Estimation de paramètres

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Estimation de paramètres"

Transcription

1 CHAPITRE 8 Estimatio de paramètres 1. Distributio des moyees des échatillos Das ce chapitre, ous étudieros commet est distribué la moyee de tous les échatillos de taille possibles d ue certaie populatio. Soit ue certaie v.a. X défiie sur ue populatio. Celle-ci peut être par exemple la proportio de fumeurs l âge moye de la populatio Puisque soder toute la populatio peut être péible, o peut opter pour u sodage c est-à-dire de predre u échatillo (ue partie de la populatio) afi d estimer soit ue proportio ou ue moyee das la populatio. Avat d etrer das les détails, revos sur certaies otatios : Défiitio Exemple N Taille de la populatio Populatio du Qc = X v.a. étudiée Âge d u québécois µ moyee de la populatio âge moye des québécois σ X écart type de la populatio écart type de l âge des québécois Taille d u échatillo 100 québécois x Moyee de l échatillo âge moye das l échatillo s Écart type de l échatillo écart type de l âge moye de l échatillo L idée ici est de se servir de x afi d estimer µ. Mais, à quel poit est-ce que cette estimatio est boe et das quelles coditios? C est ce que ous teteros de découvrir das ce chapitre. L aspect le plus importat afi de savoir si otre estimatio est boe est sas doute la taille de l échatillo. Exemple 8.1. Lors d u exame sur 10, ue classe de 20 persoes a obteue les otes suivates : 145

2 Estimatio de paramètres Exemple fait e classe. Comme le motre l exemple précédet, les x i sot importats. Défiitio 13. Soit ue populatio de taille N. O défiit la v.a X : la distributio des moyees de tous les échatillos de taille. X. Théorème 8.1 (Théorème cetrale limite). Soit ue variable aléatoire Cas 1) Si X N(µ,σ), alors X N µ, σ2. Cas 2) Si X a ue espérace µ et de variace σ 2, X est pas ormalemet distribué et > 30, alors X N µ, σ2 si la populatio est ifiie ou si l échatillo est choisi avec remise. X N µ, σ2 N si la populatio est fiie ou si l échatillo est choisi sas N 1 remise.

3 8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 147 IMPORTANT O cosidère qu ue populatio est ifiie si N > 20. Exemple 8.2. Le poids d u rat de laboratoire est distribué ormalemet avec ue moyee de 228.6g avec u écart type de 17.8g. O pred au hasard 16 rats. Quelle est la probabilité que la moyee des poids des 16 rats soit iférieure à 220g? Posos X : le poids d u rat de laboratoire. Nous avos que X N 228.6, Nous avos X la moyee de poids de 16 rats. Alors, X N 228.6, Nous cherchos P( X < 220) = P Z < = P Z < = P (Z < 1.93) = 0.5 P (0 < Z < 1.93) = = Estimatio de la moyee d ue populatio Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo choisit aléatoiremet. Nous sommes itéressés à estimer la valeur de la moyee de la populatio etière, c est-à-dire µ. Il existe deux faços d estimer µ. Défiitio 14 (Estimatio poctuelle). Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo. L estimatio poctuelle de la moyee de la populatio, otée ˆµ, est doée par ˆµ = x. Ce type d estimatio est le plus simple. Par cotre, plus la taille de l échatillo est petite, mois l estimatio sera réaliste. C est pourquoi le deuxième type d estimatio est plus utilisé. Défiitio 15 (Estimatio par itervalle de cofiace). Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo. L estimatio par itervalle de cofiace de la moyee de la populatio est doée par µ [ x ME, x + ME], avec ue probabilité 1 α Ici, ME est la marge d erreur et 1 α est le iveau de cofiace.

