PT : DS DE PHYSIQUE-CHIMIE N 1

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1 1 PT : DS DE PHYSIQUE-CHIMIE N 1 DUREE : 4 HEURES Vous êtes priés de faire attention à la présentation et à la rédaction. Tout résultat insuffisamment justifié ne sera pas pris en compte. Faire chaque problème sur une copie différente Calculatrice interdite PHYSIQUE : ÉTUDE D'UN HAUT-PARLEUR Le signal électrique est transformé en signal sonore par le biais d'un haut-parleur. La membrane et la bobine du haut-parleur sont solidaires l une de l autre. L ensemble est appelé équipage mobile et sa masse est notée m. La bobine circulaire est réalisée par l'enroulement d'un fil de longueur l = 2πNa. On pourra la considérer comme l'union de N spires identiques de rayon a L équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k d axe Oz. La bobine évolue dans l entrefer d un aimant imposant un champ magnétique stationnaire radial (voir figure 1). FIG. 1 - Modèle d'un haut-parleur Du point de vue mécanique, on note respectivement z et v = v u z la position et la vitesse de l'équipage mobile qui se translate sans frottements solides ; on note F r la force de rappel élastique exercée par le ressort ; on note F f = fv, la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses déplacements dans l'air.

2 2 Du point de vue électrique, on notera R la résistance du bobinage et L son inductance ; un courant électrique d'intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l'effet de la tension v s (t) dont il n'est pas nécessaire de connaître l expression. APPROCHE THÉORIQUE Principe de fonctionnement du haut-parleur 1.1) Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane de celui-ci. Expliquer qualitativement l'origine de ce mouvement. 1.2) À l'aide d'un schéma clair et détaillé d'un tronçon de spire, représenter et exprimer la force élémentaire s'exerçant sur l'élément de courant i. dl. Montrer que sa résultante sur l ensemble de la bobine vaut : F L = i2πnabu z 1.3) Le mouvement de l équipage mobile dans l entrefer est responsable de l'apparition d'une grandeur électrique. Justifier qualitativement son existence et préciser sa nature (tension, courant, impédance ). Quelle relation lie la puissance PL des forces de Laplace à la puissance Pe cédée par la fem d induction au circuit? En déduire l expression de la fem induite e(t). Faire un schéma électrique équivalent à la bobine faisant apparaître l intensité du courant i. Mise en équations différentielles 1.4) Établir l'équation différentielle électrique que vérifie l'intensité i(t) du courant circulant dans la bobine alimentée par la tension v s (t). 1.5) La position d équilibre de l équipage mobile quand l intensité du courant i = 0 est choisie comme origine, i.e. elle correspond à z = 0. Montrer que l'équation différentielle du mouvement de l'équipage mobile s écrit : mz = kz fz 2πNaBi Impédance du haut-parleur 1.6) On s'intéresse à la réponse du système soumis à une excitation électrique sinusoïdale de la forme v s (t) = v s0 cos(ωt) Ecrire les deux équations précédentes sous forme complexe. Par quel rapport est défini l impédance du haut-parleur? En déduire son expression sous la forme Z HP = R + jlω + Z em, dans laquelle Z em dépend de B, l, f, m, k et ω. 1.7) Ecrire l impédance Z em sous la forme : R 0 Z em = 1 + jq e (ω/ω 0 ω 0 /ω) Donner les expressions de R0, Qe et 0 en fonction de m, f, k, B et l.

3 3 1.8) En étudiant les comportements asymptotiques de Z em ( << 0 et >> 0), donner l allure de Z em en fonction de. Pour quelle pulsation Z em est-il maximum? Quelle est la valeur de Z em à cette pulsation? La figure ci-dessous donne les graphes du module et de l argument de Z HP d un haut-parleur réel pour des fréquences f allant de 1 Hz à 1 khz. L échelle des abscisses est logarithmique. L argument est en degrés. On cherche à savoir dans quelle mesure le modèle précédent est adapté. 1.9.a) Estimer graphiquement la valeur de R. L inductance propre de la bobine est inférieure à 0,5 mh. Justifier numériquement que, pour les fréquences inférieures à 300 Hz, on peut écrire Z HP R + Z em. On fera cette approximation dans la suite du problème. 1.9.b) L allure des courbes est-elle compatible avec la forme de l expression de Z HP? 1.9.c) Déterminer graphiquement f0 = 0 /2 et R0 en expliquant la méthode utilisée.

4 4 Bilan de puissances 1.10) Afin d'évaluer le rendement de ce convertisseur électromécanique, on s'intéresse à la nature et à la répartition des différentes grandeurs énergétiques en jeu a) Établir, à l'aide des équations différentielles électrique et mécanique, une nouvelle équation différentielle traduisant le bilan électromécanique de puissance du système. Préciser clairement le sens physique de chacun des 6 termes qu'elle comporte b) Justifier soigneusement que plusieurs termes de ce bilan de puissance sont de valeur moyenne temporelle nulle. En déduire l'expression de la puissance moyenne délivrée en entrée du haut-parleur c) Montrer que le rendement du haut-parleur peut se mettre sous la forme : P S η = P S + P J où P J représente la puissance moyenne dissipée par effet Joule et P S la puissance moyenne dédiée à l'émission sonore, que l'on explicitera en fonction des données.

