Expression matricielle des drapeaux complets d extensions riemanniennes sur une variété compacte connexe

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1 Expresson matrcelle des drapeaux complets d extensons remannennes sur une varété compacte connexe Cyrlle Dad, Adolphe Codja To cte ths verson: Cyrlle Dad, Adolphe Codja Expresson matrcelle des drapeaux complets d extensons remannennes sur une varété compacte connexe 21 pages 2014 HAL Id: hal Submtted on 3 Sep 2016 HAL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers L archve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfues de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés

2 Expresson matrcelle des drapeaux complets d extensons remannennes sur une varété compacte connexe Cyrlle Dad 1 et Adolphe Codja 2 Laboratore de Mathématues Fondamentales, Unversté Félx Houphouët-Bogny, ENS 08 BP 10 Abdjan Côte d Ivore emal 1 :cyrledad@yahoofr, emal 2 :ad_wolf2000@yahoofr Abstract September 3, 2016 In ths paper we express wth a matrx a complete flag of remannan extenson on a remannan compact manfold whose metrc s bundlelke for any folaton of ths flag Keywords: transversely dagonal remannan folaton, extenson of a folaton, complete flag of remannan extenson 1 Introducton Nous sgnalons avant tout propos ue l dée de ce paper nous est venue de la preuve du théorème de structure des drapeaux remannans complets de H Dallo se trouvant dans [7] Sot M 1, F 1, M 2, F 2,, M, F feulletages remannens transversalement orentable de codmenson un chacun, M = M 1 M 2 M, F k = F 1 F 2 F k M k+1 M 2 M, U k, f k, T k, γ k j I un cocycle k feulleté défnsant M k, F k, T k = T 1 T 2 T k, p s la projecton de M sur M s, p s la projecton de T sur T s, Ũ k = U 1 U 2 U k M k+1 M 2 M, f k = f 1 p 1, f 2 p 2,, f k p k et γ k = γ 1 j j p 1, γ 2 j p 2,, γ k j p k k On vérfe asement ue Ũ, f k, T k, γ k est un cocycle feulleté defnssant j le feulletage remannen F k de codmenson k On a F F 1 F 1 On dra ue la sute D F = F, F 1,, F 1 est un drapeau complet d extenson remannenne du feulletage remannen F sur M 1

3 De façon précse, étant donné un feulletage F de codmenson sur une varété M, un drapeau d extenson du feulletage F est une sute D k = F F 1, F 2,, F k de feulletages sur la varété M telle ue F F 1 F 2 F k et chaue feulletage F s est de codmenson s Pour k = 1, le drapeau d extenson D k sera dt complet et sera noté D F F S chaue feulletage F s est remannen, le drapeau d extenson D k sera F appelé drapeau d extenson remannenne du feulletage F Cec dt, on désgne par X k le champ untare de T k orentant T k et X k h k le relèvement de X k sur le fbré tangent T T de ] T On vérfe asement [13] ue [X k h k, X s hs = 0 pour k s On obtent ans un système de coordonnées x,, x 1 sur T tel ue x k = X k h k Comme chaue γ k est une sométre locale de T k alors relatvement au système j de coordonnées x,, x 1 la matrce jacobenne k J γ de γ k vérfe: j j ε 1 j ε 2 j 0 0 J γ k = 0 0 ε 3 j 0 : j : : 0 : : : : ε k j où ε r j = ±1 De ce u précède le feulletage F k sera dt remannen transversalement dagonal De façon précse un feulletage F sur une varété N est dt transversalement dagonal s et seulement s l est défn par un cocycle feulleté U, f, T, γ j I tel ue les ouverts U soent F-dstngués et sur chaue ouvert f U l exste un système y,y 2,,y1 de coordonnés F-transverses locales tel ue relatvement aux systèmes y,y 2,,y 1 de coordonnés F-transverses locales sur I les ouverts f U, la matrce jacobenne J γj de γ j sot dagonale Dans le cas où l exste une métrue g T sur la varété transverse T telle ue les γ j soent des sométres locales pour cette métrue, on dt ue F est remannen transversalement dagonal Le premer but de ce paper et de montrer ue l exstense d un feulletage transversalement dagonal F sur une varété entrane l exstense d un drapeau complet d extenson de F Le second but de ce paper est de donner un exemple non trval de feulletage remannen transversalement dagonal On montre en effet ue s F est un feulletage remannen de codmenson admettant un drapeau complet d extenson remannenne D F = F 1, F 2,, F 1 sur une varété compacte connexe N et s l exste une métrue F s -uasfbrée commune g à tous les feulletages F s alors chaue feulletages F s est transversalement dagonal Dans tout ce u sut, les varétés consdérées sont supposées connexes et la dfférentablté C 2

