Fiche 1 - Vocabulaire de la logique et des ensembles

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1 Fiche 1 - Vocabulaire de la logique et des ensembles Du langage courant au langage mathématique Exercice 1 Des maximes hautement mathématiques Pour chacune des phrases suivantes : (a) traduire la phrase du langage naturel en langage mathématique ; (b) donner la négation de l énoncé mathématique obtenu ; (c) traduire cette négation en langage naturel. 1. Toutes les vérités sont bonnes à dire. 2. Il n y a pas d amour heureux. 3. Qui dort dîne. 4. Pierre qui roule n amasse pas mousse. Exercice 2 De la grande chanson Considérons cet extrait de la chanson la plus célèbre de Françoise Hardy : tous les garçons et les filles de mon âge se promènent dans la rue deux par deux. 1. Traduire cet extrait du langage naturel en langage mathématique, en utilisant une ou plusieurs propriétés P (x). 2. Donner la négation de l énoncé mathématique obtenu. 3. Traduire cette négation en langage naturel. Exercice 3 Des fonctions réelles et des négations Soit f une fonction de R dans R. Traduire les propositions suivantes en langage mathématique et donner leur négation. 1. La fonction f est bornée. 2. La fonction f n est pas la fonction nulle. 3. La fonction f ne s annule jamais. 4. La fonction f est décroissante. 5. La fonction f admet un maximum local en 2. Exercice 4 Reconnaitre un quantificateur Traduire les propositions suivantes en langage mathématique. 1. Entre deux nombres réels distincts, on peut toujours trouver un nombre rationnel. 2. Tout réel admet un entier naturel qui lui est strictement supérieur. 3. Tout réel est limite d une suite réelle. Exercice 5 Votre obstination à nier est un aveu! Soit f une fonction de R dans R. Nier les propositions suivantes. 1. Pour toute fraction q, f(q) est pair. 2. La fonction f est croissante et positive. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh

2 Exercice 6 Un peu d arithmétique Exprimer les formules mathématiques correspondant aux énoncés suivants et leur négation. 1. a divise b. 2. n est pair. 3. p est premier. 4. Tout entier pair est la somme de deux nombres premiers. Premières démonstrations Démonstrations de propositions quantifiées Exercice 7 Ordre et quantificateurs Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Comparer. 1. x R, y R, y 2 > x. 2. y R, x R, y 2 > x. 3. x R, y R, y 2 > x. 4. x R, y R, y 2 > x. Exercice 8 Ordre, quantificateurs et addition Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et donner leur négation. 1. x R, y R, x + y > x R +, y R +, x + y > 0 et x y x R, y R, x + y > 0 ou xy 0. Implications Exercice 9 Autour des tableaux de variations Soit f une fonction de R dans R dérivable. Pour chacune des propositions suivantes : (a) préciser si la proposition est vraie ; (b) énoncer la contraposée de la proposition, puis préciser si la contraposée est vraie ; (c) énoncer la réciproque de la proposition, puis préciser si la réciproque est vraie. 1. f est constante f est croissante. 2. f est positive f est croissante. 3. f = 0 f est constante. 4. f admet un maximum en 4 f (4) = 0. Exercice 10 Les nombres négatifs existent, premier rappel Soit x un réel. Donner les implications existant entre ces quatre propositions. 1. x 2 > 4 2. x > 2 3. x < 2 4. x > 2 Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh

3 Exercice 11 Calcul propositionnel Soient P et Q deux propositions. Montrer les équivalences suivantes. 1. P [P et (P ou Q)] 2. P [(Q P ) et (non Q P )] Ensembles Opérations sur les ensembles Exercice 12 Des unions et des intersections On considère les sous-ensembles de R suivants : A = [ 5; 3], B =]0; 2] et C = Z. Expliciter les ensembles suivants. 1. A B 2. A B 3. A B C 4. A B 5. A B 6. A (B C) 7. A \ B 8. B \ A 9. C B 10. A B 11. A B 12. (A B) C 13. (A \ B) \ C 14. A \ (B \ C) 15. C (B \ A) Exercice 13 Des petits ponts Soit E un ensemble et soient A, B et C trois parties de E. Simplifier : 1. (A (A B)) B 2. (A B) (A B) 3. (A B) (C A) 4. (A B) (B C) (A C). Exercice 14 Privation Soient E un ensemble et A et B deux parties de E. Simplifier : 1. A \ (A B) 2. A \ (A B) 3. A \ (B \ A) 4. A \ (A \ B) 5. A \ (A \ (A \ B)) Exercice 15 Différence symétrique Soit E un ensemble et soient A, B deux parties de E. On appelle différence symétrique de A et B, et on note A B, l ensemble A B = (A \ B) (B \ A). 1. Représenter cette différence symétrique sur un dessin. 2. Caractériser l ensemble A B par une proposition. 3. Montrer que A B = B A. 4. Que valent les ensembles suivants? (a) A (b) A A (c) A B quand A B Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh

4 5. Simplifier (A B) (A B). 6. Soit C une troisième partie de E. Montrer, par double inclusion, l égalité suivante : Inclusion, ensemble des parties A (C B) = (A C) (A B). Exercice 16 Mise en jambes Posons A =] 2, 1[ [0, 2] et B =] 2, 2[. A-t-on B A? Et A = B? Exercice 17 Autour de neuf Donner une expression plus simple de chacun des ensembles suivants, puis donner les relations d inclusion qui existent entre ces ensembles. 1. A = {y R x 9, y > x} 2. B = {t 2 t [3, + [} 3. C = {y R t [3, + [, y t 2 } 4. D = {y R x 9, y x} Exercice 18 Des petites parties Expliciter les ensembles suivants. 1. P({5, 6}). 2. P({5, 6, 8}). 3. P( ). 4. P(P( )). Exercice 19 Inclusion et complémentaire Soit E un ensemble et soient A et B deux parties de E telles que A B. Que dire de A et B? Exercice 20 Les parties d une partie Soient A et B deux ensembles. 1. Montrer que si A B alors P(A) P(B). 2. La réciproque est-elle vraie? Raisonnements classiques Raisonnement par récurrence Exercice 21 Comparaisons de suites 1. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur à 15, on a : 3 n ( ) 1 n n! Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 2 n n + 1. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Kaïchouh

