Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES"

Transcription

1 I - Ecriture algébrique des nombres complexes 1) Définition Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES Définition 1 : On admet qu il existe un ensemble de nombres, noté C, vérifiant les propriétés suivantes : - C contient un nombre noté i tel que i²= 1 ; - Tous les éléments de C s écrivent de manière unique sous la forme +i où et sont des nombres réels ; - C est muni de l addition et de la multiplication avec les mêmes propriétés que dans l ensemble des réels ; Cet ensemble C est appelé l ensemble des nombres complexes. Vocabulaire : L écriture sous la forme = +i où et sont des nombres réels est appelée écriture algébrique du nombre complexe. Le nombre s appelle la partie réelle de et on note = ( ). Le nombre s appelle la partie imaginaire de et on note = ( ). Remarques : 1) Les réels sont des complexes particuliers (complexes dont la partie imaginaire est nulle) : R C 2) Les complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés imaginaires purs, on note R leur ensemble. L unicité de l écriture algébrique conduit au résultat suivant : Propriété 1 : Pour tous réels,, et 1) +i = +i = et = 2) +i =0 =0 et =0 On définit l addition et la multiplication des complexes de la façon suivante : Propriété 2 : Notons = +i et = +i deux nombres complexes. 1) + = +i + +i = + +i + 2) = +i +i = +i +i + = +i + On retrouve également dans C la propriété suivante : =0 =0 ou =0 Propriété 3 : Le nombre complexe = +i avec ; 0;0 admet pour inverse le nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par : 1 = i ²+ ² = ²+ ² +i ²+ ² 1

2 2) Complexe conjugué Définition 2 : On appelle conjugué du nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par = +i, le nombre complexe noté dont l écriture algébrique est donnée par = i. Exemples : 5+3i =5 3i ; 2i= 2i ou encore 3= 3 Propriété 4 : Soient et deux nombres complexes et N. = = + = + Si de plus et sont non nuls : = = 1 =1 = Conséquence pratique pour étudier la nature d un nombre : 1) est un nombre réel = 2) est un imaginaire pur = + =0 =( + )( +i )=( +i )( i )= ² (i ) = + ² Le produit d un complexe par son conjugué est donc un réel positif. 3) Module d un nombre complexe Définition 3 : On appelle module du nombre complexe dont l écriture algébrique est donnée par = +i, le nombre réel positif noté égal à + ². Exemple : 3 2i = 3²+ = 13 Propriété 5 : Soient et deux nombres complexes et N. ²= = = = = + + (inégalité triangulaire) Si de plus est non nul : = 2

3 II - Équations du second degré dans C Théorème 1 : Soient, et trois réels avec 0. Notons = ² 4 le discriminant de l équation ²+ + =0. Trois cas se présentent : Si >0, l équation admet deux solutions réelles distinctes : = + et = Si =0, l équation admet une solution réelle double : = Si <0, l équation admet deux solutions complexes conjuguées : = +i et = i = Exemple : Résoudre dans C l équation ² +4=0 III - Représentation géométrique Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ( ;, ). On parle de plan complexe. 1) Affixe d un point Affixe d un vecteur Définition 4 : Soit = +i un nombre complexe avec et réels. Le point de coordonnées ; dans le repère ;, est appelé image du nombre complexe. Le nombre complexe est appelé affixe du point. À tout point du plan est associé un unique nombre complexe et réciproquement. Conséquences graphiques : Les points et d affixes respectives et sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Les points et d affixes respectives et sont symétriques par rapport à l origine du repère. Définition 5 : Soit = +i un nombre complexe avec et réels. Le vecteur de coordonnées ; dans le repère ;, (autrement dit : = + ) est appelé vecteur image du nombre complexe. Il en est de même pour tout représentant de. Le nombre complexe est appelé affixe du vecteur (et de tout représentant de ). 3