4 2 Rappels Dans ce paragraphe, nous réformulons dans le sens u nous est utle certanes défntons et certans théorèmes u se trouvent dans [2],[3], [4], [5], [7], [8] [9], [13, 13] Défnton 21 Une extenson d un feulletage M, F de codmenson est un feulletage M, F de codmenson tel ue 0 < < et les feulles de M, F sont des réunons de feulles de M, F on notera F F On montre ue s M, F est une extenson smple d un feulletage smple M, F et s M, F et M, F sont défns respectvement par les submersons π : M T et π : M T, alors l exste une submerson θ : T T telle ue π = θ π On dra ue la submerson θ est une lason entre le feulletage M, F et son feulletage extenson M, F On montre dans [4] ue s le feulletage M, F et son extenson M, F sont défns respectvement par les cocycles U, f, T, γ j I et U, f, T, γ j I alors on a f = θ f et γ θ j j = θ γ j où θ s est une lason entre le feulletage U s, F et son feulletage extenson U s, F Proposton 22 Etant donné un feulletage M,F de varété transverse modèle T, sot T une varété de dmenson >0 S les dfféomorphsmes locaux de transton de F préservent les fbres d une submerson de T sur T, alors le feulletage F admet une extenson de codmenson et de varété modèle transverse T En utlsant le théorème de décomposton de Blumenthal-Hebda [3], le théorème suvant se demontre de la même façon ue le théorème de structure des drapeaux remannans complets se trouvant dans [7] : Théor me 23 Sot D F = F 1, F 2,, F 1 un drapeau complet d extenson remannenne d un feulletage remannen F de codmenson sur une varété compacte connexe M et pour tout k {1,, }, Fk désgne le feulletage relevé de F k sur le revêtement unversel M de M S l exste une métrue g uas-fbrée commune pour F et pour chaue feulletage du drapeau complet d extenson D F alors: 1 Chaue feulletage F k est transversalement ntégrable et transversalement parallélsable Les champs de vecteurs du parallélsme F k transverse Y s 0 s k 1 sont orthogonaux Pour s 0, chaue champ de vecteurs Y s est une secton untare de T F s+1 T F s et Y 0 est une secton untare de T F 1 où T F k désgne le fbré orthogonal de T F k De plus chaue champ de vecteurs Y s orente le flot u l engendre 3

5 2 Le drapeau D F se relève sur M en un drapeau smple D F = F 1, F 2,, F1 d extenson remannen du feulletage remannen F De plus le revètement unversel M est dfféomorphe à L L Y 1 L Y 2 L Y0 où L est une feulle de F et L Yk est une feulle du flot relevé F Yk du flot F Yk de Y k sur le revètement unversel M de M Relatvement à la métrue g relevée de g sur le revètement unversel M de M, chaue feulle L Yk est orthogonal à L et pour k s les feulles L Yk et L Ys sont orthogonaux 3 Toute feulle de F k est dfféomorphe à L L Y 1 L Y 2 L Yk {p} où p L Yk 1 L Yk 2 L Y0 Toute feulle de F k est dfféomorphe à {p} L Yk 1 L Yk 2 L Y0 où p L L Y 1 L Y 2 L Yk sera dt paral- On notera ue le parallélsme F transverse Y s 0 s 1 lélsme F transverse de Dallo assocé à D F La verson locale du théorème précédent est: Corollare 24 Sot D F = F 1, F 2,, F 1 un drapeau complet d extenson remannenne d un feulletage remannen F de codmenson sur une varété remannenne compacte connexe M, g S la métrue g est uas-fbrée pour chacun des feulletages, alors l exste un recouvrement U I d ouverts de la varété M et un unue parallélsme F transverse Y s 0 s 1 de M tel ue: Chaue ouvert U est dfféomorphe au produt L L Y 1 L Y 2 L Y 0 où L est une feulle de la restrcton F à U de F et L Y k est une feulle de la restrcton FY k à U du flot F Yk de Y k Toute feulle L Y k est orthogonale à L et pour k s les feulles L Y k et L Y s sont orthogonaux relatvement à la métrue g de M Toute feulle de la restrcton Fk à U de F k est dfféomorphe à L L Y 1 L Y 2 L Y k {p} où p L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 et toute feulle de Fk est dfféomorphe à {p} L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 où p L L Y 1 L Y 2 L Y k Le feulletage Fk étant la restrcton à U du feulletage transverse orthogonal Fk de F k Nous termnons ces rappels par la proposton suvante se trouvant dans [13] Elle nous permetra de construre un système de coordonnés locales dans la preuve du théorème 32 u est le théorème prncpal de paper se trouvant dans le paragraphe suvant Proposton 25 Sot M N le produt de deux varétés M et N, X X M, Y j X N, R h1 : T x M T x,y M N u u h1 = u, 0 et R h2 : T x N T x,y M N w w h2 = 0, w 4