5 Exercice 22 Un calcul de somme Montrer que pour tout entier naturel n, on a : n = 2 n+1 1. Exercice 23 Étude d une suite récurrente Considérons la suite (u n ) n N définie par { u0 = 1 n N, u n+1 = e un. Montrer que la suite (u n ) n N est strictement croissante. Exercice 24 Récurrence double Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = 2 u 1 = 3 n N, u n+2 = 3u n+1 2u n. Montrer que pour tout n N, on a u n = 2 n + 1. Exercice 25 Un bel entier Montrer que, pour tout entier naturel n, le nombre est un entier relatif. n n4 2 + n3 3 n 30 Raisonnements par contraposée et par l absurde Exercice 26 Des nombres très petits Soient x un réel. Montrer l implication suivante : [ ε > 0, x < ε] x = 0. Exercice 27 Racine d un irrationnel Soit x un nombre irrationnel positif. Montrer que x est irrationnel. Exercice 28 Ceci n est pas un pavé Posons D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. 1. Représenter l ensemble D graphiquement. 2. Montrer que D ne peut pas s écrire comme le produit cartésien de deux ensembles. Disjonction de cas Exercice 29 Inégalité triangulaire Démontrer l inégalité triangulaire : (x, y) R 2, x + y x + y. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 5 Adriane Kaïchouh

6 Exercice 30 Les nombres négatifs existent, deuxième rappel Résoudre l inéquation suivante, d inconnue x non nulle : x 2 x > 0. Double implication Exercice 31 Une jolie caractérisation de l égalité Soit E un ensemble et soient A, B et C trois sous-ensembles de E. Montrer que B = C si et seulement si A B = A C et A B = A C. Double inclusion Exercice 32 De la compréhension à l extension Considérons les ensembles suivants : 1. A-t-on 2 A? 17 B? 17 C? 2. Montrer que C = {1, 2, 5, 10}. 3. Montrer que A B = {1, 2, 5, 10}. Analyse-synthèse A = {n N 3n } B = {k k N} C = { k k {0, 1, 2, 3} }. Exercice 33 Résolution d une équation simple avec des racines Résoudre par analyse-synthèse l équation suivante, d inconnue x réelle : x + 7 = 5 x. Exercice 34 Une équation fonctionnelle Trouver toutes les fonctions f : R R telles que pour tout x R, on ait : f(x) + xf(1 x) = 1 + x. Exercice 35 Résolution d une équation compliquée avec des racines Soit (E) l équation suivante, d inconnue x réelle : 1 x = 2x x 1 x Soit x R. Supposons dans cette question que x soit solution de l équation (E). (a) Montrer que 4(1 2x 2 ) 1 x 2 = 1. Posons y = 1 x 2. (b) Montrer que 8y 3 4y 1 = 0. (c) En remarquant que 8y 3 4y 1 = (2y+1)(4y 2 2y 1), en déduire que 4y 2 2y 1 = 0. (d) Trouver les valeurs possibles de y, puis de x. 2. Résoudre l équation (E). Lycée Pierre-Gilles de Gennes 6 Adriane Kaïchouh

7 Exercice 36 Résolution d équations ensemblistes Soit E un ensemble. Soit A une partie de E. Déterminer les parties X de E vérifiant : 1. A X = E 2. A X = A 3. A X = A Résolution d équations et d inéquations Exercice 37 Une différence de racines Résoudre l équation suivante, d inconnue x réelle : 2x + 4 x 2 3 = 0. Exercice 38 De l importance des trinômes Résoudre les équations et inéquations suivantes d inconnue x réelle. 1. x + 2x + 1 = 1 2. (a) x 2 12x (b) 2x + x 2 12x + 35 = 7 3. (a) x 2 = x (b) x 1 = x e 2x e x 1 = 0 5. e x e x 0 6. (a) 4x2 6x 10 x 2 + 2x 15 = 3 (b) 4x2 6x 10 x 2 + 2x 15 > x + 4 7x 7 8. ln(x 2 2x 8) = ln(x + 7) 9. ln (x + 2) + ln (x 4) = ln (x + 7) Exercice 39 Une équation à paramètre Soit m un réel. Résoudre l équation suivante d inconnue x réelle. e x + me x m 1 = 0. Exercice 40 Deux équations à paramètres Soit m un réel. Résoudre les équations suivantes d inconnue x réelle. 1. x 2 + 2mx + 1 = mx 2 (m 2 + 9)x + 3m = 0 Exercice 41 Histoires de signes Résoudre les inéquations suivantes d inconnue x réelle. 1. x 2 9x + 18 x 2 + 2x + 15 > x + 35 < 5x 4 Exercice 42 Du logarithme et des inéquations Résoudre les inéquations suivantes, d inconnue x réelle. 1. ln(x 2) > ln(4 2x) 2. ln(x 2 ) > ln(x) > 3 4. (ln(x)) 2 > 3 Lycée Pierre-Gilles de Gennes 7 Adriane Kaïchouh

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