Analyse 5 SUITES REELLES

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1 Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag. La suite elle-même est otée ( ) D ou ( ). Deux modes de défiitio d ue suite : Forme explicite : e suite est défiie explicitemet lorsque so terme gééral est exprimé e foctio de. + Exemple : = N + Applicatio e physique : A partir d u sigal «aalogique» s (foctio dépedat du temps t) o défiit u sigal «échatilloé» e cosidérat la suite (s k ) telle que : s k = s(kt e ), où T e est la période d échatilloage. Forme récurrete : e suite est défiie par récurrece lorsque l o doe so (ses) premier(s) terme(s) et que l o exprime u terme gééral à l aide de termes de rags iférieurs à l aide d ue relatio appelée relatio de récurrece. Exemples : 0 = 0 = ; = ; ; + = + pour 0 + = 3 + pour 0 0 = ;... = pour Défiitio : O dit qu ue suite ( ) D est majorée (resp. miorée), s il existe u réel M supérieur (resp. iférieur) à tous les termes de la suite, c est-à-dire D : M (resp. M ). e suite qui est à la fois majorée et miorée est dite borée. Exemple : La suite ( ) défiie par = cos() est borée : elle est majorée par et miorée par -. Remarque : e suite ( ) est borée si et seulemet si la suite ( ) est majorée. Défiitio 3 : Soit ( ) ue suite réelle. O dit que (V ) est ue suite extraite de ( ) (ou sous-suite de ( ) ) s il existe ue applicatio strictemet croissate de N das N telle V =. que ϕ() Aalyse 5 SITES REELLES Exemple : lorsque V =, la suite (V ) est la sous-suite des termes de rag pair.

2 Aalyse chap 5 /6. Exemples de suites récurretes Défiitio 4 : Soiet f : A A où A R et u 0 A. O appelle suite récurrete d ordre toute suite ( ) défiie par 0 et N, + = f( ). Trois exemples remarquables : a) Les suites arithmétiques Défiitio 5 : e suite ( ) est dite arithmétique lorsqu il existe u ombre réel r, appelé raiso, tel que :, + = + r (ou + = r). Propositio : ( ) est ue suite arithmétique de terme iitial 0 et de raiso r si et seulemet si IN, = 0 + r. Propriété : Soit ( ) ue suite arithmétique, alors Exemple : = ( + ) b) Les suites géométriques. + 0 k = ( + ). k= 0 Défiitio 6 : e suite ( ) est dite géométrique lorsqu il existe u ombre réel q, o ul, appelé raiso, tel que :, + = q. Remarque : Lorsque les termes de la suite ( ) sot tous o uls, pour motrer que ( ) est + géométrique il suffit de vérifier que le quotiet est costat. Propositio : ( ) est ue suite géométrique de terme iitial 0 et de raiso q si et seulemet si, = 0 q. Propriété : Soit ( ) ue suite géométrique de raiso q, alors c) Les suites arithmético-géométriques q + k = 0. k= 0 q Défiitio 7 : e suite ( ) est dite arithmético-géométrique lorsqu il existe (a, b) R tel que N : + = a + b. Techique : Pour détermier la forme explicite d ue suite arithmético-géométrique défiie par 0 et N, + = a + b (avec a ), o cherche α R tel que α = aα + b, et o motre que la suite de terme gééral α est ue suite géométrique de raiso a, o e déduit : N, - α = a ( 0 α).

3 Aalyse chap 5 3/6.3 Représetatio graphique d ue suite Pour représeter graphiquemet la suite ( ), o place das u repère les poits de coordoées ( ; ). Pour costruire graphiquemet ue suite défiie par récurrece par so terme iitial et la relatio de récurrece + = f( ) : o o trace das u repère la courbe C f représetative de la foctio f, et la droite D d équatio x = y ; o o place le poit M 0 ( 0 ; 0), puis o place sur C f le poit A 0 d abscisse 0 (o a A 0 ( 0 ; ) car f( 0 ) = ) ; o o place le poit B 0 de D ayat la même ordoée que A 0 (o a doc B 0 ( ; )) ; o o projette B 0 sur l axe des abscisses, o obtiet le poit M ( ; 0) ; o o réitère le procédé e partat de M, pour obteir M ( ; 0), et aisi de suite Remarque : Das le premier cas (représetatio graphique d ue suite coue), o obtiet u uage de poits dot les ordoées sot les termes de la suite. Das le secod cas (costructio graphique d ue suite défiie par récurrece), o obtiet des poits sur l axe des abscisses, dot les abscisses sot les termes de la suite..4 Variatios.4. Défiitios Défiitio 8 : O dit qu ue suite (u ) est : croissate (resp. décroissate) si N, u + u (resp. u + u ) ; strictemet croissate (resp. strictemet décroissate) si N, (resp u + < u ) ; costate si N, u = u 0 ; statioaire si 0 N / 0, u = u 0 ; mootoe si elle est croissate ou décroissate. u + > u.4. Techiques pour étudier les variatios d ue suite a) Si la suite est défiie explicitemet à l aide d ue foctio f (i.e., = f() ), o étudie les variatios de la foctio f ; Exemple : = + +, 0. La foctio f : x x + x + est croissate sur IR + doc ( ) est doc ue suite croissate. b) O étudie le sige de + ; Exemple : cas particulier des suites arithmétiques : Propositio 3 : e suite arithmétique est croissate si sa raiso est positive, décroissate si sa raiso est égative.