6 Alors [ ] [ ] X h1 1, Xh1 2 = [X 1, X 2 ] h1, Y h2 1, Y h2 2 = [Y 1, Y 2 ] h2 et [ ] X h1 1, Y h2 2 = 0 3 Expresson matrcelle des drapeaux complets d extensons remannennes sur une varété compacte connexe Il y a un len entre les feulletages transversalement dagonaux et les drapeaux complets d extenson De façon précse on a: Proposton 31 Sot F un feulletage transversalement dagonal de codmenson sur une varété M Alors F admet un drapeau complet d extenson D F = F 1, F 2,, F 1 Preuve Sot U, f, T, γ j I un cocyle feulleté défnssant le feulletage transversalement dagonal F et y,y 1,,y 1 les systèmes de coordonnées F transverses sur les f U I suvant lesuels Jγ est dagonale Sot j également le système dfférentel { 1 } Px = f k x x / f k : f U R de classe C k=1 y k ntégrable sur f U 1 et U une feulle de ce système dfférentel Notons ue J γ = λ j jrs étant une matrce nversble et dagonale a tous rs ses éléments dagonaux non nuls Cec dt, utte à rédure la "talle" des ouverts U, on peut consdérer un recouvrement U I de la varété M tel ue dans chaue f U le flot de y et le système dfférentel ntégrable x Px défnssent des feulletages smples Sot θ : f U U 1 la projecton sur U 1 suvant le flot F θ de y Il est clare ue U 1 est une varété uotent du feulletage smple F θ La varété T peut être consdérée comme une unon dsjonte des f U Par conséuent nous pouvons aff rmer ue les submersons θ défnssent une submerson θ sur T dont la restrcton à chaue f U est θ Comme γ j y = λ jrs rs y = λ j11 y j et λ j11 0 alors les γ j préservent les fbres de la submerson θ Il résulte de cela [4], [5] cfprop22 ue le feulletage F de codmenson a une extenson F 1 de codmenson 1 5

7 et et On pose f 1 T 1 = I θ f = θ f U = U 1 I θ f r U r U s = V 1 rs pour Ur Us Comme γ préserve les fbres de la submerson θ alors γ ndut un dfféomorphsme local γ 1 : V 1 j j V 1 j et ce dfféomorphsme vérfe[4], [5] j j cf def21 l égalté γ 1 j θ = θ j γ j On vérfe asement ue U 1,f, T 1, γ 1 j I est un cocycle feulleté déff nssant l extenson F 1 de F Montrons [ mantenant ] ue le feulletage F 1 est transversalement dagonal On a y, = 0 pour tout k D"où les 1 champs de vecteurs yk,,, sont feulletés pour le flot de y 1 y 2 y1 y Par conséuent θ yk est un champ de vecteurs sur U 1 pour tout k 1 Or les 1 champs de vecteurs,,, sont tangents à U 1 y 1 y 2 y1 en tout pont de U 1 donc pour k et a f U on a θ a yk = yk θ a Par conséuent les 1 champs de vecteurs,,, défnssent un système de coordonnées F θ y 1 y 2 y1 1 -transverse sur U ue l on notera encore y 1,, y1 Pour plus de clarté dans l exposé on pose pour la sute θ y k = y k /U 1 En utlsant l égalté γ 1 j θ = θ j γ j 6

