Optimisation linéaire

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1 Optimisation Recherche opérationnelle GC-SIE Géométrie de la programmation 1

2 Polyèdres Définitions : Un polyèdreest un ensemble qui peut être décrit comme P={x IR n Ax b} où A est une matrice m x n et b un vecteur de IR m. Note: l ensemble admissible d un programme est un polyèdre. Michel Bierlaire 3 Définitions : Polyèdres Un ensemble de la forme P={x IR n Ax =b, x 0} est un polyèdre en forme standard. Un polyèdre P est dit bornési il existe une constante c telle que x c pour tout x P. Michel Bierlaire 4 2

3 Polyèdres Borné Non borné Michel Bierlaire 5 Polyèdres Définitions : Soient a un vecteur non nul de IR n et b un scalaire. L ensemble {x IR n a T x=b} est appelé un hyperplan. L ensemble {x IR n a T x b} est appelé un demi-espace. Michel Bierlaire 6 3

4 Notes: Polyèdres Un hyperplan est la frontière du demiespace correspondant. Le vecteur a est perpendiculaire à l hyperplan qu il définit. a T x < b a a T x > b a T x > b H a T x < b Michel Bierlaire 7 Ensembles convexes Définition : Un ensemble S IR n est convexesi pour tout x,y S, et tout λ [0,1], on a λx + (1-λ)y S x x y y Michel Bierlaire 8 4

5 Définitions : Ensembles convexes Soient x 1, x k des vecteurs de IR n, et soient λ 1,,λ k des scalaires non négatifs tels que Le vecteur Σ i=1, k λ i = 1 y = Σ i=1, k λ i x i est une combinaison convexedes vecteurs x 1, x k, Michel Bierlaire 9 Ensembles convexes x 1 x 4 x 3 x 5 x 2 x 6 x 8 x 7 Michel Bierlaire 10 5

6 Points extrêmes et sommets Concepts géométriques : Point extrême Sommet Concept algébrique : Solution de base admissible Soit P un polyèdre, et soit x* P. Alors, x* est un point extrêmessi x* est un sommetssi x* est une solution de base admissible Michel Bierlaire 11 Points extrêmes et sommets Définition : Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un point extrêmede P si on ne peut pas trouver deux vecteurs y et z dans P, différents de x, et un scalaire λ [0,1] tels que x = λy + (1-λ) z Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un point extrêmede P si on ne peut pas l exprimer comme combinaison convexe de deux autres points de P. Michel Bierlaire 12 6

7 Points extrêmes et sommets x point extrême y x z y + x + z + x + pas un point extrême Michel Bierlaire 13 Points extrêmes et sommets Définition : Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un sommet de P s il existe c tel que c T x < c T y pour tout y dans P différent de x. Note: x est un sommet de P ssi il existe un hyperplan H={y c T y = c T x} qui rencontre P seulementen x tel que P soit entièrementd un côté de H. Michel Bierlaire 14 7

8 Points extrêmes et sommets x + pas un sommet x + x x sommet c + c Michel Bierlaire 15 Points extrêmes et sommets Définition : Considérons un polyèdre de IR n défini par les contraintes suivantes : a it x b i i M 1 a it x b i i M 2 a it x =b i i M 3 où M 1, M 2 et M 3 sont des ensembles finis d indices, chaque a i est un vecteur de IR n et chaque b i un scalaire. Si un vecteur x* de IR n vérifie a it x* =b i on dit que la contrainte i estactiveen x*. Michel Bierlaire 16 8

9 Points extrêmes et sommets Définition : Considérons un polyèdre P défini par des contraintes d égalité et d inégalité, et soit x* un vecteur de IR n. x* est une solution de base si 1) toutes les contraintes d égalité sont actives, 2) parmi les contraintes actives en x*, il y en a n qui soient ment indépendantes. x* est une solution de base admissiblesi x* est une solution de base qui vérifie toutes les contraintes. Michel Bierlaire 17 Points extrêmes et sommets pas sol. de base (1)(3) x 3 A D sol. de base adm. (1)(2)(3) x 2 pas sol. de B base x 1 E C P={(x 1,x 2,x 3 ) x 1 +x 2 +x 3 = 1 (1) x 1 0 (2) x 2 0 (3) x 3 0 (4) } sol. de base adm. (1)(2)(4) sol. de base adm. (1)(3)(4) Michel Bierlaire 18 9