4 Propriété 6 : 1) Si un nombre complexe est l affixe du point alors il est aussi l affixe du vecteur. 2) L affixe du vecteur nul est 0. 3) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s ils ont la même affixe. 4) Soient et deux vecteurs d affixes respectives et. a) Le vecteur + a pour affixe +. b) Pour tout réel, le vecteur a pour affixe 5) Soient et deux points d affixes respectives et. a) Le vecteur a pour affixe. b) Le milieu du segment [ ] a pour affixe = ( + ) 2) Argument, module et forme trigonométrique Définition 6 : Soit = +i un nombre complexe non nul avec et réels. Soit l image de dans le plan complexe. On appelle argument de une mesure de l angle ;. On notera arg = = ; []. Remarques : 1) On a vu que le module du nombre complexe = +i est égal à = + ². Si est l image de dans le plan complexe, alors = 2) Les coordonnées = et =arg [] sont appelées coordonnées polaires de. Théorème - définition 1 : Soit = +i un nombre complexe non nul avec et réels. Un argument de est un angle exprimé en radian, noté arg tel que : cos = et sin = ²+ ² ²+ ² Le nombre complexe z s écrit alors sous la forme : = ²+ ² +i = cos +isin ²+ ² ²+ ² Cette dernière écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complexe. Exemple : Soit =1+i. Exprimer la forme trigonométrique de. = 3 cos 4 +isin 4 n est pas la forme trigonométrique de car 3 est négatif! 4

5 Propriété 7 : Pour tous nombres complexes et non nuls : = 1) = arg =arg + avec Z 2) arg = arg [] 3) arg =arg + [] 4) arg =arg +arg [] 5) Pour tout N, arg = arg [] 6 arg 1 = arg [] 7 arg =arg arg [] 3) Notation exponentielle Soit la fonction définie sur R (et à valeurs dans C) par : =cos + sin La fonction vérifie la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle : + = ainsi que 0 =1. On peut rajouter : = 1 = Pour tout entier naturel, = Notation : Pour tout réel, on note e =cos +isin Définition 7 : Soit un nombre complexe de module et d argument, alors l écriture = e est appelée notation exponentielle du nombre complexe. Exemples : 1=e ; i=e ; 1+i= 2e Propriété 8 : Pour tous réels et : 1) e =1 et arg e = [] e e =e 3 e =e = 1 e 4 e e =e 5) Formule de MOIVRE : Pour tout entier naturel, e =e Les formules d EULER : Pour tout réel : cos = e +e 2 et sin = e e 5

6 4) Applications des nombres complexes en géométrie Théorème 1 : Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ;,., et sont quatre points du plan distincts deux à deux d affixes respectives,, et. 1) =, =arg [] 3 = 4, =arg [] Exercice : Le plan est rapporté au repère orthonormé direct ;,. Soient, et quatre points du plan d affixes respectives,, et définies par : = 2i, = 3+i, = 3+i et = 3 i 1) Montrer que, et sont situés sur un même cercle de centre. 2) Montrer de deux façons que le triangle est équilatéral. 3) Déterminer l ensemble (E) des points d affixe tels que +2i = + 3 i. Le point appartient-il à (E)? 6

COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES

COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES A. Introduction des nombres complexes Au XVIème siècle, des algébristes italiens cherchent à résoudre des équations de degré telles que, par exemple, l'équation

Plus en détail

Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés

Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : donner la partie réelle et la partie

Plus en détail

Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications

Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 2 1.1 Rappels : affixe d un point........................................

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie //0 Corrigé. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats Soit f la fonction dérivable, définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f (x)=e x + x.. Étude d une fonction

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. avec p ZZ et q ZZ*.

NOMBRES COMPLEXES. avec p ZZ et q ZZ*. NOMBRES COMPLEXES I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine et et a pour racine et -. Par contre, aucun réel négatif n'a de racine (réelle).

Plus en détail

1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré 2... 1

1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré 2... 1 Table des Matières 1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré.......................... 1 1.1.1 Théorie générale.............................. 1 1.1. Exemples..................................