8 on obtent pour k, γ 1 j y k /U 1 = γ 1 j θ y k = θ j γ j yk = θ j λ j k+1 k+1 = λ j k+1 k+1 θ j y j k y j k = λ j k+1 k+1 y j k /U 1 j Ans le feulletage F 1 est transversalement dagonal Avant de termner on notera ue l égalté montre ue γ 1 j θ = θ j γ j J γ 1 j J θ = J θ j J γ j où J θ s est la matrce jacobenne de θ s Or J θ s = : : : 0 : : : : donc J γ 1 j J γ s obtent en suprmant la premère lgne et la premère collonne de j Ȯn construt F 2, F 3,, F 1 en utlsant la même technue de constructon de F 1 On note ue chaue feulletage F k sera defn par U,f k, T k, γ k j I un cocycle feulleté où θ k est defne de façon analogue à θ, f k 1 = θ k f k, T k = U k avec U k defne de façon analogue à U 1 et γ k 1 θ k I j = θ k j γ k j On notera ue s le feulletage F transversalement dagonal est remannen transversalement dagonal relatvement à la métrue transverse g T et s les champs de vecteurs locaux sont des champs de kllng pour la métrue yk pour tout et tout k alors les feulletages du drapeau complet d extenson g T 7

9 D F = F 1, F 2,, F 1 sont des feulletages remannens transversalement dagonaux et l exste une métrue uas-fbré commune à tous les feulletages remannens F k En effet dans ce cas les submersons θ k sont des submersons remannenne pour tout et tout k Et, la relaton γ k 1 θ k j = θ k j γ k j entrane ue γ k 1 est une sométre locale dès ue γ k est une sométre locale j j Sous certanes condtons u sont précsées dans le théorème 32, la proposton précédente admet une récproue Dans la preuve du résultat u sut on donne une expresson matrcelle des drapeaux complets d extenson remannenne d un feulletage remannen Théor me 32 Sot F un feulletage remannen de codmenson sur une varété compacte connexe M et h une métrue F uas-fbré sur M S le feulletage F admet un drapeau complet d extenson remannenne D F = F 1, F 2,, F 1 tel ue la métrue h sot uas-fbré commune à tous les feulletages remannens F k alors chaue feulletage F k est remannen transversalement dagonal Preuve On suppose ue le feulletage F admet un drapeau complet d extenson remannenne D F = F 1, F 2,, F 1 tel ue la métrue h sot uas-fbré commune à tous les feulletages remannens F k D après le corollare 24 l exste un recouvrement U I d ouverts de la varété M et un unue parallélsme F transverse Y s 0 s 1 de Dallo de M tel ue: Chaue ouvert U est dfféomorphe au produt L L Y 1 L Y 2 L Y 0 où L est une feulle de la restrcton F à U de F et L Y k est une feulle de la restrcton FY k à U du flot F Yk de Y k Toute feulle L Y k est orthogonale à L et pour k s les feulles L Y k et L Y s sont orthogonaux relatvement à la métrue h de M Toute feulle de la restrcton Fk à U de F k est dfféomorphe à L L Y 1 L Y 2 L Y k {p} où p L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 et toute feulle de Fk est dfféomorphe à {p} L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 où p L L Y 1 L Y 2 L Y k Le feulletage Fk étant la restrcton à U du feulletage transverse orthogonal Fk de F k Cec dt, dans toute la sute U I désgnera un tel recouvrement d ouverts de la varété M et ϕ : U L L Y 1 L Y 2 L Y 0 désgnera le dfféomorphsme exstant entre U et L L Y 1 L Y 2 L Y 0 Sot YLk le champ de vecteurs untare tangent à la feulle L Y k ndut par le champ untare Y k du parallélsme F transverse Y s 0 s 1 de Dallo de M On note en passant ue les champs de vecteurs YLk sont orthogonaux deux à deux relatvement à la métrue h Consdérons mantenant a = a, a 1,, a0 L L Y L 1 Y 0 On pose R h k a : T a k L Y k T a L T a 1 L Y 1 T a 0 L Y 0 X X hk 0 a k a = a k a, 0 a 1,, 0 a k+1, X, 0 a a k k 1,, 0 a 0 8

