France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

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1 Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors elles sot covergetes et elles ot la même limite Défiitio : deux suites sot adjacetes lorsque l ue est croissate, l autre est décroissate et la différece des deux coverge vers 0 Propriété : si deux suites ( ) croissate et ( ) u et ( v ) sot adjacetes avec ( u ) v décroissate alors pour tout etier aturel, v u Propriété 2 : toute suite croissate et majorée coverge ; toute suite décroissate et miorée coverge Das la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio 2 Das les cas suivats, les suites ( u ) et ( ) v ot-elles la même limite? Sot-elles adjacetes? Justifier les réposes a u = 0 et v = 0 ; b u = l ( ) et v = l ( ) ; c u ( ) = et v = 3 O cosidère u ombre réel a positif et les suites ( u ) et ( v ) défiies pour tout etier aturel o ul par : u = et v l = a Existe-t-il ue valeur de a telle que les suites soiet adjacetes? PaaMaths [ - 5 ] Jui 200

2 Aalyse U exercice sur le thème des suites adjacetes, thème traditioellemet géérateur de ombreuses cofusios reposat elles-mêmes sur des cofusios, hélas, classiques etre covergece et mootoie Rappelos, e particulier que la covergece vers 0 de la suite u v v coverget! Das ce cas, elles ( ) etraîe e rie que les suites ( u ) et peuvet admettre ue limite ifiie (cosidérez par exemple u = et v = ) 2 5 = 2 )! voire pas de limite (cosidérez par exemple u ( 2) = et v 2 Résolutio Questio Restitutio orgaisée de coaissaces Cosidéros ( u ) et ( v ) deux suites adjacetes telles que (qui à reommer ces suites) ( u ) soit croissate et ( v ) décroissate D après la propriété o a alors :, u v La suite v état décroissate, o a :, v v0 croissate, o a :, u0 u De faço similaire, la suite D après ce qui précède, o a :, u0 u v v0 Aisi, la suite ( u ) est majorée par v 0 et la suite ( v ) est miorée par u 0 D après la propriété 2, o e déduit que les suites ( u ) et ( ) otos alors l et l ' leurs limites v sot covergetes Nous ) et ( v ) état covergetes, il e va de même pour la suite ( u v) lim u v = lim u lim v = l l' Or, les suites ( u ) et ( v ) état adjacetes, la suite ( u v) fialemet : l l' = 0, c'est-à-dire l = l' Le résultat est aisi établi u état et o a : coverge vers 0 O a doc, Si deux suites sot adjacetes, alors elles sot covergetes et elles ot la même limite PaaMaths [ 2-5 ] Jui 200

3 Questio 2a Pour tout etier aturel, o a : 0 = = 0 0 Comme ] ;[ 0, o a immédiatemet (limite d ue suite géométrique) : lim = 0 0 puis : lim = lim u = 0 = et lim = lim v = 0 = 0 0 Les deux suites ( u ) et ( v ) admettet doc la même limite et o e tire immédiatemet : lim u v = 0 x Comme ] 0;[ 0, la foctio x est strictemet décroissate Il e va doc de 0 même pour la suite Aisi la suite 0 est, elle, strictemet croissate 0 O e déduit alors immédiatemet que les suites ( u ) et ( v ) sot respectivemet strictemet croissate et strictemet décroissate D après les deux coclusios précédetes, les suites ( u ) et ( ) ) et ( ) v sot adjacetes v sot adjacetes Questio 2b Cosidéros la foctio défiie sur par x l ( x ) O a : lim ( x ) = lim x= d où (compositio) : ( x ) O e déduit : lim u Comme = lim = 0, il viet (somme) : ) et ( ) lim v lim l = lim l X = = lim u = v admettet doc comme limite commue Comme elles sot divergetes, elles e sot pas adjacetes ) et ( ) X v admettet comme limite commue et e sot pas adjacetes PaaMaths [ 3-5 ] Jui 200

4 Questio 2c Comme lim = 0, il viet immédiatemet (somme) : lim = lim u = lim = et Par ailleurs, pour tout etier aturel o ul, o a : ( ) et doc : E utilisat le résultat précédet et le théorème des gedarmes, o e tire : ) et ( ) ( ) lim v = lim = v admettet doc la même limite La foctio iverse est strictemet décroissate sur, so opposée est doc strictemet croissate sur ce même itervalle Il e va doc de même pour la suite et, de fait, pour la suite La suite ( u ) est strictemet croissate Pour tout etier aturel o ul, o a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v = = = ( ) = Aisi, la différece v v est alterativemet positive ( pair) et égative ( impair) : la suite ( v ) est pas mootoe O e déduit immédiatemet que les suites ( u ) et ( ) ) et ( ) v e sot pas adjacetes v admettet comme limite commue et e sot pas adjacetes Questio 3 Comme lim = 0, il viet immédiatemet (somme) : lim u = lim = PaaMaths [ 4-5 ] Jui 200

5 O e tire égalemet (somme) : Il viet alors (compositio) : lim a = a Si a = 0 : Si a 0 : lim v = lim l a = lim l = lim l X = x x x X 0 lim v = lim l a = lim l X = l a X a ; ) et ( ) c'est-à-dire a = e Supposos doc a v admettet doc la même limite si, et seulemet si, o a : l a =, = e Das ces coditios o a : lim u lim v = = et doc ( u v ) lim = 0 A la questio 2c, ous avos vu que la suite ( u ) était strictemet croissate Cosidéros la foctio f défiie sur par x l e x Elle est la composée de : La foctio x e qui est strictemet décroissate sur comme somme x d ue foctio costate et de la foctio iverse, strictemet décroissate sur cet itervalle La foctio logarithme épérie qui est strictemet croissate sur Aisi, la foctio f est strictemet décroissate sur décroissate et la suite v est strictemet E défiitive, si les suites ( u ) et ( ) et o a écessairemet a vers la même limite (o a doc v sot adjacetes, elles coverget vers la même limite = e Réciproquemet, si a e v coverget lim u v = 0 ) et elles sot mootoes de mootoies opposées Elles sot doc adjacetes Aisi : ) et ( ) =, les suites ( u ) et v sot adjacetes si, et seulemet si, o a : a = e PaaMaths [ 5-5 ] Jui 200