Les ouragans : Engins de destruction
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- Jean-Jacques Doré
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1 Les ouragans : Engins de destruction M. Laforest École Polytechnique de Montréal 10 janvier 23 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 1 / 27
2 Motivation La majesté des ouragans FIGURE : Image satellite d un ouragan [NASA]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 2 / 27
3 Motivation Objectifs Afin de discuter d un modèle des ouragans construit par Bister et Emanuel (1998), nous parlerons i) de l effet de Coriolis, ii) de l engin de Carnot et de la thermodynamique élémentaire, iii) de la thermodynamique d un ouragan. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 3 / 27
4 L effet de Coriolis Le mystère de la rotation des ouragans L ouragan impressionne par sa puissance et sa persistance. Mais son mystère vient de sa structure circulaire qu il génère spontanément. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 4 / 27
5 L effet de Coriolis Un problème de perspective FIGURE : Quand on est sur la Terre, elle nous semble plate, comme pour le voyageur dans La gravure de Flammarion (1888). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 5 / 27
6 L effet de Coriolis Un proble me de perspective F IGURE : Quand on s e loigne de la Terre, alors la perspective nous permet de voir la Terre pour ce qu elle est [NASA]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 5 / 27
7 L effet de Coriolis Systèmes de coordonnées e_3 O p_b e_2 p_a B A x_ab e_1 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 6 / 27
8 L effet de Coriolis Systèmes de coordonnées p_a e_3 O p_b B e_2 Définissons x AB (t) l origine du système B e 1, e 2, e 3 les axes du système B A x_ab e_1 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 6 / 27
9 L effet de Coriolis Systèmes de coordonnées A p_a e_3 x_ab O p_b B e_1 e_2 Définissons x AB (t) l origine du système B e 1, e 2, e 3 les axes du système B Définissons les coordonnées d un objet O p A dans le système A p B dans le système B Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 6 / 27
10 L effet de Coriolis Systèmes de coordonnées A p_a e_3 x_ab O p_b B e_1 e_2 Définissons x AB (t) l origine du système B e 1, e 2, e 3 les axes du système B Définissons les coordonnées d un objet O p A dans le système A p B dans le système B Alors, ces quantités sont liées par 3 p A (t) = x AB (t) + p B (t) = x AB (t) + p j (t)e j (t). j=1 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 6 / 27
11 L effet de Coriolis Calcul de la force fictive On calcule d abord la vitesse dp A dt et ensuite l accélération d 2 p A dt 2 = d 2 x AB dt 2 + = dx AB dt 3 j=1 + 3 j=1 d 2 p j dt 2 e j + 2 dp j dt e j + 3 j=1 3 j=1 dp j dt p j de j dt, de j dt + 3 j=1 p j d 2 e j dt 2. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 7 / 27
12 L effet de Coriolis Calcul de la force fictive On calcule d abord la vitesse dp A dt et ensuite l accélération d 2 p A dt 2 = d 2 x AB dt 2 + = dx AB dt 3 j=1 + 3 j=1 d 2 p j dt 2 e j + 2 dp j dt e j + 3 j=1 3 j=1 dp j dt p j de j dt, de j dt + 3 j=1 p j d 2 e j dt 2. La force sur O est ainsi où la force fictive est F f = m d 2 x AB dt 2 F B = F A + F f, 2m 3 j=1 dp j dt de j dt m 3 j=1 p j d 2 e j dt 2. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 7 / 27
13 L effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d un axe Ω de vitesse angulaire constante Ω = ω. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 8 / 27
14 L effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d un axe Ω de vitesse angulaire constante Ω = ω. Alors, les axes subiront une rotation de j dt = Ω e j, d 2 e j dt 2 = Ω ( Ω e j ). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 8 / 27
15 L effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d un axe Ω de vitesse angulaire constante Ω = ω. Alors, les axes subiront une rotation de j dt De même pour l origine = Ω e j, d 2 e j dt 2 = Ω ( Ω e j ). dx AB dt = Ω x AB, d 2 x AB dt 2 = Ω ( Ω x AB ). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 8 / 27
16 L effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d un axe Ω de vitesse angulaire constante Ω = ω. Alors, les axes subiront une rotation de j dt = Ω e j, d 2 e j dt 2 = Ω ( Ω e j ). De même pour l origine dx AB dt = Ω x AB, d 2 x AB dt 2 = Ω ( Ω x AB ). Une substitution dans la formule pour la force fictive, donne ( F f = m Ω Ω ( ) ) x AB + x B 2m Ω dp B. dt Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 8 / 27
17 L effet de Coriolis Application à la météorologie La force fictive a une composante centrifuge m Ω (Ω ( ) ) x AB + x B et une composante que l on appelle la force de Coriolis 2m Ω dp B. dt Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 9 / 27
18 L effet de Coriolis Application à la météorologie La force fictive a une composante centrifuge m Ω (Ω ( ) ) x AB + x B et une composante que l on appelle la force de Coriolis 2m Ω dp B. dt Dans l hémisphère nord, la force de Coriolis a pour effet de faire dévier vers la droite toute trajectoire. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 23 9 / 27
19 L effet de Coriolis L effet de Coriolis et la genèse d un ouragan haute pression basse pression dp FIGURE : Le gradient de pression (noir) autour d une dépression tropicale. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
20 L effet de Coriolis L effet de Coriolis et la genèse d un ouragan haute pression basse pression dp FIGURE : La force de Coriolis (rouge). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
21 L effet de Coriolis L effet de Coriolis et la genèse d un ouragan haute pression basse pression dp FIGURE : L équilibre entre la pression (noir) et la force de Coriolis (rouge). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
