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1 Représentation des données 1 C o u r s o r i g i n a l : , P A T R I C K H O C H U L I. P o w e r P o i n t : , M A N U E L F R A G N I È R E.

2 0.1. Les systèmes numériques 2 Comment écrire le nombre «sept mille deux cents trois»? En toutes lettres (voir ci-dessus). De façon symbolique.

3 0.2. La première symbolisation des nombres Les Mésopotamiens : 2450 avant J.-C. Ils comptent avec des clous et des chevrons. 3

4 0.3. La numération de position Les Babyloniens invente la numération de position. La valeur d un signe varie selon sa position dans l écriture du nombre. Ils utilisent un système sexagésimal (la base 60). Ils réservent une place pour le «zéro». 4

5 1.1. La base 2 et les nombres entiers Comment écrire le nombre «sept mille deux cents trois»? Avec une numération de position en base 10 : = 7203 En informatique, on utilise la base 2. Les deux symboles utilisés : 0 et 1. Ces symboles sont appelés bit (BInary digit). Un ordinateur manipule des données diverses : des entiers, des réels, des textes, des images, des sons. Toute donnée devra être représentée par des entiers binaires. 5

6 Passage de la base 2 à la base 10 Il suffit d additionner les puissances de 2. 6 Exemple : (11001) 2 (11001) 2 = = = 25

7 Passage de la base 10 à la base 2 Il faut décomposer le nombre en base 10 en puissance de 2. Il faut connaître les premières puissances de 2 par cœur! 2 0 = = = = = = = = = = = Exemple : Convertir (157) 10 en base 2. 7 (157) 10 = = = = ( ) 2

8 Passage de la base 10 à la base 2 Unité d information : l octet («byte» en anglais). 1 octet = 8 bits. Quelle notation est la plus lisible?

9 Passage de la base 10 à la base 2 Un octet peut représenter 2 8 nombres entiers : 256 nombres de 0 à 255 (2 8 1). C est trop petit! Les ordinateurs codent les nombres entiers sur 16 bits : entiers possibles! Avant 1998, 1 kilooctet = 1024 octets. 9 En 1998, l International Electrotechnical Commission (IEC) a standardisé ces unités : 1 kilooctet 1 ko 1000 octets 1 Mégaoctet 1 Mo 1000 ko = octets 1 Gigaoctet 1 Go 1000 Mo = octets 1 Téraoctet 1 To 1000 Go = octets

10 Passage de la base 10 à la base 2 Malheureusement, de nombreux logiciels (y compris certains systèmes d exploitation) utilisent toujours la notation antérieure à L ICE a donc défini une nouvelle unité, le kilo binaire (kibi), le Méga binaire (Mébi), le Giga binaire (Gibi), le Téra binaire (Tébi) : 1 kibioctet 1 kio 1024 octets 1 Mébioctet 1 Mio 1024 kio = octets 1 Gibioctet 1 Gio 1024 Mio = octets 1 Tébioctet 1 Tio 1024 Gio = octets

11 1.2. Les nombres entiers négatifs Il faut coder le nombre de façon à savoir si l entier est positif ou négatif. Première idée : le bit de poids fort. 0 correspond au signe + et 1 correspond au signe. Exemple, 2 et -2 : Deux inconvénients : Le zéro est codé de deux manières différentes : (0) 10 = ( ) 2 (-0) 10 = ( ) 2 L addition binaire ne marche pas avec ce codage des négatifs : 3 + (-4) -1 Un autre codage des entiers négatifs doit être trouvé! 11 (2) 10 = ( ) 2 (-2) 10 = ( ) ( = -7! )

12 1.2. Les nombres entiers négatifs Le complément à 2 : 1. On prend la valeur absolue x. 2. On représente x en base 2 sur n-1 bits. 3. On inverse chaque bit, c est le complément à On ajoute 1 (les dépassements au-delà de n bits sont ignorés). 5. La représentation de x en base 2 est 1 suivi de la suite obtenue. Cette opération correspond au calcul de 2 n - x. Exemple : codons -5 sur 8 bits. 1. x = Vérification : = (mais le 9 ème bit est éliminé!) donc égal 0.