Plus en détail

Nombres complexes : Forme Trigonométrique

Nombres complexes : Forme Trigonométrique Nombres complexes : Forme Trigonométrique I) Module et argument d un nombre complexe 1) Définitions Soit le nombre complexe On note M le point d affixe dans le repère orthonormé ;, ) On appelle module

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Le sujet comporte 8 pages numérotées de à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 3 Un distributeur

Plus en détail

Chapitre 5 : Application - Forces Centrales

Chapitre 5 : Application - Forces Centrales Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 5: Application - Forces Centrales SMPC Chapitre 5 : Application - Forces Centrales I Force Centrale I.)- Définition Un point matériel est soumis à une force

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

LEÇON N 17 : Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications.

LEÇON N 17 : Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications. LEÇON N 17 : Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications. Pré-requis : Fonctions trigonométriques et applications, notions sur les lignes

Plus en détail

Collège Sainte-Croix. Programme de mathématiques niveau standard

Collège Sainte-Croix. Programme de mathématiques niveau standard Programme de mathématiques niveau standard Mathématiques niveau standard 1/5 Juin 2015 Première année Algèbre Notions de base : ensembles de nombres, opérations sur les ensembles, intervalles, fractions

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction 2 I.1 Le nombrei.............................................. 2 I.2 L ensemble des nombres complexes................................. 2 II Forme algébrique

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES

PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire : Formules d addition et de duplication des sinus et cosinus. Connaître et utiliser ces formules sur des

Plus en détail

Fiche 17 Nombres complexes

Fiche 17 Nombres complexes Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On

Plus en détail

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Arnaud de Saint Julien 26 décembre 2004 Table des matières 1 Présentation du problème 2 1.1 Définitions et objectifs..................................

Plus en détail

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés...........................

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 5 DU SECONDAIRE

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 5 DU SECONDAIRE Ecoles européennes Bureau du Secrétaire Général du Conseil Supérieur Unité de développement pédagogique Ref. : 011-01-D-7-fr- Orig. : EN PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 5 DU SECONDAIRE Cours à 4 périodes/semaine

Plus en détail

Exercices fondamentaux

Exercices fondamentaux Université de Nantes Département de Mathématiques DEUG MIAS - Module M2 Algèbre Année 2002/2003 Liste d exercices n 1 Exercices fondamentaux Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1. Montrer que l

Plus en détail

CH III Matrices. 1 / 8

CH III Matrices. 1 / 8 CH III Matrices. 1 / 8 Objectifs : Définition, dimension et opérations de matrices. Matrice transposée. Multiplication de deux matrices. Application à la résolution de système linéaire. I. La notion de

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f(x) = ln(x)

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f(x) = ln(x) FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f() = ln() I) DEFINITION. a) Définition 1 et notations : ( de la fonction logarithme ) La fonction logarithme népérien notée «ln», associe à tout nombre réel positif strict

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

Géométrie analytique et équation de droite

Géométrie analytique et équation de droite Géométrie analtique et équation de droite ) Géométrie analtique.. Généralités. Définitions : Dire que ( ; ) sont les coordonnées du point M dans le repère (O ; i ; j ) signifie que : OM = i + j et on note

Plus en détail

Révisions Maths Terminale S - Cours

Révisions Maths Terminale S - Cours Révisions Maths Terminale S - Cours M. CHATEAU David 24/09/2009 Résumé Les résultats demandés ici sont à connaître parfaitement. Le nombre de réponses attendues est parfois indiqué entre parenthèses. Les

Plus en détail

Application du produit scalaire: Géométrie analytique

Application du produit scalaire: Géométrie analytique Application du produit scalaire: Géométrie analytique I) Vecteur normal et équation de droite 1) Vecteur normal à une droite Dire que est un vecteur non nul normal à une droite (d) de vecteur directeur

Plus en détail

I. Se repérer sur le cercle trigonométrique (2 nde )

I. Se repérer sur le cercle trigonométrique (2 nde ) ère S FCHE n Trigonométrie. Se repérer sur le cercle trigonométrique ( nde ) L idée + d n enroule la droite d autour d un cercle de centre et de rayon comme ci-dessus. A chaque point d abscisse sur la

Plus en détail

Exercice 1 1/ Calculer en détaillant et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A = 2 5 2 15 4