4 Estimatio de paramètres Regardos tout d abord ce que sigifie le iveau de cofiace. Il s agit de la probabilité que la moyee de la populatio µ (qui est icoue) soit das l itervalle de cofiace IC. Mathématiquemet, ceci reviet à écrire P ( x ME µ x + ME) = 1 α Il e reste plus à détermier commet calculer la marge d erreur M E. Il est clair que la marge d erreur déped de la valeur de 1 α. Plus cette valeur est proche de 1, plus la marge d erreur sera grade pour s assurer que µ soit das l itervalle et vice-versa. Regardos commet calculer ME das le cas où X N µ,σ 2. O sait la distributio des moyees de échatillos de taille, X, est X N µ, O est itéressé à détermier ME tel que σ. P(µ Me X µ + ME) = 1 α. Pour détermier ME, ous devos utiliser la cote Z. Aisi, P(µ Me X µ Me µ µ + ME) = P σ/ Z µ Me µ σ/ ME = P σ/ Z ME σ/ = 2P(0 Z Z α/2 ) = 1 α, où Z α/2 = ME σ/ Aisi, e détermiat Z α/2, o obtiet que Aisi, la probabilité que ME = Z α/2 σ. x [µ Me,µ + ME] est de 1 α. Cepedat, ous sommes itéressés à détermier u itervalle pour µ. Le fait que x [µ Me,µ + ME] sigifie que et x µ ME x µ + ME. E isolat µ das les deux iéquatios, o obtiet que D où µ [ x ME, x + ME]. x + ME µ et x ME µ.

5 8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 149 Exemple 8.3. Le résultat à u test psychométrique que l o fait subir aux efats d âge préscolaire est ue variable obéissat à ue loi ormale d écart type 6. O prélève u échatillo au hasard de 144 efat et o obtiet u résultat moye de 55. Faites ue estimatio par itervalle de cofiace à 94%. allo le mode Malheureusemet, il est rare que ous coaissos déjà σ ou que la populatio suive ue loi ormale. Le prochai théorème ous permettra de coaître la distributio de X et aisi de détermier ME selo le cas. Théorème 8.2. Soit u échatillo de taille. Cas 1) Si X N µ,σ 2, alors X N µ, σ2 σ et ME = z α/2 Cas 2) Si X est quelcoque, σ 2 coue et 30, alors X N ME = z α/2 σ Cas 3) Si X est quelcoque, σ 2 icoue et 30, alors X N et ME = z α/2 s µ, σ2 et µ, s2 Cas 4) Si X N µ,σ 2, mais σ 2 icoue et < 30, alors X µ s/ T 1 et ME = t 1,α/2 s

6 Estimatio de paramètres Das le derier cas, ous avos X µ s/ T 1. T 1 est ue loi dite de Studet de paramètre ν = 1. Nous pouvos trouver la valeur de t 1,α/2 das la table suivate : α 0,005 ν 0,010 0,025 0,050 0, , , ,7062 6,3138 3, ,9248 6,9646 4,3027 2,9200 1, ,8409 4,5407 3,1824 2,3534 1, ,6041 3,7469 2,7764 2,1318 1, ,0321 3,3649 2,5706 2,0150 1, ,7074 3,1427 2,4469 1,9432 1, ,4995 2,9980 2,3646 1,8946 1, ,3554 2,8965 2,3060 1,8595 1, ,2498 2,8214 2,2622 1,8331 1, ,1693 2,7638 2,2281 1,8125 1, ,1058 2,7181 2,2010 1,7959 1, ,0545 2,6810 2,1788 1,7823 1, ,0123 2,6503 2,1604 1,7709 1, ,9768 2,6245 2,1448 1,7613 1, ,9467 2,6025 2,1314 1,7531 1, ,9208 2,5835 2,1199 1,7459 1, ,8982 2,5669 2,1098 1,7396 1, ,8784 2,5524 2,1009 1,7341 1, ,8609 2,5395 2,0930 1,7291 1, ,8453 2,5280 2,0860 1,7247 1, ,8314 2,5176 2,0796 1,7207 1, ,8188 2,5083 2,0739 1,7171 1, ,8073 2,4999 2,0687 1,7139 1, ,7969 2,4922 2,0639 1,7109 1, ,7874 2,4851 2,0595 1,7081 1, ,7787 2,4786 2,0555 1,7056 1, ,7707 2,4727 2,0518 1,7033 1, ,7633 2,4671 2,0484 1,7011 1, ,7564 2,4620 2,0452 1,6991 1, ,7500 2,4573 2,0423 1,6973 1, ,7045 2,4233 2,0211 1,6839 1, ,6778 2,4033 2,0086 1,6759 1, ,6603 2,3901 2,0003 1,6706 1, ,6259 2,3642 1,9840 1,6602 1, ,5857 2,3338 1,9647 1,6479 1,2832 2,5763 2,3267 1,9602 1,6450 1,2816

