Combinatoire. Domaine : Combinatoire. Auteur : Joon Kwon Niveau : Débutants Stage : Montpellier 2014 Contenu : Exercices
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1 Domaie : Combiatoire Auteur : Joo Kwo Niveau : Débutats Stage : Motpellier 2014 Coteu : Exercices Combiatoire Exercices Exercice 1 O souhaite rager sur ue étagère livres de mathématiques (disticts), m livres de physique, et de chimie. De combie de faços peut-o effectuer ce ragemet : 1. si les livres doivet être groupés par matières ; 2. si seuls les livres de mathématiques doivet être groupés. Exercice 2 Pour N, o ote a le ombre de maières de recouvrir u rectagle de taille 2 avec des pièces de taille 1 2. Trouver ue relatio de récurrece etre les a. Exercice 3 O dispose d u domio de largeur 1 et de logueur. O ote A le ombre de coloriages possibles de ce domio, c est-à-dire le ombre de faços différetes de oicir ou o les cases. O ote F le ombre de faços de colorier ce domio de telle sorte qu il y ait jamais deux cases voisies oircies. 1. Calculer A. 2. Calculer F 1, F 2, F 3 et F Trouver ue relatio de récurrece etre les F. 4. Motrer que N, p N, F +p+1 F F p + F 1 F p 1. Exercice 4 Soit et etiers tels que 1. Doer deux démostratios de la formule suivate : ( ( ) ( ) ( ) +1 +1) Exercice 5 Quel est le ombre de m-uplets (x 1, x 2,..., x m ) (N ) m vérifiat x x m? Exercice 6 Soit N. O se doe 2 poits sur le bord d u cercle. O ote F le ombre de faços de relier ces poits, deux à deux, à l aide de cordes qui 1
2 e se recoupet pas à l itérieur du cercle. Trouver ue relatio de récurrece etre les F. Exercice 7 Soit 1. Motrer que Exercice 8 Soit N. Motrer que ( + 1) Solutios des exercices Solutio de l exercice 1 1. D abord choisir l ordre des matières (3! choix), puis pour chaque matière l ordre des livres (!m!! choix). Cela fait au total : 3!!m!! faços de rager les livres. 2. O peut d abord e cosidérer que les livres de physique et de chimie. Ils sot au ombre de +m. Il y a doc (+m)! faços de les ordoer. Il y a esuite (+m+1) emplacemets pour isérer le groupe des livres de mathématiques (tout à gauche, tout à droite, et etre deux livres cosécutifs). Il faut efi choisir u ordre pour les livres de mathématiques (! choix). Coclusio, il y a ( + m + 1)!! faços de rager les livres. Solutio de l exercice 2 Posos a 0 0. O a clairemet a 1 1. Pour 2, regardos ce qui peut se passer tout à gauche du rectagle. Soit o place ue pièce verticale, et il reste esuite u rectagle de taille 2 ( 1) qui se recouvre de a 1 faços différetes ; ou bie, o place deux pièces horizotales, auquel cas il reste u rectagle de taille 2 ( 2) qui se recouvre de a 2 maières différetes. Coclusio, o a la relatio : a a 1 + a 2. Solutio de l exercice 3 2
3 1. Pour chaque case, o peut choisir de la colorier ou o (2 choix). O a doc A O trouve facilemet F 1 2, F 2 3, F 3 5, F Preos 3 et distiguos deux cas. Si la première case est oircie, la deuxième e doit pas l être. Il reste esuite u domio de logueur 2 qu o peut colorier sas cotraite particulière (F 2 choix). Si la première case est pas oircie, il y pas pas de cotraite sur la deuxième, et il reste doc u domio de logueur 1 à colorier (F 1 choix). Coclusio, pour 3, o a la relatio : F F 1 + F Soiet 1 et p 1. O se doe u domio de logueur + p + 1 et o cosidère la ( + 1)-ième case. Si o choisit de e pas colorier celle-ci, il y a alors à gauche u domio de logueur et à droite u domio de logueur p qu o peut colorier sas cotraite particulière. Cela fait e tout F F p choix. Si o choisit de la colorier, ses voisies doivet rester blaches, et o a alors des domios de logueur 1 et p 1 à respectivemet à gauche et à droite à colorier sas cotraite particulière. Cela fait F 1 F p 1 choix. Coclusio, o a bie : F +p+1 F F p + F 1 F p 1. Solutio de l exercice 4 Le premier terme compte le ombre de sous-esembles de {1,..., + 1} à + 1 élémets. Comptos ces deriers d ue autre faço, et les partioat selo le plus petit élémet qu ils cotieet. Les sous-esembles 3
4 dot le plus petit élémet est 1 et coteat + 1 élémets sot au ombre de ( ). E effet, se doer u tel sous-esemble reviet à choisir élémets das {2,..., + 1} (le 1 état déjà doé). De même, les sous-esembles à + 1 élémets et doc le plus petit élémet est 2 sot au ombre de ( ) 1. Et aisi de suite. Fialemet, o obtiet bie : Solutio de l exercice 5 A chaque m-uplet (x 1,..., x m ) d etiers strictemet positifs tels que x x m, o peut associer la représetatio suivate. poits x 1 x 2 x m Se doer u m-uplet qui coviet reviet à choisir les emplacemets des m 1 séparatios. Or il y a 1 emplacemets possibles. La répose est doc ( ) 1 m 1. Solutio de l exercice 6 Choisissos u poit arbitrairemet, par exemple celui se trouve e haut du cercle. Et o partitioe les cofiguratios selo le poit auquel le premier est relié. La corde cocerée sépare la cofiguratio e deux. Notos la moitié du ombre de poits se trouvat strictemet à droite de cette corde. varie doc de 0 à 1. Les 2 poits à droite de la corde peuvet être reliés de F faços et ceux à gauche de F 1 faços. Coclusio, o a F 1 0 F F 1. Solutio de l exercice 7 Das la somme de gauche, chaque terme compte la faço de choisir ue équipe de persoes parmi, puis de désiger u capitaie et 4
5 u gardie (qui peuvet être la même persoe). La somme compte doc toutes les faços de costituer de telles équipes de tailles allat de 1 à. Procédos maiteat à u comptage différet. Distiguos deux cas. Si le capitaie et le gardie sot la même persoe, o peut commecer par désiger celle-ci ( choix). O désige esuite le reste de l équipe, autremet dit, o choisit u sousesemble des 1 persoes restates (2 1 choix). Cela fait doc 2 1 choix. Si le capitaie et le gardie sot disticts, o peut commecer par choisir le capitaie ( choix), puis le gardie ( 1 choix), et efi le reste de l équipe (2 2 choix) ; cela fait doc ( 1)2 2 choix. Fialemet, o a bie ( 1)2 2 ( + 1)2 2. Solutio de l exercice 8 Le terme de droite compte le ombre de faços de choisir persoes parmi 2. Imagios qu il y a hommes et femmes. O peut alors compter le ombre de faço de choisir hommes ( ( ) choix) et femmes ( ( ( ) ) choix), puis sommer sur toutes les possibilités de, c est-à-dire de 0 à :
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