (x). Montrer que M 1 = sup x R f (x) existe et vérifie M 1 2M 0 M 2. (On pourr écrire une formule de Tylor sur chcun des intervlles (x, x + ), (x, x) où x et sont des réels quelconques puis en déduire une mjortion de f (x) en fonction de M 0, M 2, et conclure.) Exercice 38 ) Soit I = [, b], b, et f de clsse C 2 ([, b]) telle que f () = f (b) = 0. Montrer que f(b) f() (b ) 2 4 sup x [,b] f(x). b) Soit f C 2 (R) telle que pour tout (x, y) R 2 on f(x + y)f(x y) (f(x)) 2. Montrer que pour tout x R, f(x)f (x) (f (x)) 2. (Indiction : On pourr écrire le développement de Tylor-Young pour f(x + y) et pour f(x y).) Exercice 39 On pose f(t) = 1 + t 2 + t 3. Montrer que f(t) = t 3/ t1/2 1 8 t 1/ t 3/2 + o(t 3/2 ) pour t +. Exercice 40 Reclculer les limites de l exercice 34 à l ide d un développement limité. Clculer et lim x 1 (ln(x) ln(1 x)). Exercice 41 ( Déterminer des réels et b tels que lim x 0 lim x 0 e x cos x x x ln(1+x) x tend vers 0. e x ln(1 + x) + ) x + b = 0, donner un équivlent de l expression lorsque

24 24 CHAPITRE 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE RE ELLE

25 Chpitre 3 Intégrtion 3.1 Intégrtion sur un segment Fonction continue pr morceux Dns ce qui suit [, b] est un segment de R vec < b. Les fonctions considérées, suf précision contrire, sont à vleurs dns R. Définition On ppelle subdivision de [, b], une fmille finie strictement croissnte σ = (c j ) 0 j n telle que = c 0 < < c n = b et δ(σ) := sup 1 j n (c j c j 1 ) est le ps de l subdivision. Une utre subdivision σ = (c j ) 0 j n de [, b] est dite plus fine que σ si {c j 0 j n} {c j 0 j n }. Etnt donné deux subdivisions σ et σ de [, b], on note σ σ l subdivision construite à prtir de l ensemble {c j 0 j n} {c j 0 j n }. Remrque σ σ est une subdivision plus fine que σ et σ. Définition (Fonction en esclier) Une fonction ϕ définie sur [, b] est dite en esclier s il existe une subdivision σ = (c j ) 0 j n de [, b] telle que pour tout j de 1, n on ϕ constnte sur ]c j 1, c j [. Définition (Fonction continue pr morceux) Une fonction f définie sur [, b] est dite continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision σ = (c j ) 0 j n de [, b] telle que pour tout j de 1, n on f continue sur ]c j 1, c j [ f dmet une limite à droite en c j 1 et une limite à guche en c j. Une telle subdivision σ est dite dptée à f. Proposition L ensemble C m ([, b]) des fonctions continues pr morceux sur [, b] est un sous-espce vectoriel et un sous-nneu de l ensemble des fonctions bornées sur [, b]. L ensemble E([, b]) des fonctions en esclier sur [, b] est un sous-espce vectoriel et un sous-nneu de l ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b]. Démonstrtion : à fire. Théorème (Approximtion des fonctions continues pr morceux) Soit f continue pr morceux sur [, b] lors pour tout réel ɛ > 0 il existe des fonctions ϕ et ψ en esclier sur [, b] telles que ϕ f ψ et ψ ϕ ɛ. Démonstrtion : il suffit de le montrer pour une fonction continue sur [, b] puisque si f est continue pr morceux sur [, b] et σ = (c j ) 0 j n est une subdivision dptée à f lors f ]cj 1,c j[ est prolongeble pr continuité sur [c j 1, c j ] et on l existence de fonctions en esclier ϕ j et ψ j sur [c j 1, c j ] telles que x ]c j 1, c j [, ϕ j (x) f(x) ψ j (x) et ψ j (x) ϕ j (x) ɛ. 25

26 26 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Les fonctions ϕ et ψ ttendues peuvent lors être construites en posnt i 1, n x ]c j 1, c j [, ϕ(x) = ϕ j (x), ψ(x) = ψ j (x) i 0, n, ϕ(c j ) = ψ(c j ) = f(c j ). Pour une fonction f continue sur [, b] ce résultt d pproximtion découle directement du théorème d uniforme continuité de f sur [, b] (f continue sur [, b] compct de R). En effet de ɛ > 0, η > 0, (x, y) [, b] 2, x y η f(x) f(y) ɛ on déduit l pproximtion souhitée en prennt pour n un entier supérieur ou égl à b η, pour subdivision l subdivision régulière σ = (c j ) 0 j n vec c j = + j b n et pour ϕ et ψ les fonctions en esclier définies pr j 1, n x [c j, c j+1 [, ϕ(x) = Intégrle d une fonction continue pr morceux min f, ψ(x) = mx f, ϕ(b) = ψ(b) = f(b). [c j,c j+1] [c j,c j+1] Proposition Soit ϕ une fonction en esclier sur [, b] et σ = (c j ) 0 j n une subdivision dptée à ϕ, on pose I(σ, ϕ) := n λ j (c j c j 1 ) où λ j est l vleur de ϕ sur ]c j 1, c j [. j=1 Alors I(σ, ϕ) est indépendnt de l subdivision dptée choisie et ce nombre est ppelé intégrle de ϕ sur [, b], on le note [,b] ϕ ou ϕ(x) dx. [,b] Démonstrtion : Résulte du fit que si σ et σ sont deux subdivisions dptées lors I(σ, ϕ) = I(σ σ, ϕ) = I(σ, ϕ). Proposition L ppliction ϕ ϕ est une forme linéire positive sur E([, b]). [,b] 2. Pour tout ϕ de E([, b]) et tout c de ], b[ Démonstrtion : à fire. [,b] ϕ = [,c] ϕ + ϕ. [c,b] Théorème Soit f une fonction continue pr morceux sur [, b], lors les ensembles { } E (f) = ϕ ϕ E([, b]), ϕ f [,b] { } E + (f) = ψ ψ E([, b]), f ψ [,b] sont non vides et respectivement mjoré et minoré. De plus sup E (f) = inf E + (f) et ce nombre est ppelé intégrle de f sur [, b], on le note [,b] f ou f(x) dx. [,b] Démonstrtion : les grndes lignes, E (f) et E + (f) respectivement mjoré et minoré résulte du fit que toute fonction continue pr morceux sur [, b] est bornée. sup E (f) inf E + (f) résulte de [,b] ϕ ψ pour toutes fonctions en esclier ϕ et ψ telles que ϕ f ψ. [,b] inf E + (f) sup E (f) résulte du théorème d pproximtion puisque l on lors pour tout réel strictement positif ɛ, l existence de deux fonctions en esclier ϕ et ψ telles que ϕ f ψ et ψ ϕ ɛ. Ce qui permet d en déduire que inf E + (f) sup E (f) ɛ(b ) pour tout réel strictement positif ɛ. Corrolire Soit f dns C m ([, b]), (ɛ p ) une suite de réels strictement positifs convergent vers 0 et (ϕ p ) une suite de E([, b]) tels que sup f ϕ p ɛ p lors [,b] f = lim ϕ p [,b] p + [,b]

27 3.1. INTÉGRATION SUR UN SEGMENT 27 Démonstrtion : découle du fit que pour tout p (ϕ p ɛ p ) sup E (f) inf E + (f) [,b] [,b] (ϕ p + ɛ p ). Remrque (Interpréttion grphique) Si l on suppose le pln muni d un repère (0, U, V ) et que f est continue pr morceux sur [, b] et à vleurs positives lors f est l ire du domine D = {(x, y) 0 y [,b] f(x), x b} en unité d ire, c est-à-dire le domine compris entre l xe des bscisses, l courbe représenttive de f et les droites d équtions x = et x = b. Une unité d ire est l ire du prllélogrmme de côtés [O, U] et [O, V ]. Proposition L ppliction f [,b] f est une forme linéire positive sur C m([, b]). 2. Pour tout f de C m ([, b]) et tout c de ], b[ [,b] f = [,c] f + f. [c,b] Démonstrtion : découle de l proposition et du corollire Définition On dit que f est continue pr morceux sur un intervlle I si elle est continue pr morceux sur tout segment [, b] contenu dns I. Si f est continue pr morceux sur I et et b deux éléments de I, on pose si < b, b f := [,b] f si = b, b f := 0 si > b, Proposition I désigne un intervlle, et b des éléments de I lors 1. L ppliction f b f est une forme linéire sur C m(i). 2. Si c est dns I et f dns C m (I) lors b f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx. c 3. Si f et g sont dns C m (I) lors b b f(x)g(x) dx sup f g(x) dx Cs des fonctions continues sur un segment [,b] b f := f. [,b] Proposition Une fonction continue, à vleurs positives sur un segment est nulle si et seulement si son intégrle sur ce segment est nulle. Démonstrtion : à fire. L impliction f nulle implique f = 0 est immédite, pour l réciproque supposez f non I nulle et déduisez en que I f > 0. Théorème (Produit sclire) Soit I un segment de R, l ppliction (f, g) fg est un produit sclire I sur l espce vectoriel C(I) des fonctions continues sur I. Démonstrtion : à vleurs dns R bilinéire pr bilinérité du produit et linérité de l intégrle symétrique pr définition définie positive : (f, f) 0 et (f, f) = 0 si et seulement si f = 0 conséquences de l proposition Corrolire (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Soient f et g des fonctions continues sur le segment [, b] lors ( 2)1/2 ( ) 1/2 fg [,b] f g 2. [,b] [,b] Démonstrtion : Considérez le polynôme de degré u plus 2 P (X) := (f + gx) 2 et trduisez le fit qu il est toujours positif ou nul. [,b]

28 28 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Exercice 1 Retrouvez l inéglité de Minkowski ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 (f + g) 2 f 2 + g 2. [,b] [,b] [,b] Ainsi l ppliction f ( [,b] f 2 ) 1/2 est une norme sur C(I), c est l norme ssociée u produit sclire. Théorème (Sommes de Riemnn) Soit f une fonction continue sur [, b] ( < b), on note R n (f) := b n n 1 k=0 lors les suites (R n (f)) et (R n(f)) convergent et ) u n = 1 n vec f et g continues de [0, 1] dns R. f( + k b n ) et R n(f) := b n lim R n(f) = lim n + n + R n(f) = b n k=1 f(x) dx. f( + k b n ) Démonstrtion : conséquence du corollire et de l uniforme continuité de f sur [, b]. Exercice 2 Déterminer l limite des suites de terme générl : n 1 n k k=0 ; b) w n 2 k 2 n = 1 n ( n k=1 (n + k))1/n ; c) z n = ( n k=1 (1 + k n )k) 1/n 2 ; d) v n = 1 n Clcul des vleurs pprochées d une intégrle. n 1 k=0 f( k k+1 n )g( n ) Les méthodes du milieux, des trpèzes et de Simpson sont présentées sous forme d exercice. Méthode du milieu ou des tngentes 1) Soit f : [, b] R une fonction de clsse C 1, vérifier que l ire (lgébrique) du domine défini pr les droites d éqution y = 0, x =, x = b et l tngente à l courbe représenttive de f u point d bcisse +b 2 est (b )f ( ) +b 2. Cel correspond à l ire de quel rectngle? 2) Soit f : [, b] R une fonction de clsse C 2, on note M 2 = sup{ f (t), t [, b]}, I = b f(t) dt et R = (b )f ( +b 2 l on note I k = b n ), montrer que I R M2 (b ) 3 24 (pensez à l inéglité de Tylor-Lgrnge). En déduire que si f ( + b n (k )) et R n = n 1 k=0 I (b ) 3 k lors I R n M 2 24n 2. 3) Que peut-on dire si l on suppose seulement f continue sur [, b]? Méthode des trpèzes 4) Déterminer l fonction ffine h prennt les mêmes vleurs que f en et b. Vérifier que son intégrle sur [, b] est (b ) f()+f(b) 2 soit l ire du trpèze (lorsque cel un sens) défini pr les droites d éqution y = 0, x =, x = b et l droite pssnt pr (, f()) et (b, f(b)). Si P est un polynôme de degré 1, que vut b 5) On reprend les hypothèses du 2) et l on note T = (b ) f()+f(b) que b (f(x) h(x)) dx = 1 2 6) En déduire que si l on note J k = b 2n P (t) dt? 2. A l ide de deux intégrtions pr prties montrer b (b x)(x )f (b ) (x) dx puis montrer que I T M 3 2 ( f( + k b n 12. b ) + f( + (k + 1) n )) et T n = n 1 k=0 J k lors I T n (b ) 3 M 2 12n 2. 7) Dns le cs où f est convexe, montrer que pour tout entier strictement positif n, R n I T n. Méthode de Simpson 8) Déterminer le polynôme de degré u plus 2 prennt les mêmes vleurs que f en, b et +b 2. Vérifier que son ( intégrle sur [, b] est b 6 f() + 4f( +b 2 ) + f(b)). 9) Vérifier que l on pour tout polynôme P de degré inférieur ou égl à 3, b ( b P (t) dt = 6 P () + 4P ( +b 2 ) + P (b)). ( f() + 4f( +b 2 ) + f(b)). (f(c x) + 4f(c) + f(c + x)). Vérifier que l fonction φ est de 2 ) = I S, φ (3) (x) 2 3 M 4x 2. 10) On suppose mintennt f de clsse C 4 et on note M 4 = sup{ f (4) (t), t [, b]} et S = b 6 On note c = +b 2 et on pose φ(x) = c+x c x f(t) dt x 3 clsse C 3 sur [0, b 2 ] et que φ(0) = φ (0) = φ (2) (0) = 0, φ( b En déduire que I S M (b )5. 11) En déduire que si l on note L k = b 6n lors I S n M 4 (b ) n 4. ( f( + k b n ) + 4f( + (k ) b n ) + f( + (k + 1) b n )) et S n = n 1 k=0 L k

29 3.2. INTÉGRATION ET DÉRIVATION Extension ux fonctions à vleurs complexes Définition Une fonction f définie sur un intervlle I de R et à vleurs dns C est dite continue pr morceux si pour tout segment [, b] contenu dns I, Re(f) et Im(f) sont continues pr morceux sur [, b]. On note C m (I, C) l ensemble de ces fonctions. On définit lors b f(x) dx := b Remrque Conséquences de cette définition Ref(x) dx + i b Imf(x) dx. ( ) b Re f(x) dx = ( ) b Im f(x) dx = b f(x) dx = ( ) b Ref(x) dx ( ) b Imf(x) dx b f(x) dx. Proposition Soit f dns C m (I, C), et b deux éléments de I. 1. L ppliction f b f(x) dx est une forme linéire sur le C-espce vectoriel C m(i, C). 2. Si c est un point de I, b f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx. c 3. [,b] f(x) dx f (x) dx. [,b] Démonstrtion : L seule ssertion qui ne soit ps immédite est l troisième. Si [,b] f(x) dx = 0 lors il n y rien à montrer, sinon il existe un réel θ tel que. [,b] f(x) dx = [,b] eiθ f(x) dx D où e iθ f(x) dx = f(x) dx R et de ce fit [,b] ce qui est le résultt ttendu. [,b] e iθ f(x) dx = 3.2 Intégrtion et dérivtion Théorème fondmentl [,b] [,b] Re ( e iθ f(x) ) dx [,b] e iθ f(x) dx Définition Soient f et F deux fonctions définies sur un intervlle I, on dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivble sur I et F = f. Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle I et un point de I lors l fonction définie sur I pr x x f(t) dt est C 1 sur I et c est l primitive de f sur I qui s nnule en. De plus si F est une primitive de f sur I lors (, b) I 2 b f(t) dt = F (b) F (). Démonstrtion : à fire, pensez à utiliser l uniforme continuité de f sur tout segment de I. Donner une utre démonstrtion (niveu terminle) lorsque f est de plus supposée croissnte sur I. Corrolire Toute fonction continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I. Soit f une fonction C 1 sur un intervlle I lors (, b) I 2 b f (t) dt = f(b) f().

30 30 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Clcul de primitives Théorème (Intégrtion pr prties) Soient f et g deux fonctions de clsse C 1 sur le segment [, b] lors b où [f(x)g(x)] b = f(b)g(b) f()g(). Démonstrtion : (fg) = f g + fg. b f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x) dx Théorème (Chngement de vribles) Soit f continue sur un intervlle I, ϕ une fonction à vleurs dns I et de clsse C 1 sur [, b] lors ϕ(b) ϕ() f(t) dt = b f (ϕ(u)) ϕ (u) du. Démonstrtion : f continue sur I donc dmet sur I une primitive F, F ϕ de clsse C 1 sur [, b] et (F ϕ) = (f ϕ) ϕ. Exercice 3 Lorsqu on veut pr exemple clculer 2 2 x 1 x dx, on peut fire le chngement de vrible u = 2 x x puis du = dx et remplcer. Trduire ceci dns les termes du théorème, en prticulier quelle est l fonction ϕ ici, quels sont et b? Terminer le clcul de l intégrle. Exercice 4 ) Soit f une fonction continue pr morceux sur R et T -périodique. Montrer que pour tout réel (u2 +1) 2 4u T 0 f(t) dt = +T f(t) dt. b) Soit f une fonction pire (resp. impire), continue pr morceux sur un intervlle I et I, que peut-on dire de f(t) dt? Exercice 5 Clculer les primitives des fonctions suivntes (en précisnt leur domine de définition) : ) x e x (x 2 + x + 1) ; b) x 2x + 3 x ; c) x x2 + 2x 3 4x2 + 4x + 3 ; d) x 1 (1 x) 1 x. 2 Théorème (Formule de Tylor vec reste intégrl) Soit f une fonction de clsse C n+1 sur un intervlle I, et b deux points distincts de I lors n (b ) k b f(b) = f (k) (b x) n () + f (n+1) (x) dx. k! n! k=0 Remrque Revoir les hypothèses et conclusions des formules de Tylor-Young et Tylor-Lgrnge, l formule de Tylor vec reste intégrl est celle qui demnde dns ses hypothèses le plus de régulrité à l fonction mis ussi l seule qui donne un reste exct. Pour n = 0 l formule de Tylor vec reste intégrl n est utre que le corolire Démonstrtion : Pr récurrence vec une intégrtion pr prties. 3.3 Intégrtion sur un intervlle quelconque Intégrle générlisée Définition (i) Soit b R et un réel, on note I = [, b[ si < b et I =]b, ] si b <. Soit f continue pr morceux sur I et F l fonction définie sur I pr F (x) = x f(t) dt. Si F dmet une limite finie lorsque x tend vers b lors on note b f(t) dt cette limite et on dit que b f(t) dt est une intégrle impropre (ou générlisée) convergente. (ii) Lorsque et b sont dns R, et I =], b[ si < b et I =]b, [ si b <, f continue pr morceux sur I. On dit que b f(t) dt est une intégrle impropre (ou générlisée) convergente si c f(t) dt et b f(t) dt le sont pour c c point quelconque de I. On lors b f(t) dt = c f(t) dt + b f(t) dt. c Remrque L définition (ii) ne dépend ps du choix de c puisque f est continue pr morceux sur I. Chercher l erreur + x dx = 0 cr pour tout réel X X x dx = 0. X