7 8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 151 IMPORTANT Das la table, α correspod à α/2. Regardos des exemples. Exemple 8.4. Trouver u itervalle de cofiace à 95% sur le reveu moye des femmes sachat que sur u échatillo de 100 femmes la moyee est de 19502$ et l écart-type est de 2000$. allo le mode Exemple 8.5. Virgile s etraîe e courat 5km par jour et il ote le temps écessaire. Après 90 jours de course, il costate qu e moyee il pred miutes pour parcourir 5km avec u écart-type de 2.40miutes. a) détermiez la moyee de so temps de parcours avec ue estimatio poctuelle. b) détermiez la moyee de so temps de parcours avec u itervalle de cofiace à 99%. allo le mode

8 Estimatio de paramètres

9 Réposes 165

Estimation par intervalle de confiance

Estimation par intervalle de confiance 62 CHAPITRE 12 Estimatio par itervalle de cofiace 1. Estimatio de la moyee par itervalle de cofiace 1.1. Calcul de la marge d erreur. O veut maiteat faire ue estimatio par itervalle de cofiace de la moyee

Plus en détail

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1.

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1. Statistiques iféretielles Pierre-Heri WUILLEMIN Licece d Iformatique Uiversité Paris 6 Itroductio Soit ue populatio de taille N sur laquelle o observe ue propriété, dot o veut calculer moyee µ et de variace

Plus en détail

Statistiques inférentielles

Statistiques inférentielles Statistiques iféretielles LI323 Hugues Richard (otes de cours: Pierre-Heri Wuillemi) Uiversité Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire géomique des microorgaismes (LGM) Itroductio Soit ue populatio de

Plus en détail

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique.

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique. SONDAGE (ECHANTILLONNAGE) POPULATION STATISTIQUE N idividus possédat ue modalité yi de la (ou des) variable(s) y ( i N) PARAMETRES valeur cetrale dispersio corrélatio µ σ² ρ moyee variace coef. corr. ECHANTILLON

Plus en détail

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance II - Estimatio d'u paramètre par itervalle de cofiace 1 ) - Gééralités sur la costructio O veut estimer u paramètre (moyee, proportio ) d'u caractère das ue populatio P. Ue estimatio poctuelle à partir

Plus en détail

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3 Tests Chapitre Table des matières 1 Pricipe d u test 1 11 Défiitios 1 Méthode géérale 3 Test de coformité à u paramètre 3 1 Test de coformité à ue moyee 3 Test de coformité à ue proportio 4 3 Test d homogééité

Plus en détail

1. Notion de «série statistique» 2. VRAI ou FAUX. Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P.

1. Notion de «série statistique» 2. VRAI ou FAUX. Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 1 1. Notio de «série statistique» Il s agit d ue série de doées recueillies auprès des différetes uités statistiques d u

Plus en détail

Estimations. Les Moyennes des échantillons suivent une loi normale : = m et d' écart - type σ X

Estimations. Les Moyennes des échantillons suivent une loi normale : = m et d' écart - type σ X Estimatios Problématique. A partir d'observatios faites sur u échatillo, o se propose de tirer des coclusios sur la populatio toute etière. Aisi cotrairemet à la logique déductive, qui va du gééral au