22 L effet de Coriolis L effet de Coriolis et la genèse d un ouragan haute pression basse pression dp FIGURE : La trajectoire des vents induits par ces forces (bleu). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
23 L engin de Carnot Principes d un moteur à chaleur Reservoir T_c Q_c Travail W Q_f Reservoir T_f Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
24 L engin de Carnot Principes d un moteur à chaleur Reservoir T_c Q_c Q_f Travail W Reservoir T_f Globalement, ce moteur extrait une chaleur Q C d un réservoir chaud infini à température T C. Il produit un travail W et émet une chaleur résiduelle Q F à un réservoir froid infini à température T F. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
25 Hypothèses L engin de Carnot Cet engin est une expérience de la pensée. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
26 Hypothèses L engin de Carnot Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu un contenant contient un gaz mono-atomique. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
27 L engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
28 L engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Le contenant peut être isolé thermiquement à volonté. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
29 L engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Le contenant peut être isolé thermiquement à volonté. Nous pourrons effectuer des transformations sont aussi lentes et lisses que l on désire. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
30 L engin de Carnot Étape # 1 : Détente isotherme p A B etat A Reservoir chaud etat B V Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
31 L engin de Carnot Étape # 2 : Détente adiabatique p A B etat B etat C C Piston isole thermiquement V Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
32 L engin de Carnot Étape # 3 : Compression isotherme p A etat C etat D D B C Reservoir froid V Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
33 L engin de Carnot Étape # 4 : Compression adiabatique p A D B etat D etat A C isole thermiquement V Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
34 L engin de Carnot Efficacité de l engin à Carnot On observe d abord que le cycle est réversible. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
35 L engin de Carnot Efficacité de l engin à Carnot On observe d abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est Q C Q F et la réversibilité implique W = Q C Q F. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
36 L engin de Carnot Efficacité de l engin à Carnot On observe d abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est Q C Q F et la réversibilité implique W = Q C Q F. L efficacité énergétique d un engin est défini par η = W Q C. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
37 L engin de Carnot Efficacité de l engin à Carnot On observe d abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est Q C Q F et la réversibilité implique W = Q C Q F. L efficacité énergétique d un engin est défini par η = W Q C. Le théorème de Carnot stipule que le cycle de Carnot possède la plus grande efficacité et donc η = W Q C = 1 Q F Q C = 1 T F T C. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
38 L engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, δq T 0, où δq est l apport de chaleur et T est la température. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
39 L engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, δq T 0, où δq est l apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s annulera. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
40 L engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, δq T 0, où δq est l apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s annulera. Ceci suggère que l on définisse la variation de l entropie par l intégrale ligne le long d une trajectoire réversible, S = B A δq T. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
41 L engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, δq T 0, où δq est l apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s annulera. Ceci suggère que l on définisse la variation de l entropie par l intégrale ligne le long d une trajectoire réversible, S = B A δq T. On conclut que si l entropie est constante, alors le processus est adiabatique. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
42 La thermodynamique d un ouragan Profil de vitesse F IGURE : A gauche, les courbes de niveau de la vitesse tangentielle des vents. A droite, les courbes de niveau de la vitesse verticale des vents [Emanuel,2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
43 Profil de l entropie La thermodynamique d un ouragan FIGURE : À gauche, les courbes de niveau de la vitesse radiale des vents. Les couleurs indiquent la perturbation de la température. À droite, on remarque les courbes de niveau de la quantité de mouvement spécifique et les couleurs indiquent l entropie spécifique [Emanuel,2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
44 La thermodynamique d un ouragan Le cycle d un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A B C D A : Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
45 La thermodynamique d un ouragan Le cycle d un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A B C D A : A B : détente isotherme, gain de chaleur Q C Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
46 La thermodynamique d un ouragan Le cycle d un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A B C D A : A B : détente isotherme, gain de chaleur Q C B C : détente adiabatique Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
47 La thermodynamique d un ouragan Le cycle d un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A B C D A : A B : détente isotherme, gain de chaleur Q C B C : détente adiabatique C D : compression isotherme, perte de chaleur Q F Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