31 3.3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE 31 Théorème (Intégrle de Riemnn) x α dx converge si et seulement si α > x α dx converge si et seulement si α < 1. Démonstrtion : revenez à l définition et utilisez une primitive de x 1 x α. Remrque x α dx est toujours divergente. Remrque Il y des résultts d intégrtion pr prties ou de chngement de vrible pour les intégrles générlisées mis lorsque l on besoin de les utiliser, l prudence est de plutôt de se rmener à l définition et donc de trviller vec l intégrle sur un segment, de fire les chngements d-hoc puis de psser à l limite. Exercice 6 Montrer que l intégrle générlisée + 0 pr prties. sin x x dx converge. Pour l convergence à l infini penser à une intégrtion Proposition Soient f et g des fonctions positives continues pr morceux sur [, b[ lors 1. S il existe x 0 dns I tel que pour tout x x 0, f(x) g(x) et l intégrle générlisée b g(t) dt converge lors l intégrle générlisée b f(t) dt converge. 2. S il existe x 0 dns I tel que pour tout x x 0, f(x) g(x) et l intégrle générlisée b f(t) dt diverge lors l intégrle générlisée b g(t) dt diverge. 3. Si f b g lors les intégrles générlisées b f(t) dt et b g(t) dt convergent ou divergent simultnément. Démonstrtion : De l même fçon que pour les séries, pensez qu vec l positivité de f et g, les fonctions x x f(t) dt et x x g(t) dt sont croissntes sur [, b[. Remrque Les cs 1. et 2. incluent le cs où f b g. Exercice 7 Retrouvez dns le cs de l équivlence, comme pour les séries, des résultts sur l équivlence de x f(t) dt et x g(t) dt dns le cs de l divergence ; sur l équivlence de b x f(t) dt et b g(t) dt dns le cs de l convergence. Exercice 8 Montrer que + e t2 /2 dt converge. Montrer que l on l équivlence à l infini, + 0 x penser à utiliser que l fonction x e x2 /2 est solution de l éqution différentielle y + xy = Fonctions intégrbles à vleurs positives x e t2 /2 2 /2 dt e x 2x, on pourr Définition Une fonction f à vleurs réelles positives continue pr morceux sur un intervlle I est dite intégrble (ou sommble) sur I s il existe un réel positif M tel que, pour tout segment J contenu dns I, f M. On pose lors J f = sup f. I J J Proposition Soit f continue pr morceux et positive sur l intervlle I, intégrble sur I, soit l intervlle I inclus dns I lors f est intégrble sur I et I f I f. Démonstrtion : Idée, tout segment contenu dns I est contenu dns I, si A B lors sup A sup B. Proposition Si f est positive et continue pr morceux sur [, b] lors f est intégrble sur [, b], sur [, b[, sur ], b] et sur ], b[ et de plus les intégrles correspondntes sur ces 4 intervlles sont égles, on les note ussi b f(t) dt. Proposition Soit f une fonction continue pr morceux, positive sur l intervlle I et (J n ) une suite croissnte de segments contenus dns I tels que J n = I lors les propositions suivntes sont équivlentes f est intégrble sur I l suite ( J n f) est mjorée l suite suite ( J n f) est convergente De plus dns le cs où f est intégrble sur I on I f = lim n + J n f. n N Démonstrtion : idées, l suite ( J n f) est croissnte ; de plus pr hypothèse sur (J n ), pour tout segment [, b] contenu dns I il existe p et q tels que J p, b J q et lors puisque l on trville vec des intervlles [, b] J mx{p,q}.

32 32 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Corrolire Soit f continue pr morceux et positive sur [, b[ lors f est intégrble sur [, b[ si et seulement si l fonction définie sur [, b[ pr x x f(t) dt dmet une limite lorsque x tend vers b. De même, si f continue pr morceux et positive sur ], b] lors f est intégrble sur ], b] si et seulement si l fonction définie sur ], b] pr x b f(t) dt dmet une limite lorsque x tend vers. x Remrque Pour les fonctions continues pr morceux et positives il y équivlence entre intégrbilité sur [, b[ et convergence de l intégrle générlisée b f(t) dt. Nous verrons dns le prgrphe suivnt que ce n est plus le cs pour les fonctions de signe quelconque. Démonstrtion : Supposons f intégrble sur [, b[, pr positivité de f l fonction x x f(t) dt est croissnte, mjorée cr le segment [, x] est inclus dns l intervlle [, b[ pour tout x de [, b[, elle dmet donc une limite finie lorsque x tend vers b, l intégrle générlisée b f(t) dt converge. Réciproquement si cette intégrle converge lors en prennt J n = [, b 1 n ] pour n n 0 de sorte que ces segments soient bien définis, J n [, b[, nous vons que (J n ) est une suite croissnte de segments, J n = [, b[ et l suite ( J n f) converge vers l limite finie b f(t) dt donc n n 0 vec l proposition , f est intégrble sur [, b[. Proposition (Domintion) Soit f et g continues pr morceux et positives sur l intervlle I, telles que 0 f g. Alors g est intégrble sur I implique f est intégrble sur I. Proposition Si f et g sont continues pr morceux et positives sur l intervlle I, intégrbles sur I lors pour tout sclire positif λ, f + λg est intégrble sur I et I (f + λg) = I f + λ I g. Soit I un intervlle, un point de I et f une fonction continue pr morceux et positive sur I, lors f est intégrble sur I si et seulement si f est intégrble sur I 1 = I [, + [ et sur I 2 = I ], ], de plus dns ce cs f = I f + I 1 f. I 2 Démonstrtion : le premier point est une conséquence immédite du résultt nlogue sur les intégrles de Riemnn. Le deuxième se démontre à l ide de l proposition Fonctions intégrbles à vleurs complexes Définition Une fonction f à vleurs réelles ou complexes, continue pr morceux sur un intervlle I, est dite intégrble ou sommble sur I si f est intégrble sur I. Proposition (Domintion) Soit f et g continues pr morceux sur l intervlle I, telles que f g. Alors g est intégrble sur I implique f est intégrble sur I. Proposition f continue pr morceux et à vleurs réelles sur I lors f intégrble sur I si et seulement si f + := sup(f, 0) et f := sup( f, 0) sont intégrbles sur I. Dns ce cs on pose f = f + f. I I f continue pr morceux et à vleurs complexes sur I lors f intégrble sur I si et seulement si Ref et Imf sont intégrbles sur I. Dns ce cs on pose f = Ref + i Imf. I I I Proposition On encore l linérité de l intégrle, l dditivité de l intégrle pr rpport à l intervlle d intégrtion. Si f est continue pr morceux sur [, b], à vleurs réelles ou complexes, lors f est intégrble sur [, b], sur [, b[, sur ], b] et sur ], b[ et de plus les intégrles correspondntes sur ces 4 intervlles sont égles, on les note ussi b f(t) dt. Si f continue pr morceux sur l intervlle I, à vleurs réelles ou complexes, et (J n ) une suite croissnte de segments contenus dns I tels que J n = I lors si f est intégrble sur I on I f = J n f. n N I lim n + Si f est continue pr morceux sur [, b[, à vleurs réelles ou complexes, intégrble sur [, b[ lors l intégrle générlisée b f(t) dt converge et est égle à f, on dit ussi dns ce cs que l intégrle générlisée est bsolument convergente. Résultt nlogue vec l intervlle ], b]. [,b[ Si f est continue pr morceux et intégrble sur I lors I f I f.

33 3.4. INTÉGRATION ET SUITES DE FONCTIONS 33 Si f est continue pr morceux et intégrble sur I, si I I lors f est intégrble sur I et I f = I χ I f, où χ I est l fonction indictrice de l intervlle I. Exercice 9 Montrer que l fonction ln est intégrble sur ]0, 1] et qu elle n est ps intégrble sur [1, + [. Exercice 10 Montrer que l fonction x sin x x n est ps intégrble sur [0, + [. Cette fonction nous donne un exemple de fonction dont l intégrle générlisée sur ]0, + [ converge mis qui n est ps intégrble sur cet intervlle. 3.4 Intégrtion et suites de fonctions Cs de l intégrtion sur un segment Théorème Soit (f n ) une suite de fonctions, à vleurs réelles ou complexes, continues sur [, b], qui converge uniformément sur [, b] vers f lors f est continue sur [, b] et b f(t) dt = lim n b f n (t) dt. Démonstrtion : Continuité de f : Soit x 0 un point de [, b] et ɛ un réel strictement positif, lors pr convergence uniforme il existe n ɛ tel que pour tout n n ɛ sup f f n ɛ [,b] et pr continuité de f nɛ r > 0, x ]x 0 r, x 0 + r[ [, b] f nɛ (x) f nɛ (x 0) ɛ. En utilisnt l inéglité tringulire on lors f(x) f(x 0 ) f(x) f nɛ (x) + f nɛ (x) f nɛ (x 0 ) + f nɛ (x 0 ) f(x 0 ) ɛ > 0, r > 0, x ]x 0 r, x 0 + r[ [, b] f(x) f(x 0 ) 3ɛ. f continue en x 0 pour tout x 0 de [, b], soit f continue sur [, b]. Permuttion limite et intégrle : En reprennt les nottions ci-dessus, pour tout n n ɛ b b f(t) dt f n (t) dt b ɛ d où l convergence. Théorème Soit (u n ) une suite de fonctions, à vleurs réelles ou complexes, continues sur [, b], telle que l série u n converge uniformément sur [, b] vers f lors f est continue sur [, b] et b + n=0 u n (t) dt = + b n=0 u n (t) dt. Démonstrtion : ppliquer le résultt précédent à l suite des sommes prtielles Convergence dominée Théorème (Convergence dominée) Soit (f n ) une suite de fonctions à vleurs réelles ou complexes, continues pr morceux sur l intervlle I. On suppose que 1. l suite (f n ) converge simplement vers f continue pr morceux sur I, 2. il existe ϕ positive, continue pr morceux sur I et intégrble sur I telle que pour tout entier n, f n ϕ. Alors les fonction f n et f sont intégrbles sur I et lim n + I f n = f. I

34 34 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Ce résultt est dmis, il se résume en on peut permuter intégrle et limite. Corrolire Soit (u n ) une suite de fonctions positives, continues pr morceux sur l intervlle I. Si l série un converge simplement sur I vers f continue pr morceux et intégrble sur I lors l série de terme générl I u n est convergente et + + u n = u n. I n=0 Démonstrtion : ppliquer le théorème à l suite de fonctions de terme générl f n = n k=0 u k. Théorème (Convergence dominée pour les séries) Soit (u n ) une suite de fonctions à vleurs réelles ou complexes, continues pr morceux sur l intervlle I et intégrbles sur I. Si l série u n converge simplement vers une fonction f continue pr morceux sur I et si l série I u n converge lors f est intégrble sur I et Ce résultt est dmis, il se résume en on peut permuter intégrle et somme. 3.5 Intégrles à prmètre I f = Cs des intégrles sur un segment + n=0 Théorème (Continuité) Soit f une fonction à vleurs réelles ou complexes définie et continue sur A [, b] où A est un compct de R m, lors l ppliction n=0 I I u n. est continue sur A. x b f(x, t) dt Démonstrtion : il suffit de montrer que pour tout x fixé dns A et toute suite (x n ) de points de A qui converge vers x lors l suite ( b f(x n, t) dt) n converge vers b f(x, t) dt. C est une conséquence du théorème vec f n = f(x n, ) puisque l continuité de f sur le compct A [, b] implique l continuité uniforme de f et donc l convergence uniforme sur [, b] de l suite (f n ) vers f(x, ). Théorème (Dérivtion) Soit f une fonction à vleurs réelles ou complexes définie et de clsse C 1 I [, b] où I est un intervlle de R. Alors l ppliction g définie sur I pr sur est de clsse C 1 sur I et g(x) = g (x) = b b f(x, t) dt f (x, t) dt. x Démonstrtion : Dns le même esprit que celle de 3.5.5, en n oublint ps que l dérivbilité est une propriété locle Cs des intégrles sur un intervlle quelconque Théorème (Continuité d une intégrle à prmètre) Soit f une fonction à vleurs réelles ou complexes définie sur A I où A est une prtie de R m et I un intervlle de R, on suppose que 1. pour tout t de I, l ppliction x f(x, t) est continue sur A, 2. pour tout x de A, l ppliction t f(x, t) est continue pr morceux sur I, 3. il existe ϕ continue pr morceux sur I, positive et intégrble sur I telle que pour tout x de A, f(x, ) ϕ. Alors pour tout x de A, f(x, ) est intégrble sur I et l ppliction x f(x, t) dt est continue sur A. I

35 3.6. EXERCICES 35 Démonstrtion : L intégrbilité de f(x, ) est immédite vec les hypothèses 2. et 3. Pour l continuité, il suffit de montrer que pour tout x fixé dns A et toute suite (x n ) de points de A qui converge vers x lors l suite ( I f(x n, t) dt) n converge vers I f(x, t) dt. C est une conséquence du théorème vec f n = f(x n, ). Remrque On peut réduire l hypothèse 3. en n ynt l domintion que sur toute prtie compcte K de A (l fonction qui domine dépend lors du compct K) puisque l continuité est une propriété locle. Théorème (Dérivbilité d une intégrle à prmètre) Soit f une fonction à vleurs réelles ou complexes définie sur A I où A est un intervlle de R et I un intervlle de R, on suppose que 1. pour tout x de A, l ppliction t f(x, t) est continue pr morceux sur I et intégrble sur I, 2. pour tout t de I, l ppliction x f(x, t) est continument dérivble sur A, 3. pour tout x de A, l ppliction t f x (x, t) est continue pr morceux sur I 4. il existe ϕ continue pr morceux sur I, positive et intégrble sur I telle que pour tout x de A, f x (x, ) ϕ. Alors l ppliction g définie sur A pr g(x) = f(x, t) dt est de clsse C 1 sur A et g (x) = I I f (x, t) dt. x Démonstrtion :( Pour fixé) rbitrire dns A, on v montrer que pour toute suite de points ( n ) qui converge vers lors l suite g(n) g() n converge vers f I x (, t) dt ce qui permettr de dire que g est dérivble en et que g () = f I x (, t) dt. g( n ) g() f( n, t) f(, t) = dt. n n I On pose g n (t) = f(n,t) f(,t) n, vec le théorème des ccroissements finis ppliqué à x f(x, t), il existe c n compris entre n et tel que g n (t) = f x (c n, t). On pplique lors le théorème à l suite de fonctions (g n ) pour g n définie ci-dessus. L suite (g n ) converge simplement vers f f x (, ) pr continuité de x x (x, t) et elle est dominée grâce à l hypothèse 4. Remrque On peut encore se contenter de dominer sur tout compct de A. Exercice 11 ) Montrer que l intégrle + e t t x 1 dt converge pour tout x strictement positif. On note Γ l fonction définie sur 0 ]0, + [ pr Γ(x) = + 0 e t t x 1 dt. b) A l ide d une intégrtion pr prties, montrer que pour tout x strictement positif Γ(x + 1) = xγ(x). En déduire l vleur de Γ(n + 1) pour n dns N. c*) Montrer pr récurrence que Γ est dns C (]0, + [) et que 3.6 Exercices Γ (n) (x) = + 0 (ln t) n e t t x 1 dt. Exercice 12 (lemme de Lebesgue). Soit f : [, b] R continue pr morceux, on rppelle qu il existe une suite de fonctions en escliers qui converge uniformément vers f sur [, b]. b ) Soit f : [, b] R continue pr morceux, montrer que lim n + f(t) sin nt dt = 0 (ind. : commencer pr supposer f en escliers). b) Donner une utre démonstrtion du résultt précédent si l on suppose que f est C 1 sur [, b].

36 36 CHAPITRE 3. INTÉGRATION Exercice 13 Soit f : [, b] R continue telle que pour tout entier n, b f(t)tn dt = 0. ) Montrer que pour toute fonction polynômile P, b f(t)p (t) dt = 0 puis que b f 2 (t) dt b (f P )2 (t) dt. b) En déduire que f = 0. Exercice 14 (Inéglité de Jensen) Soient f : [, b] R continue et φ une fonction convexe et continue sur f([, b]). En utilisnt les sommes de Riemnn, montrer que ( 1 φ b b f(t) dt ) 1 b b φ(f(t)) dt. Quelle inéglité retrouvez-vous lorsque φ est l fonction vleur bsolue? Exercice 15 (formules de l moyenne). ) Soient f, g : [, b] R, f continue pr morceux et de signe constnt sur [, b], g continue sur [, b]. Montrer qu il existe c [, b] tel que b f(t)g(t) dt = g(c) b f(t) dt. Qu obtient-on comme reltion lorsque f = 1? b) f est mintennt suposée de clsse C 1 et s dérivée est de signe constnt sur [, b]. Montrer qu il existe c [, b] tel que b f(t)g(t) dt = f() c g(t) dt + f(b) b c g(t) dt. (ind. considérer l fonction uxiliire G(x) = x g(t) dt.) Exercice 16 Soit f : [, b] R une fonction strictement croissnte et continument dérivble. On considère les deux intégrles I 1 = b f(t) dt et I 2 = f(b) f() f 1 (t) dt. ) En fisnt le chngement de vrible t = f(u) dns l intégrle I 2 clculer I 2 en fonction de I 1. Interpréttion géométrique? b) Retrouvez ce résultt si f est continue et strictement croissnte en utilisnt les sommes de Riemnn pour une subdivision bien choisie. Exercice 17 (Intégrle de Wllis) ) A l ide d une intégrtion pr prties, clculer I n = π/2 sin n x dx (on ser mené à distinguer n pir et n impir). 0 b) En considérnt l suite (ni n I n 1 ) n, trouver un équivlent de I n lorsque n tend vers +. c) Si on suppose connue l équivlence ( n ) n n! C n e déduire de ce qui précède l vleur de C. (Pour mémoire ce résultt dmis peut s obtenir à l ide d un développement symptotique de ln(n!)). Exercice 18 En clculnt + n=0 ( 1)n 1 0 x2n (1 x)dx de deux fçons différentes, montrer que l on + n=0 Exercice 19 n Soit p N. Clculer lim n + 0 tp (1 t/n) n dt. Exercice 20 Soit f continue pr morceux sur [, + [ telle que l intégrle générlisée + dmet une limite l en + lors l = 0. A-t-on en générl lim x + f(x) = 0? Exercice 21 Etudier l nture des intégrles générlisées suivntes : ) + + sint dt ; b) e) 1 0 lnt dt (l clculer) ; f) dt ; k) 1/2 2 t α (lnt) β 0 sin(t 2 ) dt (on pourr pr exemple fire une intégrtion pr prties) c) + 0 dt t α lnt β. lnt (1+t) dt (l clculer) ; g) (lnt) 2 t(1 t) dt ; h) + 0 ( 1) n (2n+1)(2n+2) = π 4 log 2 2. f(t) dt converge. Montrer que si f dt t(t+1) ; d) 1 0 dt lnt ; t α 1+e t dt ; i) + (t+1) 1/3 t 1/3 1 t dt ; j) Exercice 22 Pour n N, on pose I n = + x n e x2 dx. 0 1) Montrer que pour tout n, I n est bien définie et trouver pour n 2 une reltion entre I n et I n 2.