Plus en détail

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Variables aléatoires Philippe Jamig Istitut Mathématique de Bordeaux PhilippeJamig@gmailcom http://wwwmathu-bordeaux1fr/ pjamig/ X variable aléatoire

Plus en détail

Les mesures de tendance centrale

Les mesures de tendance centrale 6 CHAPITRE 7 Les mesures de tedace cetrale Les mesures de tedace cetrale servet à caractériser ue série statistique à l aide d ue valeur ou d ue modalité typique. Il existe trois mesures possibles : le

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne 1 lois usuelles 11 Loi Biomiale B(, p) q = 1 p p(x = k) = C k p k q k Espérace E(X) = p Variace : V ar(x) = pq Écart type : σ = pq 12 Loi de Poisso P(λ) : loi de Poisso de paramètre λ > 0 : X(Ω) = N λ

Plus en détail

Techniques d enquête

Techniques d enquête Sodage aléatoire simple Techiques d equête Exercice 1 Sur les 500 élèves de M1 de l Uiversité d Auverge, o veut coaître la proportio P qui souhaitet faire u Master à Clermot-Ferrad. Parmi les 150 élèves

Plus en détail

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees 1. 2015. Complémets e Statistique Préparatio au Capes Uiversité de Rees 1 Itervalles de fluctuatios et itervalles de cofiace Table des matières

Plus en détail

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE MATTHIEU KOWALSKI 1. INTRODUCTION La démarche statistique cosiste à observer ue expériece aléatoire das le but de mieux coaître ses caractéristiques.

Plus en détail

1 Un peu de vocabulaire

1 Un peu de vocabulaire Statistiques - Échatilloage Cours Objectifs du chapitre Passer d u mode de représetatio des doées à u autre (doées brutes, tableau d effectifs, représetatio graphique) Calculer la moyee, la médiae, les

Plus en détail

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations Pla du cours 2 RFIDEC cours 2 : Échatillos, estimatios poctuelles Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Lois des grads ombres 2 Théorème cetral-limite 3 Estimatio poctuelle à partir d échatillos

Plus en détail

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat

Plus en détail

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimanche 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimanche 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00 MAT 2080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimache 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00 INSTRUCTIONS 1. Détachez la feuille-réposes à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om,

Plus en détail

IREM Martine Quinio. 5 février 2013

IREM Martine Quinio. 5 février 2013 : 1 IREM 2013 Martie Quiio 5 février 2013 1 La loi de Gauss, ou loi ormale Itroductio : Lire court article C.Villai das Le Mode du 14-15/12 : il compare le traitemet médiatique boso de Higgs et rats OGM

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Intervalles de confiance

Intervalles de confiance Itervalles de cofiace H4 H4 Itervalles de cofiace Vocabulaire : u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 95 %, u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 99 % 0 ) Echatillo o exhaustif La théorie des

Plus en détail

Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2

Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2 Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2 Christia Laverge Uiversité Paul Valéry - Motpellier 3 http://moodle-miap.uiv-motp3.fr http://www.uiv-motp3.fr/miap/es (UPV) Eseec 1 / 57 Lois limites

Plus en détail

Biostatistiques Sciences FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

Biostatistiques Sciences FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke www.fudp.ac.be/biostats Module 80 80 DISTRIBUTION T DE STUDENT...2 80.1 UTILITE...2 80.2 PRINCIPE...2 80.3 TABLES ET GRAPHIQUES...3 80.4 EXEMPLE...5 17/10/08 Module 80-1 80 Distributio t de Studet 1 80.1

Plus en détail

Résumé de statistique inductive

Résumé de statistique inductive Uiversité de Bourgoge Faculté de Médecie et de Pharmacie Résumé de statistique iductive NB : les iformatios coteues das ce polycopié e fot e aucu cas office de référece pour le cocours, il s agit uiquemet