48 La thermodynamique d un ouragan Le cycle d un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A B C D A : A B : détente isotherme, gain de chaleur Q C B C : détente adiabatique C D : compression isotherme, perte de chaleur Q F D A : compression adiabatique Grâce à l analogie au cycle de Carnot, on sait que W = Q C Q F, W = où W est l énergie disponible à l ouragan. ( 1 T F T C ) QC, Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
49 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Le gain de chaleur Q F est dû à la vapeur d eau flux d enthalpie attribuable au gain de vapeur d eau est de la forme C k ρ(k k). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
50 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Le gain de chaleur Q F est dû à la vapeur d eau flux d enthalpie attribuable au gain de vapeur d eau est de la forme C k ρ(k k). Les vents de l ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux C D ρ v v. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
51 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Le gain de chaleur Q F est dû à la vapeur d eau flux d enthalpie attribuable au gain de vapeur d eau est de la forme C k ρ(k k). Les vents de l ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux C D ρ v v. On ignore la perte de chaleur dû à la radiation dans l espace, la perte d énergie dû à la friction avec le sol ou la surface de la mer... Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
52 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Le gain de chaleur Q F est dû à la vapeur d eau flux d enthalpie attribuable au gain de vapeur d eau est de la forme C k ρ(k k). Les vents de l ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux C D ρ v v. On ignore la perte de chaleur dû à la radiation dans l espace, la perte d énergie dû à la friction avec le sol ou la surface de la mer... L énergie disponible W = ( 1 T F T C ) QC. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
53 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Dans l ouragan, W et Q C ont lieu sur la trajectoire A B B ( 2π C D ρ v 3 TC T ) B [ rdr = F 2π C k ρ v (k k) + C D ρ v 3] rdr. A T C A Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
54 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Dans l ouragan, W et Q C ont lieu sur la trajectoire A B B ( 2π C D ρ v 3 TC T ) B [ rdr = F 2π C k ρ v (k k) + C D ρ v 3] rdr. A T C A La vitesse des vents atteint un maximum v m proche de l oeil, donc ( C D ρvm 3 TC T )[ ] F C k ρv m (k k) + C D ρvm 3. T C Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
55 La thermodynamique d un ouragan Le bilan énergétique d un ouragan Dans l ouragan, W et Q C ont lieu sur la trajectoire A B B ( 2π C D ρ v 3 TC T ) B [ rdr = F 2π C k ρ v (k k) + C D ρ v 3] rdr. A T C A La vitesse des vents atteint un maximum v m proche de l oeil, donc ( C D ρvm 3 TC T )[ ] F C k ρv m (k k) + C D ρvm 3. T C Si l on isole ensuite v m, on conclut vm 2 C ( k TC T ) F (k k). C D T F Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
56 Conclusions Conclusions élémentaires La formule vm 2 C ( k TC T ) F (k k) C D T F est remarquablement précise [Emanuel, 2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
57 Conclusions Conclusions élémentaires La formule vm 2 C ( k TC T ) F (k k) C D T F est remarquablement précise [Emanuel, 2003]. Si l on substitue cette expression dans C D ρ v v, alors on apprend qu un ouragan de puissance moyenne dissipera W [Emanuel, 2003], soit environ la consommation anuelle en électricité par l ensemble des foyers américains. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
58 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
59 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; (ii) la dissipation énergétique des ouragans alimente l ouragan lui-même ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
60 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; (ii) la dissipation énergétique des ouragans alimente l ouragan lui-même ; (iii) la vitesse maximale dépend de C k C D, et de T C T F T F. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
61 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maîtrise des concepts. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
62 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maîtrise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l algèbre linéaire ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
63 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maîtrise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
64 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maîtrise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs L entropie : Cette notion rappelle celle de potentiel ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
65 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maîtrise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs L entropie : Cette notion rappelle celle de potentiel ; L intégration approximative : Une intégrale complexe est approximée par sa valeur en un point. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
66 Conclusions Références Cette présentation est un sommaire du modèle que l on retrouve dans les références suivantes. M. Bister et K. A. Emanuel, Dissipative Heating and Hurricane Intensity, Meteorology and Atmospheric Physics, 65, (1998). K. A. Emanuel, Tropical Cyclones, Annual Review of Earth and Planetary Science, 31, (2003). M. Bister et al., Comment on Makarieva et al. A critique of..., Proceedings of the Royal Society A, 467, 1-6 (21). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier / 27
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