Exercice 1 1/ Calculer en détaillant et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A = 2 5 2 15 4 Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points). L usage de la calculatrice est autorisé conformément à la circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999. PREMIÈRE PRTIE : TIVITÉS

Plus en détail

1 Notion de matrice. 2 Opérations sur les matrices. 1.1 Définitions et notations

1 Notion de matrice. 2 Opérations sur les matrices. 1.1 Définitions et notations ECS 3 2013 2014 Semaine de colle n o 16 du 13 au 17 janvier Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément Les démonstrations/exemples vus en classe peuvent être proposées comme

Plus en détail

Chapitre 2 : Etude de fonctions

Chapitre 2 : Etude de fonctions Chapitre : Etude de fonctions I. Fonctions carrées, racine carrée et inverse Propriété : La fonction carrée est définie sur. Elle est décroissante sur ; 0 et croissante sur 0; Démonstration : Sur ; 0 :

Plus en détail

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : vecteur normal à un plan Exercice 2

Plus en détail

Angles orientés Cours maths 1ère S

Angles orientés Cours maths 1ère S Angles orientés Cours maths 1ère S Cercle trigonométrique Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,, ). Définition Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Espaces euclidiens. Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n, le produit scalaire sera noté comme

Espaces euclidiens. Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n, le produit scalaire sera noté comme Espaces euclidiens 1 Bases orthonormées Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n, le produit scalaire sera noté comme d habitude : < x, y >, ou (x, y) ou < x y > On note < x, x >= x 2, x est

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques Généralités sur les fonctions numériques. Rappels sur les fonctions.. Généralités Définition : On appelle fonction f un procédé qui à tout nombre réel tente d'associer un unique nombre réel f(), appelé

Plus en détail

Matrices symétriques réelles.

Matrices symétriques réelles. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Matrices symétriques réelles. 4. Calcul matriciel 4.1. Application bilinéaire symétrique associée à une matrice symétrique. On considère une matrice symétrique

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les

Plus en détail

BACCALAUREAT BLANC. Session 2012 MATHEMATIQUES. -Série S- ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE. Durée de l épreuve : 4 heures

BACCALAUREAT BLANC. Session 2012 MATHEMATIQUES. -Série S- ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE. Durée de l épreuve : 4 heures Cours Privé Catholique Maintenon BACCALAUREAT BLANC Session 2012 MATHEMATIQUES -Série S- ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Durée de l épreuve : 4 heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,

Plus en détail

a. (0,5) Probabilité que le candidat n ait pas un dossier de bonne qualité et soit admis à la formation :. b. (0,5)

a. (0,5) Probabilité que le candidat n ait pas un dossier de bonne qualité et soit admis à la formation :. b. (0,5) Exercice 1 : (5 points) 1 On choisit un candidat au hasard et on note : l évènement : «le candidat a un dossier jugé de bonne qualité»; l évènement : «le candidat est admis à suivre la formation» a (0,5)

Plus en détail

Les équations du premier degré

Les équations du premier degré TABLE DES MATIÈRES 1 Les équations du premier degré Paul Milan LMA Seconde le 10 septembre 2010 Table des matières 1 Définition 1 2 Résolution d une équation du premier degré 2 2.1 Règles de base................................

Plus en détail

RSA - bases mathématiques

RSA - bases mathématiques RSA - bases mathématiques Jang Schiltz Centre Universitaire de Luxembourg Séminaire de Mathématiques 162A, avenue de la Faïencerie L-1511 Luxembourg Luxembourg E-mail:schiltzj@cu.lu 1 Divisibilité Définition

Plus en détail

Annexe D: Les nombres complexes

Annexe D: Les nombres complexes Annexe D: Les nombres complexes L'équation t + 1 = 0 n'a pas de solution dans les nombres réels. Pourtant, vous verrez lors de vos études qu'il est très pratique de pouvoir résoudre des équations de ce

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Voir des propriétés sur la calculette et de les démontrer par des calculs : ensemble de définition solutions d'équations et d'inéquations croissance et décroissance symétries

Plus en détail

Chapitre 4 : Matrices

Chapitre 4 : Matrices Lycée Paul Sabatier Classe de Première ES, Spécialité Chapitre 4 : C. Aupérin 008-009 Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 4 avril 009 Table des matières

