MÉCANIQUE DU POINT. 1) En supposant la masse volumique uniforme et le comète de forme sphérique de rayon m 1/3 . A.N. m com

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Germain Robichaud
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1 é ψ Do n ÉCANIQUE DU POINT co, on a D AP EA P 05 (PATIE I) ) En suosant la ass oluqu unfo t l coèt d fo shéqu d aon 4 µ π d où co co co co co 4π µ co / AN co,0 4π 400 /,8 k ) La foc atatonnll xcé a la coèt d fo shéqu su un objt d ass co st F G donc d( F ) d( G) L O, d aès la laton fondantal, on a auss d( F ) LT donc on obtnt d( G ) L LT d où d( G ) L T Un unté ossbl st l k s ) À l nstant du laa du odul, on a Au nau du sol d la coèt, co l a co sol 6, 67,0 co 6, 67 l a,0 (,8 ) (, 5 ), 6 s,0 4 s On a donc co sol,0 54 On n ut as consdé l cha d ataton unfo los du 6, laa 4) Dans l éféntl 0 la sond consdéé co un ont atél lacé n n st co os sous qu a la foc atatonnll d la coèt F G L théoè du ont cnétqu alqué au cnt C d la coèt s éct C G d L coos ( ) 0 donc L st constant n atcul sa dcton Co, a défnton, L C, ls ctus C t sont dans un lan ndcula à la dcton d L C lan st donc constant au cous du ts 5) On utls la bas ola dans l lan d la tajcto Dans ctt bas, on a d dθ + ( t) θ la tajcto st ccula d aon constant, l st dθ dθ θ L ont cnétqu s x alos L C + θ dθ d θ z Co c ctu st constant, cla ntaîn C t l accéléaton s éct dθ a ( ) co os L nc fondantal s éct G os co d où G AN 6, 67, c s é ψ a /6 Do n

2 π 6) Pndant un éod, la sond fat un tou d lonuu π donc T π 0 AN T, 6 s 4,5 jous 5 7) L obt st un lls d fo C Ls dstancs a t sont défns su l and ax d l lls coos L én écanqu st E G où a Gcoos l d and-ax On n dédut E + donc d où os 8) L én écanqu st G G + AN co os co os a 6,67, 0 a E a + a st co os os G donc, n, on obtnt On n dédut 0 G co + a 0 c s co 9) La tss n su l obt ccula st CIC G La aaton d tss st CIC G co a + AN 6, 67, 0 CIC 6 c s La aaton d tss st donc 4 c s d d ) Co d t d, l équaton du ount dnt d d d En notant CIC + la ass au début d l éjcton ds az, on ut éc d CIC CIC d d CIC + CIC CIC ln CIC + nt l début t la fn d la aaton d tss sot d où + CIC ln CIC x CIC ou nco ) Dans l éféntl lé à la coèt qu st suosé allén, on nd co sstè obl l attssu consdéé co onctul Il n st sous qu à l ntacton atatonnll d co Ph donc l nc fondantal s éct Ph G d où l équaton du ount t d + co 0 G t C a é ψ a /6 Do n

) Dans la foncton Eul, st la lst ds alus d t st la lst ds alus d la tss La foul d Talo à l od s éct ( t + ) ( t) + La ln 8 tadut ctt équa- d d d ton t la foncton quadff dot no G co d aès l équaton du

ancnn alu d la tss, on obtnt éalnt un noull alu d a la foul d d Talo ( t + ) ( t) + ( t) + ( t) t l on ajout ctt noull alu à la lst La ln 9 s éct donc 9 and([] + []*) ) La tss ntal null cosond à la

zoo, c st-à-d la tss ntal 0,75 s 4) On chch su l ahqu la tss tcal cosondant au aon d la coèt su la coub calculé ou un tss ntal d 0,75 s On tou, s 5) Pndant sa chut, l odul Phla n st sous qu à la foc

3 ) Dans la foncton Eul, st la lst ds alus d t st la lst ds alus d la tss La foul d Talo à l od s éct ( t + ) ( t) + La ln 8 tadut ctt équa- d d d ton t la foncton quadff dot no G co d aès l équaton du ount t La constant contnt la alu nuéqu d G co, donc on ut colét la ln : tun /** us la ln 8, où l on cé un noull alu d ac ls alus écédnts d t t on l ajout à la lst 8 and( [] + *quadff([], []) ) Ac l ancnn alu d la tss, on obtnt éalnt un noull alu d a la foul d d Talo ( t + ) ( t) + ( t) + ( t) t l on ajout ctt noull alu à la lst La ln 9 s éct donc 9 and([] + []*) ) La tss ntal null cosond à la coub a On a calculé l aon d la coèt,8 k On lt 800 à l nstant t 4000 s sot 40 h non ou nco jou t 6h h f d Ctt alu n cosond as du tout à la éalté La alu éll d 7h 500 s c qu cosond à la coub f d aès l zoo, c st-à-d la tss ntal 0,75 s 4) On chch su l ahqu la tss tcal cosondant au aon d la coèt su la coub calculé ou un tss ntal d 0,75 s On tou, s 5) Pndant sa chut, l odul Phla n st sous qu à la foc d ataton qu st consat donc son én écanqu s cons (c st-à-d st constant au cous du ts) 6) On éct l én écanqu d Phla au laa ( L, L ) t au sol ( C, AT ) G G d où co L AT L co Ph co Ph Ph L Ph AT L co co G G us AT L + Gco co co L AN AT 0,75 + 6,67,0,8,5 alu st coatbl ac la alu obtnu ahqunt, s Ctt 7) é ψ a /6 Do n

