Géométrie spatiale. Positions relatives de droites et de plans de l espace

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1 Chapitre 6 : Géométrie spatiale - Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme I. TS - Orthogonalité de 2 droites. - Orthogonalité d une droite et d un plan Représentation en perspective cavalière La perspective cavalière n est pas la représentation de l espace la plus proche de notre perception visuelle. Elle est pourtant utilisée en mathématiques, car elle permet de rendre compte du parallélisme de deux droites. Cela n est pas le cas avec la perspective à point de fuite inventée par Brunelleschi au XVème siècle et qui rend mieux compte de la réalité ; par exemple des rails de train en ligne droite semblent se rapprocher les uns des autres en s éloignant. Le parallélisme n est donc pas conservé! Filippo Brunelleschi Propriétés : En perspective cavalière : - le parallélisme est conservé - les distances et les angles ne sont conservés que dans le plan frontal. - les graduations sont conservées. II. Positions relatives de droites et de plans de l espace Remarque : 3 points suffisent pour définir un plan. a) Deux plans Deux plans de l espace peuvent être parallèles (strictement ou confondus) ou bien sécants selon une droite. Exemples : Les plans (BGF) et (HAD) sont strictement parallèles. Les plans (EFG) et (EGH) sont confondus (ils sont parallèles tout de même). Les plans (BGF) et (HCD) sont sécants en (GC). Les plans (GCA) et (EBF) sont sécants en (AE).

2 b) Un plan et une droite Une droite et un plan de l espace peuvent être parallèles (strictement ou confondus) ou bien sécants en un point. Exemples : (FG) est parallèle strictement aux plans (EHD), (EHC) et (ABC). (FG) appartient aux plans (FGH) et (FGB). La droite (AG) est sécante en G au plan (HDC). (AG) est également sécante au plan (HDB) c) Deux droites Deux droites de l espace peuvent être coplanaires (parallèles ou sécantes) ou bien non coplanaires. Exemples : (FG) et (EH) sont coplanaires et parallèles. (FD) et (BD) sont coplanaires et sécantes en D. (FH) et (EC) sont non coplanaires. Attention : 2 droites de l espace qui ne sont pas sécantes ne sont pas forcément parallèles! Elles peuvent aussi ne pas être coplanaires. Par ailleurs, deux droites sécantes sont forcément coplanaires. III. Propriétés et théorèmes a) Entre droites Propriété 1: Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre

3 Propriété 2: Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. b) Entre plans Propriété 3: Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux Propriété 4: Si deux droites sécantes d et d d un plan P sont parallèles à deux droites sécantes et ' d un plan Q, alors P et Q sont parallèles. Propriété 5: Si deux plans P et Q sont parallèles, alors tout plan qui coupe P coupe aussi Q et les droites d intersection d et d sont parallèles.

4 b) Entre droites et plans Propriété 6: Si deux plans P et Q sont parallèles, et si une droite d est parallèle à P, alors d est parallèle à Q. Propriété 7: Si deux droites d et d sont parallèles, et si d appartient au plan P, alors d est parallèle au plan P. Propriété 8: Si deux plans P et Q sont sécants selon une droite, et si d est une droite parallèle à P et Q, alors d et sont parallèles.

5 Théorème du toit : Si : d et d sont deux droites parallèles d est contenue dans un plan P et d est contenue dans un plan P P et P sont sécants selon une droite Alors est parallèle à d et à d. IV. Sections du cube et du tétraèdre par le plan (IJK) a) le cube : Un dessin vaut parfois mieux qu un long discours

6 b) le tétraèdre : V. Orthogonalité Définitions: Deux droites d et d perpendiculaires dans l espace sont deux droites qui se coupent et qui sont perpendiculaires dans le plan les contenant. Deux droites d et Δ orthogonales dans l espace sont deux droites telles qu il existe une parallèle à Δ perpendiculaire à d. On note : d Δ

7 Théorème : Si une droite d est perpendiculaire à un plan P, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan P. Théorème : Si une droite d est orthogonale à deux droites sécantes d un plan P, alors elle est perpendiculaire à ce plan P.