37 3.6. EXERCICES 37 2) On dmet que I 0 = π 2. Trouver I n en fonction de n. Exercice 23 1) Démontrer que toute intégrle bsolument convergente est convergente. 2) Soient f et g deux fonctions continues sur [, + [, à vleurs réelles et telles que les intégrles + et + g(t) 2 dt convergent. Montrer que l intégrle + f(t)g(t) dt converge. f(t) 2 dt 3) On note L 2 ([, + [) l ensemble des fonctions continues sur [, + [, à vleurs réelles et telles que + f(t) 2 dt converge, montrer que L 2 ([, + [) est un R-espce vectoriel et que l ppliction définie de ( L 2 ([, + [) ) 2 dns R pr (f g) := + f(t)g(t) dt est un produit sclire. 4) Y--t il un lien entre l convergence de + f(t) 2 dt et celle de + f(t) dt? Exercice 24 1) Montrer l convergence de l intégrle + sin x 0 x dx. 2) Montrer que si f est de clsse C 1 sur [0, π] lors l intégrle lim n + (On pourr fire une intégrtion pr prties.) 3) Pour n N on pose π 0 I n = ( f(x) sin n + 1 ) x dx = 0. 2 π 0 sin(n )x 2 sin x 2 ) Justifier l convergence de l intégrle I n. b) Montrer que pour tout n 1, I n = I n 1. En déduire l vleur de I n, n 0. On pourr utiliser l églité sin( + b) sin( b) = 2 cos sin b. 4) Soit f l ppliction définie de [0, π] dns R pr : f(x) = 1 x 1 2 sin x 2 dx. si 0 < x π et f(0) = 0. ) Donner le développement limité de 2 sin( x 2 ) x en 0, à l ordre 2. b) Montrer que f est de clsse C 1. 5) Montrer que En déduire l vleur de + sin x 0 x Exercice 25 Soient F et G définies sur R pr lim I n = n + dx. π sin(n lim )x n + 0 x dx = + 0 sin x x dx. ( x 2 F (x) = e dt) t2 et G(x) = e x2 (1+t 2 ) 1 + t 2 dt. ) Montrer que ces fonctions sont dérivbles, clculer leur dérivées et en déduire que F + G = 0. b) Clculer F (0) + G(0). c) Montrer que lim x + G(x) = 0. d) En déduire que + e t2 dt = π 0 2. Exercice 26 (Trnsformée de Fourier) Soit f une fonction continue pr morceux et intégrble sur R. L trnsformée de Fourier de f est définie pr : ˆf(x) = + f(t)e ixt dt. 1) Montrer que ˆf est continue. 2) On suppose que l intégrle + tf(t) dt < +. Montrer que ˆf est dérivble et déterminer s dérivée. 3) On pose g n (x) = n n f(t)e ixt dt. Montrer que lim x + g n (x) = 0. (On pourr montrer d bord ce résultt pour une une fonction de clsse C 1 et pprocher ensuite f pr des polynômes.) 4) Montrer que g n converge uniformément vers ˆf et en déduire ensuite que lim x + ˆf(x) = 0. Exercice 27 Pour α > 0, on pose f(x) = e α x. Clculer l trnsformée de Fourier de f. Exercice 28 Soit f(t) = e t2, t R.

38 38 CHAPITRE 3. INTÉGRATION 1) Montrer que ˆf est de clsse C sur R. 2) Montrer que ˆf stisfit une éqution différentielle du premier ordre. 3) Déterminer ˆf. Exercice 29 (Trnsformée de Lplce) On suppose que f : [0, + [ R est continue, que l intégrle générlisée + f(t) dt converge. Soit F (x) = 0 [0,x] f(t) dt lim y + [0,y] f(t) dt et soit λ > 0. Montrer que [0,x] f(t)e λt dt = [ F (t)e λt] x 0 + λ [0,x] F (t)e λt dt. En déduire que, pour tout λ > 0, L f (λ) = lim x [0,x] f(t)e λt dt existe. Montrer que λ [0,+ [ F (t)e λt dt = [0,+ [ F (u/λ)e u du 0 qund λ 0, et en déduire que L f (λ) + f(t) dt 0 qund λ 0.

39 Chpitre 4 Espces vectoriels normés 4.1 Générlités E est un K espce vectoriel vec K = R ou C. Définition On ppelle norme sur E une ppliction N : E R + vérifint (i) x E, N(x) = 0 x = 0 (ii) x E, λ K, N(λx) = λ N(x) (iii) (x, y) E 2, N(x + y) N(x) + N(y) Exemple L vleur bsolue, notée, est une norme sur R. 2. Le module, noté, est une norme sur C en tnt que C ou R espce vectoriel. 3. On note x = (x 1,..., x n ) K n lors les pplictions N 1, N 2 et N définies sur K n pr sont des normes sur K n. N 1 (x) = n x i, n N 2 (x) = ( x i 2 ) 1/2, N (x) = sup x i 1 i n i=1 i=1 4. On note C([, b], K) l ensemble des fonctions continues sur [, b] et à vleurs dns K. Alors les pplictions définies pr N 1 (f) = b f(t) dt, N 2 (f) = ( b f(t) 2 dt) 1/2, sont des normes sur C([, b], K). 5. On note l 1 = {u = (u i ) K N, i u i < + }, l 2 = {u = (u i ) K N, K N, sup i u i < + } insi que N (f) = sup f [,b] i u i 2 < + } et l = {u = (u i ) N 1 (u) = i u i, N 2 (u) = ( i u i 2 ) 1/2, N (u) = sup u i. i Alors N 1 est une norme sur l 1, N 2 sur l 2 et N sur l. 6. Si E est un espce préhilbertien réel ou complexe, en notnt ( ) le produit sclire ou hermitien sur E 2 lors l ppliction N définie sur E pr N(x) = (x x) 1/2 est une norme sur E, de plus N(x) = (x y). sup N(y) 1 7. Soit (E i, N i ), pour i compris entre 1 et n, des espces vectoriels normés lors (E, N) est un espce vectoriel normé vec E = E 1 E n et N = sup 1 i n N i. On dir lors que l espce produit est muni de s norme produit usuelle. Proposition (Inéglité tringulire) Soit (E, N) un espce vectoriel normé lors (x, y) E 2, N(x) N(y) N(x + y) N(x) + N(y). Corrolire Soit (E, N) un espce vectoriel normé lors (x, y, z) E 3, N(x y) N(x z) N(y z). Pour tout x de E fixé, l fonction définie sur E pr y N(x y) est continue et lipschitzienne. 39

40 40 CHAPITRE 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Démonstrtion : à fire. Définition (Normes équivlentes) On dit que deux normes N 1 et N 2 sur E sont équivlentes s il existe deux réels strictement positifs m et M tels que x E, mn 2 (x) N 1 (x) MN 2 (x). Exercice 1 : Dns les exemples de normes ci-dessus montrer que les normes du (3) sont équivlentes, que les normes du (4) ne sont ps équivlentes (on pourr prendre [, b] = [0, 1] et f n (x) = 1 x+1/n ). Définition (Distnce ssociée) Soit (E, N) un espce vectoriel normé, l ppliction d définie sur E 2 pr est ppelée distnce ssociée à N. d(x, y) = N(x y) Exercice 2 : Montrer que d est bien une distnce sur E 2. Définition (Boules et sphères) Soit (E, N) un espce vectoriel normé, on ppelle boule ouverte de centre E et ryon r R + l ensemble B(, r) = {x E, N(x ) < r}, boule fermée de centre E et ryon r R + l ensemble B f (, r) = {x E, N(x ) r}, sphère de centre E et ryon r R + l ensemble S(, r) = {x E, N(x ) = r}. Définition (Prties bornées) Soit (E, N) un espce vectoriel normé. Une prtie F de E est dite bornée s il existe M > 0 tel que F B f (0, M). Une ppliction f : A E est dite bornée si f(a) est une prtie bornée de E. Définition (Distnce à une prtie) Soit (E, N) un espce vectoriel normé, A et B deux prties non vides de E. On note d(x, A) = inf{n(x y), y A} d(a, B) = inf{n(x y), x A, y B} Exercice 3 : Montrer que l ppliction définie sur E pr x d(x, A) est 1-lipschitzienne, c est-à-dire que d(x, A) d(y, A) N(x y). 4.2 Topologie d un espce vectoriel normé Définition Une prtie V de E est un voisinge de s il existe r > 0 tel que B(, r) V. Une prtie O de E est un ouvert si elle est un voisinge de chcun de ses points. Une prtie F de E est un fermé si E \ F est un ouvert de E. est un point intérieur de A si A est un voisinge de. L ensemble des points intérieurs d une prtie A est noté Å. est un point dhérent à A si pour tout r > 0, B(, r) A. L ensemble des points dhérents d une prtie A est noté A. On ppelle frontière de A l ensemble des points dhérents à A et qui ne sont ps dns l intérieur de A, soit F r(a) = A \ Å. Proposition E et sont à l fois ouverts et fermés. L boule ouverte B(, r) est un ouvert. L boule fermée B f (, r) est un fermé. L sphère S(, r) = F r(b(, r)) = F r(b f (, r)). Une union quelconque d ouverts est ouverte. Une intersection quelconque de fermés est fermée. Une intersection finie d ouverts est ouverte. Une réunion finie de fermés est fermée. L intérieur Å d une prtie A est l réunion de tous les ouverts inclus dns A, ou encore le plus grnd ouvert (u sens de l inclusion) contenu dns A. L dhérence A d une prtie A est l intersection de tous les fermés contennt A, ou encore le plus petit fermé (u sens de l inclusion) contennt A. Une prtie A est ouverte si et seulement si Å = A. Une prtie A est fermée si et seulement si A = A. Démonstrtion : à fire. Exercice 4 : Ecrire l intervlle ]0, 1[ comme une réunion dénombrble d intervlles fermés.

41 4.3. ETUDE LOCALE D UNE APPLICATION, CONTINUITÉ Etude locle d une ppliction, continuité Dns cette prtie (E, N) et (F, N ) sont des K-espces vectoriels normés. Définition (Limite en un point) Soit f une ppliction d une prtie A de E dns F et A. On dit que f dmet une limite en s il existe b dns F tel que ε > 0, δ > 0, x A, N(x ) δ N (f(x) b) ε. On note b = lim f ou b = lim f(x). x Si A lors f est dite continue en et dns ce cs b = f(). Soit P une prtie de A et P on dit que f dmet une limite en suivnt P si, f P, l restriction de f à P dmet une limite en. Remrque Lorsqu elle existe l limite b est unique. Proposition (Trduction en termes de voisinges) Soit f une ppliction d une prtie A de E dns F et A. Alors b = lim f si et seulement si pour tout voisinge W de b il existe un voisinge V de tel que f(a V ) W. Exercice 5 : Rppelez les résultts concernnt l limite d une ppliction composée, les opértions lgébriques sur les limites. Définition Soit f une ppliction d une prtie A de E dns F, on dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A. Proposition Soit f une ppliction d une prtie A de E dns F, les ssertions suivntes sont équivlentes, (i) f est continue sur A. (ii) Pour tout ouvert O de F, f 1 (O) est un ouvert de A. (iii) Pour tout fermé C de F, f 1 (C) est un fermé de A. Démonstrtion : à fire, il suffit de revenir ux définitions. Exercice 6 : Soient (E 1, N 1 ) et (E 2, N 2 ) deux espces normés, f et g deux pplictions continues de E 1 dns E 2. ) Montrer que F := {x E 1 : f(x) = g(x)} est un fermé de E 1. b) Montrer que si f = g sur un ensemble A dense dns E 1 lors f = g sur E Suites dns un espce vectoriel normé Définition Une suite u = (u i ) E N est dite convergente dns (E, N) s il existe un élément l E tel que lim n + N(u n l) = 0. Exercice 7 : Montrer que si une suite converge lors s limite est unique. Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer que l ensemble des suites convergentes est un sous-espce vectoriel de E N. Proposition Soit E un espce vectoriel, muni des normes N 1 et N 2. Il y équivlence entre l convergence dns (E, N 1 ) et dns (E, N 2 ) si et seulement si les normes N 1 et N 2 sont équivlentes. Démonstrtion : à fire. Dns le cs où les normes ne sont ps équivlentes on pourr construire une suite qui converge vers 0 pour l une des normes et qui ne converge ps pour l utre. Proposition Soit A une prtie de E. Si une suite de points de A converge dns E vers l lors l A. Si l A lors il existe une suite de points de A qui converge vers l. Définition l est dite vleur d dhérence de l suite u = (u i ) s il existe une suite extrite de u qui converge vers l. C est-à-dire s il existe une ppliction ϕ strictement croissnte de N dns N telle que l suite (u ϕ(i) ) converge vers l. Proposition (Crctéristion séquentielle de l limite) Soit f une ppliction d une prtie A de E dns F et A. Alors f dmet une limite en si et seulement si pour tout suite ( n ) de A qui converge vers, l suite (f( n )) de F est convergente. Démonstrtion : à fire. L condition nécessire découle des définitions, pour l condition suffisnte on pourr commencer pr monter que si (f( n )) converge vers b et (f( n)) converge vers b lors b = b.

42 42 CHAPITRE 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 4.5 Complétude Définition (Suite de Cuchy) Une suite u = (u i ) de E est dite de Cuchy si ε > 0, n 0 N, n n 0 p N, N(u n+p u n ) < ε. Remrque Toute suite convergente est de Cuchy. Définition Un espce vectoriel normé (E, N) est dit de Bnch si toute suite de Cuchy converge. Une prtie A d un espce vectoriel normé est dite complète si toute suite de Cuchy d éléments de A converge dns A. Remrque Un espce préhilbertien complet est ppelé espce de Hilbert. Exemple (C, ) est complet. 1. (R, ) est complet. 3. Soit (E i, N i ), pour i compris entre 1 et n, des espces de Bnch lors (E, N) est un espce de Bnch vec E = E 1 E n et N = sup 1 i n N i. 4. K n muni des normes N 1 ou N 2 ou N (cf. exemple 4.1.2) est un espce de Bnch. 5. (C([, b]), N ) est un espce de Bnch (cf. exemple 4.1.2). L convergence pour cette norme correspond à l convergence uniforme sur [, b]. 6. (C([, b]), N i ) pour i = 1, 2 n est ps complet (considérer pr exemple C([0, 1]) et l suite (f n ) de fonctions ffines pr morceux telles que f n (x) = 1 pour x [0, 1/2] et f n (x) = 0 pour x [1/2 + 1/n, 1]). 7. (l 1, N 1 ), (l 2, N 2 ) et (l, N ) sont des espces de Bnch. Lequel est un espce de Hilbert? Proposition (i) Toute prtie fermée A d un espce de Bnch est complète. (ii) Toute prtie complète d un espce vectoriel normé est fermée. Démonstrtion : à fire en revennt ux définitions et penser que toute suite convergente est de Cuchy. Proposition (Fermés emboités) Soit (E, N) un espce de Bnch et (F n ) une suite décroissnte de fermés non vides de E de dimètre δ(f n ) := sup{n( b), (, b) F 2 n} tendnt vers 0. Alors l intersection n N F n est réduite à un point. Démonstrtion : Considérer une suite (x n ) vec x n F n et montrer qu elle est de Cuchy. Théorème (Théorème du point fixe) Soit A une prtie complète d un espce vectoriel normé (E, N) et f une ppliction contrctnte de A dns A. Alors f dmet un unique point fixe dns A. Démonstrtion : f contrctnte de A dns A signifie que f(a) A et il existe k [0, 1[ tel que (x, y) A 2, N(f(x) f(y)) kn(x y). Pour l existence construire l suite (x n ) définie pr x 0 A et x n+1 = f(x n ), vérifier qu elle est de Cuchy et conclure. L unicité découle directement de f contrctnte. 4.6 Compcité Définition (séquentielle) Une prtie A d un espce vectoriel normé est dite compcte si elle est vide ou si toute suite d éléments de A dmet une vleur d dhérence dns A. Proposition (i) Une prtie compcte est fermée. (ii) Un fermé dns une prtie compcte est compct. (iii) Une union finie de compcts est compcte. (iv) Une intersection quelconque de compcts est compcte. (v) Si F n est une suite décroissnte de compcts non vides lors n N F n est un compct non vide. Démonstrtion : à fire. Proposition Dns un espce vectoriel normé, tout compct est borné.

43 4.7. CONNEXITÉ 43 Démonstrtion : sinon construire une suite (x i ) telle que pour tout i j, N(x i x j ) 1 et en déduire une contrdiction. Proposition Soit E un espce vectoriel muni des normes équivlentes N 1 et N 2, lors les compcts de (E, N 1 ) sont les compcts de (E, N 2 ). Un produit fini de prties compctes est compct. Proposition Une prtie compcte est complète. Démonstrtion : Que penser d une suite de Cuchy qui u moins une vleur d dhérence? Remrque L réciproque est fusse, on peut considérer pr exemple (R, ). Théorème Les compcts de R sont les fermés bornés. Démonstrtion : On sit déjà que les compcts sont fermés et bornés. Il reste à montrer que dns R tous les fermés bornés sont compcts, c est une conséquence du théorème de Bolzno-Weiestrss. Corrolire Les compcts de K N sont les fermés bornés. Démonstrtion : Conséquence de l proposition et du théorème Théorème Soient E et F deux espces vectoriels normés. Soit A une prtie compcte de E et une ppliction f continue de A dns F lors 1. f est uniformément continue sur A. (Th. de Heine) 2. f(a) est une prtie compcte de F. 3. f est bornée et tteint ses bornes. 4. Dns le cs où F = R, f est mjorée et minorée et il existe et b dns A tels que f() = min x A f(x), f(b) = mx x A f(x). 5. Si de plus f est injective lors elle rélise un homéomorphisme de A sur f(a). Démonstrtion : A fire. Pour le (1) supposer le contrire et en déduire une contrdiction. Pour (2) revenir ux définitions, (3) et (4) s obtiennent en utilisnt l définition du sup et inf et en utilisnt l continuité de f. Pour (5), f est donc une bijection de A sur f(a), il reste à montrer l continuité de f 1, qui s obtient en montrnt que pour tout fermé F de A (fermé dns un compct donc compct) lors f(f ) est un fermé de f(a) (compct comme imge de compct pr une ppliction continue). Exercice 8 : Soit (x n ) une suite d un espce normé E, convergent dns E vers x. Montrer que l ensemble {x n } {x} est compct dns E. Quelle utre démonstrtion peut-on donner si E est de dimension finie? Exercice 9 : Soit E l espce vectoriel des fonctions continues sur [0, π] muni de l norme f 2 = π 0 f(t) 2 dt. Posons f n (t) = sin(nt), n N, t [0, π]. Clculer f n 2 et f p f q 2 pour (p, q) N 2. Montrer que l boule fermé B(0, π/2) n est ps compcte et en déduire qu ucune boule fermée de E n est compcte. Quelle propriété de E explique cette sitution? 4.7 Connexité Définition Une prtie A de E est dite connexe pr rcs si, pour tout couple (x, y) de points de A, il existe une ppliction f continue de [0, 1] dns A telle que f(0) = x et f(1) = y. Proposition Un convexe est connexe pr rcs. 1. Une prtie étoilée est connexe pr rcs. 3. Les connexes pr rcs de R sont les intervlles. 4. Soit A une prtie connexe pr rcs de E et une ppliction g continue de A dns F lors g(a) est connexe pr rcs. 5. Soit A une prtie connexe pr rcs de E et une ppliction g continue de A dns {0, 1}, lors g est constnte. Démonstrtion : (3) est une conséquence du théorème des vleurs intermédiires. Pour (5), considérer deux points x et y de A, f l ppliction continue de [0, 1] dns A telle que f(0) = x et f(1) = y. Pr composition g f est continue de [0, 1] dns {0, 1} donc constnte et g(x) = g f(0) = g f(1) = g(y). Exercice 10 : Redémontrer à l ide de l connexité pr rcs que toute fonction f continue et injective de R dns R est strictement monotone. Pour cel on pourr considérer l ppliction F définie de R 2 dns R pr F (x, y) = f(x) f(y) et C = {(x, y) R 2 : x > y}, que dire de F (C)?

