Chapitre II: Propagation dans les milieux anisotropes

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1 NW optique physique II 1 Chapitre II: Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires Surfaces caractéristiques: Ellipsoïde des indices Surface des indices Surface des vitesses radiales Réfraction: construction avec la surface des vitesses Construction des rayons réfléchis Constructions avec la surface des indices Correction des exercices

2 NW optique physique II 2 Pour plus de détails sur les calculs qui seront vus assez rapidement dans ces transparents: Polarisation, de S. Huard (en particulier page 70 et après pour les calculs concernant la surface des vitesses, peu détaillés ici) Optical waves in crystals, Yariv & Yeh (more details about some of the calculations done in this chapter, but does not mention the «surface des vitesses») Optics, Born&Wolf (details of the calculation of the ray surface/ «surface des vitesses» from page 792 of the 7th edition)

3 2. Propagation dans les milieux anisotropes Rappels sur les milieux isotropes Equations de Maxwell (dans un milieu sans sources) NW optique physique II 3 Polarisation : quand elle traverse un milieu matériel, l onde EM induit une polarisation qui vient s ajouter à celle du vide (Le milieu est supposé non-magnétique : ) On cherche une solution aux équations de Maxwell sous la forme d une onde plane : (autres champs: même dépendance) On obtient : E et D sont parallèles et transverses B et H leur sont orthogonaux, et transverses Le vecteur de Poynting est parallèle à

4 2. Propagation dans les milieux anisotropes Rappels sur les milieux isotropes NW optique physique II 4 Quelles sont les ondes pouvant se propager dans le milieu? Equations de Maxwell car D autre part, Donc : - Toutes les polarisations transverses sont possibles - Relation de dispersion: En général, on travaille avec l indice : On obtient : Vitesse de phase :

5 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires NW optique physique II 5 Dans un milieu anisotrope, la susceptibilité, et donc la permittivité, ne sont plus des scalaires, mais des tenseurs (matrices 3x3): -> le milieu est toujours linéaire, mais plus isotrope. Si le milieu est non-absorbant, on peut montrer que le tenseur de permittivité est symétrique Il possède donc trois valeurs propres réelles, associées à des vecteurs propres orthogonaux. On travaillera dans la base des états propres, où la matrice a la forme suivante : Par analogie avec le cas isotrope, on notera: Les n i s appellent les indices de réfraction principaux. Dans un milieu anisotrope, l indice «vu» par une onde dépend de sa polarisation.

6 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires NW optique physique II 6 Classification des matériaux selon la structure du tenseur de permittivité Milieu isotrope d indice n Milieu anisotrope uniaxe, d axe Oz Milieu anisotrope biaxe

7 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires Quelle est la structure d une onde plane se propageant dans un milieu anisotrope? -> D n est plus parallèle à E -> D et B sont toujours orthogonaux à k -> D et H sont orthogonaux -> E et B sont orthogonaux NW optique physique II 7 D est la projection de E dans le plan orthogonal à u (à un facteur mult. près) Le vecteur de Poynting (direction du «rayon lumineux») n est plus parallèle au vecteur d onde (direction de propagation de la phase)

8 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires NW optique physique II 8 Quelles sont les ondes pouvant se propager dans une direction donnée? -> Relation de dispersion Définissons: On a : et n est l indice «vu» par l onde de direction u Relation constitutive: : Tenseur perméabilité. Dans la base propre, Relation de dispersion? C est une équation aux valeurs propres

9 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires NW optique physique II 9 Vecteurs propres : polarisations (vecteur D) possibles Contrairement au cas isotrope, toutes les polarisations ne sont pas possibles. Valeurs propres : indices 1/n 2 (vitesses de phase) correspondants Les polarisations et les indices possibles dépendent de la direction de propagation u

10 2. Propagation dans les milieux anisotropes Milieux anisotropes linéaires NW optique physique II 10 est le projecteur sur le plan d onde. Si on exprime D dans une base constituée de 2 vecteurs orthogonaux du plan d onde et du vecteur u, on obtient [η] n est pas diagonale dans cette base, mais reste symétrique (comme [ε]) Seule la restriction de [A] au plan d onde joue un rôle. On est donc ramené à la recherche des deux vecteurs propres et valeurs propres d une matrice 2x2 symétrique à coefficients réels qu elles 2 valeurs propres réelles 1/n ² et 1/n ²(on verra plus loin sont forcément positives) vecteurs propres orthogonaux D D et réels (polar. linéaires) Existe-t-il une expression simple des indices et des polarisations propres?