10 Points extrêmes et sommets LPLab2D Michel Bierlaire 19 Polyèdres en forme standard But: simplification de la définition de solution de base Polyèdre P = {x IR n Ax = b, x 0} A IR m x n m : nombre de contraintes d égalité n : nombre de variables Hypothèse: A est de rang plein, c-à-d m lignes de A sont ment indépendantes. Michel Bierlaire 20 10

11 Polyèdres en forme standard Par définition, toute solution de base vérifie Ax = b. Cela donne m contraintes actives. Pour avoir une solution de base, c-à-d n contraintes actives, il faut donc que n-m variables x i = 0. Attention: le choix de ces variables n est pas arbitraires. Michel Bierlaire 21 Polyèdres en forme standard Théorème : Soit un polyèdre P = {x Ax = b, x 0}. A IR m x n est de rang plein. x* est solution de base ssi Ax* = b Il existe m indices B(1),,B(m) tels que Les colonnes A B(1),,A B(m) sont lin. indép. Si i B(1),,B(m), alors x i * = 0. Michel Bierlaire 22 11

12 Polyèdres en forme standard Comment obtenir une solution de base? Choisir m colonnes de A lin. indép. Soient B=[A B(1),,A B(m) ] la matrice composée de ces colonnes. B est appelée matrice de base Imposer x i = 0 pour tout i B(1),,B(m) Résoudre le système Bx=b pour les inconnues x B(1),,x B(m). Note: B est inversible Michel Bierlaire 23 Polyèdres en forme standard Ax=b B(1)=4 B(2)=5 B(3)=6 B(4)=7 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0 Michel Bierlaire 24 12

13 Polyèdres en forme standard Résoudre : x 4 = 8 x 5 = 12 x 6 = 4 x 7 = 6 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 8, x 5 = 12, x 6 = 4, x 7 = 6 Solution de base admissible Michel Bierlaire 25 Polyèdres en forme standard Ax=b B(1)=3 B(2)=5 B(3)=6 B(4)=7 x 1 = 0 x 2 = 0 x 4 = 0 Michel Bierlaire 26 13

14 Polyèdres en forme standard Résoudre : x 3 = 4 x 5 = -12 x 6 = 4 x 7 = 6 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 4, x 4 = 0, x 5 = -12, x 6 = 4, x 7 = 6 Solution de base (non admissible) Michel Bierlaire 27 Polyèdres en forme standard Résumé : solution de base admissible = sommet = point extrême choix d un sommet = choix de n colonnes ment indépendantes de A Michel Bierlaire 28 14

15 Optimalité Théorème : Considérons le programme min c T x sous contraintes x P où P est un polyèdre. Si P possède au moins un point extrême Alors soit il existe un point extrême optimal soit le coût optimal est - Michel Bierlaire 29 Optimalité Théorème : Tout polyèdre non vide et borné, ainsi que tout polyèdre en forme standard non vide possède au moins une solution de base admissible Corollaire : Considérons le programme min c T x sous contraintesx P où P est un polyèdre non vide. Alors soit il existe un point extrême optimal soit le coût optimal est - Michel Bierlaire 30 15

16 Dégénérescence Rappel : solution de base Considérons un polyèdre P défini par des contraintes d égalité et d inégalité, et soit x* un vecteur de IR n. x* est une solution de base si 1) toutes les contraintes d égalité sont actives, 2)parmi les contraintes actives en x*, il y en a n qui soient ment indépendantes. Que se passe-t-il s il y a plus de n contraintes actives? Michel Bierlaire 31 Dégénérescence Définitions : Une solution de base x IR n est dite dégénéréesi plus de n contraintes sont actives en x. Soit P={x IR n Ax = b,x 0} un polyèdre en forme standard, avec A IR m x n Une solution de base x est dégénéréesi plus de n-m de ses composantes sont nulles. Michel Bierlaire 32 16

17 Dégénérescence Ax=b B(1)=1 B(2)=2 B(3)=3 B(4)=7 x 4 = 0 x 5 = 0 x 6 = 0 Michel Bierlaire 33 Dégénérescence Résoudre : x 1 = 4 x 2 = 0 x 3 = 2 x 7 = 6 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 0, x 7 = 6 n-m=7-4=3 4 composantes nulles Solution de base admissible dégénérée Michel Bierlaire 34 17