44 44 CHAPITRE 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 4.8 Applictions linéires continues Définition (Appliction linéire) Soit E et F deux espces vectoriels, une ppliction f de E dns F est dite linéire si (λ, x, y) K E 2 f(λx + y) = λf(x) + f(y). L ensemble des pplictions linéires de E dns F ser noté L(E, F ). Remrque L(E, F ) est un K espce vectoriel. Proposition (Crctéristion des pplictions linéires continues) Soit (E, N) et (F, N ) des espces vectoriels normés et f une ppliction linéire de E dns F lors les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue sur E. (ii) f est continue en 0. (iii) f est bornée sur l boule unité fermée B f (0, 1). (iv) f est bornée sur l sphère unité S(0, 1). (v) f est lipschitzienne, c est-à-dire qu il existe k tel que pour tout x de E, N (f(x)) kn(x). L ensemble des pplictions linéires continues de E dns F ser noté L(E, F ). Démonstrtion : à fire. Remrque L(E, F ) est un sous-espce vectoriel de L(E, F ). Lorsque E = F nous noterons l espce des pplictions linéires continues de E dns E : L(E). Exercice 11 : Montrer que les normes N 1 et N 2 sur E sont équivlentes si et seulement si l ppliction linéire identité de (E, N 1 ) dns (E, N 2 ) est bi-continue. Théorème (Norme subordonnée) Soit (E, N) et (F, N ) des espces vectoriels normés et f L(E, F ) lors f N,N := sup N (f(x)) = sup N N (f(x)) (f(x)) = sup N(x) 1 N(x)=1 x 0 N(x) et N,N est une norme sur L(E, F ) ppelée norme subordonnée. Démonstrtion : à fire. Remrque Afin d lléger les nottions nous noterons en générl mis il ne fut ps oublier que cette norme dépend des normes de E et F. Proposition Soient E, F et G trois espces vectoriels normés, f L(E, F ) et g L(F, G) lors g f L(E, G) et g f f g. 2. L norme subordonnée est une norme d lgèbre sur L(E). Démonstrtion : à fire. Théorème Si F est un espce de Bnch lors L(E, F ) est un espce de Bnch. Démonstrtion : prendre une suite de Cuchy (f n ) dns L(E, F ), en déduire que pour tout x E (f n (x)) est de Cuchy dns F complet et insi que l limite f(x) existe. Bien fire ttention que l on n ps fini, reste à montrer que f L(E, F ) et que l convergence lieu pour l norme. L linérité résulte de celle des fonctions f n et d un pssge à l limite ponctuelle. Pour l convergence u sens de, il résulte de l définition de l norme subordonnée et du fit que l suite (f n ) est de Cuchy pour cette norme que Puis en fisnt tendre p vers + ɛ > 0 n 0 n, p n 0 x S E (0, 1) N F (f n (x) f p (x)) ɛ ɛ > 0 n 0 n n 0 x S E (0, 1) N F (f n (x) f(x)) ɛ soit f n f ɛ. On insi que f est bornée sur S E (0, 1) donc continue et que l convergence lieu pour l norme subordonnée.

45 4.9. CAS PARTICULIER DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE 45 Définition (Appliction bilinéire) Soient (E i, N i ) (i = 1, 2) et (F, N ) des espces vectoriels normés lors l ppliction u : E 1 E 2 F est dite bilinéire si pour tout (x 1, x 2 ) de E 1 E 2 les pplictions prtielles x u(x, x 2 ) et x u(x 1, x) sont linéires. Proposition (Crctéristion des pplictions bilinéires continues) Soient (E i, N i ) (i = 1, 2) et (F, N ) des espces vectoriels normés et u une ppliction bilinéire de E 1 E 2 dns F lors les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) u est continue sur E 1 E 2. (ii) u est continue en (0, 0). (iii) Il existe k tel que pour tout (x 1, x 2 ) de E 1 E 2, N (u(x 1, x 2 )) kn 1 (x 1 )N 2 (x 2 ). L ensemble des pplictions bilinéires continues de E 1 E 2 dns F ser noté L(E 1, E 2 ; F ). Exemple L ppliction (λ, x) λx de K E dns E est bilinéire continue. Si E est un espce préhilbertien de norme, l norme ssociée u produit sclire, lors l ppliction (x 1, x 2 ) (x 1 x 2 ) de E E dns R est bilinéire continue. L ppliction (f, g) f g de L(E) L(E) dns L(E) est bilinéire continue. 4.9 Cs prticulier des espces vectoriels normés de dimension finie Théorème (Equivlence des normes) Sur un espce vectoriel E de dimension finie toutes les normes sont équivlentes. Démonstrtion : On note (e i ) 1 i n une bse de E lors l ppliction définie pr N( n i=1 λ ie i ) = sup 1 i n λ i est une norme sur E et (E, N) est isomorphe à (K n, N ), vi l ppliction définie pr ϕ( n i=1 λ ie i ) = (λ 1,..., λ n ). Une conséquence importnte de cet isomorphisme est que les fermés bornés de (E, N) sont des compcts. On prend une utre norme N sur E et on montre que N et N sont équivlentes. L inéglité N αn est fcile à obtenir et permet ussi d en déduire que l ppliction N de (E, N) dns (R, ) est continue (à fire). Pour l inéglité N βn on utiliser que N est bornée et tteint ses bornes sur le compct S(0, 1) de (E, N) (c est ici que l on besoin de svoir que les fermés bornés de (E, N) sont compcts). Terminer vec l équivlence de deux normes quelconques. Théorème Tout espce vectoriel normé de dimension finie est complet. Dns un espce vectoriel normé de dimension finie, les compcts sont les fermés bornés. Démonstrtion : A fire. Théorème (de Riesz) Un espce vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si les compcts sont les fermés bornés. Démonstrtion : L condition nécessire déjà été vue. Pour l condition suffisnte on suppose que l espce n est ps de dimension finie et on construit lors pr récurrence une suite (x n ) de l sphère unité S(0, 1) telle que pour tout i j, N(x i x j ) 1 ce qui permet de dire que le fermé borné S(0, 1) n est ps compct. Montrons l hérédité, on suppose x 1,..., x n construits comme ci-dessus et on pose F = Vect{x 1,..., x n } l espce vectoriel engendré pr x 1,..., x n. E n étnt ps de dimension finie, l sphère unité de E n est ps incluse dns F (sinon puisque F est un espce vectoriel E serit inclus dns F ), on note y un point de S(0, 1) \ F. F est un espce vectoriel de dimension finie donc complet (toutes les normes sont équivlentes), en conséquence il existe x dns F tel que dist(y, F ) = N(y x) > 0. Le point x n+1 := y x N(y x) convient. Proposition (Continuité des pplictions linéires, bilinéires). (i) Soit (E, N) un espce vectoriel normé de dimension finie et (F, N ) un espce vectoriel normé, lors toute ppliction linéire de (E, N) dns (F, N ) est continue. (ii) Soit (E 1, N 1 ) et (E 2, N 2 ) des espces vectoriels normés de dimension finie et (F, N ) un espce vectoriel normé, lors toute ppliction bilinéire de (E 1 E 2, N) dns (F, N ) est continue. Démonstrtion : à fire.

46 46 CHAPITRE 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 4.10 Exercices Exercice 12 : Soit F un fermé de R n, on note N une norme sur R n. ) Soit x un point de R n, montrer qu il existe y dns F tel que N(x y) = dist(x, F ). b) Soit K un compct de R n, montrer qu il existe dns K et b dns F tels que N( b) = dist(k, F ). Exercice 13 : Soit C([0, 1]) l espce vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] muni des pplictions N 1 : X R +, f 1 0 f(t) dt et N : X R +, f sup t [0,1] f(t). Vérifier que ces deux pplictions définissent bien des normes sur C([0, 1]). On définit une suite de fonctions (f n ) n pr f n (t) = 1 t [0, 1 2 ] 1 n(t 1 2 ) t ] 1 2, n ] 0 t ] n, 1] ) Clculer N 1 (f n f n+p ) pour tout (n, p) N 2. Est-ce que l suite (f n ) n converge dns l espce C([0, 1]) muni de l norme N 1 (notons cet espce (C([0, 1]), N 1 ))? Est-ce que (C([0, 1]), N 1 ) est un espce complet? b) Est-ce que l suite (f n ) n converge dns (C([0, 1]), N )? c) Les normes N 1 et N sont-elles équivlentes sur C([0, 1])? d) Soit (g n ) n l suite définie pr f n (x) = x n sur [0, 1]. Converge-t-elle dns (C([0, 1]), N 1 )? Le cs échént, quelle est s limite? Exercice 14 : Soit X = C 1 ([0, 1]). 1) X est-il complet si on le munit de l norme de l convergence uniforme sur [0, 1]? 2) Pour f X, on pose f 1 = sup x [0,1] f(x) + sup x [0,1] f (x). L espce (X,. 1 ) est-il complet? Exercice 15 : Soit l l espce des suites {x = (x n ) n R N : x = n=1 (n + 1) x n 2 < }. On dmet que l muni de est un espce vectoriel normé. 1) Soit (x (n) ) n une suite de Cuchy dns (l, ). Montrer que pour tout k N, (x (n) k ) n dmet une limite, on note x k cette limite. Soit ɛ > 0, montrer que pour tout m N il existe un N N tel que pour tout n N : m k=1 (k + 1) x(n) k x k 2 < ɛ. En déduire que x = (x k ) k l (on pourr utiliser le fit qu une suite de Cuchy est bornée), puis que lim n x (n) = x dns (l, ). Conclusion? 2) Soit S : l l, (x 1, x 2,...) (0, x 1, x 2,...). Montrer que S est une ppliction linéire et continue. Clculer s norme. 3) Soit T : l R, (x 1, x 2,...) n 1 nx n vec l. Montrer que S est une ppliction linéire et continue. Clculer s norme. Exercice 16 : On munit R n de s structure d espce vectoriel euclidien. Clculer les normes induites pr l norme de R n des pplictions suivntes. 1. L 1 : R n R, x (, x), où R n est fixé. 2. L 2 : R 3 R 3, x x, où R 3 est fixé. 3. Soit n = 2, et soient D 1, D 2 deux droites de R 2 pssnt pr (0, 0) non-confondues et non-orthogonles. Si P est l projection oblique de R 2 sur D 1 prllèlement à D 2 clculer P. Exercice 17 : Soit A M n (R) et f A : R n R n, X AX. Déterminer l norme induite de f A si on muni R n de ) X 1 = n k=1 x k (réponse f A 1 = mx ( n kj )). 1 j n k=1 b) X = mx k=1,...,n x k (réponse f A = mx ( n 1 k n j=1 kj )). Exercice 18 : Soit E = R[X], l espce vectoriel des polynômes réels. On considère sur E l ppliction N P n 0 P (n) (0). n! 1) Montrer que c est une norme sur E. 2) Soit D : E E, P P. En clculnt N(e k ) et N(De k ) pour e k = X k /k, montrer que D n est ps continue en 0. En déduire que D n est continue en ucun point. Exercice 19 : On munit C([0, 1]) de l norme sup et R de l vleur bsolue. ) Montrer que T 1 : C([0, 1]) R, tf(t) dt est linéire et continue. Quelle est s norme induite? b) Soit T 2 : C([0, 1]) R, f 1/2 f(t) dt 1 0 1/2 f(t) dt. Après voir vérifié que T 2 est linéire et continue, clculer s norme induite. f 1 0 Exercice 20 : Soit X = C([0, 1]) vec l norme f = 1 f(t) dt. Montrer que l forme linéire L définie sur X pr 0 L(f) = f(0) n est ps continue. Exercice 21 : Soit E = C([0, 1]), muni de l norme sup. Pour f E et n N on pose T (f) = 1 f(t)dt et 0 T n (f) = 1 n n k=1 f ( k n).

47 4.10. EXERCICES 47 1) Vérifier que T et T n sont des pplictions linéires. Clculer T et T n. 2) Montrer que pour tout f E, T n (f) T (f). A-t-on T n T 0? Exercice 22 : Soit E = C([0, 1], R) muni de l norme de l convergence uniforme sur [0, 1] (. ) et soit F = {f E; f(0) = 0}. Pour f E, on pose T f = g où g est définie pr g(x) = x f(t)dt, x [0, 1]. 0 1) Montrer que T est une ppliction linéire continue de (E,. ) dns (F,. ) et clculer s norme. 2) Soit T n = T T... T n fois. Montrer que (T n (f))(x) = x 0 3) Clculer T n. (x t) n 1 (n 1)! )f(t)dt. 4) Montrer que l série de terme générl T n converge dns L(E) et clculer s limite S = n=1 T n. 5) Soit g E. Montrer qu il existe f E unique tel que (Id E T )f = g. Exercice 23 : Soit X = {f C(R) : x (1 + x 2 ) f(x) soit bornée}. On pose N(f) = sup x R (1 + x 2 ) f(x). Vérifier que c est une norme, puis montrer que l forme linéire L : X R, f + f(t) dt est continue et clculer s norme. Exercice 24 : Soit E = C([0, 1]) muni de l norme f = sup x [0,1] f(x), f E. Pour f E, soit ϕ(f) l fonction définie sur [0, 1] pr ϕ(f)(x) = x f(t) dt. Montrer que ϕ dmet un unique point fixe f0 E (on pourr montrer que ϕ est contrctnte). Déterminer f 0 (se rmener à une éqution différentielle). Exercice 25 (Fonction exponentielle sur un espce de Bnch.) : Soit A (M n (R), ). On suppose que l norme vérifie l condition de sous-multiplictivité AB A B pour A, B M n (R). Montrer que 1. exp(a) := n 0 1 n! An converge normlement et que exp(a) exp A. En déduire que exp(a) M n (R). 2. exp(0 Mn(R)) = I et exp(a + B) = exp(a) exp(b) si AB = BA. 3. (Bonus) Montrer que l ppliction R M n (R), t exp(ta) est différentible et clculer s dérivée. 4. si λ est vleur propre de A lors exp(λ) est vleur propre de exp(a). 5. Clculer exp(a) pour les mtrices suivntes A = , B = , C = , D = , Exercice 26 : (extrit du CAPES 1990) Soit l 2 l espce des suites complexes z = (z n ) n telles que z 2 = n=0 z n 2 converge. Soit ψ : l 2 l 2, (u n ) n ( n+1 n+2 u n) n. ) Démontrer que ψ est un endomorphisme de l 2. Clculer s norme. b) Déterminer les nombres complexes λ tels que ψ λi soit non injectif (où I est l identité sur l 2 ). c) Montrer que ψ I n est ps surjectif, puis que, si λ n pprtient ps à {(n+1)/(n+2) : n N} {1}, lors ψ λi est inversible dns l lgèbre L(l 2 ) des opérteurs linéires continus sur l 2. En déduire le spectre σ(ψ) = {λ C : ψ λi n est ps inversible dns L(l 2 )}. d) Clculer ψ 1 (où est l norme induite pr 2 ). Vérifier enfin que σ(ψ) [ ψ 1 1, ψ ]. Exercice 27 : Polynômes de Legendre) Nous munissons R n [X], l espce des polynômes de degré u plus n (où n est un entier nturel fixé) de l norme p 2 = ( 1 1 p(t) 2 dt) 1/2. Justifiez rpidement que l on obtient insi un espce de Hilbert. Soit P j (t) = 1 d j 2 j j! dt (t 2 1) j. Clculer P j 0, P 1, P 2. ) Après voir justifié que P j R n [X] pour 0 j n, montrer que l fmille {P j } n k=0 forme une bse orthogonle de (R n [X], 2 ). Soit K j = P j / P j 2, 0 j n. Existe-t-il un utre moyen de retrouver les fonctions K j sns utiliser l dérivtion? b) Montrer que P j possède exctement j zéros dns l intervlle ] 1, 1[ (pr l bsurde on pourr supposer que P j chnge de signe en l j 1 points de ] 1, 1[, il existe lors un polynôme g(t) = (t t 1 ) (t t l ) tel que P j g est de signe constnt sur ] 1, 1[, conclure en se rppelnt que l fmille {P j } n k=0 forme une bse orthogonle de (R n [X], 2 )). c) Soient t 1 < < t j les j zéros différents de P j. Soit L k (x) = j t t i i=1,i k t k t i, 1 k j, les polynômes de Lgrnge ssociés à {t 1,, t j } et λ k = 1 1 L k(t) dt. Exprimer p en fonction des polynômes de Lgrnge puis montrer que pour tout p R j 1 [X], 1 1 p(x)dx = j k=1 λ kp(t k ). d) Montrer que pour tout p R 2j 1 [X], 1 1 p(x)dx = 1 r(x)dx, ou r est le reste de l division euclidienne de 1 p pr P j. En déduire que 1 1 p(t) dt = j k=1 λ kp(t k ) (c est l formule composite de Guss-Legendre pour le clcul pproché d intégrles, on observe que l on double le degré des polynômes qui sont exctement intégrbles). (Remrque : Pour plus de renseignements, consulter J.P. Demilly, Anlyse numérique et équtions différentielles. On y trouver ussi que l méthode ne donne en générl plus l intégrle excte qund f est un polynôme de degré supérieur à 2j 1.) Suite (extrite du CAPES 2000) : Nous considérons R n [X] comme sous-espce vectoriel de C([ 1, 1]). Ce sous-espce étnt de dimension finie, on note π n le projecteur orthogonl de C([ 1, 1]) sur R n [X].

