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1 EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble des ombres réels R par u(x) x e x est ue solutio de l équatio différetielle (E). ) O cosidère l équatio différetielle (E') : y ' + y. Résoudre l équatio différetielle (E'). ) Soit v ue foctio défiie et dérivable sur R. Motrer que la foctio v est ue solutio de l équatio différetielle (E) si et seulemet si la foctio v u est solutio de l équatio différetielle (E'). 4) E déduire toutes les solutios de l équatio différetielle (E). 5) Détermier l uique solutio g de l équatio différetielle (E) telle que g(). Partie B O cosidère la foctio f k défiie sur l esemble IR des ombres réels par f k (x) (x + k) e x où k est u ombre réel doé. O ote C k la courbe représetative de la foctio f k das u repère orthogoal. ) Motrer que la foctio f k admet u maximum e x k k ) O ote M k le poit de la courbe C k d abscisse k. Motrer que le poit M k appartiet à la courbe Γ d équatio y e x. ) Sur le graphique doé e aexe (à redre avec la copie), le repère est orthogoal mais l uité sur l axe des abscisses et sur l axe des ordoées aisi que les oms des courbes apparaisset pas. Sur ce graphique, o a tracé deux courbes la courbe Γ d équatio y e x, la courbe C k d équatio y (x + k) e x pour u certai ombre réel k doé. a) Idetifier les courbes et les ommer. b) E expliquat la démarche utilisée, détermier la valeur du ombre réel k correspodate aisi que l uité graphique sur chacu des axes. 4) À l aide d ue itégratio par parties, calculer ( ) e x x + d x. Doer ue iterprétatio graphique de cette itégrale. EXERCICE : (5 poits) Commu à tous les cadidats ) Restitutio orgaisée de coaissaces. Démotrer à l aide de la défiitio et des deux propriétés ci-dessous que si (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes, alors elles sot covergetes et elles ot la même limite. Défiitio : deux suites sot adjacetes lorsque l ue est croissate, l autre est décroissate et la différece des deux coverge vers. Propriété : si deux suites (u ) et (v ) sot adjacetes avec (u ) croissate et (v ) décroissate alors, pour tout etier aturel, v u. Propriété : toute suite croissate et majorée coverge, toute suite décroissate et miorée coverge. Das la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. ) Das les cas suivats, les suites (u ) et (v ) ot-elles la même limite? Sot-elles adjacetes? Justifier les réposes. a) u et v + ; b) u ( + ) et v ( + ) + c) u et v + ( ). ) O cosidère u ombre réel a positif et les suites (u ) et (v ) défiies pour tout ombre etier aturel o ul par : Métropole jui

2 u Existe-t-il ue valeur de a telle que les suites soiet adjacetes? et v a +. EXERCICE : (4 poits) Commu à tous les cadidats Cet exercice est u questioaire à choix multiple (QCM). Pour chaque questio, trois réposes sot proposées, ue seule est exacte. Le cadidat portera sur la copie, sas justificatio, le uméro de la questio suivi de la répose choisie. Il est attribué u poit si la répose est exacte, aucu poit est elevé pour ue répose iexacte ou ue absece de répose. ) Ue ure cotiet boules idiscerables au toucher: 7 sot blaches et sot oires. O tire simultaémet boules de l ure. La probabilité de tirer boules blaches et boule oire est égale à : ) De la même ure, o tire ue boule, o ote sa couleur, o la remet das l ure ; o procède aisi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d avoir obteu boules oires et boules blaches est égale à : ) De la même ure, o tire ue seule boule. Si elle est blache, o lace u dé cubique (dot les faces sot umérotées de à 6). Si la boule est oire, o lace u dé tétraédrique (dot les faces sot umérotées de à 4). O suppose les dés bie équilibrés. Le joueur gage s il obtiet le uméro. Sachat que le joueur a gagé, la probabilité qu'il ait tiré ue boule blache est égale à : ) O ote X ue variable aléatoire qui suit ue loi expoetielle de paramètre λ (λ état u ombre réel strictemet positif). La probabilité de l évéemet [ X ] est égale à : e λ e λ e λ e λ λ e λ e EXERCICE 4 : (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Das le pla complexe mui d u repère orthoormal direct (O ; u, v ), o cosidère le poit A d affixe et le cercle c de cetre O passat par A. Das tout l exercice o ote α le ombre complexe α + i et α le ombre complexe cojugué du ombre complexe α. ) a) Démotrer que α 4 α α 8. b) Démotrer que les poits B et C d affixes respectives α et α appartieet au cercle c. ) Soit D u poit du cercle c d affixe e i θ où θ est u ombre réel de l itervalle ] ; ]. a) Costruire sur la figure doée e aexe (à redre avec la copie) le poit E image du poit D par la rotatio r de cetre O et d agle. b) Justifier que le poit E a pour affixe E α e i θ. ) Soiet F et G les milieux respectifs des segmets [BD] et [CE]. a) Justifier que le poit F a pour affixe F α + e i θ. i θ α e + α b) O admet que le poit G a pour affixe G. G α Démotrer que. O pourra utiliser la questio ) a). F E déduire que le triagle AFG est équilatéral. 4) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. À l aide d u logiciel de géométrie dyamique, o cojecture qu'il existe ue positio du poit D, défii à la questio, pour laquelle la logueur du coté AF du triagle AFG est miimale. O admet que AF 4 cos θ + si θ. O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [, + ] par f (x) 4 cos x + si x. Le tableau ci-dessous doe les variatios de la foctio f sur l itervalle [, + ]. Compléter ce tableau de variatio. Permet-il de valider la cojecture? Justifier. Métropole jui