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

TUTORAT UE Biostatistiques Correction du concours blanc 03/11/2011

TUTORAT UE Biostatistiques Correction du concours blanc 03/11/2011 FACULTE De PHARMACIE TUTORAT UE4 2011-2012 Biostatistiques Correctio du cocours blac 03/11/2011 QCM 1 : b, c, d a Faux : P(AUB=P(A+P(B=0,55 et P(A B=Ø. b Vrai c Vrai d Vrai : C 5 - C 5 32 28 (ombre de

Plus en détail

Distributions d échantillonage

Distributions d échantillonage Chapitre 3 Distributios d échatilloage 3.1 Gééralités sur la otio d échatilloage 3.1.1 Populatio et échatillo O appelle populatio la totalité des uités de importe quel gere prises e cosidératio par le

Plus en détail

ANOVA avec un facteur aléatoire

ANOVA avec un facteur aléatoire Chapitre 7 ANOVA avec u facteur aléatoire Jusqu à maiteat, o a supposé que les modalités du facteur étudié ot été choisies parce qu elles étaiet itrisèquemet itéressates. Le modèle à effets fixes porte

Plus en détail

Variables aléatoires finies Présentation

Variables aléatoires finies Présentation Variables aléatoires fiies Présetatio. Défiitio élémetaire (tombola).... Le prix de vete d'u billet de la tombola... 3 3. Espérace mathématique d ue variable aléatoire fiie... 4 4. Variace et écart type

Plus en détail

i la moyenne empirique de X n n v =

i la moyenne empirique de X n n v = Corrigé Statistiques iféretielle par par Pierre Veuillez Itervalle de cofiace. Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E X E X, V X V X doc X N E X, V X Exercices. Variace

Plus en détail

Corrigé Fiche 6 Septembre 2016

Corrigé Fiche 6 Septembre 2016 Corrigé Fiche 6 Septembre 2016 1. Estimatio de la moyee, variace coue, cas gaussie O dispose d u -échatillo X 1,..., X i.i.d. tel que X i suit ue loi ormale N µ, σ 2 ). L objectif est d estimer µ. Supposos

Plus en détail

Chapitre 7. Tests d hypothèse. Sommaire. 1. Introduction Principe des tests...3

Chapitre 7. Tests d hypothèse. Sommaire. 1. Introduction Principe des tests...3 Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (8/0/003) Chapitre 7 Tests d hypothèse Sommaire. Itroductio.. 3. Pricipe des tests......3.. Choix de l hypothèse à tester.4... Hypothèse

Plus en détail

T. D. n o 2 Intervalles de confiance-correction

T. D. n o 2 Intervalles de confiance-correction T. D. o 2 Itervalles de cofiace-correctio Exercice 1. Les billes métalliques 1. Nous calculos la moyee µ 10 de l échatillo : µ 10 = 20. Calculos la variace corrigée puis l écart-type corrigé de l échatillo

Plus en détail

Divers exercices de probabilité

Divers exercices de probabilité Divers exercices de probabilité Traiter e priorité les quatre premiers exercices de chaque sectio. 1 Probabilité Exercice 1.1 Mo voisi a deux efats. 1- Le plus jeue est ue fille, quelle est la probabilité

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

ESTIMATION Exercices

ESTIMATION Exercices ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

sont égales, alors le produit des «extrêmes» a d est égal au produit des «moyens» c d ; et réciproquement ; la preuve est ici 1.

sont égales, alors le produit des «extrêmes» a d est égal au produit des «moyens» c d ; et réciproquement ; la preuve est ici 1. Cours 5 Idépedace 1 Das le cours précédet, ous avos vu que la variable Y était idépedate de la variable X si ses distributios coditioelles e fréquece sot égales ; das ce cas e effet, la mesure de X sur

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016 Corrigé du baccalauréat ES Asie jui 16 A.. M. E.. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 6 poits Das u repère orthoormé du pla, o doe la courbe représetative C f d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN FINAL HIVER 2007 Date : Dimanche 29 avril de 14h00 à 17h00