48 48 CHAPITRE 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS e) A l ide du Théorème de Stone-Weierstrss, montrer que, quelle que soit l fonction f C([ 1, 1]), l suite (π n (f)) n converge vers f u sens de l norme 2. On rppelle (voir )) que (K j ) 0 j n est une bse de R n [X]. f) Montrer que pour tout entier nturel n et tout élément f C([ 1, 1]) π n (f) = n f, K j K j et π n (f) 2 2 = j=0 n f, K j 2. g) Montrer que quelle que soit l fonction f C([ 1, 1]), l série de terme générl f, K j 2 converge et que l on + n=0 f, K n 2 = f 2 2. Quelle est l limite qund n + de 1 1 f(t)k n(t) dt? Exercice 28 : Polynômes de hermite) Pour tout entier nturel n, on définit l fonction H n sur R pr j=0 H n (y) = ( 1) n y y2 /2 dn dy n ( e y2 /2 ). ) Rppeler l vleur de /2 R e y2. b) Clculer H 0, H 1 et H 2. c) Pour tout n N, montrer que H n est une fonction polynomile et en préciser le degré et le coefficient dominnt. On note E l ensemble des fonctions f continues sur R telles que x f 2 (x)e x2 /2 soit intégrble sur R. Pour deux fonctions f et g de E on note /2 f, g := f(y)g(y) e y2 dy 2π d) Vérifier que l ppliction, est un produit sclire dns E. e) Montrer que pour tout n N, H n est dns E. f) Montrer que (H n ) n N est une fmille orthogonle de E. g) Clculer l norme de H n pour tout n N. R

49 Chpitre 5 Suites et séries de fonctions - Séries entières - Séries de Fourier 5.1 Suites et séries de fonctions Dns tout ce qui suit A désigne une prtie d un espce vectoriel normé E de dimension finie sur K = R ou C Convergence simple, convergence uniforme, convergence normle Définition (Suites) Soit (f n ) une suite de fonctions définies sur une prtie A de E à vleurs réelles ou complexes. On dit que l suite (f n ) converge simplement vers f sur A, si pour tout x de A l suite (f) n (x)) converge vers f(x). On dit que l suite (f n ) converge uniformément vers f sur A, si lim (sup f n (x) f(x) = 0. n x A Remrque On dit que := sup A est l norme de l convergence uniforme sur B(A, K) l ensemble des fonctions bornées de A dns K. Définition (Séries) Soit (u n ) une suite de fonctions définies sur une prtie A de E à vleurs réelles ou complexes. On dit que l série ( n ) u k converge simplement vers S sur A, si l suite des sommes prtielles u k converge k=0 n simplement vers S sur A. On dit que l série ( n u k converge uniformément vers S sur A, si l suite des sommes prtielles uniformément vers S sur A. On dit que l série u k converge normlement sur A si l série numérique u k converge. ) u k converge k=0 n Proposition Si une série est normlement convergente sur A lors elle est bsolument et uniformément convergente sur A. Preuve : A fire. Remrque L convergence uniforme des séries étnt un cs prticulier de celle des fonctions nous n énoncerons les propositions suivntes que dns le cdre des suites de fonctions. Ne ps oublier qu elles s ppliquent ussi ux séries uniformément convergentes et donc en prticulier ux séries normlement convergentes. Théorème (Interversion des limites) Soit une suite de fonctions (f n ) qui converge uniformément vers f sur A et A. On suppose pour tout entier n, lim f n (x) = b n lors x l suite (b n ) converge vers b, lim f(x) = b. x Ce qui se trduit encore pr ( lim lim x n ) ( ) f n (x) = lim lim f n n(x) x Preuve : à fire, on pourr commencer pr montrer que l suite (b n ) est de Cuchy dns K = R ou C. Théorème (Continuité) Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur A qui converge uniformément vers f sur A. Alors f est continue sur A. Preuve : c est une conséquence immédite du théorème d inversion des limites. 49

50 50 CHAPITRE 5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS - SÉRIES ENTIÈRES - SÉRIES DE FOURIER Lien vec l intégrtion et l dérivtion Théorème (Intégrtion) Soit (f n ) une suite de fonctions, à vleurs réelles ou complexes, continues sur [, b], qui converge uniformément sur [, b] vers f lors f est continue sur [, b] et Preuve : fite dns le chpitre intégrtion. b f(t) dt = lim n b f n (t) dt. Théorème (Primitivtion) Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur un intervlle I, à vleurs dns R ou C et un point de I. Pour tout entier n, on note h n l primitive de f n sur I qui s nnule en. Si l suite (f n ) converge uniformément sur tout segment de I vers f lors l suite (h n ) converge uniformément sur tout segment de I vers l primitive h de f qui s nnule en. Preuve : c est en prtie une conséquence du théorème en remrqunt que pour tout x de I, h n (x) = x f n(t) dt. On insi l convergence ponctuelle de (h n ) vers h. Pour [α, β] segment inclus dns I, quitte à prendre un segment plus grnd on peut supposer que [α, β] et on sup h n h (β α) sup f n f [α,β] [α,β] et le terme mjornt tend vers 0 lorsque n tend vers + pr hypothèse de convergence uniforme de l suite (f n ) vers f sur tout segment de I. Théorème (Dérivtion) Soit (f n ) une suite de fonctions C 1 sur un intervlle I convergent simplement sur I vers f et telle que l suite des dérivées (f n) converge uniformément sur tout segment de I vers h. Alors f est de clsse C 1 sur I et f = h. Preuve : découle du théorème d intégrtion en remrqunt que f n (x) = f n () + x f n(t) dt. 5.2 Séries entières Ryon de convergence Définition Soit ( n ) une suite complexe, l série entière de l vrible complexe (resp. vrible réelle), notée n z n (resp. n x n ) est une série de fonctions u n telles que pour tout n, u n (z) = n z n (resp. u n (x) = n x n ). L ensemble I = {r 0 n r n converge} est un intervlle de R + contennt 0. R l borne supérieure de I dns R est ppelé ryon de convergence de l série entière n z n. Proposition L série entière n z n (resp. n x n ) est bsolument convergente sur le disque (ouvert) de convergence D(0, R) (resp. ] R, R[). Preuve : pour tout z tel que z < R, z I. Lemme (Lemme d Abel) S il existe r 0 > 0 tel que l suite ( n r0 n ) soit bornée lors lors n r n converge pour tout r stisfisnt 0 r < r 0. (( ) n ) Preuve : comprer l suite ( n r n r ) vec l suite géométrique r 0 puis conclure. Corrolire Soit n z n une série entière de ryon de convergence R lors pour tout complexe z tel que z > R l série n z n diverge. Preuve : l divergence est grossière puisque l on déduit du lemme d Abel que pour z > R, l suite ( n z n ) est non bornée (et ne peut donc en prticulier tendre vers 0). Corrolire Soit n z n une série entière, son ryon de convergence R est donné pr l une des définitions équivlente suivnte : 1. R = sup{ z, z C n z n converge} 2. R = sup{ z, z C n z n converge} 3. R = sup{ z, z C ( n z n ) est bornée} 4. R = sup{ z, z C lim n n z n = 0}

51 5.2. SÉRIES ENTIÈRES 51 Preuve : conséquence de l définition et du lemme d Abel. Théorème Une série entière n z n, de ryon de convergence non nul, est normlement convergente sur tout compct inclus dns son disque de convergence. De plus s somme f est une fonction continue sur son disque de convergence. Preuve : l continuité de f est une conséquence de l normle convergence (donc de l uniforme convergence) sur tout compct du disque de convergence puisque les fonctions z n z n sont continues sur C. Soit K un compct inclus dns le disque ouvert D(0, R), lors r 0 [0, R[ : K D(0, r 0 ). En effet dist(k, D(0, R) c ) = α > 0 (elle est tteinte voir chpitre sur les espces vectoriels normés) et r 0 = R α convient. L convergence de n r n 0 implique l normle convergence de n z n sur K. Proposition (Clcul du ryon de convergence ) dns un cs prticulier) Si l suite ( n ) est telle qu il existe n 0 tel que pour tout n n 0, n 0 et converge dns R lors vec l convention 1 + = 0 et 1 0 = +. Preuve : penser u critère de d Alembert. ( n+1 n 1 R = lim n n+1 n Théorème Soient n z n et b n z n deux séries entières de ryons de convergence R 1 et R 2 lors i L série ( n + b n )z n pour ryon de convergence R = min{r 1, R 2 } si R 1 R 2, R min{r 1, R 2 } si R 1 = R 2. De plus pour tout z, z < min{r 1, R 2 }, ( n + b n )z n = n z n + b n z n. ii Pour λ K, λ n z n pour ryon de convergence R 1 et de plus pour tout z, z < R 1, λ n z n = λ n z n. iii On pose c n = n k=0 kb n k, lors l série entière produit c n z n un ryon de convergence R min{r 1, R 2 } et de plus pour tout z, z < min{r 1, R 2 }, c n z n = ( n z n ) ( b n z n ). Preuve : revenir à l définition du ryon de convergence et penser u produit de Cuchy pour le iii Série entière d une vrible réelle Théorème Soit n x n une série entière de l vrible réelle x et de ryon de convergence R > 0, lors s somme f dmet une primitive sur ] R, R[. L série entière x n+1 n n+1 obtenue en intégrnt terme à terme n x n est une primitive de f, elle même ryon de convergence R. Preuve : l existence et l expression d une primitive de f est une conséquence immédite du théorème de primitivtion des suites de fonctions uniformément convergentes (on trville sur [ r, r] vec 0 < r < R). Commençons pr remrquer que pour montrer que les deux séries entières ont même ryon de convergence on ne peut ps utiliser le critère de d Alembert puisque l on ne sit ps en générl si le rpport n+1 n est bien défini et le cs échént, s il converge. Notons R le ryon de convergence de x n+1 n n+1, n n+1 n donc R R. ( Pour montrer l inéglité contrire, prenons r < R lors l suite n rn+1 n+1 ) converge vers 0 ce qui implique que pour tout ɛ > 0 l suite ( n (r ɛ) n ) converge ussi vers 0. D où r ɛ R pour tout ɛ > 0 soit r R. On obtenu que pour tout r < R, r R donc R R. Théorème L somme f d une série entière n x n de ryon de convergence R > 0 est une fonction de clsse C sur ] R, R[ et x ] R, R[, f (x) = n n x n 1, n N, f (n) (0) = n! n Preuve : c est une relecture du théorème puisque l série entière n n x n 1 pour ryon de convergence R > 0 et s somme pour primitive n x n. Le deuxième point s obtient pr récurrence. Corrolire (Unicité) Soient n x n et b n x n deux séries entières de ryon de convergence R 1 et R 2 strictement positifs. S il existe 0 < r < min{r 1, R 2 } tel que x ] r, r[, n x n = b n x n lors pour tout entier n, n = b n.

52 52 CHAPITRE 5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS - SÉRIES ENTIÈRES - SÉRIES DE FOURIER 5.3 Séries de Fourier Joseph Fourier ( ) Coefficients de Fourier Définition Soit f une fonction définie de R dns C, continue pr morceux et 2π périodique. On ppelle coefficients de Fourier exponentiels de f les nombres complexes n Z, f(n) = cn (f) := 1 2π 2π On ppelle coefficients trigonométriques de f les nombres complexes 0 f(x)e inx dx. n N, n (f) := 1 π 2π 0 f(x) cos nx dx, b n (f) := 1 π 2π 0 f(x) sin nx dx. Exercice 1 ) Exprimer les coefficients trigonométriques à l ide des coefficients exponentiels et réciproquement. b) Lien entre c n (f) et c n (f)? c) On note g l ppliction définie pr g : x f(x + ), exprimer c n (g) en fonction de c n (f). d) On note h l ppliction définie pr h : x f( x), exprimer c n (h) en fonction de c n (f). Définition Soit f une fonction continue pr morceux et 2π périodique. On considère pour tout p de N, les sommes prtielles p S p (f)(x) := c n (f)e inx n= p Lorsque en un point x de R l suite des sommes prtielles (S p (f)(x)) p converge on dit que l série de Fourier de f est convergente u point x et F(f)(x) := lim S p (f)(x). p Exercice 2 Exprimer S p (f)(x) à l ide des coefficients trigonométriques. Proposition (Lemme de Lebesgue) Les suites (c n ), (c n ), ( n ) et (b n ) convergent vers Si f est 2π périodique, continue sur R et C 1 pr morceux lors pour tout n de Z, c n (f ) = inc n (f). 3. Si f est 2π périodique, de clsse C p 1 sur R et C p pr morceux lors pour tout n de Z, c n (f (p) ) = (in) p c n (f). Preuve : Le premier point été vu dns le chpitre intégrtion (exercice 12). Le deuxième point s obtient pr intégrtion pr prties et le troisième pr récurrence Convergence en moyenne qudrtique On vu lors de l étude des espces vectoriels normés que l ensemble C 2π (R) des fonctions continues sur R et 2π périodiques est un espce préhilbertien lorsqu on le muni du produit sclire (f g) := 1 2π 2π 0 f(x)g(x) dx. Si on note pour tout n, e n l fonction définie pr e n (x) = e inx, l fmille {e n, n Z} est orthonormle. On note 2 l norme ssociée u produit sclire. Proposition (Inéglité de Bessel) Soit f C 2π (R) lors pour tout entier p, S p (f) est l projection orthogonle de f sur le sous espce vectoriel P p engendré pr {e n, n p}. De plus p n= p Preuve : l clé : pour tout entier reltif n, c n (f) = (e n f). c n (f) 2 f 2 2.

53 5.3. SÉRIES DE FOURIER 53 Théorème (Convergence en moyenne qudrtique) Pour tout f de C 2π (R) lim p f S p (f) 2 = 0. Preuve : pour ɛ > 0 fixé rbitrire, on sit vec le théorème de Weierstrss (on peut ussi utiliser le théorème de Fejer, voir les exercices) qu il existe P polynôme trigonométrique tel que f P < ɛ. Soit p 0 tel que P P p0 lors pour tout p p 0 f S p (f) 2 f P 2 f P d où le résultt. Théorème (Formule de Prsevl) Soit f C 2π (R) lors les séries c n (f) 2 et c n (f) 2 sont convergentes et + c n (f) 2 = f 2 2 = 1 2π f(x) 2 dx. 2π n= Preuve : c est une conséquence du théorème de convergence et de l orthogonlité. Remrque Ces résultts sont encore vri si l on suppose seulement f continue pr morceux sur R et 2π périodique. Nous en urons besoin pour l suite Convergence ponctuelle Définition Lorsqu elle existe, on note f(x + 0) := lim h 0 + f(x + h) et f(x 0) := lim h 0 + f(x h). Théorème (Théorème de Dirichlet) Si f est C 1 pr morceux sur R, 2π périodique lors l série de Fourier de f converge en tout point de R et F(f)(x) = 1 (f(x + 0) + f(x 0)). 2 En prticulier en tout point x où f est continue F(f)(x) = f(x). Preuve : elle est complexe. Les étpes sont les suivntes clcul du noyu de Dirichlet dont on déduit que On que 1 π π 0 x R \ 2πZ p n= p S p (x) = 1 π sin 2p+1 2π 0 sin t 2 2 t e inx = 0 sin 2p+1 2 x sin x 2 (f(x + t) + f(x t)) dt sin 2p+1 2 t dt = 1 (repenser à l somme qui donné le noyu de Dirichlet) ce qui permet d écrire que sin t 2 S p (x) 1 1 (f(x + 0) + f(x 0)) = 2 2π π sin 2p+1 2 t 0 sin t 2 Puis on déduit du fit que f est C 1 pr morceux que l fonction t f(x + t) + f(x t) f(x + 0) f(x 0) sin t 2 [f(x + t) + f(x t) f(x + 0) f(x 0)] dt est prolongeble en 0 pr une fonction continue pr morceux et on conclut vec le lemme de Lebesgue. Théorème (Convergence normle) Si f est 2π périodique, continue sur R et C 1 pr morceux lors les séries c n (f) et c n (f) sont bsolument convergentes. De plus l série de Fourier de f converge uniformément vers f sur R. Preuve : l bsolue convergence de c n (f) et c n (f) est une conséquence de l convergence en moyenne qudrtique de c n (f ) et c n (f ) (f est continue pr morceux et 2π périodique). En effet vec l inéglité de Cuchy-Schwrz n n ( c k (f) = c k (f ) n ) 1/2 ( ik n ) 1/2 c k (f ) 2 1 k 2 k=1 k=1 k=1 et les séries mjorntes convergent. On procède de même pour n k=1 c k(f). Nous vons donc l normle convergence de c n (f)e inx et c n (f)e inx sur R donc l uniforme convergence des sommes prtielles (S p (f)) sur R. L limite est f grâce u théorème de Dirichlet. k=1

54 54 CHAPITRE 5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS - SÉRIES ENTIÈRES - SÉRIES DE FOURIER 5.4 Exercices Exercice 3 ) Soit f n : [0, 1] R, x x n. Déterminer, si elle existe, l limite simple de l suite (f n ) n. b) Est-ce que (f n ) n converge uniformément? c) Que dire de ( 1 0 f n(t)dt) n? d) Donner une condition nécessire et suffisnte sur h : [0, 1] R continue pour que l suite (g n ) n définie pr g n = hf n converge uniformément sur [0, 1]. Exercice 4 ) Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur un intervlle I, convergent uniformément sur I vers une fonction f, et soit (x n ) n une suite de points de I convergent vers I. Que peut-on dire de l suite (f n (x n )) n? b) Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur [, b] convergent uniformément sur ], b[. Montrer qu elle converge uniformément sur [, b]. c) Soit (f n ) n une suite de fonctions convergent simplement sur [, b] et non uniformément sur [, b]. Peut-elle converger uniformément sur ], b[? d) Montrer que toute fonction limite uniforme sur R d une suite de fonctions polynômes est un polynôme (on pourr utiliser le fit que (P n ) n est de Cuchy et que penser d une fonction polynome bornée sur R?). e) Montrer que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de fonctions en escliers. Exercice 5 Soit f n : R + R, x (1 + x) (1+1/n). Montrer que (f n ) n converge uniformément sur R + vers une fonction f à déterminer, mis que f n est ps intégrble sur R +. Exercice 6 ) Soit f n : R R, x (1 + x n )n, n N. Montrer que l suite (f n ) n converge simplement vers une fonction f à déterminer. Montrer que l convergence est uniforme sur tout intervlle [, b], (, b) R 2, < b, mis ps sur R. b) Soit f n : [0, π/2] R, x (n + 1) sin x(cos x) n. Montrer que l suite (f n ) n converge simplement vers une limite, lquelle? Est-ce que l convergence est uniforme? Exercice 7 Soit f n : R R, x 1 n xe x2 /n 2 (n N ). Etudier l convergence simple et uniforme de l suite (f 2 n ) n sur R. Après voir justifié que l intégrle I n = f 0 n (t)dt converge pour tout n N, étudier l suite (I n ) n. Conclusion? Exercice 8 ) Soit [, b] un intervlle de R et f n : [, b] R, x n sin(x/n). Montrer que (f n ) n converge uniformément vers une fonction f à déterminer. Montrer que (f n) n converge uniformément vers f sur [, b]. Soit g n : [, b] R, x 1 n sin(nx). Montrer que (g n) n converge uniformément vers une fonction g à déterminer. Que peut-on dire de (g n) n? b) Soit f n : [0, + [, x rctn(x/n). Etudier l convergence simple et uniforme de l suite (f n ) n. Fire de même pour (f n) n. Commentire? c) Soit f n : [ 1, 1] R, x x 2 + 1/n. Justifier que f n est de clsse C sur [ 1, 1]. Montrer que l suite (f n ) n converge uniformément vers une limite à déterminer. Commentire? Exercice 9 (Unité pprochée) Soit (I n ) n N une suite de fonctions continues positives sur R, telle que I n (x) = 0 pour x > 1 n et + I n(x)dx = 1. Soit f une fonction continue sur R. Montrer que l suite (h n ) n définie pr h n (x) = I n f(x) = + I n(t)f(x t)dt converge uniformément vers f sur tout intervlle compct. Exercice 10 (Polynômes de Bernstein) On considère f une fonction continue sur [0, 1] et x un réel rbitrire fixé de [0, 1]. (X n ) n une suite de vrible létoire indépendntes de même loi de Bernoulli de prmètre x. ) Montrer que ( E f( X ) X n ) n = n f( k ( ) n n ) x k (1 x) n k k on note P n (f)(x) le polynôme insi obtenu. b) Justifier que ɛ > 0, η > 0, (x 1, x 2 ) [0, 1] 2 x 1 x 2 < η f(x 1 ) f(x 2 ) < ɛ c) Montrer que puis en déduire que f(x) P n (f)(x) ɛ + 2 f k=0 k, x k/n η ( ) n x k (1 x) n k k ( ) X X n f(x) P n (f)(x) ɛ + 2 f P x n η