13 1.3. Le code ASCII 13

14 1.3. Le code ASCII A chaque touche du clavier est associé un nombre. La norme ASCII (American Standard Code for Information Interchange) L ASCII est inventé en 1961 par Bob Bemer. L ASCII définit 128 caractères, numérotés de 0 à 127. Les caractères sont codés sur 7 bits (128 = 2 7 ). 14 Comme les ordinateurs travaillent sur 8 bits, le bit à gauche sera toujours un 0.

15 1.3. Le code ASCII Les caractères de numéro 0 à 31 et le 127 ne sont pas affichables. Le caractère 32 est l espace. Les autres caractères = chiffres arabes, lettres latines majuscules et minuscules, quelques symboles de ponctuation. D autres normes de codage ont repris l ASCII en utilisant le 8 ème bit (avec des caractères numérotés de 128 à 255). La norme ISO/CEI 8859 fournit des extensions pour diverses langues. Par exemple, l ISO (= Latin 1) permet de coder les caractères utiles en français ou en allemand (é, à, ü,...). Les différents codages sont sources d incompatibilités (é, È, ç,... s affichent mal). Afin d unifier les différents codages, la norme Unicode a été inventée. Les 128 premiers caractères d Unicode sont compatibles avec ASCII. 15

16 1.3. Le code ASCII Quelle logique pour le code ASCII? Le A possède le numéro 65 : A : : Le a ne diffère du A que d un bit : A : a : Différence entre une majuscule et la minuscule correspondante : 32 (en binaire : ). 16 Wikipedia : Table ASCII

17 1.4. La représentation des nombres réels en base 2 En base 10, l expression 234,625 signifie : En base 2, l expression 110,111 signifie : On peut donc convertir facilement un nombre réel de la base 2 vers la base 10 : (110,111) 2 = = ,5 + 0,25 + 0,125 = (6,875) 10 On remarque que la partie entière et la partie décimale sont indépendantes : (110) 2 = (6) 10 et (0,111) 2 = (0,875) 10.

18 1.4. La représentation des nombres réels en base 2 En revanche, le passage de base 10 en base 2 est plus sportif! Exemple : convertir (1234,5625) 10 en base On transforme la partie entière : (1234) 10 = ( ) 2 2. On transforme la partie décimale selon l idée suivante : 18 0, , n a n 0, n 1 1 a a n 0, n a n = a n n 2 2 n = a 4 1= a 4 n 3 2 a 4 = 1! 2 (0,5625) 10 = ( 0,1001 ) 2 (1234,5625) 10 = ( ,1001) 2 2 n 1 On soustrait 1 0 et on enlève a 12 3

19 1.4. La représentation des nombres réels en base 2 19 Maintenant qu on a compris la méthode, on peut simplifier la procédure : 0, 0, , , , , ,

20 1.4. La représentation des nombres réels en base 2 Remarque : Un nombre à développement décimal fini en base 10 ne l est pas forcément en base 2. Exemple : transformez (0,15) 10 en base Résultat : (0,001001) 2

21 La norme IEEE-754 Un nombre réel n est pas limité à quelques chiffres après la virgule! Certains sont très petits ou très grands! G = 6, N A = 6, Un nombre réel est écrit en notation scientifique : , , signe mantisse exposant signe mantisse exposant Forme d un nombre réel sur 32 bits : seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 1 bit signe 8 bits exposant 23 bits mantisse

22 La norme IEEE-754 La norme IEEE-754 est le standard actuel. Il y a 3 formats : Sur 32 bits : 1 bit de signe, 8 bits d exposant ( ), 23 bits de mantisse (type «single»). Sur 64 bits : 1 bit de signe, 11 bits d exposant ( ), 52 bits de mantisse (type «double»). Sur 80 bits : 1 bit de signe, 15 bits d exposant ( ), 64 bits de mantisse. Par la suite, on traitera que des cas en 32 bits pour simplifier. 22