Plus en détail

Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. Lorsque le rapport

Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. Lorsque le rapport Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. f() f(a) Lorsque le rapport admet une

Plus en détail

Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG

Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG Exercice I (6 points) Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question est correcte. Ecris le numéro de chaque question, et donner

Plus en détail

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs I. Notion de vecteurs a) Vecteurs et translations Définition : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation grapique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

Cours BTS Calcul vectoriel

Cours BTS Calcul vectoriel Cours BTS Calcul vectoriel S. B. Lycée des EK Interprétation Propriété Coordonnées d un vecteur Dans le plan muni d un repère (O; i, j ), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées de l unique

Plus en détail

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace 7.1 Calcul vectoriel dans l espace On se place dans un repère orthonormal (O, i, j, k) de l espace E (à 3 dimensions).

Plus en détail

Chapitre 6 Géométrie vectorielle

Chapitre 6 Géométrie vectorielle 6. Translation et vecteurs 6.. Définition DÉFINITIN n considère et deux points distincts du plan. hapitre 6 Géométrie vectorielle. n appelle translation qui transforme en la transformation qui à tout point

Plus en détail

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS 1 Produit scalaire et norme 1.1 Produit scalaire Définition 1.1 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive

Plus en détail

Matrices. Table des matières. Année scolaire 2006/2007

Matrices. Table des matières. Année scolaire 2006/2007 Matrices Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Notion de matrice 1.1 Dénition................................................. 1. Égalité de deux matrices.........................................

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Rappels et compléments 3 1.1 Fonctions affines............................................. 3 1.2 Fonctions

Plus en détail

Géométrie analytique

Géométrie analytique Géométrie analytique Cédric Milliet Version préliminaire Cours de première année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 Ces notes doivent beaucoup aux notes de cours de Marie-Christine Pérouème.

Plus en détail

Généralités sur les matrices

Généralités sur les matrices Généralités sur les matrices Sommaire 1. Matrices particulières... 1 2. Opérations sur les matrices... 2 Multiplication par un scalaire :... 2 Addition de deux matrices de même dimension () et... 2 Multiplication

Plus en détail

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire Algèbre linéaire rédigé par Anne Moreau 1 2 Table des matières 1 Espaces Vectoriels 5 11 Structure d espace vectoriel 5 111 Espaces vectoriels

Plus en détail

COURS SUR LES TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

COURS SUR LES TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES COURS SUR LES TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES Translations Soit un vecteur du plan La translation du vecteur, notée, est l application qui à tout point M du plan ou de l espace associe le point M tel que Remarques

Plus en détail

GEOMETRIE DANS L ESPACE

GEOMETRIE DANS L ESPACE GEOMETRIE DNS L ESPCE I. RPPELS SUR LE PRODUIT SCLIRE DNS LE PLN a) Différentes expressions du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs du plan. Si l un des vecteurs est nul alors le produit scalaire

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page Une librairie

Plus en détail

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2007/2008

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2007/2008 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 007/008 Table des matières 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition................................................. 1. Modes de génération d une

Plus en détail

Thème N 1 : NOMBRES RELATIFS ET DECIMAUX

Thème N 1 : NOMBRES RELATIFS ET DECIMAUX Thème N : NOMBRES RELATIFS ET DECIMAUX SENS ET CALCULS () ACITIVITES GRAPHIQUES () A la fin du thème, tu dois savoir : Introduire la notion de nombre relatif. Ranger des nombres relatifs courants en écriture

Plus en détail

Vecteurs et droites du plan

Vecteurs et droites du plan Vecteurs et droites du plan I Rappel sur les vecteurs dans le plan 1. Définitions Un bipoint est un ensemble de 2 points. Le "bipoint " est noté (, ). Deu bipoints (, ) et (C, D) sont équipollents si les

Plus en détail

Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points)

Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points) Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points) Simulation : On a simulé la situation sur un tableur. Le graphique ci-dessous indique l évolution de la fréquence de l évènement M «Avoir un garçon et une fille»

