Value at Risk - étude de cas

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1 Value at Risk - étude de cas Daniel Herlemont 17 juin 2011 Table des matières 1 Introduction 1 2 La Value at Risk La VaR historique La VaR normale Approximation de Cornish Fisher Borne de la Value at Risk Backtesting de la VaR 4 4 A faire Les données Estimation de la Value at Risk et backtesting Backtesting Gestion du risque d un fond investi dans le Future CAC Gestion dans un contexte de prop trading References 9 1 Introduction Dans ce TP, nous proposons d examiner la Value at Risk d une gestion active. L objectif de Value at Risk à 99% 10 jours est fixé à 4% de la valeur du portefeuille. Nous supposerons que le fond est investi dans un seul actif risqué : le Future CAC40. 1

2 2 LA VALUE AT RISK 2 La Value at Risk La Value at Risk avec un niveau de confiance 1 α (par exemple 99%) et un horizon T (par exemple 10 jours) est définie comme la perte sur une période T pouvant survenir avec une probabilité α. Par exemple, si la VaR à 99% sur 10 jours est de 1 million d euros, cela signifie que la probalité de perdre plus de 1 millions d euros sur 10 jours est de 1%. Si X T représente la perte sur une période T : P rob(x T V ar(α, T )) = α Dans cette simple étude, nous considérons les modèles suivants : la VaR historique, la VaR normale se décomposant en autant de de VaR normale que de modèle de volatilité (historique RiskMetrics, GARCH), l approximation de Cornish Fisher, l utilisation de la Théorie des Valeurs Extrêmes. 2.1 La VaR historique La VaR historique consiste à utiliser la distribution historique. Considérons par exemple, la VaR historique sur un jour à 99% d un portefeuille composé de n actifs en proportion w = (w 1,...w n ), avec i=1,n w i = 1. Pour chaque jours t = 1, T de l historique, et les rendements r i,t, on caclule les rendements du portefeuille : r t = i=1,n w ir i,t. La VaR à 99% historique du portefeuille est alors simplement le quantile des T rendements r t obtenus. Par exemple, si T = 1000, on classe les rendements par ordre croissant r 1,...r 1000, et V ar0.99 hist = r 10. Cette méthode ne fait aucune hypothèse sur la distribution, elle est non paramétrique. Elle permet de tenir compte des queues épaisses, des asymétries des corrélations, etc... En revanche, elle suppose la disponibilité des données. En outre, cette méthode suppose que la VaR future se comporte comme la VaR passée. Elle peut donc ne pas être représentative des pertes futures dans le cas où des évènements extrêmes ne sont pas représentés dans l historique (effet Péso). Un autre problème, que nous allons mettre en évidence, est la difficulté à s adapter rapidement à de nouvelles conditions de marché. En effet, pour effectuer une estimation suffisamment précise de la VaR historique, on doit utiliser un historique suffisamment grand. Dans l exemple précédent, pour 1000 jours d historique et une VaR à 99%, la VaR est déterminé par le 10 ieme rendement de l echantillon classé. Or on sait que la variance de la statistique de rang est relativement élevée pour les extrêmes. Daniel Herlemont 2