5 5 EXERCICE : dipôle y x g B i z L Une barre de masse m peut coulisser sans frottement sur deux rails verticaux avec lesquels elle reste toujours en contact électrique. L ensemble baigne dans un champ magnétique stationnaire et uniforme B = B 0 u y. L accélération gravitationnelle est notée g et son sens et sa direction sont représentés sur le schéma ci-dessus. Les rails sont parfaitement conducteurs, sont distants d une longueur L et son branchés à un dipôle. 1. On considère dans un premier temps que le dipôle est un générateur de courant continu tel que i(t) = I 0. Déterminer l expression de l intensité du courant I 0 pour que la barre soit à l équilibre. 2. On considère maintenant que le dipôle est une résistance R et qu à l instant t = 0 la barre est immobile. On appelle z(t) la position de la barre à l instant t. a. Par analyse qualitative rigoureuse, prévoir le sens de la force de Laplace. b. Exprimer la force électromotrice e(t) à un instant quelconque en fonction de la vitesse de la barre v(t) et de constantes de l énoncé. On pourra supposer qu initialement z(0) = 0. c. Faire un schéma électrique équivalent. On prendra bien soin de représenter le sens du courant. d. Etablir l équation mécanique régissant le mouvement de la barre. e. En déduire l expression de la vitesse v(t) de la barre.

6 6 CHIMIE : A PROPOS DU CHROME Instructions générales Notation : A en solution aqueuse est noté A ou A(aq), A en phase solide est noté A(s) et A en phase gazeuse est noté A(g). Données : Constantes : Constante des gaz parfaits R = 8,314 J.K 1.mol 1. (RTln10)/F = 0,06 à 298 K. Données en solution aqueuse à 25 C. Oxydo-réduction : Couple Potentiel standard à 25 C en V Cr2O7 2 aq)/cr 3+ (aq) 1,33 Fe 3+ (aq)/fe 2+ (aq) 0,77 CH3COOH/CH3CH2OH 0,037 Constantes de réaction : Produit de solubilité à 25 C : Cr(OH)3(s) : Ks = 10 Constante d équilibre thermodynamique de la réaction : Cr 3+ (aq) + 4OH (aq) = Cr(OH)4 aq) 4 = 10 30,6 Constante d acidité : Ka(CH3COOH(aq)/CH3COO aq)) = 10 4,5 Produit ionique de l eau : Ke = 10 Conductivités ioniques équivalentes molaires standard : (H + ) = 350 S.cm 2.mol ; (OH ) = 199 S.cm 2.mol 1 (H + ) et (OH ) sont toutes les deux très supérieures à la conductivité molaire de tous les autres ions, ces dernières étant supposées identiques. À propos de l éthanol liquide CH3CH2OH : densité à 20 C : 0,79 masse molaire de l éthanol : 46 g.mol 1. Partie A : Élaboration du métal Chrome Dans cette partie seront abordés des thèmes d architecture de la matière. Les différentes questions sont indépendantes. 1. Le minerai Le principal minerai de chrome est la chromite FexCryOz.

7 7 Le chrome s y trouve sous la forme d ions Cr 3+ et l oxygène sous la forme d ions O 2. Les ions du fer sont, quant à eux, sous la forme d ions Fe q+. La chromite cristallise dans une structure que l on peut décrire de la manière suivante : - les ions de l oxygène forment un réseau cubique à faces centrées - ceux du chrome occupent les centres de 4 des arêtes et le centre du cube - un ion du fer se trouve au centre de l un des petits cubes d arête a/2 contenus dans la maille cubique (a étant le paramètre de la maille). A-1-1 a) Représenter la maille conventionnelle du réseau cubique à faces centrées formé par les ions de l oxygène. b) Dénombrer les différents types d ions contenus dans une maille. c) Quelle est la formule de la chromite? A-1-2 Quelle charge porte l ion fer dans le cristal? 2- Réduction de l oxyde de chrome par le dihydrogène A-2 L hydrogène, l oxygène et le chrome se trouvent à l état naturel majoritairement sous les formes 1 H, 52 8 O et 24 Cr. a) Quelle est la composition du noyau de l atome de chrome? b) Écrire les configurations électroniques de H, O et Cr. c) Combien l oxygène possède-t-il : - d électrons de valence? - d électrons célibataires? d) D après sa configuration électronique, quelle est sa place dans la classification périodique? e) Proposer une structure de Lewis pour les molécules de dihydrogène, de dioxygène et d eau. Partie B : Les ions du chrome en solution aqueuse Il s agit ici de déterminer le titre alcoolique d un vin. Lors de cette étude différents thèmes de la chimie des solutions seront abordés : acidobasicité, précipitation, oxydoréduction, conductimétrie. Les différentes espèces du chrome prises en compte seront: Cr 3+, Cr(OH)3(s), Cr(OH)4, CrO4 2, Cr2O7 2. Toutes les réactions ont lieu à 25 C. 1- L ion dichromate: un oxydant puissant B-1-1 Cr(OH)3(s) est un hydroxyde amphotère. Cela signifie qu en présence d ions OH, Cr 3+ précipite puis se redissout en formant l ion tétrahydroxochromate (III) Cr(OH)4 lorsque le ph de la solution est suffisant. À l aide des données,