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN FINAL HIVER 2007 Date : Dimanche 29 avril de 14h00 à 17h00 MAT 080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAME IAL HIVER 007 Date : Dimache 9 avril de 14h00 à 17h00 ISTRUCTIOS Détachez la feuille-réposes à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om, votre code permaet

Plus en détail

Probabilités générales

Probabilités générales Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece

Plus en détail

Estimation Intervalle de Confiance

Estimation Intervalle de Confiance Estimatio Itervalle de Cofiace Pr Roch Giorgi roch.giorgi@uiv-amu.fr SESSTIM, Faculté de Médecie, Aix-Marseille Uiversité, Marseille, Frace http://sesstim-orspaca.org Itroductio Coaître des valeurs de

Plus en détail

Lois normales et autres lois dérivées

Lois normales et autres lois dérivées Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio

Plus en détail

LES MOINDRES CARRÉS. Table des matières. 1. Justification de la méthode des moindres carrés

LES MOINDRES CARRÉS. Table des matières. 1. Justification de la méthode des moindres carrés LES MOINDRES CARRÉS OLIVIER CASTÉRA Résumé. La méthode des moidres carrés repose sur u fodemet probabiliste sérieux. Table des matières 1. Justificatio de la méthode des moidres carrés 1 2. Caractéristiques

Plus en détail

Texte Filtre de Kalman-Bucy

Texte Filtre de Kalman-Bucy Page 1. Texte Filtre de Kalma-Bucy 1 e modèle U avio se déplace etre Paris et odres. Il suit ue trajectoire théorique appelée trajectoire omiale dot les coordoées sot coues de tous. a trajectoire de l

Plus en détail

EXERCICES de Statistiques

EXERCICES de Statistiques EXERCICES de Statistiques Aette Corpart lycée Jea Zay de Thiers EXERCICES sur la LOI NORMALE La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 12 ; 4 ). Calculer les probabilités suivates : P ( X 15 ) ; P

Plus en détail

Tous les quatre pensent ensuite utiliser la formule bien connue : f

Tous les quatre pensent ensuite utiliser la formule bien connue : f Exercices sur les Itervalles de cofiace Exercice Le parti d u cadidat commade u sodage réalisé à partir de 600 persoes à l issue duquel il est doé gagat avec 52% des voix. A-t-il des raisos d être cofiat?

Plus en détail

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016 Baccalauréat S Cetres étragers 0 jui 206 Exercice I (4 poits) Pour chacue des quatre affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, e justifiat la répose. il est attribué u poit par répose

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne : I. Itroductio. LOIS NORMALES. Voici quelques exemples de courbes proveat de la vie quotidiee : La répartitio du QI das la populatio Le poids d ue populatio de chatos Répartitio des coscrits e 1907 Age

Plus en détail

Statistique inférentielle I - Estimation

Statistique inférentielle I - Estimation Statistique iféretielle I - Estimatio Nathalie Cheze July 9, 2007 Itroductio. Notio d échatillo Soit u esemble de taille N, appelé populatio. O veut étudier la populatio relativemet à u caractère statistique

Plus en détail

Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs.

Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs. Exercice Séace 2 : Estimateurs covergets, o biaisés et exhaustifs. Soiet les variables aléatoires X i i =,..., i.i.d. Motrez que S 2 = X i X 2 est u estimateur o biaisé de σ 2, où σ 2 = V ar[x ]. O utilise

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Utilisation en modélisation. Régression linéaire

Utilisation en modélisation. Régression linéaire Utilisatio e modélisatio Régressio liéaire La régressio est l ue des otios basiques de la statistique et de l aalyse des doées. Gééralemet, le problème cosiste à décrire la dépedace etre deux variables

Plus en détail

INÉGALITÉS DE MARKOV ET DE CHEBISHEV LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES

INÉGALITÉS DE MARKOV ET DE CHEBISHEV LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES Iégalités de Markov et de Chebishev - Loi faible des grads ombres versio du 11 avril 2014 35 8 INÉGALITÉS DE MARKOV ET DE CHEBISHEV LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES 1 Iégalité de Markov. 8.1 Iégalité de Markov.