11 2. Propagation dans les milieux anisotropes Equations de Fresnel Milieux anisotropes linéaires Les deux indices possibles dépendent du vecteur u (direction de propagation) : Pour les déterminer, il faut résoudre l équation aux valeurs propres Cela revient à calculer le déterminant d une matrice 3x3. Après des calculs un peu fastidieux, on aboutit à l équation de Fresnel: NW optique physique II 11 En réduisant au même dénominateur, on obtient une équation du second degré du type n 4 -Sn²+P=0: on retrouve les deux solutions n ² et n ² dont on a montré qu elles étaient réelles on peut montrer qu elles sont positives: n et n sont réels (propagation sans absorption)

12 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 12 Différentes surfaces caractéristiques Ellipsoïde des indices: On porte dans la direction de D (direction de polarisation pouvant se propager dans le milieu) la valeur d indice associée. C est la surface la plus simple (une seule nappe) pour représenter les caractéristiques diélectriques du milieu Surface des vitesses (radiales): On porte dans la direction d un rayon (direction de propagation de l énergie, direction du vecteur de Poynting) les deux valeurs de vitesse de propagation correspondant aux deux polarisations propres pouvant se propager le long de ce rayon. C est une surface plus complexe, à deux nappes, utile pour construire la réfraction ou la réflexion des rayons dans un matériau anisotrope Surface des indices: On porte dans la direction d un vecteur d onde (perpendiculaire à la surface d onde) les deux valeurs d indice correspondant aux deux polarisations propres pouvant se propager dans cette direction. C est aussi une surface à deux nappes, utile pour calculer les différences de marche dans un milieu anisotrope

13 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 13 II. Ellipsoïde des indices Définition: on porte la valeur de l indice n dans la direction de D En multipliant scalairement par D l équation de propagation: On obtient: Pour un vecteur D donné, l indice n de propagation est donné par l équation ci-dessus et il est unique. La surface obtenue est l ellipsoïde des indices et a pour équation:

14 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 14 II. Ellipsoïde des indices Propriétés Vecteur normal à l ellipsoïde des indices en un point (X 0,Y 0,Z 0 ): // Vecteur E correspondant à cette direction de D (X 0,Y 0,Z 0 ): Pour une direction D fixée par un point M sur l ellipsoïde: E est normal à l ellipsoïde au point M B est tangent à l ellipsoïde en M On peut aussi utiliser l ellipsoïde pour déterminer les polarisations propres associées à une direction k. On peut en effet montrer que l intersection de l ellipsoïde des indices avec le plan d onde est une ellipse, dont les axes donnent les deux polarisations propres D et D correspondant à ce vecteur d onde.

15 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 15 II. Ellipsoïde des indices Cas d un milieu uniaxe Ellipsoïde de révolution autour de l axe z: D o k et axe optique D e k et D o ou D e projection de l axe optique sur le plan d onde Π E o // D o E e normal à l ellipsoïde

16 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 16 III. Surface des indices On a vu que pour une direction de propagation k fixée, il y a deux valeurs d indice possibles n et n La surface des indices porte les deux valeurs de l indice dans la direction de k (lieu des points N tels que ON=n(u)u).Elle a donc deux nappes. En notant ON=(X=nα,Y=nβ,Z=nγ) avec X²+Y²+Z²=n², on peut récrire l équation de Fresnel aux indices en fonction de X, Y et Z. On obtient une équation compliquée dont on peut imaginer la forme en choisissant n x >n y >n z et en étudiant l intersection avec l un des plans x, y ou z=0. On obtient par exemple dans le plan Oxy: un cercle de rayon n z une ellipse x²/n y ²+y²/n x ²=1 Par permutations circulaires on peut reconstruire les trois intersections

17 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 17 III. Surface des indices On a deux directions ON et ON pour k pour lesquelles n =n : d où l appellation biaxe. Cas particulier: uniaxe d axe z, n x = n y = n o n z =n e

18 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 18 III. Surface des indices Cas d un milieu uniaxe uniaxe négatif n e < n o exemple calcite n o = 1,658 n e =1,486 (λ=589nm) uniaxe positif n e > n o exemple quartz n o = 1,544 n e =1,553

19 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 19 III. Surface des indices Cas d un milieu uniaxe On peut retrouver pour un vecteur u donné les directions de D o, E o, D e, E e à partir de la surface des indices: Pour l ordinaire: D z =0, E z =0, D o // E o Pour l extraordinaire: D e D o et u, E e tangent à la nappe extraordinaire de la surface des indices: nappe extraordinaire: normale au point d intersection avec la direction u:

20 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 20 IV. Surface des vitesses radiales ou surface d onde 1 direction k fixée: 2 indices n et n pour 2 polarisations D et D. 1 couple (k, D) fixé: 1 direction R du vecteur de Poynting (ExB). 1 direction R (rayon) fixée: 2 vitesses radiales v r et v r pour 2 polarisations D θ E k,n θ R,v r Σ 0 Σ 1

21 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 21 IV. Surface des vitesses radiales ou surface d onde Définition On définit la surface des vitesses radiales en portant dans la direction du rayon R la valeur de la vitesse radiale v r =v/ cosθ (où θ est l angle entre k et R). La forme de cette surface est déterminée à partir de l équation de Fresnel aux vitesses radiales qui a la même forme que celle pour les indices: On a une surface à deux nappes très similaire à la surface des indices, mais avec les points caractéristiques sur les axes repérés par c/n i ou encore 1/n i.