3 2 LA VALUE AT RISK 2.2 La VaR normale Si les rendements X sur une seule période sont indépendants de même loi normale de moyenne µ et variance σ 2, alors les rendements sur la période T sont également gaussiens de moyenne µt et variance σ 2 T P rob(x T V ar(α, T )) = P rob( X T µt σ T En notant z α = N 1 (α), la VaR gaussienne est définie par V ar(α, T ) µt σ T = z α V ar(α, T ) = µt + z α σ T Pour une VaR à 1 jour, l expression précédente se réduit à V ar(α, 1) = µ + z α σ V ar(α, T ) µt σ ) = α T En pratique, pour des rendements journaliers, on pourra considérer que le terme en µ est négligeable devant σ, d où V ar(α, 1) z α σ Notons que z α est négatif. La VaR normale dépend donc essentiellement de la volatilité qui pourra être estimée en utilisant une moyenne mobile exponentielle (RiskMetrics) ou une estimation GARCH. Cette méthode est simple à implémenter, cependant elle ne tient pas compte des queues épaisses. La VaR qui en résulte est, en général, sous estimée. 2.3 Approximation de Cornish Fisher Sous l hypothèse de normalité des rendements, l asymétrie et la kurtosis (en excès) sont nulles. En réalité, les rendements ont, en général, des asymétries négatives et des kurtosis élevées (fat tails). En utilisant un développement limité du quantile normal, on peut tenir compte de l asymétrie et la kurtosis : z CornishF isher z (z2 1)S (z3 3z)K 1 36 (2z3 5z)S 2 (1) où z est le quantile normal à α : N(z) = α, S est l asymétrie et K la kurtosis en excès. Dans le cas d une asymétrie nulle, l expression précédente se reduit à : z CornishF isher z (z3 3z)K Daniel Herlemont 3

4 3 BACKTESTING DE LA VAR La VaR de Cornish Fisher VaR est alors 2.4 Borne de la Value at Risk V ar(α, T ) µt + z CornishF isher σ T On peut déterminer une limite de la VaR, en utilisant l inégalité de Tchebychev, valable pour toute distribution pourvu que σ 2 < + P [ X µ a] σ2 a 2 En supposant que la distribution est symétrique et de moyenne nulle, puis appliquant l inégalité avec a = cσ, avec c une constante, on obtient P [X cσ] 1 2c 2 autrement dit, si nous nous intéressons au seuil de α = 1/2c 2, c est à dire pour c = 1/2α on obtient une borne inférieure de la VaR à 1 α : V ar max 1 α = cσ = σ 2α Par exemple, pour α = 0.01, on obtient c = 7.07, d où V ar max 0.99 = 7.07σ Si on compare à la VaR gaussienne, V ar normale 0.99 = 2.33σ, le facteur est V ar max 0.99 = 3.04V ar normale Ce simple argument justifie la règle utilisée par les autorités de régulation (Basle) qui consiste à multiplier la VaR par un facteur de 3 à 4 ( [?]) en cas de forte sous estimation. Pour une VaR à 95%, la limite est V ar max 0.95 = 3.16σ alors que la VaR normale à 95% est V ar normale 0.95 = 1.64σ, le facteur est V ar max 0.95 = 1.92V ar normale Backtesting de la VaR Le backtesting consiste à comparer, au quotidien, la VaR estimée avec les pertes réalisées. Daniel Herlemont 4

5 3 BACKTESTING DE LA VAR En principe, si nous testons une VaR à 99%, on doit s attendre à ce que les rendements quotidiens du portefeuille dépassent la VaR une fois sur 100. les aurorités (Bâle) exigent un backtest sur 250 jours d historique, au minimum. Sur 250 jours, le nombre de dépassements (ou exceptions) devrait être de l ordre de 2.5 = Si le nombre d exceptions est significativement plus élevé, la VaR et par conséquence, les risques, sont sous estimés. Inversement, si le nombre d exceptions est significativement plus faible, la VaR est surestimée, la banque ou le fond est trop conservatif. Figure 1 Exemple P&L vs prévisions de la VaR à 95% source : RiskMetrics [?] Soit V ar 1 α, la VaR à 1 α de niveau de confiance, par exemple α = Pour chaque jour de l historique comprenant T jours, on comparer la VaR prévue à la variation réalisée. Soit N, le nombre d exceptions. N/T doit être le plus proche possible de la probabilité α. Plus précisément, le nombre d exceptions N est distribué suivant une loi binomiale : ( ) T P rob(n) = α N (1 α) T N (2) N de moyenne E(N) = αt et variance V (N) = T α(1 α). On notera que la variance peut être assez grande comparée à l espérance. Les intervalles de confiance de N sont généralement assez grands. Par exemple, pour α = 0.01 et T = 255, on acceptera le modèle tant que N < 7 au niveau de confiance de 95%. Cependant, la problabilité pour que N < 7 et le modèle soit incorrect reste élevée. Il s agira alors de déterminer les erreurs de type I et II : ˆ on fait une erreur de type I lorsqu on rejète un modèle correct Daniel Herlemont 5