55 5.4. EXERCICES 55 d) En utilisnt l inéglité de Mrkov, montrer que les polynômes P n (f) convergent uniformément vers f sur [0, 1] Exercice 11 1) Soit u n : [0, 1] R, x ln(1 + x/n) x/n. Etudier l convergence simple et uniforme de l série n 1 u n sur [0, 1]. 2) Montrer que l fonction u = n=1 u n est dérivble sur [0, 1] et déterminer s dérivée. Clculer u (1). Exercice 12 ) Montrer que ϕ, définie pour x ]0, 1] pr ϕ(x) = x ln x et ϕ(0) = 0, est continue et bornée sur [0, 1]. b) En déduire que + (ϕ(x)) n n=0 n! converge uniformément sur [0, 1]. c) Schnt que pour tout x R, e x = + n=0 xn n!, montrer que 1 0 xx dx = + n=1 1 0 xn (ln x) m dx et trouver une reltion entre I m,n et I m 1,n pour m 1 et n 0.) Exercice 13 Déterminer le ryon de convergence des séries entières suivntes : ) ( 1) n n z n, que se psse-t-il u bord de l intervlle de convergence en fonction de α? α ( 1) n+1 n n. (Indiction : poser I m,n = b) n n n! zn, c) ( cos n) 1 n α z n, d) ( ) α sin n+1 z n, e) sinn n zn, e) z n n Exercice 14 ) Soient n z n et b n z n deux séries entières de ryon de convergence R 1 et R 2 respectivement. On suppose qu il existe un entier n 0 tel que n b n pour tout n n 0. Comprer R 1 et R 2. b) Montrer que si l série n z n un ryon de convergence non nul, l série n n! z n un ryon de convergence infini. c) Soient n z n et b n z n deux séries entières de ryon de convergence R 1 et R 2 respectivement. On définit c n pr c 2n = n et c 2n+1 = b n. Quel est le ryon de convergence de l série c n z n? d) Si R est le ryon de convergence de l série n z n quel est celui de l série n n α z n, où α est un réel? e) Soit ( n ) n une suite dns R + telle que lim n+2 n + n = 3. Quel est le ryon de convergence de l série n z n? Exercice 15 Déterminer le ryon de convergence de l série entière n 0 1 n! zn, on note e(z) s somme. 1)Montrer que e(z + w) = e(z)e(w). 2) Montrer que e est dérivble sur R et que e = e. 3) Montrer que pour tout réel x, e(x) > 0. 4) Montrer que pour tout entier n, lim x + x n e( x) = 0. Exercice 16 Développer en série entière les fonctions suivntes et préciser le domine mximl de convergence (, b 0) : 1 1 (i) f(z) = 1+z+z, (ii) g(z) = 2 ( z)(b z) Exercice 17, (iii) h(z) = z sin z 2 2(cos )z n (n + 1)(n 2). Clculer l somme de l série numérique n 3 Exercice 18 (Théorème Tubérien) 1) Soit n 0 nx n une série entière de ryon de convergence 1. On suppose que l série n 0 n converge. 1.1) Exprimer n+p i=n ix i en utilisnt l méthode de sommtion d Abel ssociée ux sommes A k (n) = n+k i=n i. 1.2) En déduire que n 0 nx n converge uniformément sur [0, 1]. 1.3) On note f(x) = n 0 nx n pour x ] 1, 1]. Montrer que f est continue sur ] 1, 1]. 1.4) Donner un exemple de série entière n 0 nx n de ryon de convergence 1 pour lquelle n diverge et n 0 nx n dmette une limite lorsque x tend vers 1. 2) Soit n et b n deux séries convergentes et c n l série produit de Cuchy. Montrer que si c n converge lors n 0 c n = n 0 n n 0 b n. Exercice 19 Pour tout entier j 1, on pose λ j = 1 0 N j(u) du vec N j (X) = X(1 X)(2 X) (j 1 X). On se propose de clculer les nombres λ n pr emploi d une série génértrice. 1) Prouver que, pour tout entier n 1, (n 1)! 6 λ n+1 n! 6. En déduire le ryon de convergence de l série entière 1 + λn n 1 ( 1)n 1 n! xn. Soit G(x) l somme de cette série. 2) Ecrire le développement en série entière de l fonction x (1 + x) u où u est un réel strictement positif, et où x < 1. Prouver que, x étnt fixé, on peut intégrer terme à terme pr rpport à u sur l intervlle [0, 1]. En déduire que, si x 0, G(x) = x ln(1+x). 3) Expliciter un système linéire tringulire permettnt de clculer les nombres λ n pr récurrence. 4) Clculer λ 1, λ 2, λ 3, λ 4. Exercice 20 1) Montrer que l fonction f définie pr f(x) = e 1/x2 pour x 0 et f(0) = 0 est C sur R, f (n) (0) = 0 pour tout entier n. f est-elle développble en série entière?

56 56 CHAPITRE 5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS - SÉRIES ENTIÈRES - SÉRIES DE FOURIER 2) A l ide de l formule de Tylor-Lgrnge, montrer qu une condition suffisnte pour qu une fonction réelle f soit développble en série entière u voisinge du point R est qu il existe un intervlle ouvert I contennt sur lequel f est C et tel qu il existe M > 0 et t > 0 tels que, pour tout x I, p N 1 p! f (p) (x) Mt p. Exercice 21 Soit f l fonction définie sur ] 1, 1[ pr f(x) = rcsinx 1 x. En déterminnt une éqution différentielle dont l fonction 2 f est solution, trouver son développement en série entière. Exercice 22 (extrit cpes 1996). On cherche à déterminer les solutions de l éqution différentielle t 2 y 2ty + y = rctnt qui sont développbles en série entière u voisinge de 0. 1) On suppose qu une solution y de l éqution différentielle est, sur un intervlle ] R, R[, somme d une série entière p 0 pt p. Montrer que 2k = 0 et exprimer 2k+1 en fonction de k. 2) Quel est le ryon de convergence de l série insi obtenue? Conclure sur l existence d une solution développble en série entière u voisinge de 0. 3) L série est-elle uniformément convergente sur [ 1, 1]? Les fonctions dérivées y et y sont-elles sommes des séries dérivées sur [ 1, 1]? Exercice 23 Soit f l fonction 2π périodique définie sur ] π, π[ pr f(x) = x 2. Montrer que f(x) = π2 ( 1) n cos(nx) En déduire que n=1 1 n = π2 2 6, ( 1) n 1 n=1 n 2 = π2 12, n= n=1 1 (2n+1) = π2 2 8, n=1 1 n = π4 4 90, et n=1 1 (2n+1) 4 n 2. = π4 96. Exercice 24 Développer en série de Fourier l fonction 2π périodique f(x) = sin 3 x. Exercice 25 Soit f(z) = n 0 nz n une série entière à coefficients complexes, de ryon de convergence R > 0, montrer que pour tout r ]0, R[ 1 2π 2π 0 f(re iθ ) 2 dθ = n 2 r 2n. n 0 Exercice 26 ) Soit α C\Z, déterminer l série de Fourier de l fonction f de période 2π telle que f(x) = e iαx pour x ] π, π] ; étudier s convergence. ( 1) n α 2 n 2. b) En déduire + 1 n=0 α 2 n ; + 2 n=0 n c) Pour α réel, déterminer lim n + p= n 1 (α p) 2. Exercice 27 1) Soit f une fonction 2π-périodique, continue, telle que l restriction de f à [0, 2π] soit de clsse C 1. Exprimer le coefficient de Fourier de f, c n (f ), en fonction de celui de f, c n (f). 2) En déduire que si f est de clsse C p sur R lors c n (f) = o ( ) 1 n. p 3) Soit f une fonction 2π-périodique, de clsse C 1 telle que 2π f(t) dt = 0. Montrer que 2π f(t) 2 dt 2π f (t) 2 dt Préciser les cs d églité. Exercice 28 Soient f une fonction continue sur R, de période 2π et n Z c ne inx s série de Fourier. On pose pour tout réel x, F (x) = c 0 x + x f(t) dt. 0 1) Montrer que F est périodique de période 2π et de clsse C 1 sur R. Clculer les coefficients de Fourier de F. 2) Montrer que l série de Fourier c nn n 1 e inx converge uniformément sur R, quelle est s limite? 3) Montrer que c nn n 1 = i 2π 2π (t π)f(t) dt. En déduire que l série + 0 n=2 sinnx lnn ne peut ps être l série de Fourier d une fonction continue sur R. Exercice 29 (extrit cpes 1997) Pour x R fixé, on considère l fonction 2π-périodique f telle que pour t ] π, π] on it f(t) = ch(xt). 1) Montrer que l fonction f est pire, continue et de clsse C 1 pr morceux sur R. 2) Clculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f. 3) Justifier l églité entre f et l somme de s série de Fourier. En écrivnt cette églité pour t = π, montrer que pour tout x R, on πcoth(πx) 1 x = n=1 2x x 2 + n 2. Exercice 30 (extrit cpes 1986) Approximtion pr l méthode de Fejer. On désigne pr C l espce vectoriel des fonctions continues sur R, 2πpériodiques à vleurs complexes, et on munit C de l norme N : f N (f) = sup t [ π,π] f(t).

57 5.4. EXERCICES 57 Pour tout entier reltif p, on note e p l fonction t e ipt. Pour tout entier n, on note s n = p n e p. 1) Montrer que pour tout couple (f, g) d éléments de C, l fonction f g définie sur R pr l reltion (f g)(x) = 1 π 2π f(x t)g(t) dt pprtient encore à C. Vérifier que f g = g f. π Pour tout entier nturel n, on pose k n = 1 n n+1 p=0 s p et, pour tout élément f de C, K n (f) = f k n. ( sin (2n + 1) t ) ( 2 2) Montrer que si t 2πZ s n (t) = ( ) puis que k n (t) = 1 sin (n + 1) t ) 2 2 t n + 1 ( ) t. sin sin 2 2 3) Montrer que 1 π 2π π k n(t) dt = ) Soit f un élément de C. Montrer pour tout entier nturel n et pour tout nombre réel x, f(x) (f k n )(x) = 1 π 2π π (f(x) f(x t))k n(t) dt. 4.2) Etblir que, pour tout élément α de ]0, π], N (f K n (f)) ω f (α) + 2 π N (f) π α k n(t) dt, où ω f (α) = sup x x α f(x) f(x ). π 4.3) Prouver que, pour tout élément α de ]0, π], lim n α k n(t) dt = ) Montrer enfin que limn N (f K n (f)) = 0. Conclusion?

58 58 CHAPITRE 5. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS - SÉRIES ENTIÈRES - SÉRIES DE FOURIER

59 Chpitre 6 Equtions différentielles 6.1 Equtions linéires - cs des fonctions à vleurs dns R ou C K désigne R ou C Equtions linéires du premier ordre Définition Soient et b deux fonctions continue sur un intervlle I de R, l éqution fonctionnelle y = (t)y + b(t) est ppelée éqution différentielle linéire du premier ordre. L éqution y = (t)y (E) (H) est l éqution homogène ssociée. Résoudre (E) ou (H) revient à trouver l ensemble des fonctions dérivbles sur I solutions de ces équtions. Théorème L ensemble des solutions de (H), noté S (H), est un K espce vectoriel de dimension 1. vec A une primitive de sur I. S (H) = Kexp(A) Preuve : Vérifiez que y 0 = exp(a) est bien solution puis pour y solution de (H), considérez l fonction t y(t)e A(t). Théorème L ensemble des solutions de (E), noté S (E) est un espce ffine de dimension 1, d espce vectoriel ssocié S (H). Preuve : S (E) n est ps vide, vérifier que l fonction y 1 définie sur I pr ( y 1 (t) = e A(t) exp ) b(u)e A(u) du où b(u)e A(u) du désigne une primitive sur I de t b(t)e A(t) est une solution de (E). L structure d espce ffine se déduit du fit que y solution de (E) équivut à y y 1 solution de (H). Remrque L solution y 1 peut se retrouver à prtir d une solution de l éqution homogène vec l méthode dite de vrition de l constnte. En prtique ce théorème se trduit pr : l solution générle de l éqution (E) est somme d une solution prticulière de (E) et de l solution générle de l éqution homogène ssociée (H). Proposition (Principe de superposition) Soient, b 1 et b 2 des fonctions continues sur I, pour i = 1, 2, y i solution de y = (t)y + b i (t) lors y 1 + y 2 est solution de y = (t)y + b 1 (t) + b 2 (t). 59

60 60 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Théorème (Unicité) Soient, b deux fonctions continues sur I, t 0 un point de I et α un élément de K lors il existe une unique solution de { y = (t)y + b(t) y(t 0 ) = α L condition y(t 0 ) = α est ppelée condition initile. Preuve : A fire. Remrque Une conséquence importnte de ce résultt est que si y 1 et y 2 sont deux solutions différentes de (E) lors leurs courbes représenttives sont disjointes. Exercice 1 Retrouver l expression de y 0 et y 1 lorsque et b sont des constntes. Exercice 2 Montrer que les fonctions dérivbles sur R solutions de l éqution fonctionnelle (t, u) R 2 f(t + u) = f(t)f(u) sont l fonction nulle et les solutions de vec K. { y = y y(0) = Equtions linéires du second ordre à coefficients constnts Définition Soient, b et c trois éléments de K, 0 et f une fonction continue sur un intervlle I de R, l éqution fonctionnelle y + by + cy = f(t) (E) est ppelée éqution différentielle linéire du second ordre à coefficients constnts. L éqution y + by + cy = 0 est l éqution homogène ssociée. Résoudre (E) (resp. (H)) revient à trouver l ensemble des fonctions deux fois dérivbles sur I (resp. R) et solutions de ces équtions. Théorème L ensemble des solutions de (H), noté S (H), est un K espce vectoriel de dimension 2. L éqution (C) r 2 + br + c = 0 est ppelée éqution crctéristique ssociée et une bse de S (H) est donnée pr : 1. dns le cs où K = C si (C) deux rcines distinctes r 1 et r 2, {t e r1t, t e r2t } si (C) une rcine double r, {t e rt, t te rt } 2. dns le cs où K = R si (C) deux rcines réelles distinctes r 1 et r 2, {t e r1t, t e r2t } si (C) une rcine réelle double r, {t e rt, t te rt } si (C) deux rcines complexes conjuguées α ± iβ (α et β réels, β 0), {t e αt cos(βt), t e αt sin(βt)} Preuve : Il est immédit que l ensemble des solutions une structure d espce vectoriel. Vérifier que ces solutions conviennent et que dns chque cs on bien une fmille libre. Les résultts pour le cs coefficients réels se déduisent des résultts pour le cs coefficients complexes. Montrons que toutes les solutions sont combinisons linéires des vecteurs de ces fmilles libres (et insi que l espce vectoriel des solutions est de dimension 2). Soit g une solution de (H) et considérons h définie sur R pr h(t) = e rt g(t) vec r solution de l éqution crctéristique. On obtient (fire le clcul) que h solution de h + (2r + b)h = 0 puis on termine connissnt les solutions d une éqution différentielle du premier ordre à coefficients constnts, pour cel on ser mené à distinguer r rcine simple ou double de (C). Théorème L ensemble des solutions de (E), noté S (E) est un espce ffine de dimension 2, d espce vectoriel ssocié S (H). (H)

61 6.2. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES - CAS DES FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES61 Proposition Dns le cs prticulier où f(t) = e λt P (t) vec λ dns K et P polynôme lors une solution prticulière de (E) : y + by + cy = f, est si λ n est ps rcine de l éqution crctéristique, t e λt Q(t) vec Q polynôme, deg(q) = deg(p ), si λ est rcine simple de l éqution crctéristique, t te λt Q(t) vec Q polynôme, deg(q) = deg(p ), si λ est rcine double de l éqution crctéristique, t t 2 e λt Q(t) vec Q polynôme, deg(q) = deg(p ). Preuve : à fire. Proposition On encore le principe de superposition des solutions. Proposition (Vrition des constntes) Soit f une fonction continue sur I et {y 1, y 2 } une bse de l ensemble des solutions de y + by + cy = 0 (H) Alors une solution prticulière de y + by + cy = f(t) est de l forme t ϕ 1 (t)y 1 (t) + ϕ 2 (t)y 2 (t) vec ϕ 1 et ϕ 2 dérivbles sur I et solutions du système { ϕ 1 (t)y 1 (t) + ϕ 2(t)y 2 (t) = 0 ϕ 1(t)y 1(t) + ϕ 2(t)y 2(t) = f(t) Preuve : Vérifier que {y 1, y 2 } bse de l ensemble des solutions de (H) implique que w(y 1 (t), y 2 (t)) le déterminnt du système ne s nnule en ucun point de R (on ppelle ce déterminnt le Wronskien). Ainsi le système dmet toujours une solution puis vérifier qu une telle solution convient. Théorème (Unicité) Soient 0, b et c trois éléments de K, f une fonction continue sur I, t 0 un point de I et α, β deux éléments de K lors il existe une unique solution de { y + by + cy = f(t) y(t 0 ) = α, y (t 0 ) = β L condition y(t 0 ) = α, y (t 0 ) = β est ppelée condition initile. Preuve : à fire. (E) 6.2 Equtions différentielles linéires - cs des fonctions à vleurs vectorielles K désigne R ou C Equtions linéires d ordre 1 Théorème (Existence et Unicité) Soient A et B deux fonctions continues sur un intervlle I, A à vleurs dns l ensemble des mtrices crrées M n (K), B à vleurs dns K n. Soit t 0 un point de I et V 0 un élément de K n lors il existe une unique solution définie sur I et à vleurs dns K n de { Y = A(t)Y + B(t) Y (t 0 ) = V 0 L condition Y (t 0 ) = V 0 est ppelée condition initile et l recherche de solutions u système ci-dessus est ppelé problème de Cuchy. Preuve : dmis. L existence d une solution locle peut se montrer à l ide du théorème du point fixe. Dns le cs des équtions linéires toute solution locle se prolonge en une solution globle définie sur I (voir cours de L3, démonstrtion u-delà du progrmme de l écrit du cpes). Théorème Soit A une fonction continue sur un intervlle I à vleurs dns M n (K) l ensemble des solutions de Y = A(t)Y (H) est un K espce vectoriel de dimension n.