3 5 x 6 6 f EXERCICE 4 : (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Das tout l exercice, (O ; u, v ) est u repère orthoormal direct du pla complexe (uité graphique : 4 cm). O désige par A le poit d affixe A. ) O cosidère la trasformatio T du pla qui, à tout poit M d affixe, associe le poit d affixe +. a) Détermier les images respectives par la trasformatio T du poit A et du poit Ω d affixe + i. b) E déduire la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio T. c) Détermier l image par la trasformatio T du cercle C de cetre O et de rayo. ) C désige le cercle de cetre O' d affixe et de rayo. a) Costruire le poit A' apparteat au cercle C tel que : ( OA, O'A' ) [modulo ]. b) À tout poit M du cercle C d affixe, o associe le poit M' du cercle C d affixe ' tel que ( OM, O'M' ) [modulo ]. ' i Détermier le module et u argumet de. E déduire que ' e +. c) Préciser la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio r qui à tout poit M du pla d affixe associe le poit M' d affixe ' telle que ' e i +. ) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. À tout poit M du pla, o associe le poit M milieu du segmet [MM']. Quel est le lieu géométrique du poit M lorsque M décrit le cercle C? Métropole jui

4 CORRECTION EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Partie A ) u (x) e x + x ( e x ) e x u(x) doc u (x) + u(x) e x La foctio u défiie sur l esemble des ombres réels R par u(x) x e x est ue solutio de l équatio différetielle (E). ) Les solutios de (E ) sot les foctios de la forme x C e x où C est ue costate réelle. ) v u solutio de (E ) (v u) + (v u) v u + v u v + v u + u or pour tout x réel, u (x) + u(x) e x pour tout x réel, v (x) + v(x) e x v solutio de (E) 4) v solutio de (E) v u solutio de (E ) v u de la forme C e x pour tout x réel, v(x) C e x + x e x où C est ue costate réelle. 5) g solutio de l équatio différetielle (E) il existe u costate réelle C telle que pour tout x réel, g(x) C e x + x e x or g() doc C doc pour tout x réel, g(x) (x + ) e x Partie B ) f k (x) e x + (x + k) ( e x ) ( k x) e x La foctio expoetielle est positive sur R doc f k (x) a le même sige que k x Si x k, alors k x doc f k est décroissate sur [ k ; + [ Si x k, alors k x doc f k est décroissate sur [ k ; + [ la foctio f k admet u maximum e x k k. ) f k ( k) ( k + k) e k e k doc si M k est le poit de la courbe C k d abscisse k, M k appartiet à la courbe Γ d équatio y e x. ) a) La courbe Γ est représetative d ue foctio décroissate sur R, ue seule des deux courbes coviet. b) La courbe C k tracée coupe l axe des abscisses au poit d abscisse doc k La courbe Γ coupe l axe des ordoées au poit d ordoée doc l axe des ordoées est gradué de,5 e,5. 4) Soit u (x) e x doc u(x) e x v(x) x + doc v (x) doc ( ) e x x d + x ( x ) e x + ( ) e x x + d x 4 e + e x ( ) e x x + d x 4 e + (e ) e x d x doc ( ) e x x + d x 5 e La foctio g est cotiue positive sur [ ; ] doc ( ) e x x + d x est l aire du domaie pla limité par l axe des abscisses, la courbe C, les droites d équatio x et x. Métropole jui 4