6 4 A FAIRE VaR Niveau de Régions d acceptation confiance T = 255 days T = 510 days T = 1000 days 99% N < 7 1 < N < 11 4 < N < % 2 < N < 12 6 < N < < N < 36 95% 6 < N < < N < < N < % 11 < N < < N < < N < 92 90% 16 < N < < N < < N < 120 Table 1 Intervalles d acceptation d une VaR à 95% en fonction du nombre constaté d exceptions N Source : Jorion [?] ˆ on fait une erreur de type II lorsqu on accepte un modèle incorrect La table 1 a été établie par le comité de Bâle pour indiquer les zone d acceptation et de rejet en fonction du nombre d exceptions pour une VaR quotidienne à 95%. Si T = 510, alors le nombre d exceptions attendu est = 25. Cependant, en utilisant la table ci dessous, on acceptera la VaR à 95% tant que le nombre d exceptions sera compris entre 16 et 36. Une valeur de N supérieure à 36 indique que la VaR est sous estimée, une valeur de N inférieure à 6 indique que la VaR est trop conservative. Cette table montre que l intervalle de confiance N/T se réduit au fur et à mesure que le nombre de jours T augmente. On aura donc intérêt à prendre un nombre de jours le plus grand possible. En contre partie, un historique trop grand ne prendra pas en compte les changements récents (améliorations ou détériorations). Un historique d un an constitue le compromis (en réalité le minimum) choisi par le comité de Bâle. Remarque : les autorités exigent une VaR sur 10 ou 20 jours. Avec une VaR à 10 jours et une confiance à 99%, on doit s attendre à une exception tous les = 1000 jours, soit 4 ans environ. Il n est donc pas possible de backtester une VaR à 10 ou 20 jours. On doit donc se ramener à une VaR quotidienne. 4 A faire 4.1 Les données Le portefeuille est entièrement investi dans le CAC40. Utiliser les cours du CAC40 issus d un téléchargement YAHOO et disponibles à l adresse Daniel Herlemont 6

7 4 A FAIRE > closes=rev(read.csv("^fchi.csv")[,"close"]) > r = diff(log(closes)) 4.2 Estimation de la Value at Risk et backtesting Dans la suite on considère plusieurs modèles de Value at Risk : ˆ la VaR historique (on utilisera la fonction quantile) ˆ la VaR normale avec une volatilité RiskMetrics ou mieux encore une volatilité GARCH Asymétrique ˆ la VaR de Cornish Fisher avec une volatilité RiskMetrics ou GARCH ˆ la VaR utilisant la théorie des valeurs extrêmes (Pareto Généralisé) Pour chaque modèle de VaR et pour α = 0.01 calculer la VaR sur tout l historique du CAC40 (à l exception des 500 premiers jours qui seront utilisés pour initialiser les estimateurs). Indications. On poura utiliser les fonctions suivantes : n=length(r) dates0=dates[500:n] #pour la var historique r0=r[500:n] varh0=0 for (i in 500:n) { varh0[i-499]=quantile(r[(i-499):(i-1)],prob=0.01) } plot(dates0,r0) lines(dates0,varh0,col='red') # pour la var gaussienne ema=function(x,lambda) { y=x[1] for(i in 2:length(x)) y[i]=lambda*y[i-1]+(1-lambda)*x[i-1] return(y) } Daniel Herlemont 7