10 où 0 a est le vecteur nul de T a t L Y t pour t et est le vecteur nul de T a L pour t = Sot X L l algèbre de le des champs de vecteurs tangents à L Yk Y k et Xk X L Y k X En fasant varer a k L Y k, les relèvements R h k a k de X a k dans k a k T L T L Y 1 T L Y 0 défnssent un champ de vecteurs sur L L Y 1 L Y 0 u on notera X k hk On a donc on a X hk = k X hk a k a = R h X k a k a k On montre dans [13] cfprop25 ue pour Xk X L Y k [ Y hk k, Y hs ] s = 0 pour k s et Xs X L Ys Il résulte de cela, YLr étant le champ untare ndut sur la feulle L Y r parallélsme F transverse Y s 0 s 1 de Dallo, ue [ Y hk Lk, Y hs ] Ls = 0 pour k s par Y r du Ans, l ouvert U étant dfféomorphe au produt L L Y 1 L Y 2 L Y 0, on a les champs de vecteurs ϕ 1 Y hs Ls u défnssent sur U un système de coordonnés F transverse ỹ 1,, ỹ0 Dans la sute ϕ 1 Y hs Ls se notera y s Nous sgnalons en passant ue s l on désgne par Ys la restrcton de Y s à U et p k : L L Y 1 L Y 2 L Y 0 L Y k la projecton sur L Y k suvant L L Y 1 L Y k+1 L Y k 1 L Y 0 alors: 1 On a p Y hs k k = YLk et p Y hs k s = 0 pour s k 2 Les projectons p s n étant pas à pror des submersons remannennes, les champs de vecteurs Ys hs ne sont donc pas à pror untares Relatvement à la métrue ϕ 1 h sur le produt L L Y 1 L Y 0 malgré le fat ue les champs de vecteurs Y Ls soent untares sur les L Y s 3 Pour tout p L L Y 1 L Y s+1 et p L Y s 1 L Y 0 on a ϕ Y s u est tangent à {p} L Y s {p } D où les champs de vecteurs Y hs Ls et ϕ Y s sont colnéares Et cec entrane ue y et Y s s sont auss colnéares 9

11 y s 4 Ys coïncde avec sur L Y s cependant les valeurs prses par ces deux champs sur U \L Y s ne sont pas forcement dentues On vérfe asement ue les champs de vecteurs y sur U s sont orthogonaux deux à deux Sur chaue ouvert U le feulletage Fk = F k/u est défn par la submerson p k 1 ϕ où ϕ est le dfféomorphsme exstant entre U et L L Y 1 L Y 2 L Y 0 et p k 1 : L L Y 1 L Y 0 L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 est la projecton sur L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 suvant L L Y 1 L Y k Cec dt, dans tout ce u sut U, f k, T k, γ k j I est un cocyle feulleté défnssant le feulletage remannen F k Comme chaue feulle de ϕ 1 F k est de la forme L L Y L 1 Y 2 L Y k {p} avec p L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 on peut alors aff rmer u l exste un dfféomorphe µ k : f ku L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 de sorte ue le dagramme suvant U ϕ L L Y 1 L Y 0 µ k L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 k 1 f k p f k U sot commutatf Le système de coordonnés F k transverse ỹk 1,, 0 ỹ sur U ndut un système de coordonnés sur f ku ue l on notera yk 1,, 0 y Sot a = a, a 1,, a0 L L Y L 1 Y 0 et Xs X L Ys On a X hs s 0 = a a, 0 a 1,, 0 a s+1, Xs a s, 0 a s 1,, 0 a 0 Par conseuent pour s < k on a X p hs k 1 s = 0 a a k 1, 0 a k 2,, 0 a s+1, Xs, 0 a a s s 1,, 0 a 0 Ce u sgnfe ue p k 1 envoe X hs s sur X hs s pour s < k Cec entrane en utlsant le dagramme commutatf précédent ue µ k = YLs hs y s pour s < k Pour s > k 1 on vérfe asement ue p k 1 X hs s = 0 10

12 Sot θ k 1 la lason remannenne entre les feulletages remannens U, F k et U, F k 1 On a le dagramme suvant U ϕ L L Y 1 L Y 0 f k p k 1 f ku µ k L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 θ k 1 p k 1 f k 1 U k 2 µ k 1 L Y k 2 L Y k 3 L Y 0 u est commutatf p k 1 k 2 étant la projecton de L Y k 1 L Y k 2 L Y 0 sur L Y k 2 L Y 0 suvant L Y k 1 Il en résulte ue Ans θ k 1 L égalté montre ue y k 1 p k 1 k 2 = = = = 0 µ k = µ k 1 θ k 1 µ 1 k 1 k 1 p k 2 µ k yk 1 µ 1 k 1 k 1 p k 2 YL hk 1 k 1 µ 1 k 1 0 θ k 1 y k 1 = 0 θ k 1 y k 1, yk 2,, y0 = y k 2,, y0 Pour U U j, on pose: y j k 1, yj k 2,, yj 0 = γ k 1, γ k 2,, γ 0 γ k j On a [4] les égaltés, f k 1 = θ k 1 f k et γ k 1 θ k 1 j j = θ k 1 γ k j c est à dre ue le dagramme suvant est commutatf f k j U U j fj ku U j Id U U j γ k j U U j f k f ku U j θ k 1 j f k 1 j U U j γ k 1 j θ k 1 f k 1 U U j 11