62 62 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Preuve : Il est clir que l ensemble des solutions est un espce vectoriel. Grâce u théorème d unicité, pour t 0 un point fixé de I, l ppliction L : S (H) K n Y Y (t 0 ) est un isomorphisme d espce vectoriel, S (H) est de dimension n. Théorème Soit A et B deux fonctions continues sur un intervlle I à vleurs respectivement dns M n (K) et K n, l ensemble S (E) des solutions de Y = A(t)Y + B(t) (E) est un espce ffine de dimension n, d espce vectoriel ssocié S (H). Proposition Soit {F 1,..., F n } une fmille de solutions de (H). On considère l fonction w définie sur I pr w(t) = det(f 1 (t),..., F n (t)), il y équivlence entre les ssertions suivntes 1. {F 1,..., F n } est une bse de S (H), 2. il existe un point t 0 de I tel que w(t 0 ) 0, 3. pour tout t de I, w(t) 0. Preuve : conséquence du théorème d unicité. Définition Soit A et B deux fonctions continues sur un intervlle I à vleurs dns respectivement dns M n (K) et K n et Y = A(t)Y + B(t) (E) Une bse {F 1,..., F n } de S (H) est ppelée système fondmentl de solutions de (E). L fonction w définie sur I pr w(t) = det(f 1 (t),..., F n (t)) est ppelé wronskien du système fondmentl de solutions pr rpport à une bse fixée. Proposition (Vrition de l constnte) Soit A et B deux fonctions continues sur un intervlle I à vleurs dns respectivement dns M n (K) et K n et Y = A(t)Y + B(t) Si {F 1,..., F n } est un système fondmentl de solutions lors il existe une solution de (E) de l forme n Y = ϕ i F i i=1 Preuve : notons W (t) = (F 1 (t)... F n (t)) l mtrice Wronskienne ssociée u système fondmentl. Il existe n fonctions continues i, 1 i n, telles que B = n i=1 if i. Elles sont données pr 1 (t). n (t) = W (t) 1 B(t) Les fonctions ϕ i solutions de ϕ i = i pour 1 i n conviennent Equtions linéires à coefficients constnts Théorème Soit A une mtrice crrée d ordre n à coefficients dns K lors l solution de { Y = AY Y (0) = V 0 (E) est donnée pr Y (t) = e ta V 0. L éqution Y = AY dmet pour système fondmentl de solutions ( Y1 (t)... Y n (t) ) = exp(ta) (H) Preuve : Le fit que toute solution soit de l forme t e ta V, vec V un élément de K n, découle du fit que d dt eta = Ae ta et e 0A = I l mtrice identité. Nous vons un système fondmentl de solutions en prennt pour V i les vecteurs de l bse cnonique. Exercice 3 Cet exercice peut se fire sns connitre l exponentielle d une mtrice. On suppose que l mtrice A est digonlisble, une bse de vecteurs propres est {V 1,..., V n } vec pour vleurs propres ssociées λ 1,..., λ n. Montrer qu lors {e λ1t V 1,..., e λnt V n } est un système fondmentl de solutions.

63 6.3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES Equtions linéires sclires d ordre 2 Théorème (Unicité) Soient, b, c et f des fonctions continues sur un intervlle I, on suppose de plus que ne s nnule ps sur I. Soit t 0 un point de I et α, β deux éléments de K lors il existe une unique solution de { (t)y + b(t)y + c(t)y = f(t) y(t 0 ) = α, y (t 0 ) = β Preuve : on se rmène u système linéire d ordre 1 en posnt ( ) ( ) y 0 1 Y = y A(t) = c (t) b (t) B(t) = ( 0 f(t) ) ( ) α X 0 = β puis on conclue vec le théorème d unicité des systèmes linéires d ordre 1. Exercice 4 Retrouvez les résultts des équtions différentielles linéires d ordre 2 à coefficients constnts. Lien entre éqution crctéristique et mtrice A, méthode de l vrition de l constnte, etc Equtions différentielles non linéires Théorème (Cuchy-Lipschitz) Soit Ω un ouvert de R 2 et f une ppliction de clsse C 1 de Ω dns R. Pour tout (t 0, x 0 ) de Ω, l éqution x = f(t, x) (E) dmet une unique solution mximle x telle que x(t 0 ) = x 0. Cette solution est définie sur un intervlle ouvert J contennt t 0 et ne peut être prolongée à un intervlle contennt strictement J. Preuve : résultt dmis en grnde prtie. On peut montrer qu il existe une unique solution locle vec le théorème du point fixe, puis que toute solution locle peut être prolongée en une solution mximle (voir cours de L3). Pour montrer que J est ouvert supposons le contrire, pr exemple J = (, b] on peut lors résoudre le problème de Cuchy de donnée initile (b, x(b)) l solution x est telle que x(b) = x(b) et x (b) = f(b, x(b)) = x (b). On pourrit insi prolonger l solution x à droite de b, contrdiction vec l mximlité de l solution. Remrque Ce résultt est encore vri pour Ω un ouvert de R n+1 et f une ppliction de clsse C 1 de Ω dns R n. Théorème (Cuchy-Lipschitz) Soit Ω un ouvert de R 3 et f une ppliction de clsse C 1 de Ω dns R. Pour tout (t 0, x 0, x 1 ) de Ω, l éqution x = f(t, x, x ) (E) dmet une unique solution x telle que x(t 0 ) = x 0 et x (t 0 ) = x 1. Cette solution est définie sur un intervlle ouvert J contennt t 0 et ne peut être prolongée à un intervlle contennt strictement J. 6.4 Exercices Exercice 5 On donne le système différentiel, où y et x désignent deux fonctions de t : { (1 + t 2 )x tx y = 2t 2 1 (1 + t 2 )y + x ty = 3t (6.1) ) Soient φ 1 (t) = (1, t), φ 2 (t) = (t, 1). Montrer que φ 1 et φ 2 sont deux solutions du système homogène. Donner leur Wronskien. b) Soit f(t) = (2t 2 1, 3t), écrire f(t) dns l bse {φ 1 (t), φ 2 (t)} puis en déduire toutes les solutions de (6.1) en utilisnt l méthode de l vrition des constntes. Exercice 6 Résoudre Déterminer les solutions de X = X = ( ( ) X. ) ( X + e 2t 2 lnt 1 ).

64 64 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exercice 7 Résoudre x = 4x + y + z y = x y 2z z = 2x + y z Exercice 8 Résoudre sur R + X = X + 1 t 0 2 t. Exercice 9 (extrit cpes 1996) ) Soit c un réel strictement positif, montrer que les fonctions Y 0 et Y 1 définies pr Y 0 (t) = sh(ct) et Y 1 (t) = sh(c(1 t)) forment une bse de l espce vectoriel des solutions de l éqution différentielle y + c 2 y = 0. b) Déterminer en fonction de Y 0 et Y 1 les solutions de l éqution différentielle y + c 2 y = f(t) vec f continue sur [, b]. c) Déterminer γ R tel que si z est solution sur [α, β] (vec 0 < α < β) de l éqution différentielle t 2 z 2tz + z = g(t) vec g continue sur [α, β] lors l fonction y définie pr y(x) = e γx z(e x ) est solution d une éqution différentielle de l forme de l question b). d) Y -t-il unicité des solutions sur [0, 1] de l éqution différentielle y + π 2 y = 0 vérifint y(0) = λ et y(1) = µ? Exercice 10 Résoudre xy + xy = 1 + 2x 2. Exercice 11 Résoudre l éqution différentielle t 2 y + y + y 2 = 0 posée dns ]0, + [ R. (ind. on pourr fire le chngement de fonction z = 1/y) Exercice 12 Résoudre ) (1 + x)y 2y + (1 x)y = 0 (vérifier que x e x est solution). b) x(x + 1)y y 2y = 3x 2 (chercher une solution monome de l éqution homogène). Exercice 13(extrit cpes 2005) ) Soient I = [, b] un intervlle réel compct vec < b, α, β deux fonctions continues de I dns R et f une solution sur I non identiquement nulle de l éqution différentielle : y + αy + βy = 0. Montrer que l ensemble des zéros dns I de l fonction f est fini. b) Soient I = [, + [, β une fonction continue de I dns R et f une solution sur I non identiquement nulle de l éqution différentielle : y + βy = 0. On désigne pr r l fonction définie sur I pr : x I, r(x) = (f(x)) 2 + (f (x)) 2. Montrer que l fonction r est à vleurs strictement positives et continûment dérivble sur I. Exercice 14 Soit (I, ϕ) l solution mximle de l éqution différentielle x = x 2 1 telle que ϕ(t 0 ) = x 0 (t 0 I, x 0 R). ) On suppose que x 0 ] 1, 1[. Montrer que pour tout t I, ϕ(t) ] 1, 1[ et que ϕ est décroissnte. Déterminer (I, ϕ). b) Déterminer (I, ϕ) dns les cs x 0 < 1 et x 0 > 1. Exercice 15* Soient f : R R de clsse C 1 et l éqution différentielle x = f(x) notée (E). ) Justifier que pour toute condition initile (t 0, x 0 ) il existe une unique solution mximle que l on noter dns l suite (x, I). b) On suppose que 1 et 2 sont deux zéros de f vec 1 < 2 et que f ne s nnule ps sur ] 1, 2 [. Quelle est l solution mximle si x 0 = 1 ou x 0 = 2? Montrer que si x 0 ] 1, 2 [ lors x(t) ] 1, 2 [ pour tout t I. En déduire que x est monotone et que I = R. Que vut lim t ± x(t)? c) On suppose toujours que f( 2 ) = 0 et que f est strictement positive sur ] 2, + [, on choisit x 0 dns ] 2, + [. Démontrer que 1/f dmet sur ] 2, + [ une primitive qui s nnule en x 0, notée F, et que F rélise une bijection de ] 2, + [ sur ], t + [ vec t + = + si et seulement si + 1 x 0 f(u) du diverge. En déduire qu lors I =], t 0 + t + [ et déterminer lim t t0 + t + x(t). d) Résolution explicite de l éqution différentielle x = x(x 1) de condition initile x(0) = x 0.

65 6.4. EXERCICES 65 Exercice 16 Vérifier que l éqution différentielle x 2 + xy + y 2 x 2 y = 0 est une éqution de type homogène puis l intégrer près voir fit le chngement de fonction y = xz. Exercice 17. (Croissnce de popultion) On considère une popultion formée de N individus et évolunt en fonction du temps t. 1) Dns le modèle de Mlthus on suppose que le tux d ccroissement de l popultion est proportionnel u nombre d individus. On suppose N dérivble, justifier que N vérifie l éqution N (t) = kn(t) vec k constnte (égle à l différence entre le tux de ntlité et de mortlité qui sont supposés constnts dns ce modèle). ) Déterminer N si à l instnt t = 0 l popultion est de N 0 individus. b) Comment évolue cette popultion lorsque t tend vers l infini? 2) Le modèle de Verhulst prend en compte que les ressources de l environnement ne sont ps illimitées et suppose que le tux k n est plus constnt mis proportionnel à l différence entre une popultion mximle et l popultion à l instnt t. On lors k(t) = r(n N(t)) et N est solution de l éqution N (t) = rn(t)(n N(t)) (ppelée éqution logistique). ) Justifier que l on peut fire le chngement de fonction y(t) = 1 N(t), résoudre l éqution précédente. N b) En déduire que N(t) = 1 + Ke rn vec K constnte réelle. t c) Comment évolue cette popultion lorsque t tend vers l infini? Exercice 18. (Loi de refroidissement de Newton) Cette loi de refroidissement (ou de réchuffement...) suppose que le tux de vrition de l tempérture d un objet est proportionnel à l différence de tempérture entre l objet et le milieu mbint. Le coefficient de proportionnlité k dépend essentiellement de l surfce de contct entre l objet et son milieu (on le considèrer constnt). On note T (t) l tempérture de l objet à l instnt t. 1. Donner l éqution différentielle dont est solution l fonction T si l on suppose que le milieu mbint est à tempérture constnte T. 2. Déterminer T (t) si l objet possède une tempérture initile T (0) = T On suppose mintennt que l tempérture mbinte vrie vec le temps (pr exemple cs du sol exposé ux ryons du soleil). Déterminer T (t) lorsque T (t) = T m sin(ωt). Exercice 19 (Msse suspendue à un ressort) On considère un corps ponctuel M de msse m suspendu à un ressort et plongé dns un milieu ynt une certine viscosité (ir, eu, huile,...). On repère l position de M sur un xe verticl, repéré pr un vecteur j orienté vers le hut, et on prend pour origine l position d équilibre de M. On note y(t) l cote de M sur cet xe à l instnt t (soit OM = y(t) j). 1. En l bsence de force d excittion gissnt sur M, trois forces interviennent pour déterminer le mouvement de M, l force d inertie proportionnelle à y (coefficient l msse m), l force de viscosité proportionnelle à y (coefficient de viscosité b > 0) et l force de rppel proportionnelle à y (coefficient de rideur du ressort c > 0). Alors y vérifie l éqution my + by + cy = 0. Résoudre cette éqution en cs de () Viscosité nulle (b = 0). (b) Viscosité fible (b petit tel que b 2 4mc < 0). (c) Viscosité grnde (b grnd tel que b 2 4mc > 0). (d) Dns chque cs comment se comporte y(t) lorsque t tend vers l infini? (Pour voir une idée de l llure de l courbe lorsque b 2 4mc < 0 on pourr utiliser, en l ynt vérifié, que A cos(ωx)+b sin(ωx) = C sin(ωx+ϕ) vec C = A 2 + B 2 B et ϕ tel que cos ϕ = et sin ϕ = A.) A2 +B 2 A2 +B 2 2. On suppose mintennt de plus que M est soumis à une force sinusoïdle de pulstion λ, soit my + by + cy = k sin λt où k est une constnte. Résoudre cette éqution dns chcun des cs précédents. 3. Que peut-on dire mintennt sur y(t) lorsque t tend vers l infini? A quoi correspond le phénomène de résonnce? Exercice 20 (Proie-Prédteur, modèle de Lotk-Volterr) On pourr consulter greg-mths.univ-rennes1.fr/documenttion/docs/volterr.pdf ou Mthémtiques et sttistique pour les sciences de l nture de G. Biu, J Droniou et M. Herzlich, EDP sciences ou Mthemticl Biology de J. D. Murry, Springer

66 66 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES On considère le système différentiel suivnt : x = x(1 y) y = y(x 1) (6.2) Ce système modélise l évolution u cours du temps d une popultion de lpins (représentée pr x), et d une popultion de renrds (représentée pr y) : plus il y de lpins, plus les renrds ont à mnger et plus ils se reproduisent. D un utre coté, plus il y de renrds, plus les lpins se font mnger et moins ils se reproduisent. Soient x 0 > 0 et y 0 > 0. On s intéresse u problème de Cuchy (P ) pour l éqution (6.2) vec comme données initiles x(0) = x 0, y(0) = y 0. 1) Montrer qu il existe une solution mximle unique à ce problème de Cuchy. On note ( I, (x, y) ) l solution mximle de (P ). 2) Montrer que pour tout t I, x(t) > 0 et y(t) > 0. Ind : supposer qu il existe t 0 dns I tel que x(t 0 ) = 0 et trouvez lors une solution globle distincte de (x, y). 3) Pour t I, on pose ψ(t) = ln x(t) + ln y(t) x(t) y(t). Montrer que pour tout t I, l fonction ψ est constnte (s vleur dépend bien sûr de l donnée initile). ψ est ppelée intégrle première du système ) Soit C R. On définit K C pr { } K C = (u, v) R + R +, ln u + ln v u v = C Montrer que K C est borné. En déduire que les fonctions x et y sont bornées sur I puis que I = R. (Sinon on suppose que I = (, b) vec b < +, lors de x et y bornées on déduit que x et y bornées puis que x et y sont prolongebles pr continuité en b, obtenir lors un prolongement à l solution mximle, contrdiction). 5) On suppose que x 0 = y 0 = 1. Résoudre (P ). Ce point est ppelé point d équilibre du système. 6) On divise le qurt de pln R + R + en qutre zones : A = { (u, v), 0 < u < 1, 0 < v < 1 }, B = { (u, v), u > 1, 0 < v < 1 } C = { (u, v), u > 1, v > 1 }, D = { (u, v), 0 < u < 1, v > 1 } ) Déterminer le le signe de x et y dns chcune des prties A, B, C et D. b) On suppose que (x 0, y 0 ) A et que pour tout t de [0, + [, (x(t), y(t)) reste dns A, en déduire lors que x et y dmettent une limite finie lorsque t tend vers +, notée l et l. En déduire que x lors une limite non nulle lorsque t tend vers + et en déduire une contrdiction. c) Montrer que si (x 0, y 0 ) A, lors l solution psse successivement de A à B à C et à D pour revenir dns A. Enoncer le cs générl. 7) )On définit f pr f : ]0, 1] R u ln u u 1 Montrer que f est injective. b) On note t 1 le plus petit réel tel que (x(t 1 ), y(t 1 )) entre dns B et t 5 le plus petit réel strictement plus grnd que t 1 tel que (x(t 5 ), y(t 5 )) entre de nouveu dns B. On x(t 1 ) = x(t 5 ) = 1, déduire de ce qui précède que y(t 1 ) = y(t 5 ). (ind. penser à utiliser l fonction ψ) c) En notnt ( x, ỹ) le couple de fonctions définies pr ( x(t), ỹ(t)) = (x(t + t 5 t 1 ), y(t + t 5 t 1 )) montrer que ( x, ỹ) est solution du problème de Cuchy de donnée initile (x(t 1 ), y(t 1 )). d) En déduire que si (x 0, y 0 ) (1, 1), l solution du problème de Cuchy (P ) est périodique. 8) Trcer l llure des courbes solutions.