8 4 A FAIRE sigmat=sqrt(ema(r^2,0.92)) varg=qnorm(0.01)*sigmat varg0=varg[499:(n-1)] plot(r0) lines(varg0,col='red') 4.3 Backtesting ˆ Retrouver les valeurs de la table 1, en utilisant la fonction binom.test ˆ Compléter ce tableau pour la taille de l historique utilisé dans le backtest (c est à dire pour T de l ordre de 3000). ˆ comparer ces valeurs aux nombres d exceptions des différents modèles de VaR (Historique, RiskMetrics, GARCH, Cornish Fischer,...) ˆ Effectuer le backtesting sur les derniers 250 jours pour les différents modèles. Conclusions? 4.4 Gestion du risque d un fond investi dans le Future CAC40 On supposera que le Fond gère 10 Millions d euros. L objectif de la VaR à 10 jours à 99% est fixée à 4%. L objectif de VaR au quotidien est V ar obj 1 = 0.04W t / 10, avec W t la valeur du portefeuille à la date t, soit V ar obj 1 = 0.013W On supposera que le Fond est investi sur le marché future du CAC40 (en achat seulement), de telle façon que la Value at Risk soit respectée. En fonction du modèle de Value at Risk choisi (en fonction des backtests précédents), on déterminera, au quotidien, la proportion investie en actif risqué (CAC40). On en déduira le nombre de contrats à ne pas dépasser, en déduire les caractéristiques du fond en terme de performance, levier, ratio de Sharpe, etc... Indications : ˆ Le notionnel d un contrat CAC40 est la valeur de l indice multiplié par 10. La valeur du contrat est égale au cours coté multiplié par 10 euros. Exemple : si le cours du contrat à terme CAC 40 s établit à 4000, le contrat a une valeur de : euros. Si Daniel Herlemont 8

9 4 A FAIRE vous achetez un Contrat Future à points et que vous le revendez à points, votre gain est de ( ) 10 euros = euros. ˆ le taux sans risque est de 5% par an ˆ il n y a pas de coûts de transactions Soit V art CAC la VaR estimée (en pourcentage) à la date t, VaR estimée selon la méthode historique, RiskMetrics ou GARCH. On doit ajuster la proportion θ t investie dans le CAC de manière à respecter l objectif de VaR quotidienne par un stratégie auto finançante : L évolution de la richesse est W 1 = (1 θ 1 )(1 + r f )W 0 + θ 1 (1 + r 1 )W 0 = (1 + r f + θ 1 (r 1 r f ))W 0 (3) W 2 = (1 + r f + θ 2 (r 2 r f ))W 1 et ainsi de suite, d où W t = (1 + r f + θ i (r i r f ))W 0 i=1,t On doit donc déterminer θ t de manière à respecter un objectif de VaR V ar( W, 99%, 10Jours) = 4%W, En utilisant les propriétés de la fonction quantile de cash transalation (V ar(x + a) = V ar(x) + a) et d homogénéité (V ar(λx) = λv ar(x)), on obtient θ t = r f V ar cac,t+1 r f (4) En pratique on pourra négliger le taux sans risque dans le calcul du θ 4.5 Gestion dans un contexte de prop trading Dans ce contexte, il n y a pas de notion de richesse et les objectifs de Value at Risk sont donnés en Euros. Par exemple, on se donne comme contrainte une value at risk annuelle à 99% sur 10 jours, de 1 million d euros. Déterminer la stratégie de manière à respecter cet objectif. Nota : la richesse à la date t = 0 est nulle. Notons X(t) le P&L à la date t et N(t) le nombre de contrats. avec S t le prix de l actif. X(t) = N(t)(S t+1 S t ) 10 (5) Daniel Herlemont 9

10 On se donne pour objectif V ar(x, 99%, 10jours) = 1 Million, soit V ar(x, 99%, 1jour) = 10 6 / 10. En négligeant le taux sans risque, on trouve facilement N t = 1 10V arcac,t+1 S t (6) 5 References [1] JORION, P. The Value at Risk Fieldbook: The Complete Guide to Implementing Var. McGraw-Hill Companies, [2] RISKMETRICS GROUP. RiskMetrics Technical Document, December [3] STAHL, G. Three cheers, Daniel Herlemont 10

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