4 ao l oblè Fa un schéa odèl Idntf ls andus hsqus tnnts, lu attbu un sbol Éalu quanttatnt ls andus hsqus nconnus t non écsés l l oblè à un stuaton odèl connu Duant ls dux hus d bond, la sul foc xtéu alqué à Phla st la foc d attacton atatonnll xcé a la coèt su Phla ca l n a as d atoshè, donc as d 0 foc d fottnt L odul st donc n chut α 75 α 75 lb a tss ntal st cll aès l bond, ll n st donc as tcal as fat un anl d 5 ac la tcal Un schéa ésntatf d la stuaton st tacé c-cont δ F δ u k, la foc d ataton a d sot nuéqunt F δ F, Consdéons cndant qu la foc n a as ndant l bond F,8 Etabl un staté d ésoluton (anals) Conc a un son slfé Décoos l oblè n ds oblès lus sls Exlct la odélsaton chos (défnton du sstè, ) Détn t énonc ls los hsqus qu sont utlsés On s lac dans l éféntl lé à la coèt, l st suosé allén L sstè obl st l odul d ass Phl Dans la bas catésnn ndqué su la fu, la laton fondantal d x Ph 0 Ph a F s ojtt n co n osant co G d co tt n œu la staté (éals) bond t s On ntè n Ph Ph co n la déach jusqu au bout afn d éond xlctnt à la quston osé ao n ffcacnt ls calculs analtqus t la taducton nuéqu Utls l anals dnsonnll dx 0 x d cot + 0 us x 0 xt + cot 0 t L sot d la tajcto cosond à t s tl qu 0 sot 0 co n nant l on au ont d t 0 s On a alos co La oté à t tl qu 0 (n asslant l sol d la coèt à un lan su ctt dstanc),sot 0 0 x 0 On a alos x 0 xt sot x co co x é ψ a 4/6 Do n

5 s x AN On tou 0,/ 0,55 s, ( 0,55sn ( 75 )) ( ) ( ) 0,55 cos 75 sn 75 Ao un ad ctqu su ls ésultats obtnus (ald) 685, 756 t co 6, 67, 0 ( ) 0,55sn 75 (,8 ),0 4 s, 56 s h9 t assu qu l on a éondu à la quston osé Véf la tnnc du ésultat toué, notant n coaant ac ds statons ou ods d andus connus Coa l ésultat obtnu ac l ésultat d un aut aoch (su xéntal donné ou dédut d un docunt jont, sulaton nuéqu, ) Étud ds cas lts lus sls dont la soluton st lus faclnt éfabl ou bn déjà connu Ls alus calculés sont d un od d andu coaabl as as tès osn ds alus ndqués dans l txt ( 00, x > 00, t 7h5 5h4 h5 L hothès d lanété d la sufac st ctquabl ca l aon d la coèt (,8 k) t d l od d la oté calculé Phla st n fat tobé au dlà d l hozon du ont d act ntal t la oté éll st donc lus and L hothès d unfoté d la foc d ataton st tès ctquabl ca ll a n fat baucou usqu Phla bondt d un dstanc atqunt oté du aon d la coèt En éalté, la foc dnu ac l alttud, c qu aunt ls alus d la flèch t d la oté a aot à cll calculés 8-a) Ac C, on a 0 On a donc E E La lo ds nœuds n ntaîn E + J CC + β donc ( ) + β E b) La tnson aux bons d la ésstancs s éct G + donc G Ac la quston écédnt, on obtnt ( + β) G + us G + ( + β) c) En cobnant ls ésultats écédnts on obtnt ( + β) G E d où ( + β) ' G + ( + β) Pusqu 0 dans c cas, la alu d calculé c st la tnson à d V d la souc odélsé J CC β oté calculé oté éll E 0 é ψ a 5/6 Do n

6 G G d) La lo ds nœuds n E s éct à + + donc G ' G L ôl d, qu n ntnt as dans E + ( + β ) l xsson d, st d lt l couant délé a la souc d tnson G 9-a) Ac C 0, on a 0 donc E E 0 c qu ntaîn E 0 La lo ds nœuds n ntaîn J CC donc ( ) + β G 0 G b) Co 0, on a sot c) En cobnant ls ésultats écédnts, on obtnt G + β Pusqu 0 dans c cas, la alu d calculé c st l ntnsté d cout-ccut CC d la souc odélsé 0-a) La souc st odélsé a : On a donc + 0, la souc fonctonn à d t l on a V On n dédut E ( + β) + ( + β) G b) 0, la souc st cout-ccuté on tou sot ( + β) ' G + + β + β E G ou nco + + β G J CC β CC E C é ψ a 6/6 Do n

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