4 Aalyse chap 5 4/6 + c) Si la suite est à termes o uls et de sige costat, o compare et ; Exemple : cas particulier des suites géométriques : Propositio 4 : La suite ( q ) N est strictemet croissate si q >, strictemet décroissate si 0 < q <, costate si q {0 ; }, et 'est pas mootoe si q < 0. d) O motre par récurrece que + (ou + ). Exemple : Cas gééral d ue suite récurrete d ordre : Propositio 5 : Soiet f : A A où A est u itervalle de R, ue foctio croissate, et ( ) défiie par 0 A et N : += f( ). si 0 alors ( ) est croissate si 0 alors ( ) est décroissate Remarque : Si f est décroissate sur A alors ( ) est pas mootoe (si elle est pas costate) mais o a alors f f croissate, doc ( ) et ( + ) sot mootoes.. LIMITE D NE SITE. Défiitios Défiitio 9 : O dit qu ue suite réelle ( ) a pour limite le réel l, ou que ( ) coverge * vers le réel l si : ε R +, 0 N / N, ( 0 ) ( - l ε). Toute suite qui admet ue limite réelle est dite covergete. Toute suite o covergete est dite divergete. Propositio 6 : Si ( ) coverge vers l alors ( ) coverge vers l. Remarque : Attetio! la réciproque est fausse. Défiitio 0 : O dit qu ue suite ( ) a pour limite + si : A R, 0 N / N, ( 0 ) ( A). * + O ote lim + = +, ou plus simplemet lim = +. O dit qu ue suite ( ) a pour limite - si (- ) a pour limite +. O ote lim + = -, ou plus simplemet lim = -. Remarques : (i) e suite qui a pour limite + ou - est divergete. (ii) Si ( ) a pour limite + (respectivemet : - ) alors la suite ( ) est pas majorée (respectivemet : est pas miorée). (iii) Si ( ) a pour limite - ou + alors a pour limite + ; Attetio! la réciproque est fausse.

5 Aalyse chap 5 5/6. Propriétés des suites covergetes Propositio 7 : Si ue suite coverge, alors sa limite est uique. O la ote lim +, ou plus simplemet lim. Propositio 8 : Toute suite covergete est borée. Propositio 9 : Toute suite covergeat vers u réel strictemet positif est miorée à partir d u certai rag par u réel strictemet positif. Propositio 0 : Si ( ) a pour limite l ( l R ) alors toute suite extraite a pour limite l. Remarque : La cotraposée de cette propriété sera parfois utilisée pour démotrer qu ue suite diverge : Il suffira, par exemple, de détermier deux suites extraites qui ot des limites différetes..3 Opératios sur les limites Les résultats sur les limites faisat iterveir somme, produit ou quotiet sot «ituitifs» sauf das ciq cas (appelés «formes idétermiées» otées FI), où l o e peut pas coclure directemet et où l o doit au cas par cas «lever l idétermiée». L esemble des cas est rappelé das le tableau suivat, où ( ) et (V ) désiget des suites réelles. lim + - L 0 0 lim 0 0 L FI (*) lim V + - L > 0 L< L > 0 L< 0 0 L L lim ( + V ) + FI L + L L Lim ( V ) FI FI LL 0 Techique : Das le cas (*), o étudie le sige de pour suffisammet grad. Si est de sige costat, la limite existe et vaut + si ce sige est positif, - sio..4 Théorèmes de comparaiso Propositio : Soiet ( ) et (V ) des suites covergeat respectivemet vers l et l. S il existe u etier 0 tel que 0, V, alors l l. Cas particulier : Soit ( ) ue suite covergeat vers l. S il existe u etier 0 tel que 0 0, alors l 0. Attetio : O e peut pas améliorer le résultat e utilisat ue iégalité stricte (le passage à la limite élargit l iégalité). Exemple : u =.

6 Aalyse chap 5 6/6 Théorème : Soiet ( ), (V ) deux suites réelles telles que : 0 N, N, ( ) ( V) si lim = + alors lim V = +. si lim V = - alors lim = -. 0 Propositio : e suite géométrique de raiso q coverge si et seulemet si q ] -; ]. Si q =, elle est costate ; si q ] -; [ elle coverge vers 0. Théorème : (théorème des «gedarmes») Soiet ( ), ( V ) et ( W ) trois suites réelles telles que : 0 N, N 0 V W ( ) et ( W ) coverget vers le même réel l Alors ( V ) coverge aussi vers l..5 Théorèmes de covergece.5. Suites mootoes Théorème 3 : Soit ( ) ue suite croissate. Si elle est majorée, elle coverge vers l = sup { / N } Si elle est pas majorée, elle ted vers + Remarque : Lorsque l o majore ue suite croissate par u réel M, alors la limite de cette suite est iférieure à M. Corollaire : Soit ( ) ue suite décroissate. Si elle est miorée, elle coverge vers l = if { / N } Si elle est pas miorée, elle ted vers Suites récurretes Théorème 4 : Soiet f X et ( ) défiie par 0 X et N, + = f( ). Si ( ) coverge vers l et f cotiue e l alors l est solutio de l équatio l = f( l ).5.3 Suites adjacetes Défiitio : O dit que deux suites ( ) et (V ) sot adjacetes si ( ) est croissate, (V ) est décroissate et lim( V ) = 0. Théorème 5 : (Théorème des suites adjacetes ) Soiet ( ) et (V ) deux suites adjacetes, alors elles coverget vers le même réel l et N : + l V + V.

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