23 La norme IEEE-754 seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm La mantisse est forcément une expression du type 1,... en base 2 : on l écrira 1 + m. Un nombre réel x s écrira donc sous la forme : s = 0 ou 1. e = entier signé. m compris dans l intervalle [0; 1[. 23 x = (-1) s 2 e (1 + m) avec e = E - 127

24 Recherche de s 24 s vaut 0 si x est positif. s vaut 1 si x est négatif.

25 Il y a 3 cas à envisager : Recherche de e 1. Si x 2, on divise x par 2 autant de fois que nécessaire jusqu à obtenir un réel de l intervalle [1; 2[. e sera le nombre de divisions effectuées Si x < 1, on multiplie x par 2 autant de fois que nécessaire jusqu à obtenir un réel de l intervalle [1; 2[. e sera l opposé du nombre de multiplications effectuées. 3. Si 1 x < 2, alors e sera nul. e est codé sur 8 bits (de -127 à 128). Comme e peut être négatif, on ajoute 127 à l exposant pour obtenir un nombre compris entre 0 et 255. On a donc E = e

26 Recherche de m 26 Connaissant x, s et e, la valeur de m est facile à calculer : x = ( 1) s 2 e (1+ m) x = 2 e (1+ m) m = x 2 e 1

27 x = -9,6. 1. x est négatif : s = Exemples 2. On divise 9,6 par 2 jusqu à ce qu on obtienne un réel entre 1 et 2 : 9,6 2 = 4,8 4,8 2 = 2,4 2,4 2 = 1,2 On a divisé 3 fois par 2, donc e = 3. Et par conséquent E = = 130 soit On calcule m : m = x 9,6 1= 1= 1,2 1= 0,2 e m sera périodique en base 2 : (0,2) 10 = (0,0011) 2 Mais il faut l écrire sur 23 bits. On trouve : Résultat : s E m

28 x = 0, x est positif : s = Exemples On multiplie 0,375 par 2 jusqu à ce qu on obtienne un réel entre 1 et 2 : 0,375 2 = 0,75 0,75 2 = 1,5 On a multiplié 2 fois par 2, donc e = -2. Et par conséquent E = = 125 soit On calcule m : m = x 0,375 1= 1= 1,5 1= 0,5 e m sera en base 2 : (0,5) 10 = (0,1) 2 Mais il faut l écrire sur 23 bits. On trouve : Résultat : s E m

29 x = -1, x est négatif : s = Exemples 2. 1,05 est dans l intervalle [1; 2[, donc e = 0. Et par conséquent E = = 127 soit On calcule m : m = x 1,05 1= 1= 1,05 1= 0,05 e m sera périodique en base 2 : (0,05) 10 = (0,000011) 2 29 Mais il faut l écrire sur 23 bits. On trouve : Résultat : s E m

30 1.5. Opérations en base 2 30 Addition : Les règles de l addition sont : = = = = 10 Exemple : = En additionnant de nombres de n bits, on peut avoir un débordement de capacité (overflow). Exemple : avec n = 8, effectuons = Mais comme on travaille en complément à 2, ce nombre est interprété comme un nombre négatif : = ( ) 2 = (-102) 10

31 Multiplication : 1.5. Opérations en base 2 Les règles de la multiplication sont : 0 0 = = = = 1 Exemple : 23 5 = Le résultat est sur 7 bits, donc il est correct. 31 Mais on voit facilement qu un débordement de capacité (overflow) est aussi possible avec la multiplication.

32 Soustraction : 1.5. Opérations en base 2 Pour soustraire, on additionne le complément à 2. Exemple : = Complément à 2 de Le 9 ème bit est supprimé (par overflow). Il reste qui correspond bien à 78.

33 Soustraction : Exemple : = Opérations en base Complément à 2 de Nous trouvons un nombre négatif (le 1 er bit est 1). Pour trouver la valeur en base 10, il faut reprendre le complément à 2 de : qui correspond bien à 9. Donc correspond à 9.

34 1.5. Opérations en base 2 34 Division : On utilise l algorithme habituel en soustrayant pas à pas. Exemple : 143 : 13 =

35 1.6. Exercices du chapitre 1 35

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