CONCOURS PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage de l ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

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1 A MATH. I MP. École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 2016 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage de l ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Autour de l inégalité de Hoffman-Wielandt Dans tout le problème n désigne un entier supérieur ou égal à 2. Soit M n (R) l ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients réels et A un sous ensemble de M n (R). On dit qu une matrice A M n (R) est extrémale dans A si pour tous M, N dans A et tout λ ]0, 1[, on a l implication : A = λm + (1 λ)n = A = M = N. On note B n l ensemble des matrices bistochastiques de M n (R), c est-à-dire l ensemble des matrices A = (A i,j ) 1 i,j n dont tous les coefficients sont positifs ou n n nuls et tels que A i,j = A j,i = 1 pour tout i {1, 2,..., n}. j=1 j=1 On note enfin P n l ensemble des matrices de permutation M σ M n (R) dont les coefficients sont de la forme : 1 si i = σ(j) (M σ ) i,j = 0 sinon, pour tous i, j dans {1, 2,..., n}, où σ est une permutation de {1, 2,..., n}. La partie A n est pas indispensable à la résolution des parties suivantes. A Un exemple Soit J la matrice de M n (C) définie par J = c est-à-dire par J i,j = 1 si j i = 1 ou i j = n 1, et J i,j = 0 sinon. 1. Montrer que J est une matrice de permutation. Calculer les valeurs propres réelles et complexes de J, et en déduire que J est diagonalisable sur C. 2. Déterminer une base de C n de vecteurs propres de J. 2

3 Dans les trois questions suivantes n désigne un entier naturel impair 3. Pour tout m N, on note X m une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1,..., n 1} telle que X 0 = 0 avec probabilité 1 ; si X m = k, alors ou bien X m+1 = k 1 modulo n, ou bien X m+1 = k + 1 modulo n, ceci avec équiprobabilité. On note P (X m = 0) P (X m = 1) U m =.. P (X m = n 1) 3. Déterminer U 0 et une matrice A de M n (R) telle que pour tout m N, U m+1 = AU m. On exprimera A à l aide de la matrice J. 4. Déterminer les valeurs propres de la matrice A et un vecteur propre de R n unitaire associé à la valeur propre de module maximal. 5. En déduire la limite de U m lorsque m +. B Théorème de Birkhoff-Von Neumann 6. Montrer que l ensemble B n est convexe et compact. Est-il un sous espace vectoriel de M n (R)? 7. Montrer que P n B n et que P n est un sous-groupe multiplicatif de GL n (R). Tout élément de P n est-il diagonalisable sur C? L ensemble P n est-il convexe? 8. Montrer que toute matrice de P n est extrémale dans B n. Dans toute la suite de cette partie, on considère une matrice bistochastique A = (A i,j ) 1 i,j n qui n est pas une matrice de permutation. 9. Montrer qu il existe un entier r > 0 et deux familles i 1, i 2,..., i r et j 1, j 2,..., j r 3 TSVP

4 d indices distincts dans {1, 2,..., n} tels que pour tous k {1, 2,..., r}, A ik,j k ]0, 1[ et A ik,j k+1 ]0, 1[ avec j r+1 = j En considérant la matrice B = (B i,j ) 1 i,j n de M n (R) définie par : B ik,j k = 1 k {1, 2,..., r} B ik,j k+1 = 1 k {1, 2,..., r} B i,j = 0 dans les autres cas, montrer que A n est pas un élément extrémal de B n. En déduire l ensemble des éléments extrémaux de B n. On dit qu une matrice M = (M i,j ) 1 i,j n de M n (R + ), à coefficients positifs ou nuls, admet un chemin strictement positif s il existe une permutation σ de {1, 2,..., n} telle que M σ(1),1 M σ(2),2 M σ(n),n > 0. On démontre par récurrence sur n, et on admet le résultat suivant : si M est à coefficients positifs ou nuls et si toute matrice extraite de M ayant p lignes et q colonnes avec p + q = n + 1 n est pas la matrice nulle, alors M admet un chemin strictement positif. 11. Montrer que A admet un chemin strictement positif. On note σ une permutation de {1, 2,..., n} telle que A σ(1),1 A σ(2),2 A σ(n),n > 0 et on pose λ 0 = min(a σ(j),j ) et A 0 = 1 (A λ 0 M σ ) où M σ est la matrice de j 1 λ 0 permutation associée à σ. 12. Montrer que A 0 est bien définie, et que c est une matrice bistochastique contenant au moins un élément nul de plus que A. 13. En raisonnant par récurrence, démontrer que A s écrit comme une combinaison linéaire d un nombre fini de matrices de permutation M 0, M 1,..., M s : A = λ 0 M 0 + λ 1 M λ s M s où les coefficients λ i sont tous strictement positifs et de somme s i=0 λ i = 1. 4

5 14. Soit ϕ une forme linéaire de M n (R). Montrer que inf ϕ(m) existe. En M P n déduire que inf ϕ(m) existe et est atteint en une matrice de permutation. M B n C Inégalité de Hoffman-Wielandt Dans cette partie, on munit M n (R) de la norme euclidienne associée au produit scalaire défini par A, B = tr( t A B). On note S n (R) le sous-ensemble de M n (R) des matrices symétriques et O n (R) celui des matrices orthogonales. 15. Montrer que pour tous A M n (R) et P, Q dans O n (R), on a PAQ = A. Dans la suite de cette partie, A et B désignent deux matrices symétriques réelles. 16. Montrer qu il existe deux matrices diagonales réelles D A,D B, et une matrice orthogonale P = (P i,j ) 1 i,j n telles que A B 2 = D A P P D B Montrer que la matrice R définie par R i,j = (P i,j ) 2 pour tous i, j dans {1, 2,..., n} est bistochastique et que A B 2 = 1 i,j n R i,j λ i (A) λ j (B) 2 où λ 1 (A),..., λ n (A) désignent les valeurs propres de A et λ 1 (B),..., λ n (B) celles de B. 18. En déduire que min σ n λ σ(j) (A) λ j (B) 2 A B 2 j=1 où le minimum porte sur l ensemble de toutes les permutations de {1, 2,..., n}. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et V l ensemble des variables aléatoires définies sur cet espace admettant un moment d ordre 2. Pour tout X de V, on 5 TSVP

6 note X P X si X suit la loi P X. Pour tout couple (P 1, P 2 ) de lois, on pose d 2 (P 1, P 2 ) = inf E( X Y 2 ). X,Y V X P 1,Y P 2 Soit (a 1,..., a n ) et (b 1,..., b n ) deux familles de réels. On note P 1 la loi uniforme sur {a 1,..., a n } et P 2 la loi uniforme sur {b 1,..., b n }. 19. Montrer que d 2 (P 1, P 2 ) = 1 n a (i) b (i) 2 n i=1 où l on a noté a (1) a (n) et b (1) b (n) les suites (a 1,..., a n ) et (b 1,..., b n ) ré-ordonnées par ordre croissant. En déduire que pour toutes matrices symétriques réelles A, B de valeurs propres respectives (a 1,..., a n ) et (b 1,..., b n ), on a l inégalité : n d 2 (P 1, P 2 ) A B 2. Fin du problème 6