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin 1, Olivier Hervé 2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini

Plus en détail

analytique plane 2. 2013

analytique plane 2. 2013 analytique plane 2. 2013 Maths-A TABLE DES MATIÈRES Rappels sur les vecteurs... 30 Pente d une droite... 31 Equation d une droite, première forme... 32 Equation d une droite, deuxième forme... 33 Equation

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 2011 Génie électronique, électrotechnique, optique

Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 2011 Génie électronique, électrotechnique, optique Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 011 Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points 1. Équation z z +4=0 : = ( ) 4 4=86= 8= ( i ) < 0. L équation a donc deux

Plus en détail

ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK

ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK Professeur Tijani GHARBI tijani.gharbi@univ-fcomte.fr 1 Rappels 1.1 Notion de champs Nous revenons ici sur la notion de champ. Un champ associé à une grandeur physique représente

Plus en détail

Factorisation LU. par Eric Brunelle

Factorisation LU. par Eric Brunelle Factorisation LU par Eric Brunelle 1 Introduction La factorisation LU d une matrice A n n est une astuce très importante dans le domaine de l analyse numérique. Sa base est très simple, mais ses applications

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 07 mai 013 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES spécialité Coefficient : 9 Le

Plus en détail

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Dérivabilité Etudier la dérivabilité de la fonction : 1 en 1. On considère la fonction définie sur 1; par 1 1 Etudier la dérivabilité de en 1.

Plus en détail

Les graphes 4 ème : I Sciences de l'informatiques

Les graphes 4 ème : I Sciences de l'informatiques Les graphes 4 ème : I Sciences de l'informatiques I. Graphe Non Orienté Simple Soit le graphe G ci-dessous Un graphe non orienté simple est la donnée d un ensemble fini, non vide, de points appelés sommets

Plus en détail

Chapitre II Notion de structure de groupe

Chapitre II Notion de structure de groupe Chapitre II Notion de structure de groupe I Définitions 1. Définition générale Définition : Un groupe est un ensemble, ( ), telle que : muni d une loi de composition interne notée - la loi soit associative

Plus en détail

1 Géométrie analytique

1 Géométrie analytique MATH-F-108 - MATHEMATIQUES (E. Lami Dozo et S. Fiorini) Tutorat Année académique 010 011 1 Géométrie analytique 1. Trouver l équation cartésienne du plan qui contient le point p et a le vecteur n comme

Plus en détail

Partie numérique. Réponses proposées N Proposition n 1 Proposition n 2 Proposition n 3 1

Partie numérique. Réponses proposées N Proposition n 1 Proposition n 2 Proposition n 3 1 Durée : 2 heures L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation et de la rédaction entrent pour 4 points dans l appréciation des copies. Exercice n 1 : Partie numérique

Plus en détail

Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième!

Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième! Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième! I. Multiplication et division de nombres relatifs Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif.

Plus en détail

2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS . GENERALITES SUR LES FONCTIONS. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles.. Fonction et ensemble de déinition On appelle onction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout

Plus en détail

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::.

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Filière : Sciences de

Plus en détail

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU EXERCICES CORRIGES

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU EXERCICES CORRIGES On considère la fonction f des variables réelles x et y définie par : 1 f ( xy, ) = x xy + 5xy La surface S est la

Plus en détail

Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés

Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : simplifications d écritures, ensembles de nombres (entiers naturels, entiers relatifs, nombres décimaux,

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016)

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016) APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Résumé de cours d algèbre linéaire L de B. Calmès, Université d Artois (version du er février 206). Applications linéaires Soient E et F des espaces vectoriels sur K...

Plus en détail

Transformations du plan ( isométries ) A et A sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA ].