8 8 a) Déterminer le ph de précipitation de l hydroxyde de chrome pour une solution d ions Cr 3+ à une concentration 0,1 mol.l 1. b) Écrire la réaction de dissolution de l hydroxyde de chrome en milieu basique. Calculer sa constante. c) Déterminer le ph de redissolution de l hydroxyde de chrome. d) Préciser sur un diagramme les domaines d existence et de prédominance des différentes espèces en fonction du ph. B-1-2 On étudie maintenant l action du dichromate sur l éthanol CH3CH2OH à ph < 4. À l aide des données, a) Préciser sur un diagramme les domaines de prédominance de CH3COOH et CH3COO en fonction du ph. b) Écrire les deux demi-équations redox relatives aux couples Cr2O7 2 /Cr 3+ et CH3COOH/CH3CH2OH. En déduire l équation bilan de la réaction d oxydoréduction de l éthanol par le dichromate. c) Calculer sa constante K1 et conclure. d) Pourquoi se place-t-on à ph < 4? B-1-3 a) Écrire l équation chimique de la réaction entre les ions dichromate et les ions ferreux Fe 2+. b) Calculer la constante d équilibre K2 de cette réaction et commenter. 2- Dosage de l éthanol dans le vin Le vin comporte un grand nombre de constituants, dont des alcools. Le principal alcool contenu dans le vin est l éthanol. On dispose des solutions suivantes : Une solution de dichromate de potassium K2Cr2O7 de concentration c1 = 0,117 mol.l 1. Une solution d ions Fe 2+ de concentration c2 = 0,684 mol.l 1. On réalise les opérations suivantes : ( i ) On prélève 100 ml de vin. On extrait de cette prise d essai tout l alcool qu elle contient. On obtient ainsi une solution So de 100 ml également, contenant la totalité de l alcool. On dilue 10 fois cette solution. La solution obtenue est appelée solvant test, noté ST. ( ii ) On mélange : 20 ml de la solution de dichromate ; 10 ml de la solution ST de concentration ct en alcool ; 20 ml d acide sulfurique à 36 mol.l 1. ( iii ) On laisse en contact 30 min. On obtient la solution S1. ( iv ) On dose la solution S1 par la solution d ions Fe 2+. L équivalence est obtenue pour un volume Véq = 10,2 ml. B-2-1 Lors de la dilution, quel est le matériel utilisé?

9 9 B-2-2 Expliquer le principe du dosage de l éthanol ainsi réalisé en précisant les réactions mises en jeu. B-2-3 a) Calculer, à l aide des données des dosages précédents, la quantité en nombre de mole d ions dichromate restant dans la solution S1. b) En déduire la quantité d alcool en nombre de moles initialement introduit dans la solution S1. En déduire la concentration ct de la solution ST en alcool, puis celle de la solution So. Quelle est la concentration en alcool du vin? c) On définit le degré alcoolique comme le nombre de millilitres d alcool liquide contenus dans 100 ml de vin, les volumes étant mesurés à 20 C. Donner le degré alcoolique du vin dosé. 3- Dosage conductimétrique de la solution d ions dichromate Afin de vérifier sa concentration, la solution de dichromate de potassium qui a été utilisée dans le dosage de l éthanol du vin est dosée par de la soude. Le dosage est suivi par conductimétrie. L ion dichromate réagit avec les ions hydroxydes selon la réaction quantitative suivante : Cr2O OH 2 CrO4 2 + H2O K = 10 13,6 On dose V1 = 100 ml de la solution de dichromate de potassium (2K + + Cr2O7 2 ) de concentration c1, à déterminer, par de la soude (Na + + OH ) de concentration c = 1,00 mol.l 1. Le dosage est suivi par conductimétrie. On note v le volume de soude ajouté et G la conductance de la solution. L allure de la courbe obtenue est présentée ci-dessous. B-3-1 Expliquer succinctement le principe de la conductimétrie. Quel est le matériel utilisé? B-3-2 Expliquer qualitativement l allure de la courbe. B-3-3 Quelle relation a-t-on à l équivalence entre c, c1, V1 et le volume V de soude versé? Déterminer c1. Fin de l énoncé

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