5 EXERCICE : (5 poits) Commu à tous les cadidats ) Soiet deux suites adjacetes (u ) et (v ), avec (u ) croissate et (v ) décroissate (u ) est croissate doc pour tout etier, u u pour tout etier aturel, v u doc v u u doc (v ) est ue suite décroissate miorée par u doc (v ) coverge vers u réel l. (v ) est décroissate doc pour tout etier, v v pour tout etier aturel, v u doc v v u doc (u ) est ue suite croissate majorée par v doc (u ) coverge vers u réel l. (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes doc lim v u soit l l, doc si (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes, alors + elles sot covergetes et elles ot la même limite. ) a) si < q < alors lim + q et la suite (q ) est décroissate or < < doc lim + lim u lim v doc lim (u v ) La suite est décroissate doc la suite (u ) est croissate et la suite (v ) est décroissate. (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes b) lim ( + ) + et lim doc lim + + u lim v Les suites (u ) et (v ) ot pas de limite fiie doc e sot pas adjacetes. c) lim + ( ) doc lim + u et lim + doc d après le théorème des gedarmes, lim + ( ) doc lim + v v ; v et v doc la suite (v ) est i croissate i décroissate. Les suites (u ) et (v ) e sot pas adjacetes. ) La suite est décroissate doc la suite (u ) est croissate et la suite (v ) est décroissate. N* lim doc lim + u et lim v l a + + pour que les suites soiet adjacetes, il faut que lim (u v ) doc que l a soit a e + Si a e, les suites (u ) et (v ) sot adjacetes. Métropole jui 5

6 EXERCICE : (4 poits) Commu à tous les cadidats ) O tire simultaémet boules parmi das de l ure. Le ombre de cas possibles est ( ) O choisit boules blaches parmi 7 et boule oire parmi 7 Le ombre de cas favorables est ( ) ( ) la probabilité de tirer boules blaches et boule oire est égale à : ) O a ue successio de 5 tirages idetiques et idépedats, chacu a deux issues : la boule est blache 7 ou la boule est pas blache 7, doc la variable aléatoire qui compte le ombre de boules blaches suit ue loi biomiale de paramètres 5 ; 5 7 La probabilité d avoir obteu boules oires et boules blaches est égale à 4 ) dé cubique obteir le e pas obteir le obteir le 4 dé tétraédrique 4 e pas obteir le La probabilité d obteir le est p(g) La probabilité d obteir ue boule blache et de gager est p(b G) 7 doc p G (B) 6 p (B G) p (G) 4) p(x t) e λ t doc p [ X ] p(x ) p(x ) e λ ( e λ ) e λ e λ Métropole jui 6

7 EXERCICE 4 : (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité ) a) α + i doc (α ) i soit α 4 α + 4 i α 4 α 6 i or α 8 ( i ) 8 6 i doc α 4 α α 8. b) α + i doc α doc OB OA de même α i doc α doc OC OA Les poits B et C d affixes respectives α et α appartieet au cercle C. ) a) Il suffit de tracer u triagle équilatéral direct doc de tracer le cercle de cetre D passat par O b) E e i D e i e i θ + i e i θ doc E α e i θ. ) a) F B + D α + e i θ. i θ α e + α doc G i θ α e + α 4 b) G or α 4 α α 8 doc α 4 i θ α 4 α α e + i θ doc G α e + α 4 α 4 4 α ( e i θ + α 4) α F + e i θ i θ (α + e i θ G α ( e + α 4) 4) doc 4 α F i θ ( e + α 4) α + i doc AG AF et α i doc e (AF ; AG) doc G F et arg G F + k (k Z ) + k (k Z ) doc le triagle AFG est équilatéral. α α 4 4) f ( ) 7 ; f 6 4 ; f ; f () 7 5 x f 7 i f admet u miimum absolu e, pour la positio de D correspodate (D d affixe e 6, la logueur AF sera miimale et égale 6 à 4. Métropole jui 7

8 EXERCICE 4 : (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité ) a) A + doc T(A) A Ω ( i ) + + i doc T(Ω) Ω b) T a ue écriture complexe de la forme a + b doc est ue similitude idirecte de rapport a doc est ue réflexio. T admet deux poits ivariats A et Ω doc T est ue réflexio d axe (AΩ). c) La réflexio T trasforme le cercle de cetre O de rayo e le cercle de cetre T(O) de même rayo. T(O) est le poit d affixe doc T trasforme le cercle C e le cercle de cetre O () de rayo. ) a) Soit D le poit d affixe, OA O'D soit le cercle de cetre D de rayo O D, ce cercle coupe C e deux poits, l u des deux A est tel que le triagle O DA soit équilatéral direct doc tel que ( OA, O'A ') [modulo ]. b) À tout poit M du cercle C d affixe, o associe le poit M' du cercle C d affixe ' tel que ( OM, O'M' ) M appartiet à C doc M appartiet à C doc doc ' ' ( OM, O'M' ) [modulo ] doc arg [modulo ]. doc ' e i doc ' e i +. c) r a pour écriture complexe ' [modulo ]. e i + de la forme a + b avec a doc r est ue rotatio d agle arg(a) soit d agle. + i + ( + i ) + 4 ( i ) 4 ( i ) ( + i ) 4 ( + i ) 4 4 ( + i ) + i doc r est la rotatio de cetre Ω d agle. + ' ) M a pour affixe soit + i + M appartiet à C doc OM soit doc soit AM + i + soit le lieu géométrique du poit M lorsque M décrit le cercle C est le cercle de cetre A de rayo. + i Métropole jui 8

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