22 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 22 IV. Surface des vitesses radiales Cas d un milieu uniaxe

23 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 23 IV. Surface des vitesses radiales Cas d un milieu uniaxe La surface des vitesses radiales donne accès pour un vecteur de Poynting R (rayon lumineux) donné aux directions de D o, E o, D e, E e correspondantes: Pour l ordinaire: E o z et R D o // E o Pour l extraordinaire: E e E o et R, D e tangent à la nappe extraordinaire de la surface des vitesses (démonstration analogue à celle pour la surface des indices)

24 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 24 V. Réfraction: construction avec la surface des vitesses Généralités On a vu jusqu ici les conditions de propagation d une onde plane de vecteur k donné dans un milieu anisotrope. On va s intéresser maintenant à la traversée d une interface plane d un milieu isotrope vers un milieu anisotrope qui fera apparaître le phénomène de double réfraction. Les constructions se font par analogie avec les méthodes employées pour les milieux isotropes, mais il faut maintenant bien distinguer si l on construit les rayons ou les vecteurs d onde, qui sont en général distincts dans les milieux anisotropes Sur le même principe on pourra également construire la réfraction d un milieu anisotrope vers un milieu isotrope, ou d un milieu anisotrope vers un autre milieu anisotrope, ou encore les réflexions dans ces différents cas.

25 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 25 V. Refraction: construction avec la surface des vitesses Construction de type Huyghens (propagation d ondelettes sphériques) Rappel du cas isotrope Cas uniaxe 1 1 n e >n o 1/n e 1/n o R o R e

26 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 26 V. Refraction: construction avec la surface des vitesses Construction de type Huyghens (propagation d ondelettes sphériques) Rappel du cas isotrope Cas uniaxe

27 Exercice 1 NW optique physique II 27 À vous de compléter les schémas en indiquant les directions de l axe optique et le signe de n e -n o pour ces trois constructions de surfaces des vitesses et en construisant les rayons réfractés R, puis les champ D, E et enfin la direction du vecteur d onde k pour le rayon incident indiqué se propageant dans l air d indice 1 (la courbe en pointillé est toujours la nappe extraordinaire)

28 NW optique physique II /n o k e D o,e o k o,r o R e 1/n e 1/n o R e,k E e e,d e k o,r o D o,e o 1/n o 1/n e D o,e o k e k o,r o R e 1/n e E e E e D e D e uniaxe négatif Solution de l exercice 1

29 Exercice 2 NW optique physique II 29 Construire les rayons refractés à travers les deux faces de cette lame pour un rayon en incidence normale (figure de gauche) puis en incidence oblique (figure de droite). En déduire un schéma permettant de construire l image d un objet AB à travers cette lame.

30 NW optique physique II 30 D e,e e k e,r e D e,e e 1 D e E e k e R e k e,r e D e E e k e R e D o,e o k o,r o 1/n e D o,e o k o,r o D o,e o D o,e o 1/n o Solution de l exercice 2

31 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 31 V. Refraction: construction avec la surface des vitesses Construction d images

32 II. Propagation dans les milieux anisotropes NW optique physique II 32 VI. Construction des rayons réfléchis Construction d Huyghens en réflexion Cas isotrope Exemple de cas uniaxe Ici on a tracé la réflexion d un rayon incident extraordinaire

33 NW optique physique II 33 Chapitre II: propagation dans les milieux anisotropes VI. Construction des rayons réfléchis Réflexion totale, deux exemples Cas d un rayon incident ordinaire, analogue au cas isotrope Cas d un rayon incident extraordinaire, avec un milieu dont l axe optique n est pas parallèle aux faces: le rayon réfléchi ne vérifie plus la loi «habituelle» de la réflexion: i r

34 NW optique physique II 34 Chapitre II: propagation dans les milieux anisotropes VII. Constructions avec la surface des indices Construction des rayons réfractés Rappel du cas isotrope Cas uniaxe N o N e On utilisera surtout cette construction (en particulier les points No et Ne) dans le calcul de la différence de marche à travers une lame anisotrope à faces parallèles

35 Exercice 3 NW optique physique II 35 À vous de compléter les schémas sachant qu il s agit ici des surfaces des indices: identifier les surfaces et construire les vecteurs d onde k, puis les champ D, E et enfin les rayons R correspondants

36 NW optique physique II 36 n e n o n o n o 1 D o,e o k e D e E e k o,r o R e 1 n e E e D e R e k e k o,r o D o,e o n e 1 D k e,r e e,e e k o,r o D o,e o uniaxe positif Solution de l exercice 3