Plus en détail

CORRIGE DES EXERCICES : Distributions d'échantillonnage - Intervalles de variation

CORRIGE DES EXERCICES : Distributions d'échantillonnage - Intervalles de variation U.F.R. S.P.S.E. Licece de psychologie L3 PLPSTA0 Bases de la statistique iféretielle UNIVERSITE PARIS X NANTERRE CORRIGE DES EXERCICES : Distributios d'échatilloage - Itervalles de variatio Exercice 1

Plus en détail

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage 2008-2010 Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso................................

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 0-03 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5. Pricipe des tests 6.a. Méthodologie

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES.

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES. Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double. Lisez

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Méthodes Statistiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Méthodes Statistiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Aée uiversitaire 2014 2015 L2 Écoomie Cours de B. Desgraupes Méthodes Statistiques Séace 11: Tests d adéquatio II Table des matières 1 Test de Kolmogorov-Smirov

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

CORRIGE DES EXERCICES : Exercices de révision

CORRIGE DES EXERCICES : Exercices de révision U.F.R. S.P.S.E. Licece de psychologie L5 PLPSTA03 Tests d'hypothèses statistiques UNIVERSITE PARIS X NANTERRE CORRIGE DES EXERCICES : Exercices de révisio Exercice 8. P{filles de 0 as}, X ombre de boes

Plus en détail

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!.

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!. PROBABILITÉS E 654, Blaise Pascal (63 ; 66) etretiet avec Pierre de Fermat (60 ; 665) des correspodaces sur le thème des jeux de hasard et d'espérace de gai qui les mèet à exposer ue théorie ouvelle :

Plus en détail

Université Lumière Lyon 2 L3-Economie & Gestion

Université Lumière Lyon 2 L3-Economie & Gestion Uiversité Lumière Lyo L3-Ecoomie & Gestio UFR de Scieces Ecoomiques et de Gestio Statistique Iféretielle - Support de cours 1 Estimatio poctuelle & Itervalle de cofiace Rafik Abdesselam Courriel : rafik.abdesselam@uiv-lyo.fr

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques CHAPITRE 2 : Estimatio o-paramétrique 1. Estimateurs empiriques Soit u échatillo i.i.d. de durées T i i1,..., de foctio de survie S Défiitio: L estimateur empirique de la foctio de survie est S x 1 i1

Plus en détail

ANOVA Analyse de la Variance

ANOVA Analyse de la Variance Chapitre 8 ANOVA Aalyse de la Variace. Obectif de la méthode Chap 8.. Obectif de la méthode. Approche ituitive 3. Décompositio de la variace 4. ANOVA: le test et le modèle statistique sous-acet O s itéresse

Plus en détail

Intervalle de confiance - Données censurées

Intervalle de confiance - Données censurées Itervalle de cofiace - Doées cesurées Durées de vie expoetielles: Echatillo complet Supposos que ous avos eregistré u échatillo complet de durées de vie T,T 2,,T qui sot i.i.d. suivat ue expoetielle dot

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE

BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE Polytech Paris-UPMC Probabilités-statistiques Chapitre 4 BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE Ue equête statistique est ue étude gééralemet réalisée sur u petit groupe d objets, d uités, de persoes que

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

Séance 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimation ponctuelle

Séance 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimation ponctuelle Math-F-207 Corrigé Séace 5 Exercice 1 Séace 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimatio poctuelle Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de desité f (x e x2 /2 2π où > 0. Pour

Plus en détail

Feuille de travaux pratiques # 3

Feuille de travaux pratiques # 3 Uiversité de Rees 1 Préparatio à l agrégatio Modélisatio - Proba/stat aée 015-016 Feuille de travaux pratiques # 3 1 La méthode de Mote-Carlo La méthode de Mote-Carlo est ue méthode de calcul approché

Plus en détail

10ème cours Une variable numérique : indices de localisation

10ème cours Une variable numérique : indices de localisation 10ème cours Ue variable umérique : idices de localisatio Das ce cours, o fait u rappel sur les idices de localisatio, médiae, quatiles et moyee, et o étudie la faço de les utiliser pour comparer les distributios

Plus en détail

QUOI DE NOUVEAU EN PROBABILITE EN TERMINALE?