67 Chpitre 7 Clcul différentiel et intégrles multiples Dns ce chpitre les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un ouvert U d un R-espce vectoriel E, de dimension n, et à vleurs dns un R-espce vectoriel F de dimension p. Pour des bses de E et F fixées, f s identifie à une ppliction définie sur un ouvert de R n et à vleurs dns R p. Nous trvillerons vec de telles fonction dns ce qui suit, nous désignerons sns distinction des normes sur R n et R p (rppel sur un espce vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivlentes) et pr e i les vecteurs de l bse cnonique. 7.1 Applictions continûment différentibles Définition Soit f une fonction définie sur un ouvert U de R n et à vleurs dns R p. Soit un point de U et h un vecteur de R n, il existe lors δ > 0 tel que + th soit dns U pour tout t de [ δ, δ]. On dit que f est dérivble u point selon le vecteur h si l ppliction prtielle ϕ h : [ δ, δ] R p t f( + th) est dérivble en 0. On note lors D h f() = ϕ h (0). Lorsque h = e j pour 1 j n, on note les dérivées prtielles premières D j f() ou f x j (). Définition Soit f une fonction définie sur un ouvert U de R n et à vleurs dns R p. f est dite de clsse C 1 sur U si les pplictions dérivées prtielles D j f, pour 1 j n, sont continues sur U. Proposition Si f est de clsse C 1 sur U ouvert de R n lors pour tout point de U et tout vecteur h = (h 1,..., h n ) tel que le segment [, + h] soit contenu dns U on En prticulier, D h f() = n i=1 h id i f(). f( + h) = f() + n h i D i f() + o( h ). Preuve : non exigible en clsses préprtoires. Une idée pour n = 2 et p = 1 (le cs générl se trite de même), i=1 f( 1 + h 1, 2 + h 2 ) = f( 1, 2 ) + (f( 1 + h 1, 2 + h 2 ) f( 1, 2 + h 2 )) + (f( 1, 2 + h 2 ) f( 1, 2 )) puis on pplique les ccroissements finis dns chque prenthèse et enfin on utilise l continuité des dérivées prtielles. Définition Soit f une fonction définie sur un ouvert U de R n et à vleurs dns R p. On dit que f est différentible u point s il existe une ppliction linéire, notée df(), de R n dns R p, telle que pour tout vecteur h tel que le segment [, + h] soit contenu dns U on it Exercice 1 Que vut df() lorsque n = p = 1? f( + h) = f() + df()(h) + o( h ). Proposition Si f est différentible en lors f est continue en et elle dmet des dérivées selon tout vecteur h, de plus D h f() = df()(h). Preuve : à fire. 67

68 68 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRALES MULTIPLES Théorème Si f est de clsse C 1 sur un ouvert U lors f est différentible en tout point de U et df()(h) = De plus l ppliction df() est continue sur U. n h i D i f() i=1 Preuve : l expression de df()(h) est une reformultion de l proposition L continuité de df() découle du fit que n df() df(b) D i f() D i f(b) i=1 puis de l continuité des dérivées prtielles. Exercice 2 Soit L une ppliction linéire de R n dns R p, montrer que L est différentible en tout point de R n et que dl() = L. Que vut D i L? En déduire que L est de clsse C 1. Théorème (Composition) Soit f une ppliction de clsse C 1 sur un ouvert U de R n à vleurs dns R p, soit g une ppliction de clsse C 1 sur un ouvert V contennt f(u) de R p à vleurs dns R m. Alors g f est de clsse C 1 sur U et pour tout point de U, tout vecteur h de R n Preuve : revenir à l définition de l différentibilité, d(g f)()(h) = dg(f()) (df()(h)) f( + h) = f() + df()(h) + o( h ) g(b + k) = g(b) + dg(b)(k) + o( k ) vec b = f() et k = f(+h) f(). Pour conclure, pensez que les pplictions linéires df() et dg(b) sont continues. Remrque Ceci nous permet de voir que pour une ppliction de E dns F, l propriété être C 1 est indépendnte du choix des bses sur E et F. Exercice 3 Ecrire l différentielle de l composée à l ide des dérivées prtielles dns le cs où n = p = 2. Exercice 4 Rppelez les résultts sur somme, produit (cs p = 1), inverse (cs p = 1) d pplictions de clsse C 1. Préciser dns chque cs l expression de l différentielle. Définition Soit f = (f 1,..., f p ) une ppliction différentible en un point de R n et à vleurs dns R p, on ppelle mtrice jcobienne de f u point l mtrice p n Jc(f)() = (( f i x j )) 1 i p 1 j n Lorsque n = p, on ppelle jcobien de f en, le déterminnt de l mtrice jcobienne. Exercice 5 Exprimer à l ide de produit de mtrices fisnt intervenir les mtrices jcobiennes, df()(h) et d(g f)()(h). Exercice 6 Lorsque f est une ppliction de R n dns R p et ϕ une ppliction (vectorielle) définie de R dns R n, exprimer d(f ϕ)()(h) à l ide des dérivées prtielles de f et des dérivées des pplictions coordonnées de ϕ. Définition Soient U et V deux ouverts de R n, on dit que f est un C 1 difféomorphisme de U sur V si f est une bijection de U sur V et si f et f 1 sont de clsse C 1. Théorème Soit f une ppliction injective et de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, lors f est un C 1 difféomorphisme de U sur f(u) si et seulement si le jcobien de f en est non nul (c est à dire si et seulement si df() est inversible) en tout point de U. Preuve : dmis.

69 7.2. FONCTIONS NUMÉRIQUES CONTINÛMENT DIFFÉRENTIABLES Fonctions numériques continûment différentibles Dns ce prgrphe les pplictions sont à vleurs dns R, c est à dire p = 1. Définition On suppose R n muni d une norme euclidienne, f une fonction numérique différentible sur un ouvert U de R n, le grdient de f en est défini pr où ( ) est le produit sclire ssocié à l norme. df()(h) = (grdf() h) Théorème (Inéglité des ccroissements finis) Soit U un ouvert convexe de R n, f une fonction numérique de clsse C 1 sur U. S il existe M 0 tel que pour tout de U, df() M lors (x, y) U 2 f(x) f(y) M x y Preuve : ppliquer l églité des ccroissements finis à l fonction ϕ définie sur [0, 1] pr ϕ(t) = f(tx + (1 t)y). Remrque On noter que l hypothèse de convexité sert uniquement à voir le segment [x, y] inclus dns U pour tous points x et y de U. On donc une inéglité comprble pour tout ouvert U et les points x et y choisis de sorte que [x, y] U. Théorème Soit U un ouvert étoilé, f une fonction numérique de clsse C 1 sur U et de différentielle nulle sur U lors f est constnte sur U. Preuve : Notons un point pr rpport uquel U est étoilé, lors pour tout x de U le segment [, x] est inclus dns U et on peut ppliquer l inéglité des ccroissements finis sur [, x] vec M = 0. Ainsi pour tout x de U, f(x) = f(). Proposition Soit f une fonction numérique de clsse C 1 sur un ouvert U de R n. Si f dmet un extremum locl en un point de U lors df() = 0. Preuve : ppliquer le résultt nlogue des fonctions numériques d une vrible réelle ux pplictions prtielles x i f( 1,..., i 1, x i, i+1,..., n ). Définition Soit f une ppliction définie sur un ouvert U de R n et différentible en un point de U. Si df() = 0, on dit que est un point critique de f. 7.3 Dérivées prtielles d ordre supérieur Définition Soit f une ppliction dmettnt une j ième dérivée prtielle sur un ouvert U de R n, si D j f dmet une k ième dérivée prtielle en un point de U, on dit que f une (k, j) dérivée prtielle seconde en, notée Dk,j 2 f() ou 2 f x k x j (). f est dite de clsse C 2 sur U lorsque pour tout (k, j) {1,..., n} 2, elle dmet des (k, j) dérivée prtielle seconde continues sur U. Remrque Générlistion pr itértion de l définition ci-dessus pour les dérivées prtielles d ordre k. Théorème (de Schwrz) Soit f une ppliction de clsse C 2 sur un ouvert U de R n lors (k, j) {1,..., n} 2 D 2 k,jf = D 2 j,kf Preuve : dmis. Théorème Si f dmet des dérivées prtielles d ordre k continues sur un ouvert U, lors f est dite de clsse C k sur U et pour toute permuttion σ de {1,..., k} et tout k-uplet (j 1,..., j k ) de {1,..., n} on sur U k f x j1 x j2 x jk = k f x jσ(1) x jσ(2) x jσ(k) Exercice 7 Soit f : R 2 R telle que f(0, 0) = 0 et f(x, y) = xy x2 y 2 x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0). Montrer que f est différentible sur R 2 ; clculer 2 f x y (0, 0) et 2 f y x (0, 0) ; que peut-on en déduire? Exercice 8 Rppeler les résultts pour l somme, produit, inverse d pplictions numériques de clsse C k, composition d pplictions de clsse C k.

70 70 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRALES MULTIPLES Théorème (Formule de Tylor-Young) Soit U un ouvert de R n et f une fonction numérique de clsse C 2 sur U, lors pour tout point de U et tout vecteur h tendnt vers 0 n f( + h) = f() + h j D j f() + 1 n h 2 2 jdj,jf() h j h k Dj,kf() 2 + o( h 2 ) j=1 j=1 1 j<k n Preuve : Grndes lignes à compléter. Pour h suffismment petit fin que le segment [, + h] soit contenu dns U, ppliquez l formule de Tylor vec reste intégrl à l ordre 2 à l fonction g définie sur [0, 1] pr g(t) = f( + th). g(1) = g(0) + g (0) (1 t)g (t) dt En clculnt les dérivées secondes de g, pensez à utiliser le théorème de Schwrz. L églité finle s obtient à l ide de 1 0 (1 t)g (t) dt = 1 2 g (0) (1 t)(g (t) g (0)) dt l dernière intégrle étnt un o( h 2 ) grâce à l continuité des dérivées prtielles secondes. Proposition (Cs n = 2) Soit U un ouvert de R 2 et f une fonction numérique de clsse C 2 sur U, on suppose que le point de U est un point critique et on note lors si 1. s 2 rt < 0 et r > 0 on un minimum locl et r < 0 on un mximum locl r = D 2 1,1f() s = D 2 1,2f() t = D 2 2,2f() 2. s 2 rt > 0, on un point col (ni mximum locl, ni minimum locl) Preuve : Dns le cs prticulier n = 2 et vec point critique l formule de Tylor-Young s écrit f( + h) f() = 1 2 (rh sh 1 h 2 + th 2 2) + o( h 2 ) et on s intéresse u signe de l forme qudrtique Les différents cs de l proposition correspondent à 1. s 2 rt < 0 et r > 0 q est une forme définie positive et r < 0 q est une forme définie négtive q(h 1, h 2 ) = rh sh 1 h 2 + th s 2 rt > 0, q est une forme non dégénérée, ni positive, ni négtive. Exercice 9 Soit f définie de R 2 dns R pr f(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y, déterminer ses points critiques et les clsser. 7.4 Intégrles multiples Intégrles doubles Théorème Soit f une fonction continue sur le pvé P = [, b] [c, d] à vleurs réelles ou complexes. On d ( ) b f(x, y) dx dy = b ( ) d f(x, y) dy dx := f(x, y) dxdy c c P

71 7.4. INTÉGRALES MULTIPLES 71 Preuve : Grâce ux résultts des intégrles à prmètre on sit que les fonctions A et B définies pr A(x) = d c f(x, y) dy B(y) = b f(x, y) dx sont continues sur respectivement [, b] et [c, d]. Les intégrles doubles sont bien définies. Notons H l primitive de A sur [, b] qui s nnule en, insi b ( b ) d H(b) = A(x) dx = f(x, y) dy dx Notons K l fonction définie sur [, b] pr K(t) = d c ( t c ) f(x, y) dx dy Avec le théorème de dérivtion des intégrles à prmètre (vérifier que les hypothèses sont bien stisfites) nous vons que K est dérivble sur [, b] et K (t) = d f(t, y) dy = A(t). Comme K() = H() = 0, nous vons K = H c soit K(b) = H(b) ce qui est le résultt ttendu. Définition Soient I et I deux intervlles non vides ou non réduits à un point, f continue positive sur I I lors f est dite intégrble sur I I s il existe M > 0 tel que pour tout segment J I, tout segment J I on J J f(x, y) dxdy M. On pose lors I I f(x, y) dxdy := sup J,J { } f(x, y) dxdy J J On suit lors le même cheminement que pour l définition de l intégrle d une fonction sur un intervlle quelconque. Nous en donnons les grndes lignes. 1. f continue à vleurs réelles ou complexes est dite intégrble sur I I si f l est. 2. f à vleurs réelles continue et intégrble lors f + et f sont intégrbles et f = I I f + I I f I I 3. f à vleurs complexes continue et intégrble lors Re(f) et Im(f) sont intégrbles et f = I I Re(f) + i I I Im(f) I I Théorème (Fubini) Soit f une fonction à vleurs complexes, continue et intégrble sur I I. Si pour tout x de I l fonction f(x, ) est intégrble sur I et si l ppliction g : x f(x, ) est continue pr morceux et I intégrble sur I, on f = g I I I De plus, si l fonction f(, y) est intégrble sur I pour tout y de I et si l ppliction h : y f(, y) est continue I pr morceux et intégrble sur I, on g = Preuve : dmis Intégrle sur une prtie simple du pln, notion d ire I Définition Une prtie A du pln R 2 est dite élémentire si elle dmet les deux définitions suivntes I h A = {(x, y) R 2, x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} A = {(x, y) R 2, c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} où ϕ 1, ϕ 2 (resp. ψ 1, ψ 2 ) sont des fonctions continues sur [, b] (resp. [c, d]) vérifint ϕ 1 (x) < ϕ 2 (x) pour tout x de ], b[ (resp. vérifint ψ 1 (y) < ψ 2 (y) pour tout y de ]c, d[).

72 72 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRALES MULTIPLES Proposition Soit f une fonction à vleurs réelles ou complexes continue sur une prtie élémentire A du pln. On note ˆf l fonction, définie sur R 2, obtenue en prolongent f pr 0 sur le complémentire de A. Alors les intégrles ci-dessous sont bien définies et ( ) ( ) ˆf(x, y) dy dx = ˆf(x, y) dx dy := f R R R R A Lorsque f = 1, l ire de l prtie élémentire A est le réel v 2 (A) = Exercice 10 Ecrire les intégrles doubles à l ide des fonctions ϕ i et ψ i. Proposition Ces résultts s étendent u cs où A est une prtie simple du pln, c est à dire, l réunion de prtie élémentires dont les intérieurs sont deux à deux disjoints. On dditivité de l ire pour une réunion finie de prties simples dont les intérieurs sont deux à deux disjoints. Théorème (Formule de chngement de vrible) Soit U et V deux ouverts de R 2 et ϕ une ppliction de clsse C 1 de U dns V. Soit D et deux compcts simples, tels que ϕ(d) =, f une fonction continue sur, si de plus l ensemble des points de qui ont plusieurs ntécédents pr ϕ est d ire nulle lors f(x, y) dxdy = f ϕ(u, v) jc(ϕ(u, v) dudv Preuve : dmis Exercice 11 Retrouver l formule de chngement de vribles lors du pssge en coordonnées polires. D A Exercices Exercice 12 ) Soit l ppliction f définie sur R 2 pr f(0, 0) = 0 et pour (x, y) 0 f(x, y) = xy x 2 +y. Clculer f 2 x f est-elle continue en (0, 0)? b) On suppose que l on une ppliction f de R 2 dns R dont les dérivées prtielles f x Montrer que f est continue. c) Soit l ppliction f définie sur R 2 pr f(0, 0) = 0 et pour (x, y) 0 f(x, y) = x3 x 2 +y. Montrer que f 2 x f (0, 0) et y (0, 0). et f y sont bornées sur R2. bornées sur R 2. f est-elle différentible? Exercice 13 Soient f une ppliction C 1 de R 2 dns R, et b deux fonctions C 1 sur R. On définit l fonction F sur R pr F (x) = b(x) (x) f(t, x) dt. ) Soit G l ppliction de R 3 dns R définie pr G(u, v, x) = v u f(t, x) dt, montrer que G est de clsse C1 sur R 3. b) En déduire que F est de clsse C 1 sur R et clculer F. Exercice 14 Soit f une ppliction de clsse C 1 de R n dns R, montrer l équivlence entre les deux ssertions suivntes : (i) Il existe p N tel que pour tout t > 0 et tout x R n, f(tx 1,, tx n ) = t p f(x 1,, x n ). (ii) Il existe p N tel que pour tout x R n, n i=1 x i f x i (x) = pf(x). Indiction pour montrer que (ii) implique (i) : fixer (x 1,, x n ) et considérer l fonction g définie sur R + pr g(t) = f(tx 1,, tx n ). Trouver une éqution différentielle linéire du premier ordre dont g est solution puis conclure. Exercice 15 ) Soit l ensemble Ω des (n 1)-uplets vérifint x 1 > 0,, x n 1 > 0, n 1 k=1 x k < 1. Justifier que Ω est ouvert et que Ω est compct. b) Montrer que l ppliction f : (x 1,, x n 1 ) ( 1 n 1 k=1 x k et f y sont ) n 1 k=1 x k possède un mximum sur Ω et déterminer ce mximum. Exercice 16 Soit f : R 2 R l ppliction définie pr f(x, y) = (x + y)e x2 y 2. Déterminer les extrem locux de f et préciser leur nture. Exercice 17

73 7.5. EXERCICES 73 Soit f une ppliction C 1 de R dns R 3 telle que pour tout réel t, f(t) = 1 ; où désigne l norme euclidienne stndrt de R 3. Montrer que pour tout réel t, (grdf(t) f(t)) = 0 où ( ) est le produit sclire ssocié à. Interpréttion géométrique? Exercice 18 Soient R > 0, D R = {(x, y) (R + ) 2 x 2 + y 2 R 2 } et R = [0, R] [0, R]. On pose I(R) = D R e (x2 +y 2) dx dy et J(R) = R e (x2 +y 2) dx dy. ) Clculer I(R). b) Montrer que I(R) J(R) I(R 2) et en déduire que lim R + I(R) = lim R + J(R). c) En déduire que + e t2 dt converge et donner s vleur. 0 Exercice 19 Clculer D xy dxdy où D est l prtie bornée du pln limitée pr les prboles d équtions y = x2 et x = y 2. Exercice 20 En utilisnt le théorème de Fubini, clculer I = 2 1 ( x sin πx ) x 2y dy dx ( 2 sin πx ) x 2y dy dx

74 Anlyse M1-ENSM Devoir 1 A rendre u plus trd lundi 13 février Ch. Menini Exercice 30 du chpitre Suites et Séries numériques Problème 1. On définit deux suites ( n ) et (b n ) de réels strictement positifs pr les reltions de récurrence { n+1 = 1 2 ( n + b n ) b n+1 = b n n+1 et l donnée des premiers termes 0 et b 0 tels que 0 < 0 < b 0. ) Montrer que l suite ( n ) est croissnte, que l suite (b n ) est décroissnte et que pour tout entier n, n < b n. b) En déduire que les suites ( n ) et (b n ) convergent. Que peut-on dire de leur limite? c) Montrer que pour tout entier n b 2 n+1 2 n+1 = n+1 2 (b n n ). En déduire que b n+1 n (b n n ) puis que b n n 1 4 n (b 0 0 ). 2. On pose pour tout entier n, c n = n b n. Montrer que pour tout entier n, c n+1 = 3. ) Justifier qu il existe un réel α compris entre 0 et π 2 tel que c 0 = cos α. Montrer que 1+c n 2 et que b n+1 = b n c n+1. c 1 = cos α 2 sin α et b 1 = b 0 2 sin α. 2 b) Donner les expressions en fonction de n, α et b 0 de c n, b n et n. sin α c) Montrer que l limite commune ux suites ( n ) et (b n ) est b 0 4. On prend 0 = 1 3 et b 3 0 = 2 3, on pose pour tout entier n 3 α. p n = 1 b n et q n = 1 n. ) Montrer que les suites (p n ) et (q n ) convergent vers π. b) Montrer que pour tout entier n 0 q n p n n puis que 0 π p n n. A prtir de quel rng n 0 est-on ssuré que p n pproche π à moins de 10 8 près? 5. On considère un cercle C de ryon 1 et pour tout entier n, deux polygones réguliers P n et Q n ynt 3 2 n côtés. P n étnt inscrit dns C et Q n exinscrit à C. Voir les cs n = 0 et n = 1 u dos de l feuille. ) Evluer en fonction n une mesure de l ngle u centre qui intercepte l un des côtés de P n ou de Q n. b) Vérifier que p n est l vleur du demi-périmètre de P n et que q n est l vleur du demi-périmètre de Q n (on pourr penser à l formule d Al-Kshi pour p n ). 1

75 Figure 1 Les polygones P0 et Q0 Figure 2 Les polygones P1 et Q1 2

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