Transformations du plan ( isométries ) A et A sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA ]. I. La symétrie axiale : Transformations du plan ( isométries ) A et A sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA ]. Par conséquent, d est perpendiculaire à

Plus en détail

Devoir en temps libre

Devoir en temps libre Commentaires et erreurs fréquentes Deux circuits RLC Devoir en temps libre Si vous échelonnez P, la matrice obtenue n est plus P! Pour utiliser la formule de changement de base, il faut partir de la matrice

Plus en détail

TP n 4 Programme MATLAB pour l étude des oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

TP n 4 Programme MATLAB pour l étude des oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE FACULTÉ DE PHYSIQUE - ANNÉE UNIVERSITAIRE 2008-2009. LICENCE DE PHYSIQUE - TROISIÈME ANNÉE - CINQUIÈME SEMESTRE. MODULE : PROGRAMMATION MATLAB.

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 008-00 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombrei.............................................. I. L ensemble des nombres complexes.................................

Plus en détail

Pour les TS2 version boulets. Giorgio Chuck VISCA 7 février 2016 PRIMITIVES

Pour les TS2 version boulets. Giorgio Chuck VISCA 7 février 2016 PRIMITIVES Pour les TS2 version boulets Giorgio Chuck VISCA 7 février 206 PRIMITIVES Table des matières I Le cours 3 I Définition et propriétés 3 I. définition................................................... 3

Plus en détail

Matrices. Une matrice (n,p) est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : (a 11...

Matrices. Une matrice (n,p) est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : (a 11... I Généralités Matrices Une matrice n,p est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : A= a 11 a 1p a n1 a np où le terme a ij R On peut aussi écrire la matrice

Plus en détail

Chapitre 3: Applications linéaires

Chapitre 3: Applications linéaires APPLICATIONS LINEAIRES 57 Chapitre 3: Applications linéaires 3.1 Introduction et définitions Introduction : Une application linéaire est une application entre espaces vectoriels qui préserve l'addition

Plus en détail

Chapitre III : Utilisation des nombres complexes

Chapitre III : Utilisation des nombres complexes Chapitre III : Utilisation des nombres complees de : Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable donner l intérêt de la notation complee utiliser la notation complee pour résoudre une

Plus en détail

, on considère les points A( 2; 3) et B(1; 2). y= 5 3 x 1 3., on considère les points A( 3; 1) et B( 3; 4). ( x+3. x= 3

, on considère les points A( 2; 3) et B(1; 2). y= 5 3 x 1 3., on considère les points A( 3; 1) et B( 3; 4). ( x+3. x= 3 I INTRODUCTION Dans le plan muni d un repère O; i, j, on cherche à établir une relation entre les coordonnées (x;) des points du plan appartenant à une droite D. EXEMPLE 1 Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 19 juin 2013

Baccalauréat ES Antilles Guyane 19 juin 2013 Exercice Baccalauréat ES Antilles Guyane 9 juin Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Plus en détail

Chapitre 2 : Cinématique du point matériel

Chapitre 2 : Cinématique du point matériel Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 2 : Cinématique SMPC1 Chapitre 2 : Cinématique du point matériel I - Définitions Générales I.1)- Cinématique La cinématique est l étude du mouvement en fonction

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

a 22... a 2j... a 2p... a a n2... a nj A=(a ij

a 22... a 2j... a 2p... a a n2... a nj A=(a ij I Matrices : exemple et définition Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le premier semestre de l'année 2012 : Premier semestre 2012 VTT Adultes

Plus en détail

5. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute!

5. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute! FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE I) A quoi sert la fonction INVERSE? a) Eemples :. On partage équitablement million d euros entre personnes! Combien chacun aura t-il en fonction de? f() =. 2. Il

Plus en détail

Programmation du calcul de la solution numérique de l équation de WINTER.

Programmation du calcul de la solution numérique de l équation de WINTER. Programmation du calcul de la solution numérique de l équation de WINTER. Bernard GAGEY [ bernard.gagey@gmail.com ] Annexe 5 Ce programme étant quasi linéaire ne nécessite pas de présentation sous forme

Plus en détail

A.P soutien maths. Exercice 2 : Ci-contre, voici la représentation graphique de g dans un repère

A.P soutien maths. Exercice 2 : Ci-contre, voici la représentation graphique de g dans un repère A.P soutien maths Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = 4x 2 + 16 x + 29 a) Quelle est la nature de f? b) Déterminer les variations de f c) Tracer la représentation graphique de f dans

Plus en détail