QUOI DE NOUVEAU EN PROBABILITE EN TERMINALE? QUOI DE NOUVEAU EN PROBABILITE EN TERMINALE? S ES et L STI2D et STL Probabilités Coditioemet Idépedace Coditioemet Lois à desité Loi uiforme Loi expoetielle Loi uiforme Loi uiforme Loi expoetielle Lois

Plus en détail

CH5 Algèbre : Suites numériques

CH5 Algèbre : Suites numériques ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe

Plus en détail

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Métrologie C4 1

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Métrologie C4 1 Cours o.4. Statistique descriptive. α 97.7% α 95% k k 3 Démarche scietifique Système réel (ature) Nous avos à étudier u esemble bie défii mais assez vaste d idividus ou d observatios. Epériece Das u premier

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité BACCALAUREAT GENERAL Bac blac 4 Mercredi 7 Mai 4 MATHEMATIQUES Série : S Eseigemet Obligatoire ou de Spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ou 9 L utilisatio de la calculatrice est autorisée

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

MESURE ET INCERTITUDES. Toute détermination expérimentale de la valeur d une grandeur physique (métrologie) est entachée d une erreur.

MESURE ET INCERTITUDES. Toute détermination expérimentale de la valeur d une grandeur physique (métrologie) est entachée d une erreur. MESURE ET INCERTITUDES Toute détermiatio expérimetale de la valeur d ue gradeur physique (métrologie) est etachée d ue erreur. Exemple : O souhaite mesurer ue résistace. Le coducteur ohmique dot o souhaite

Plus en détail

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim NOM : Termiale S- ABC S3 ludi ovembre 06 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie. Le sujet est composé de 5 eercices idépedats.

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Chapitre 14 Échantillonnage et estimation

Chapitre 14 Échantillonnage et estimation Chapitre 4 Échatilloage et estimatio I. Itroductio O se situe das deux domaies des statistiques : l'échatilloage et l'estimatio. Ces deux domaies appartieet au champ des statistiques iféretielles et ot

Plus en détail

Variables aléatoires. Exercices

Variables aléatoires. Exercices Variables aléatoires Exercices 04-05 Les idispesables Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace O répète idéfiimet le lacer d u dé équilibré à 6 faces Soit la variable aléatoire doat la valeur du

Plus en détail

1 Intervalles de confiance. 2 Tests d hypothèses. 3 La loi du χ 2. X N (µ; σ 2 ) n très grand = la valeur observée x de X µ

1 Intervalles de confiance. 2 Tests d hypothèses. 3 La loi du χ 2. X N (µ; σ 2 ) n très grand = la valeur observée x de X µ Pla du cours 3 RFIDEC cours 3 : Itervalles de cofiace, tests d hypothèses, loi du χ Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Itervalles de cofiace Tests d hypothèses 3 La loi du χ Itervalles

Plus en détail

Fiche 8 : Fonctions II. Limites

Fiche 8 : Fonctions II. Limites Uiversité Paris-Est Val-de-Mare Créteil DAEU-B Fiche 8 : Foctios II. Limites Das la fiche 7 "Foctios I", o a vu la défiitio d ue foctio et différetes otios afféretes. E particulier, o a travaillé sur le

Plus en détail

D- Convergence de variables aléatoires

D- Convergence de variables aléatoires D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O

Plus en détail

Correction Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 13 juin 2016

Correction Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 13 juin 2016 Correctio Baccalauréat STL biotechologies Polyésie 13 jui 2016 EXERCICE 1 4 poits Das cet exercice, o s itéresse au taux de cholestérol LDL de la populatio d adultes d u pays. O ote X la variable aléatoire

Plus en détail