Suites Réelles. Aptitudes à développer :

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1 Suites Réelles Aptitudes à développer : Suites * Reconnaître qu un réel est un majorant ou un minorant d une suite du programme. * Etudier les variations d une suite du programme. * Représenter graphiquement les points An de coordonnées (n, un), dans le cas où (un)n est une suite du type un = f(n) où f est une fonction du programme. * Représenter graphiquement une suite récurrente. * Etudier la convergence d une suite du programme. * Déterminer une valeur exacte ou approchée de la limite d une suite convergente. * Reconnaître que deux suites sont adjacentes.

2 Plan du chapitre : I. Rappels et compléments sur les limites de suites II. Suites géométriques et applications III. Limites et ordre IV Convergence des suites monotones V. Suites récurrentes VI. Suites adjacentes

3 I. Rappels et compléments sur les limites de suites Limite finie Définition : Soit n o un entier naturel et (Un) une suite réelle définie sur I ={ n N, n } et a un réel On dit que la suite (U) admet pour limite a. Si pour tout β > 0,il existe un entier naturel p tel que : ( n I, n p Dans ce cas on note lim U n = a et on dit aussi que la suite (U) converge vers a ((U) est convergente) Limite infinie Définition : On dit que la suite (U) a pour limite + Si pour tout A > 0,il existe un entier naturel p tel que : ( n I, n p n 0 ) Un a β ) U n > A Dans ce cas on note lim U = + n et la suite (U) est divergente On dit que la suite (U) a pour limite - Si pour tout A > 0,il existe un entier naturel p tel que : ( n I, n p Dans ce cas on note Unicité de la limite lim U = n et la suite (U) est divergente. ) < A Si une suite (U) admet une limite a alors cette limite est unique on note lim U n = a U n

4 Monotonie d une suite Point méthode *On détermine le signe de U n+1 -U n U *Pour une suite à termes positifs, on compare + à 1. n 1 Un *Si U n =f(n),on étudie le sens de variation de f. *Si on a une suite de type U n+1 =f(u n ),on détermine le signe de f(x)-x ou parfois comparer f(x) à x (à l aide d un dessin) La limite d une suite (U n ) ne dépend que des grandes valeurs de n. Soit (U n ) une suite réelle et a fini ou infini. Une suite réelle et a fini ou infini. lim Un = a, si et seulement si, lim U2n = a et lim U2n + 1 = a. Toute suite convergente est bornée. Soit une suite (U n ) convergente vers un réel a. S il existe un entier N 0 tel que 0 U n pour tout n N 0, alors 0 a. S il existe un entier N 0 tel que U n 0 pour tout n N 0, alors a 0. Conséquence Soit un entier naturel N 0 et une suite (U n ), n 0. On suppose qu il existe deux réel m et M tel que m U n M, n 0. Si la suite (U n ) est convergente vers un réel a, alors m a M.

5 Opérations sur les limites de suites Un Vn ( ) Un Vn lim + Un Vn a b a + b a b 0 U lim n Vn + b + b 0 (on applique la règle des signe + b a a 0 a 0 0 (on applique la règle des signe a b Un Vn ( UnVn ) a b a b b 0 (on applique la règle des signes) (on applique la règle des signes)

6 II. Suites géométriques et applications Soit (U n ) une suite géométrique définie par U n = q n, n 0, où q est un réel non nul. Si q > 1, alors lim U = +. n Si q < 1, alors lim U = 0. n Si q -1, alors la suite (U n ) n a pas de limite. Si q = 1, alors la suite (U n ) est constante. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et (U n ) une suite d éléments de I. Si (U n ) tend vers un réel a de I alors (f (U n )) tend vers f (a). Soit f une fonction continue sur un intervalle I et (U n ) une suite d éléments de I. Si lim (fini ou infini) et si f (x) L U = l n n lim (f(u n)) = L. + Corollaire Soit deux suites réelles (U n ) et (V n ). On suppose qu il existe un entier N tel que x lim = l 0 n n U V, n N. (fini ou infini), alors Si lim Vn = 0 alors lim Un = 0.

7 III. Limites et ordre Soit deux suites (U n ) et (V n ) convergentes respectivement vers deux réels a et b. S il existe un entier N 0 tel que U n V n pour tout n N 0 alors a b. Soit trois suites réelles (U n ), (V n ) et (W n ). Soit a un réel. On suppose qu il existe un entier N 0 tel que V n U n W n, n N 0. Si lim Vn = lim Wn = a alors lim Un Démonstration : Soitβ>0. Comme Tel que : 1 n lim V =l x + n>n l-β < V < l+β Et il existe n2 N n>n 2 l-β < Wn < l+β On a aussi par hypothèse : n et lim W =l x + p N, n N, n>p Vn Un Wn Soit q=sup(n 1,n 2,p) Pour tout n>q, on a : l-β < V U W < l+β n n n Ainsi : β>0, q N, n>q Soit deux suites réelles (U n ) et (V n ) n = a., il existe n1 N n ce qui prouve que n x + l-β<u <l+β lim U =l S il existe un entier N 0 et que U n V n, n N 0 et si lim Un = + alors lim Vn = + S il existe un entier N 0 et que U n V n, n N 0 et si lim Vn = alors lim Un =

8 IV Convergence des suites monotones Soit (Un) une suite définie sur I *Si la suite (Un) est croissante et majorée, alors elle converge vers un réel a et pour tout n n, U 0 n a *Si la suite (Un) est décroissante et minorée, alors elle converge vers un réel b et pour tout n n, U 0 n b Soit (Un) une suite définie sur I *Si la suite (Un) est croissante et non majorée, alors elle tend vers + *Si la suite (Un) est décroissante et non minorée, alors elle tend vers -

9 V. Suites récurrentes Soit une suite (U n ) vérifiant la relation de récurrence U n+1 = f (U n ), où f est une fonction. Si la suite (U n ) est convergente vers un réel a et si la fonction f est continue en a alors a = f (a). y 6 ( 4 ; 4 ) 1 O 1 u0 u u 1 2 u3 VI. Suites adjacentes : Avant de définir les suites adjacentes, nous allons d'abord étudier les suites vérifiants les propriétés suivantes. : Soit (a n ) et (b n ) deux suites vérifiant : (a n ) est croissante (b n ) est décroissante n I, (a n ) (b n ) Alors ces deux suites convergent vers des limites α et β telles que α β.

10 Démonstration : Montrons d'abord que : n, m a n b m En effet : Si n m, on a an am bm Si n > m, on a an > bn > bm Donc (an) est une suite croissante majorée par n'importe quel terme de la suite (bm). Elle converge donc vers une limite α. α étant la borne supérieure de la suite (an), elle est inférieure à tout majorant de la suite. On a donc : m, α bm La suite (bm) est décroissante minorée. Elle converge donc vers une limite β vérifiant :α β. Définition: On appelle suites adjacentes deux suites (a n ) et (b n ) telles que : i) (a n ) est croissante ii) (b n ) est décroissante iii) lim( b n a n ) = 0 n Soit (a n ) et (b n ) deux suites adjacentes. Alors ces deux suites admettent la même limite Démonstration Il suffit de prouver que : n, a n b n et d'appliquer le théorème vue plus haut. Or,si l'on avait a N > b N pour un certain N, alors posons ε = a N - b N > 0. On a alors : n > N, an bn a N - b N > ε ce qui est contradictoire avec iii)

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