13 D où l égalté entrane ue: γ k 1 j θ k 1 y k 1, yk 2,, y0 = y k 2,, y0 y j k 2,, yj 0 = γ k 1 j = θ k 1 = θ k 1 θ k 1 j y j k 1, yj k 2,, yj 0 γ k y j j k 1, yj k 2,, yj 0 γ k 1, γ k 2,, γ 0 = γ k 2,, γ 0 avec Ans γ k j y j k 1, yj k 2,, yj 0 = γ k 1, γ k 2,, γ 0 γ k s 1, γ k s 2,, γ 0 = γ k s j y j k s 1,, yj 0 pour s {1,, k 1} Il résulte de ce u précède ue la matrce jacobenne J γ k j l égalté: γ k 1 γ γ k 1 k 1 y j k 1 y j k 2 y j 0 γ 0 k 2 γ γ k 2 k 2 y j k 2 y j k 3 y j 0 J γ k j = 0 0 γ k 3 y j k 3 γ k 3 y j 0 : : 0 : : : : : γ 0 y j 0 de γ k j vérfe Par conséuent γ k j y j k r = r γ k t t=1 y j y k r k t La matrce J γ k est nversble et trangulare D où tout élément dagonal j de J γ k est non nul c est à dre ue j γ k r y j k r 0 pour tout r 12

14 Comme γ k est une sométre pour la métrue uas-fbrée commune h et j comme les champs de vecteurs sont orthogonaux deux à deux alors Or donc 0 = h = h y j k 1 y j k 1, γ k j = γ k 1 y j k 2 γ k 1 y j k 1 y j k 2 y j k 1 γ k 1 y j h k 1 0 et h γ k 1 y j k 2 y k 1 y k 1 = 0, γ k j,, y k 1 y k 1 y j k 2 Sot r 0 {1, 2,, k} Supposons par récurrence ue pour tout r r 0 et tout s < r, On a pour tout s < r = h, y j k s γ k s y j k r y j k r 0+1 = h γ k j γ = h k s = y j k s γ k s y j k r 0+1 y j k s y k s r 0+1, γ k s y j h k s = 0, γ k j γ k t 0 y j k r 0+1 t=1 y j y k r 0+1 k t y k s, y k s Or donc γ k s y j k s 0 et h y k s γ k s y j k r 0+1, = 0 0 y k s 13

15 pour tout s < r En concluson γ k s y j k r = 0 pour tout s < r et γ k r y j k r 0 pour tout r Il résulte de ce u précède ue γ k y j k 1 γ 0 k y j k 2 γ J γ k = 0 0 k 3 0 : j y j k 3 : : 0 : : : : avec γ k r y j k r pour tout r Et cec entrane ue F k est remannen transversalement dagonal On dra ue le recouvrement d ouverts U I de la varété M et les coordonnées F k transverses yk 1,, y 0 sont compatbles avec le drapeau I D F References [1] RAlmeda et PMolno, 1986 Flot remannens sur les 4-varétés compactes Tôhoku Mathematcal Journal, The Second Seres, Vol 38, no 2, pp [2] BBossoto and HDallo, 2002, Sur les drapeaux de feulletages remannens JP Journal of Geometry and Topology, 2,3, [3] RA Blumental and JHebda, 1983, De Rham decomposton theorem for folated manfolds 33 2, [4] CDad, 2008 Sur les extensons des feulletages Thèse unue, Unversté de Cocody, Abdjan [5] CDad et HDallo, 2007 Extenson d un feulletage de Le mnmal d une varété compacte Afrka Matematka, Sére 3, volume 18 pp [6] HDallo, 2002 Caractérsaton des C r fbrés vectorels, varétés bremannennes, drapeaux remannens Thèse d Etat, Abdjan 0 γ 0 y j 0 14

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